2025屆貴州省黔南布依族苗族自治州高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（附解析）

2025屆貴州省黔南布依族苗族自治州高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)

試題

注意事項：

1、本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

2、答題前將姓名、準(zhǔn)考證號、座位號準(zhǔn)確填寫在答題卡指定的位置上.

3、選擇題須使用2B鉛筆將答題卡相應(yīng)題號對應(yīng)選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；非選擇

題在答題卡上對應(yīng)位置用黑色墨水筆或黑色簽字筆書寫.在試卷、草稿紙上答題無效.

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1,已知全集"={1'2,3,4,5,6,7},集合/={x1(x-l)(x-3)=0},則()

A.{1,3}B.{2,4,5,6,7}C.{1,3,5,7}D.{2,4,6}

【答案】B

【解析】

【分析】用列舉法表示集合A,再利用補(bǔ)集的定義求出結(jié)果.

【詳解】依題意，Z={1,3},所以)Z={2,4,5,6,7}.

故選：B

2.已知向量Z=(—1,4),B=(3,x).若則為=()

33

A.-12B.——C.-D.12

44

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直的坐標(biāo)表示列式計算得解.

【詳解】向量。=(—1,4),彼=(3,x),由得Z%=—3+4x=0，所以

故選：C

3.樣本數(shù)據(jù)：11,12,15,13,17,18,16,22,36,30的第70百分位數(shù)是()

A.16B.19C.20D.22

【答案】C

【解析】

【分析】利用百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解.

【詳解】共有10個數(shù)，10x70%=7,故從小到大排列，選擇第7個數(shù)和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百

分位數(shù)，即20為第70百分位數(shù).

故選：C.

4.曲線〃x)=lnx在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()

1e

A.-B.1C.-D.e

22

【答案】A

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而求出三角形面積.

【詳解】由〃x)=lnx,求導(dǎo)得/(x)=L貝lj/'⑴=1,而/⑴=0,

X

因此曲線=在點(diǎn)(1,/(1))處的切線為y—0=x—1,該切線交x于點(diǎn)(1,0),交y軸于點(diǎn)(0,—1),

所以該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積5=!義卜1=」.

22

故選：A

5.若M為圓(x+iy+j?=2上的動點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線x+y—3=0的距離的最小值為()

A.72B.3-72C.2A/2D.372

【答案】A

【解析】

【分析】求出圓心到直線的距離，再利用圓的性質(zhì)求出最小值.

【詳解】圓(x+l)2+/=2的圓心C(—1,0),半徑.=行，

點(diǎn)C(—1,0)到直線x+y-3=0的距離d=I1哭,=272>V2,

即直線x+.y—3=0與圓(x+iy+j?=2相離，又點(diǎn)/在該圓上，

所以點(diǎn)M到直線x+y-3=0的距離的最小值為d-r=41-

故選：A

17t3TC

6.若cos(6ZH—)——,貝|Jcos(2a—)=()

353

【答案】c

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計算得解.

JT3IT7T37T3713

【詳解】由cos(a+—)=—,得cos[(a——)+-]=-,即—sin(a——)=-,解得sin(a——)=—,

356256565

所以cos(2tz--)=cos2(a--)=1-2sin2(a--)=l-2x(--)2=—.

366525

故選：C

7.三次函數(shù)/(xhad+bV+cx+d的圖象如圖所示.下列說法正確的是()

C.a〉0,b<0,c<0,d<QD.a>0,b>Q,c<0,d<0

【答案】D

【解析】

【分析】求出函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象特征確定各項系數(shù)的正負(fù).

【詳解】函數(shù)/(x)=ax+bx2+cx+d,求導(dǎo)得f(x)=3ax2+2bx+c,

觀察函數(shù)圖象，得函數(shù)/（x）有異號兩個極值點(diǎn)毛,》2,且不<-2<0</<2,

函數(shù)/（x）在（-叫士）,（工2,內(nèi)）上單調(diào)遞增，在（再戶2）上單調(diào)遞減，d=/（0）<0,排除A；

|/,(-2)=12a-4Z>+c<0,

由一2?（%1，%2）,26（%2，+8）,得貝卜[八2)=⑵+4""。’勖=八2)-八-2)〉。，得6>。，排

除C；

由不等式3ax2+26x+c〉0的解集為（一叫七）^^/#00），得3?！?,即a>0,排除B；

又事,》2是方程3ax2+2bx+c=0的二根，xx=—<0,則c<0,選項D符合題意.

l23a

故選：D

8.通常用24小時內(nèi)降水在平地上的積水厚度（單位：mm）來判斷降雨量的大小，如下表:

降雨等級小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨

積水厚度

(0,10)[10,25)[25,50)[50,100)[100,250)[250,+(?)

（mm）

某同學(xué)用如圖所示的圓臺形容器接了24小時雨水，則這24小時內(nèi)降雨的等級是（）

40mm

A.中雨B.大雨C.暴雨D.大暴雨

【答案】A

【解析】

【分析】利用圓臺的體積公式得到容器內(nèi)的雨水體積，然后求降雨厚度判斷降雨等級即可.

【詳解】作圓臺的軸截面如圖，

由題意得AB=200mm，

?100=^222^,

所以容器內(nèi)雨水的體積修

3

352

所以24小時內(nèi)降水在平地上的積水厚度為"zV=-mm

2003

71

2

52

因為10〈——<25,所以這24小時內(nèi)降雨等級是中雨.

3

故選：A.

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S”，等比數(shù)列｛2｝的前〃項和為7；.下列說法正確的是（）

A,數(shù)列｛—i｝為等差數(shù)列B.若邑=2,=12,則=7

n

C.數(shù)列｛十｝為等比數(shù)列D.若q=94，則數(shù)列也｝的公比為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和公式，結(jié)合定義判斷A；利用等差數(shù)列片斷和性質(zhì)計算判斷B；利用等比數(shù)

列定義及前n項和計算判斷CD.

【詳解】對于A,令等差數(shù)列｛為｝公差為d,則S"=〃%+妁（Dd，｝=%+—d，

鼠L—2=—伍+巴44）=4為常數(shù)，數(shù)列盧4為等差數(shù)列，A正確；

M+1n222n

對于B,等差數(shù)列｛4｝中，S2，S4—S2，S6—S4成等差數(shù)列，則2（S4—2）=2+12-$4,解得S4=6,B

錯誤；

1

對于C,令等比數(shù)列｛2｝的公比為4,則與L=*=J_為常數(shù)，數(shù)列￡_｝為等比數(shù)列，C

b“

正確；

對于D,等比數(shù)列也｝的公比為心由7=94，得4+的+。3+。4+%+。6=9（4+%+。3），

則+。2+。3）=8（%+出+。3），而生+出+%=。1（1+4+42）。0，解得9=2,D正確.

故選：ACD

10.函數(shù)/（1）=為皿5+。）卜＞0,網(wǎng)＜野的部分圖象如圖所示.下列說法正確的是（）

）h

2…4

.n：o/衣x

771371

A.函數(shù)y=/(%)在區(qū)間上單調(diào)

B.函數(shù)y=/(%)在區(qū)間［藍(lán),2兀)上有兩個極值點(diǎn)

函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)一,0中心對稱

C.

一7i17K

D.函數(shù)y=/(%)的圖象與直線y=1在區(qū)間—上有兩個公共點(diǎn)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)圖象得到/(x)=2sin2x—￡，然后代入的方法判斷ABC選項，將/(x)的圖象與直線

J=1的交點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(X)=1的根的個數(shù)，然后解方程判斷D選項.

71

【詳解】由圖象可知，最小正周期T=yx2=7l=—

co

所以0=2,

Nsin12?g+0J=2

將會2，—巳,一2代入/⑴中得＜

/sin2-+0=—2

A=2

結(jié)合冏＜|",解得＜

兀，

(P——

6

所以/(x)=2sin[2x-t),

7兀3兀.八n13n17n13n17n

XG,貝,因為y=2sinx在上不單調(diào),

66666

7兀3兀

所以/(X)在上不單調(diào)，故A錯;

7H

7n_),_nn13n23n

xe--,2口，貝12x一7￡

6)0666

13n5n7n23n5兀7兀

因為y=2sinx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

6226

所以/(X)在2n)有兩個極值點(diǎn)，故B正確;

故C錯;

令/(x)=2sin2x--j=1,解得x=—+kn,k=—+kn,k,

I6)62

因為xe—,所以x=-^或不，所以/(x)的圖象與直線>=1在上有兩個公共點(diǎn)，故

21262212

D正確.

故選：BD.

11.已知拋物線C:/=4》的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/與拋物線。交于A,3兩點(diǎn).若拋物線C在點(diǎn)

A,2處的切線的斜率分別為左一左2,且拋物線C的準(zhǔn)線與歹軸交于點(diǎn)N,則下列說法正確的是

()

A.,目的最小值為4

B.若|AB|=4,則WN3

C若左+左2=4,則直線4B的方程為x—y+l=O

77

D.直線/N的傾斜角a的最小值為一

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線/的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出

關(guān)系式，利用拋物線定義結(jié)合基本不等式求解判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率求解判斷C；求出直線4V

的斜率范圍判斷D.

【詳解】拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)廠(0,1),準(zhǔn)線方程為y=—l,N(0,—l),

顯然直線/的斜率存在，設(shè)其方程為^=丘+1,4>”為),風(fēng)工2，必)，

y=kx+\

由《24消去V得——4Ax—4=0，顯然A>0,X]+%2=4左,再％2=-4,

[x=4y--

對于A,河1=以司+忸上|=%+1+%+1=*+222：?2|+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)％%時取等號，A正確；

對于B,由選項A知，尸|=|5/|=2,而|AE|=2,因此N4LN8,B正確;

111

1,X

對于C,由^=^》2,求導(dǎo)得p'2-212-

由左+&=4,得西+%=8,則4斤=8,解得左=2,直線48的方程為2x—y+l=O,c錯誤；

對于D,直線NN的斜率左3=』史=三土3，\kAN|=i±l>^￡H=l,當(dāng)且僅當(dāng)|x"=2時取等

國4匹41西|41玉|

號

TTTTTTjTT

則幻N<T或21，因此直線AN的傾斜角ae[-,-)U(-,y],

77

直線AN的傾斜角?的最小值為一，D正確.

4

故選：ABD

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(l—i)=l+i,則]=.

【答案】-i

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則計算得到z,然后求[即可.

(1+i)21+21-1

【詳解】z=-

1-i(>i)(l+i)=2

所以z二—i

故答案為：-i.

13.14+21的展開式中，常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

【答案】60

【解析】

【分析】求得二項展開式的通項，結(jié)合通項確定，的值，代入即可求解.

【詳解】由題意二項式［五+2］展開式的通項為5+1=￡（五）6T.（2y=2一。"笠，

VX）x

令r=2,可得展開式的常數(shù)項為4=22.屐=60.

故答案為：60.

14.己知集合4={x|x為不超過左的正整數(shù)},左eN*.若/6幺…￡々=60,則〃的最大值與最小值

k=［

之和為.

【答案】71

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分析可得對于〃的最小值，要盡可能讓每一項五取較大值，對于〃的最大值，要盡可

能讓每一項4取較小值，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式代入計算，分別求得〃的最小值以及最大值，即可得到

結(jié)果.

n

【詳解】由題意可得，4={1,2,3,…，左}，左eN*,s.xk&Ak,^xk=60,

k=T

對于〃的最小值，要盡可能讓每一項/取最大值；

對于〃的最大值，要盡可能讓每一項/取最小值；

當(dāng)X&盡可能取大的值時，〃會取到最小值，

當(dāng)\/xk^Ak,xk=1時，"取到最大值，最大值為60；

1011

當(dāng)/=左時，因為Zk=55<60,Z左=66〉60,

k=\k=l

n

所以取X&=左（左=1,2,…,10）,孫=5時，=60,

k=\

此時n恰好取到最小值，

綜上〃的最大值為60,"的最小值為11,

則〃的最大值與最小值之和為71.

故答案為：71

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了集合定義的理解以及數(shù)列求和的內(nèi)容，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在

于分析出對于〃的最小值，要盡可能讓每一項X#取較大值，對于力的最大值，要盡可能讓每一項/取較小

值，即可得到結(jié)果.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知△48C的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且立〃2+60。5Z=0，a=7,

b=3.

(1)求A和。；

(2)已知點(diǎn)。在線段5c上，且幺。平分NA4C,求的長.

2兀

【答案】(1)A=y,c=5

(2)AD=—.

8

【解析】

【分析】(1)弦化切求出A,再利用余弦定理求出U

(2)由(1)的結(jié)論，利用三角形面積公式列式求出ZD.

【小問1詳解】

在△45。中,由立北力+質(zhì)cosA=0>得tanA=—V3?而0<2<兀，則”

由余弦定理,得余=從+。2-2bccosZ，即49=9+°2+3C，即°2+3C—40=0，

而c>0,所以c=5.

【小問2詳解】

2兀

由(1)知，A=-,由40平分/氏得,

1TT1711271

即5〃，4。$1111+5。?4。5由§=26。5111亍，則S+c)/Z)=6c,gp8AD=15,

所以4D=".

8

16.已知函數(shù)/(x)=ae"-X+1(Q￡R).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若當(dāng)。>0時，函數(shù)/(x)有兩個不同的零點(diǎn)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析.

⑵0<a<e-2

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，再按。<0,4〉0分類討論導(dǎo)數(shù)值正負(fù)即可.

(2)由(1)可得/(x)的最小值，再結(jié)合函數(shù)值的變化情況求出最小值小于。的。的范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)f(x)=aex-x+1的定義域為R,求導(dǎo)得f'(x)=aex-1,

當(dāng)aW0時，f'(x)<0,函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a〉0時，由/'(x)<0,得x<—lna；由/'(x)〉0,得x>—lna,

即函數(shù)/(x)在(-<?,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)aW0時，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(—叫+8)；

當(dāng)。>0時，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一叫一Ina),單調(diào)遞增區(qū)間是(-Ina,+co).

【小問2詳解】

由(1)知，當(dāng)a>0時，/(x)min=/(-lna)=2+lna,

當(dāng)xf-co時，/(x)—+co；當(dāng)xf+oo時，/(x)-+co,

要函數(shù)/(x)有兩個不同的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)2+lna<0,解得。〈。〈片？，

所以實數(shù)。的取值范圍0<a<e-2.

17.如圖，四棱錐P—48”的底面N3CD為平行四邊形，底面4BCD,AABD=90°.

(1)求證：平面045,平面PAD；

(2)若PA=AB=BD,求平面PAD與平面PDC的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【解析】

【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)、判定，面面垂直的判定推理得證.

(2)過2作直線8z//R4,以點(diǎn)8為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD與平面P0C的法向量,

再利用面面角的向量求法求解.

【小問1詳解】

在四棱錐P—中，由尸2,底面48CD,ADu底面4BCD,得P4_LBD,

由/Z8￡)=90°,得AB工BD,而尸ZcZ8=4尸4^5u平面尸,

則平面尸48,又ADu平面PAD,

所以平面PAB1平面PBD.

【小問2詳解】

過8作直線8z//R4,由尸2,底面幺5CD,得底面N5CQ,直線8。,A4,5z兩兩垂直，

以點(diǎn)5為原點(diǎn)，直線BD,BA,Bz分別為％入z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

令48=1,又4BCD為平行四邊形，則3(0,0,0),。(1,0,0),。(1,一1,0),尸(0,1,1),

BD=(1,0,0),CD=(0,1,0),DP=(-1,1,1),

_m-BD=a=0一

設(shè)平面P5D的法向量為根=(a,"c),則〈—.，取c=l,得加=(0,-1,1),

m-DP=-a+b+c=0

一n-CD=v=0_

設(shè)平面PDC的法向量為“=(%,y,z)，貝叫——.，取z=l,得〃=(1,0,1),

\n-DP=-x+y+z=0

—,■—ITYi.,nI1

所以平面PBD與平面PDC的夾角的余弦值為|cos(ffl,〃〉|=

\m\\n\V2.V22

22

18.已知橢圓C：二+==1(。〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡(-6,0),凡(、回,0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)

ab

D（V3,1）.過點(diǎn)T（t,O）（t>2）且斜率不為0的直線交橢圓C于A,2兩點(diǎn)，過點(diǎn)A和M（1,O）的直線AM

與橢圓C的另一個交點(diǎn)為N.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線8N的傾斜角為90。，求f的值.

【答案】（1）—+/=1；

4

（2）t=4.

【解析】

【分析】（1）利用橢圓的定義求出。，進(jìn)而求出b得C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)已知可得直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)其方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出直線48與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.

【小問1詳解】

221

橢圓C:二+二=1的二焦點(diǎn)為耳（-6,0）,凡（6,0）,點(diǎn)。（百,彳）在橢圓C上，

ab2

則2。=|?！﹟+|。叫|=J（—2檔）2+（；）2+g=4,解得。=2,則6=百―（百）2=1，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

【小問2詳解】

依題意，點(diǎn)48不在x軸上，即直線4W不垂直于N軸，且直線不垂直于x軸，否則48重合，

設(shè)直線AM方程為x=ky+\,k于0,

x=AT+1.C

由2427肖去X得，（左2+4）/+2@-3=0，

x+4y=4

顯然A〉。，設(shè)/（再,必）,"（%2，%）,由直線的傾斜角為90。，得點(diǎn)8（%2，—%）,

2k3

則%+為=—=一^1^，所以3（必+%）=2爪%,

直線4N的方程為V—必=2蟲紅（'—陽），

玉-x2

/=