2025屆沈陽市某中學(xué)高三數(shù)學(xué)（上）第三次模擬考試卷（附答案解析）

2025屆沈陽市20中高三數(shù)學(xué)(上)第三次模擬考試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)Z/、Z2滿足Z/+Z?=Z/Z2，若Z/=/-i,則憶21=()

A./B.1C.72D.2^2

2.設(shè)S是數(shù)列皿/的前"項和,且％=/,S=(2S+l)S,則詈=()

nnnn+1311

A.--1B.--2C.-2D.--3

234

3.在半徑為2的圓C上任取三個不同的點/,B,P,且|4B|=2C,則方?麗的最大值是()

A.72+2B.2+2y/1C.2c+4D.4+4y/J

4.已知正四棱臺下底面邊長為4C,若內(nèi)切球的體積為與兀，則其外接球表面積是()

A.49TlB.56nC.657rD.1307r

5m2ncosy,Sv=()

.已知數(shù)列n/的前〃項和為%,an=則

A.1x(48-1)B.'x4—i)c.三xd_1)D.~^(47-1)

6.當(dāng)neN時，將三項式伐2+刀+//展開，可得到如圖所示的三項展開式和“廣義楊輝三角形”：

(X2+X+1)0=1

(X2+X+I)1=X2+X+1

(x2+x+I)2=x4+2x3+3x2+2x+1

(x2+x+I)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1

(x2+x+I)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1

若在(7+a幻*2+第+〃7的展開式中，％7的系數(shù)為一15,則實數(shù)q的值為()

廣義楊輝三角形

第0行1

第1行111

第2行12321

第3行1367631

笫4行1410161916104

A.1B.-1C.2D.一2

7.已知/⑴=瓶0皿一若"初有兩個零點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.*C.",+WD.6,+8)

8.已知a>e?,b>0,c>0,當(dāng)x>。時，今-/可。+g-O20恒成立，則詈的最小值為（）

A.—BD

27-9l

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.AA8C的內(nèi)角4B,。的對邊為a,b,c則下列說法正確的是（）

A.ACCB>0,則△力BC是銳角三角形

B.若cos??!+cos^B-cos?C=/,則△ABC是直角三角形

C.若力+B<］貝I］sinA+sinB<C

D.若tanXtanF>7,則tan/ltanBtanC>1

10.若實數(shù)x,y滿足/-+儼=6,則（）

A.\x-y\>2B.\x-y\<12C.x2+y2>2D.x2+y2<12

11.如圖，在直棱柱力BCD-4/B/C/D/中，底面48CD為菱形，且AB=44/=2,乙BAD=60。，〃■為線段。儲/

的中點，N為線段B/C/的中點，點P滿足鉀=4正+〃兩則下列說法正確的是（）

A.若（1=1時，三棱錐P-D8C的體積為定值

B.若4=決寸，有且僅有一個點P,使得PD1PB/

C.若4+〃=5則|PN|+|PC|的最小值為3

D.若4=0,則平面DPM截該直棱柱所得截面周長為9隗［7舊

26

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若命題TxGR,都有-4>0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為,

13.曲線y=Inx與曲線y=*/的公切線方程為.

x

14.已知函數(shù)/㈤=W-e,g（x）=一In久的零點分別為打，x2,且町>2,x2>2,則町-三^=

若a<刈-打恒成立，則整數(shù)a的最大值為.

（參考數(shù)據(jù):ln2~0.7,InJ~1.1,ln7?1.95,In；7?2.8.）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.體小題13殳）

2

記%為等比數(shù)列何"的前n項和，已知Sn=an+1-1.

求何力的通項公式；

an,n為奇數(shù),

(2)設(shè)刈={1ri為盾數(shù)求數(shù)列出力的前20項和乙。

1。。2。/。。2即+2''

16.體小題15分)

已知四棱柱4BCD中，底面/8C。為梯形,4B〃CD,4〃，平面/BCD,力。148,其中48=44/=

2,AD=DC=LN,M分別是線段B/C/和線段￡>小上的動點，且可F=/lZ溝，RM=WD^(O<X<1).

勾求證D/N〃平面CB/M；

⑵若N到平面CB/M的距離為手，求D/N的長度.

17.體小題15分)

某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時間參加陽光體育活動.現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報名，

本周隨機(jī)選取2人參加.

0)求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；

⑵記參加活動的女教師人數(shù)為X,求X的分布列及期望E㈤；

⑶若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項目，每名女教師至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1

項或2項的可能性均為%每名男教師至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均

為《每人每參加1項活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，記隨機(jī)選取

的兩人得分之和為匕求￥的期望

18.體小題17分)

在AABC中，內(nèi)角/,B,。所對的邊分別為a,b,c,tanA=3tanC.

若C=(,b=tanB,求△4BC的面積S；

(II)求證：2a?-2c2=/；

3

"II）當(dāng)taa4——=取最小值時，求tanf.

tanF

19.體小題17分）

已知函數(shù)/㈤=ln（7-ax）+^x2（a。0）.

（7）證明：當(dāng)。=/時，/同只有1個零點；

0當(dāng)時，討論/㈤的單調(diào)性；

（3）若a—1,設(shè)98）=/切一：％2,證明：v%/>到<0,/J>儀乜）—（支2）

2J%1%2+%1+%2+1%1—%2

4

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：Z1+z2=Z]Z2f

又??,z}=1-

???Zj=1+i,

Z1l+i

Zo-------

zZ1—1

?,?憶21=yjI2+(~I)2=>J~2.

故選：C.

根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念得到與，根據(jù)條件用力表示Z2,化簡之后求模長.

本題主要考查共輾復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：vSn=(2Sn+l)Sn+1,

1

???S九=s+2s九.S]9=2,

n+1Sn

1

Si-ai=1,

■■■是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列,

—=2TL-

1,Sn=-----,Su11=—,

Sn2n-l21

=S5-S4=]12

763

22

-63X27

S113

故選：B.

由Sn=但Sn+〃Sn+/,可推得"■，是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，可得sn=白，進(jìn)而求得S〃，a”

SnZn—1

即可得到答案.

本題主要考查了等差數(shù)列的定義及通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：在AABP中，由正弦定理,

得ABAPBP=2r=4,

sinZ-APBsinz.ABPsinz.BAP

即二2=4,所以sinUP8三苧

sinz.APB

5

又UPBe(0,71),所以NAPB=信年

當(dāng)〃PB=t時,設(shè)NABP=8<0<e<鄉(xiāng)，則NB4P=與一/

由”=BP=4,得AP=4sin。,BP=4sin(網(wǎng)-9),

sin^ABPsin434P'47

所以港?PB=\PA\?|P5|cosJ=8y/lsin0sm(^-e)

=8y/~2sin3(cos0+^^sin。)=8sin6cos6+8sin26

=4sin26+4(1—cos26)=4>J~2sm(20—^+7,

由得2。一三(一三力，

所以sin(20—6(一號,〃，

即同?麗G(0,4+4C];

當(dāng)乙4PB=半時，PA-~PB<0-,

綜上所述，麗.麗的最大值為4+4，1

故選：D.

由正弦定理確定N4PB,設(shè)N4BP=。，再結(jié)合正弦定理求得4P,BP,由平面向量數(shù)量積的定義進(jìn)一步可

求解.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：由題意知正四棱臺力BCD-4/B/C/D/下底面邊長力B=40，所以令其內(nèi)接球半徑為八

因此.川=今兀，所以川=8,解得r=2,

取/￡CD,A]B],C/0的中點E,F,Ej,F1,

所以四邊形EFF]Ej內(nèi)切圓即為正四棱臺內(nèi)接球的截面大圓，

2

所以四邊形EFF/曷是等腰梯形，EE,=^(EF+EIFI),又因為EE，=[\(EF-EE),+(2r),

[\(EF+E/F/〃2=[；(EF-EjFi)]2+(2r)2,整理可得EF-EjF1=16,

6

又因為EF=4j2所以E//=2，1，

令。為正四棱臺4BCD-4/B/C/D/外接球球心，R為球半徑，所以。C=OC/=R,

令M,N分別為正四棱臺ABC?！狝/B/C/D/上下底面的中心，因此Mg=2,MN=4,NC=4,OM=

JOC21-MC21=7R2-4,ON=VOC2-NC2=V/?2-16,

當(dāng)球心O在線段MN的延長線時，7R2—4—7R2—16=4,無解,

當(dāng)球心O在線段MN時，7R?—4”R2—16=4,解得R2=竽，球。的表面積為S=4兀爐=65兀;

4

因此所求外接球表面積是657r.

作出正四棱臺及其內(nèi)切球的軸截面，求出正四棱臺的上底面邊長，再求出外接球半徑即可得解.

本題考查球的表面積問題，屬于中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：由題可得數(shù)列他J為類周期數(shù)列，且以7=4變化，

244

而七=2cos]=0,a2=22cos4=—2,a3=23cos4=0,a4=2cos^-=2,

貝1JS/6=(-22+24-26+28-210+2n-214+216)

故選：A.

找到數(shù)列fa"的規(guī)律，然后利用求和公式即可求解.

本題考查了利用數(shù)列的規(guī)律求和，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：依題意，“廣義楊輝三角形”構(gòu)造方法為：

第0行為1,以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)壞足3數(shù)的，缺少的數(shù)計為0之和，

所以“廣義楊輝三角形”的第5行為1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,

“廣義楊輝三角形”的第6行為1,6,21,50,90,126,141,126,90,50,21,6,1,

“廣義楊輝三角形”的第7行為1,7,28,77,161,266,357,393,357,266,161,77,28,7,1,

7

在+x+〃7的展開式中，/的系數(shù)為266,/的系數(shù)為357,

2

貝*7+ax)(x+%+/5的展開式中，久7的系數(shù)為357+266a=-15,

解得a=1.

故選：A.

閱讀題意，結(jié)合廣義楊輝三角形和二項式定理求解即可.

本題考查了對楊輝三角的擴(kuò)展，二項式的展開式的配對，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：若/⑴有兩個零點，貝好㈤=memx-\nx=0有兩個解，等價于小壯3-xlnx=0(x。有兩

個解，

令g(t)=tel,則原式等價于刈=gfliu：)有兩個解，

即mx=\nx(x>0有兩個大于零的解.

令h(x)=^(x>0),貝田㈤=手，

當(dāng)Ov%〈e時，h'(x)>0,當(dāng)工,e時，h，(x)<0,

所以h⑶)在(0,e)上單調(diào)遞增，在僧,+8)上單調(diào)遞減，且/i(%)圖像如圖:

所以當(dāng)0<小<:時，爪=當(dāng)有兩個交點，即/⑴有兩個零點.

故選：A.

由同構(gòu)的思想可知，若/㈤有兩個零點，貝!JmxeE—x\nx=0(x>0有兩個解，即=In%有兩解,分離變

量求導(dǎo)即可.

本題考查函數(shù)的零點與方程的解，用到同構(gòu)思想，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：當(dāng)汽>0時，原不等式化為(亍一化2—b%+020恒成立，

令f(x)=三一y/~a,g(x)=x2-bx+c,求導(dǎo)得/㈤=[

由尸㈤<0,得0<x<1；由尸㈤>0,得x>J,

函數(shù)在〈0,〃上單調(diào)遞減，在(7,+8)上單調(diào)遞增，

而"1)=e—<0,當(dāng)％—0時，f(x)->+oo,當(dāng)％->+8時，f(x)-?+oo,

8

則函數(shù)/勿在僅+8)上有兩個零點，記為%],X2(0<Xj<X2),

顯然當(dāng)％V或%>%2時，f(X)>0,當(dāng)勺V%V%2時，f(X)<0,

要使/㈤g㈤NO恒成立，則工八久2也是。出的兩個零點，

于是b=%/+%2，c=%/%2，由F=F得:2=a,即：=a,因此*

令％切=捺，求導(dǎo)得出何=與及，由九他〈0,得0<b<3,由出色)>0,得b>3,

函數(shù)九如在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，h(b)m[n=h(3)=，

所以作的最小值為白

故選：A.

當(dāng)%>0時，不等式(:一—6%+0之0恒成立，設(shè)f(x)=%_jd,g(x)=x2—bx+c,利用導(dǎo)數(shù)研

b

究的零點，并由兩個函數(shù)有相同零點結(jié)合韋達(dá)定理，經(jīng)變形構(gòu)造出函數(shù)八向=云o，再利用導(dǎo)數(shù)求出最

小值.

本題主要考查不等式恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：A,因為前?方>0,因此gr方<0,

故cosC<0,因為0<C<7T,

因此C為鈍角，故N錯誤；

B,因為cos?4+cos?^—cos?。=/,

因此/一sin2A+1-sin2B-(1-sin2。=1,

整理得sin2c=sin?4+sin2F,由正弦定理得c2=a2+b2,

所以△ABC為直角三角形，故8正確；

C,因為4+B<5

所以0<B—力<],

因此sinA+sinB<sin?l+sin(1—A)=sin4+cosX=y/~2sin(A+^)<y]~2,因此C正確；

D,因為tanAtanB>/,可以得出tanA,tanB同正或同負(fù)，同負(fù)時明顯不成立，所以43都是銳角，

因此tanA+tanB>2、tanAtanB>2,

tanC=tanf?r—A—B)=—tan(X+B)=ta"+tanB>°,

9

因止匕tanC>0,

tanCtanTltanB—tanC=tanA+tanB,

因此tanCtanAtanB=tanC+tanA+tanF,

因此tanCtanXtanB=tanC+tanA+tanB>1,D正確.

故選：BCD.

結(jié)合向量數(shù)量積的定義檢驗選項/;結(jié)合同角基本關(guān)系及正弦定理檢驗選項&結(jié)合同角基本關(guān)系及輔助

角公式，正弦函數(shù)性質(zhì)檢驗選項C；結(jié)合和差角公式檢驗選項D即可判斷.

本題主要考查了向量數(shù)量積的定義，同角基本關(guān)系及正弦定理在三角形形狀判斷中的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式及同

角基本關(guān)系的應(yīng)用，還考查了和差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】AC

【解析】解：因為-4比y+y2=6,

所以y=4玨-6丁2-6)=2x±門彳與，

當(dāng)y=2x+73N+6時,x—y=—V3x2+6—x,

令〃=-V3x2+6—x,

當(dāng)時，/>0,函數(shù)〃=—73N+6-％在(一8,一〃上單調(diào)遞增,

當(dāng)%>—1時，/v0,函數(shù)〃=—V3x2+6—%在(―1,+8)上單調(diào)遞減,

所以〃max=-V3X72+6+1=-2,無最小值，

則1%-y\>2,

當(dāng)y=2x—A/3X2+臺時,x_y=弋3壯+6—x,

可得％—y=V3x2+6—x,

令〃=V3x2+6—x,

可得"9一乙

當(dāng)％vJ時，J<0,函數(shù)〃=V3x2+6—%在（一8,〃上單調(diào)遞減,

當(dāng)%>/時，/>0,函數(shù)4=73N+6—x在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以〃min=73X12+6-1=2,無最大值，

則1%-y|N2,故選項4正確，選項5錯誤;

因為％2—4xy+y2=6,

所以/+y2+2[2(-x)y]=6,

10

此時/+y2+2[(-X)2+y2J>6,

則久2+y2>2,

當(dāng)且僅當(dāng)％=-丫，§Px=1,y=—/或尤=一/,y=/時，等號成立，故選項C正確；

當(dāng)y=4時，方程爐-16x+10=0,

此時/=(-16)2-4x1x10>0,方程有解，

所以/+產(chǎn)>/2,故選項。錯誤.

故選：AC.

由題意，把y作為主元，求得y=2比土下3爐+6,分類計算求得x-y的最值，進(jìn)而可判斷選項4B；方

程變形為d+y-+2[2(-x)y]=6,得到/+y2>2即可判斷選項C；利用賦值法可判斷選項D

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、分類討論和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于選項/：當(dāng)4=/時，B^P=XBC，故點尸在B/C/上運(yùn)動，而B/C/〃平面DBC,

所以三棱錐P-D8C的體積為定值.故/正確；

對于選項2：當(dāng)4=決寸，取2C中點記為E,連接EN,易得點P在EN上運(yùn)動，

當(dāng)尸與點￡,N重合時，由勾股定理可得|PB/『+|P02=|DB/|2,所以PDJ_PB/,故5錯誤；

對于選項C：當(dāng)4+時，取中點記為E，取BB/中點記為R連接￡咒

則點尸在線段跖上運(yùn)動，易得點C關(guān)于直線跖的對稱點為C,連接N。，

此時點N、E、。三點共線，故點P與點￡重合時取得最小值為3,故C正確;

對于選項。：當(dāng)2=0,〃=弓時，尸為BB/的中點，

過點P作DM的平行線交AB于點E,過點M作DE的平行線交感的于點F,

11

即可得到截面也易知BE,B]F=三,

所以DM=C，EP=~,FB=殍,DE=J2?+(|尸—2x2x|cos60。=3,

44知

22一

+^2X7XXC仞O

0-3-OS-3

易得平面由/截該直棱柱所得截面周長為+,故〃正確.

故選：ACD.

分別根據(jù)每一個選項確定點P的軌跡，然后判斷選項即可.

本題主要考查棱錐的體積，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，截面周長的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】[-4,0]

【解析】解：由題意可得，VxeR,都有機(jī)爐一2znx-4W0是真命題，

當(dāng)m=0時，不等式為-4W0恒成立，符合題意；

m<0

_,2A\<解得一4<m<0；

（Am

綜上，實數(shù)m的取值范圍為（一4,0].

故答案為：[-4,0].

由題意可得“V久￡R,都有小d-—4W0”是真命題，討論m的取值，結(jié)合二次不等式恒成立，即

可求得答案.

本題主要考查存在量詞命題真假的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2x-2gy—您=0

【解析】解：設(shè)/⑶）=lnx,g㈤=（/的公切線為/：y=kx+b,

且/：y=kx+6與曲線y=//初相切于點AR/,y）,與曲線y=相切于點⑶優(yōu)力力），

由尸向）=得k=—,則工-X]+b=Inx；,即/+b=In%/①.

由9包）=工％,得k=42，貝壯靖+b=[另，即b=-^^②.

易得工=工肛，即與=巴③，將②③代入①，可得點—2eln%2=0,

%1eX2

12

令h（x）=x2—2elnx,則?㈤=2x—^=e\

當(dāng)也㈤＜0時，即/一。＞o,解得0＜久＜，3,所以九8）在區(qū)間（0,V"為上單調(diào)遞減，

當(dāng)也㈤＞0時，即第2一？va解得%所以八㈤在區(qū)間"E+8）上單調(diào)遞增，

所以h㈤之/i（S/@=?-2elnV~^=0,當(dāng)且僅當(dāng)％=標(biāo)時，等號成立，則％2=V~^，

所以々=-X2=-j=ib=-=一：，

故曲線y=In%與曲線y=2％2的公切線方程為y=京％一；，

即2x-2-\l-cy-=0.

故答案為：2x-2yJ~ey-y/~e=0.

設(shè)公切線為/：y=kx+b,與曲線y=/優(yōu)）相切于點4口/,力），與曲線y=g（%＞相切于點B僅力丫2），利用導(dǎo)

2

數(shù)的幾何意義得到1+b=ln%〃b=一*4結(jié)合%/=￡，得到*—2e1nx2=0,構(gòu)造函數(shù)九⑶=x-2elnx,

利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到%2=混，即可求解.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.

14.【答案】26

【解析】解：函數(shù)y=姜^與兩函數(shù)y=e,y=In%圖象的交點的橫坐標(biāo)即為/㈤和自㈤的零點，

反比例函數(shù)y=1的圖象關(guān)于直線y=久對稱，

函數(shù)y=皆=2+*的圖象，可以由y=§的圖象向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到，

則對稱直線為y=（x—2）+2=x,

所以函數(shù)丫="=2+邑的圖象關(guān)于直線y=%對稱，

11

則有2+=e"/=%2，2+=Inx,=町,

1

所以*/-7~7=2,

13

1

所以肛-X1=久2_2---

12—Z

由自㈤=1^2一In%可得，

9(8-5)=^^-ln8.5=總一1吟=||-fln/7-ln2;《||一⑵8—。力>。，

g(9)=3？一出9=y-21n3若-2.2VO,

由零點存在性定理可得8.5<X2<9,

故6.5—白<肛一勺<7—

0.0/

X6.5E(6.7),7—^6(6,7),

0.5/

若a<町-打恒成立，則整數(shù)。的最大值為6.

故答案為：2；6.

x

利用函數(shù)圖象的對稱性，得點僅/,戰(zhàn))與點白2,卜冷)關(guān)于直線y=x對稱，則有2+-^=e>=x2,2+-^-=

\nx=x,,所以打一*=2；x-=X-2--^~,由已知參考數(shù)據(jù)利用零點存在性定理可得

2%2-N%2-22X12

8.5<x2<9,可求第2-的范圍得整數(shù)。的最大值.

本題考查了函數(shù)的零點與方程的根及函數(shù)圖象交點的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)思想，屬于難題.

15.【答案】解：(7)當(dāng)7122時，an=Sn-Sn_]=(an+1—1)—(an—1)=an+1—an,

???an+1=2an(n>2),

???等比數(shù)列fa1的公比q=2

當(dāng)71=1時，由S九=。九+/—1得=。2—1，即G/=2d]—1f解得Q/=19

所以冊=271T.

n

0由題意得，當(dāng)n為奇數(shù)時，bn=an=2T,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，b=^(—―三)，

n2n—ln+r

???b/+%+打+???+b”=2°+22+24+218=]*(f=[x(410-1),

b2+b4+b6+-+b20=\x[(l-^)+(^-^)+(^-^)+-+(^-^)]=^x(l-^)=^,

T20=b]+%+63+…+力20=(b]+力3+b5+…+19)+也2+①+壇+…+

3'72137

【解析】。根據(jù)冊=sn-Sn_m>2)得等比數(shù)列公比為2,結(jié)合條件計算卬=2的值，得到的通項公

式.

14

(2)由⑺計算生，利用分組求和的方法得出數(shù)列那"的前20項和.

本題考查的知識點：數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：證明：因為力4_L平面48CD,AD,ABABCD,

所以力/力_LAD,AjA1AB,又力B,

所以48,AD,44/兩兩垂直，

以/為原點，AB,AD,44/所在直線分別為x,乃z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，

因為力B=44/=2,AD=DC=1,

則D/0/0,5(1,1,2),B1(2,0,2),C(1,1,0),D(O,1,O),

所以C/B；=(1,-1,0),

因為亦=及溝=4(7,-1,0)，

所以N61+1,—4+1,2),

所以師=(X+1,-A,0)，

又西=(1,-1,2”西=(0,0,2),DM=4西=入(0,0,2),

所以M(0,/,2W，CM=(-1,0,2A),

設(shè)平面CB/M的法向量為元=(x,y,z),

fn-CM=x-y+2z=0

所以L—,,

(n-CBj=—x+2az=0

令z=l,則元=但-22+2,〃,

所以而-中=(2X,2A+2,1)■(A+1,-A,0)=+1)-X(2X+2)=0,

所以五1RW，又D/NU平面C8/M,

所以D/N〃平面CB/M；

0若N到平面CB/M的距離為f，則號i=喟型，

又瓦討=伍一人一4+1,0，

15

所以d_|2%_2；1_2；12-2；1+2；1+2|

八11J422+4%+8/1+4+1'

整理可得12A2-32A+13=0,

解得"；或獸舍去)，

Zo

所以N1|[,2),

所以|D/N|=”苧.

【解析】(〃建立空間直角坐標(biāo)系，由已知長度分別求出歷可和平面C8/M的法向量，利用法向量同時垂直

于直線和平面證明即可；

⑵求出瓦N,代入空間點到面的距離公式，進(jìn)而求出N點坐標(biāo)，再代入空間兩點間距離公式求解即可.

本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：。設(shè)“有女教師參加活動”為事件/,“恰有一名女教師參加活動”為事件3,

則P64B)=^=4，P(A)=

c6ibc65

8

所以p但⑷=需=,.

「kr<2.—k

⑵依題意知X服從超幾何分布，且pg=k)=^-(k=0,1,2),

C6

P(X=O)=^=l，P(X=1)=^=^,P0=2)=L

所以X的分布列為：

X012

281

p

51515

⑸設(shè)一名女教師參加活動可獲得分?jǐn)?shù)為X/,一名男教師參加活動可獲得分?jǐn)?shù)為Xz，

則X/的所有可能取值為3,6,X?的所有可能取值為6,9,

1119

P(X1=3)=P(Xj=6)=1，E(X])=3x^+6xl=l，

1I115

P(X2=6)=P(X2=9)=\,E(X2)=6x^+9xl=^-,

有X名女教師參加活動，則男教師有2-X名參加活動，

Y=^9X+^1-S(2-X)=15-3X,

所以￡的=E(15-3X)=15-3E(X)=75-3x|=73.

16

即兩個教師得分之和的期望為113分/

【解析】切由條件概率的計算公式即可求解；

⑵參加活動的女教師人數(shù)為X,則X服從超幾何分布，即可寫出X的分布列及期望.

⑸根據(jù)一名女教師和一名男教師參加活動獲得分?jǐn)?shù)的期望，即可得y=/5-3X,即可求得EM.

本題考查超幾何分布、條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【答案】解：(I)由題意，tan/l=3tanC=3tan(=3,

貝=邛^,C)=—tanZ+tanC3+1

Usin/tanB=—tan(X+=2,

1—tanAtanC1-3x1

?3710

則sinB=1，所以b=tanB=2,a=竺學(xué)=3逅

5smB2V52

5

13<2^<23

所以△ABC的面積S=^absmC=-x——x2x—=一;

2222

“D證明：由taivl=3tanC,

可得強(qiáng)1=9￡,即空i=cos/a

cosZcosC3sinfcosf3c

b^+c^—a^

由余弦定理得：三而a(b2+c2-a2)a

a^+b￡-c￡c(a2+62-c2)3c'

2ab

化簡得：b2+2c2—2a2=0,即2a2—2c2=b2；

fill)由tanA=3tanC,可得:

tanA+tanCtanyl-F-tan?!4tanA

tanB=—tan(C4+C)=—

1-tanZtanCl-tanzgtanZtan2?l-3?

又taii4>0,

r-rK|,.1/.tan2A—33,..3、r333

所以tam4-------=tan/l------------=—tan/4+-------N2

tanB4tanX44tanZ-442

當(dāng)且僅當(dāng)tam4=,即taa4=1時取等號,

tanA

此時tanC=工tan力=-xl=工.

333

【解析】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，三角形面積公式，有基本不等式求取值范圍，屬于

中檔題.

(I，先由C=:得到tan>l的值，再結(jié)合tanB=-tan(C4+0得至UtanB,根據(jù)正弦定理得到a,最后由三角形面

積公式S=gabsinC可得結(jié)果；

“D由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和正余弦定理，化簡即可證明；

17

"II)利用tanB=—tan(C4+。和taa4=J