2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（切線+單調(diào)性+構(gòu)造函數(shù)比大?。?類題型全歸納）（原卷版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(切線+單調(diào)性+構(gòu)造函數(shù)比大小)

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01“在”型切線問題........................................................................1

題型02“過”型切線...........................................................................2

題型03求曲線上點(diǎn)到直線距離最小值............................................................2

題型04公切線問題.............................................................................3

題型05求切線條數(shù)求參數(shù).......................................................................4

題型06已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)...................................................................5

題型07已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間..........................................................5

題型08已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào).................................................................6

題型09構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù).........................................................................6

題型10構(gòu)造可商函數(shù)...........................................................................7

?>-----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

題型01“在”型切線問題

【解題規(guī)律?提分快招】

己加函薪白編標(biāo)五菽函戴73號(hào)x=/iS(x0,7(x0jj處而訪裝方程.

步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)/(X。)(方法：把X=X。代入原函數(shù)/(X)中)，切點(diǎn)(4,/(%)).

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'(x).

第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)(4,/(4)),切線斜率左=/'(4)。

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：J-/(x0)=/'(x0)(x-x0).

y

【典例1-1](24-25高三上?北京房山?階段練習(xí))曲線y=7「在點(diǎn)(U)處的切線方程為()

2x-l

A.x-y-2=0B.x+y-2-0C.x+4y-5=0D.x->-5=0

【典例1-2](24-25高三上?北京?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=e：:了,則曲線y=/(x)在(0,1)處的切線與

兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.

【變式1-1](23-24高二下?北京?期中)曲線〃x)=e[x2_x-l)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程是.

【變式1-2］（23-24高三上?北京?階段練習(xí)）曲線y=J=在點(diǎn)［處的切線方程是.

題型02“過”型切線

【解題規(guī)律?提分快招】

己知：函數(shù)/（x）的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)片（西,見）（無論該點(diǎn)是否在y=/（x）上）的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'（/）；計(jì)算切線斜率左="”；

%一為

第三步：令：4=/'（%）=弘_%，解出/,代入左=/口0）求斜率

x\~xo

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-y.=fW（x-xQy

I五麗工2024嵩三公畝前就原勻5區(qū)而蜃Uhu詢二奈百麗百。萬：血應(yīng)踵ig垣標(biāo)面面晟一

的三角形面積為（）

2

eeee2

K2（l+e）B-17；C-2（e2+l）D-7TT

【典例1-2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)（0,-2）作曲線〃x）=lnx-2的切線，則切線方程為.

【變式1-1］（2024高三?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)（3,0）作曲線/（xHxS的兩條切線，切點(diǎn)分別為（%,/（再））,

（x2,/（x2））,貝!|西+工2=（）

A.-3B.-V3C.V3D.3

【變式1-2］（23-24高二下?江蘇淮安?期末）已知〃x）=xd+l,過點(diǎn)（2,加）作/（x）的切線,若切線斜率

為1,貝卜"=.

題型03求曲線上點(diǎn)到直線距離最小值

【解題規(guī)律?提分快招】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

【典例1-1]（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知直線/：y=2x+2與函數(shù)/（x）=ln（x+l）,若直線=+6

與直線/、曲線y=f（久）分別交于點(diǎn)42,則當(dāng)|/同取最小值時(shí)，b=.

【典例1-2]（24-25高三上,湖北黃岡?階段練習(xí)）已知3,A分另IJ為直線y=3x-3和曲線y=2e，+x上的點(diǎn)，

則|/司的最小值為

【變式1-1]（2022,山東聊城,二模）實(shí)數(shù)再,打必,％滿足：x；-lnx「必=0,x2-y2-4=0,貝|

（西-々）2+（M-%丫的最小值為（）

A.0B.2-72C.472D.8

【變式1-2]（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知點(diǎn)P（x,y）是曲線了-2上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P（x,y）到直線

-4=0的距離的最小值為（）

AV5R2753行3

5555

【變式1-3]（24-25高三上,云南昆明?階段練習(xí)）已知48分別是曲線＞=和直線y=2x上的點(diǎn)，則|/同

的最小值為.

題型04公切線問題

【解題規(guī)律?提分快招】

公切線問題主要有以下3類題型

（1）求2個(gè)函數(shù)的公切線

解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線斜率相同得到3個(gè)相等的式子，聯(lián)立求解

（2）2個(gè)函數(shù)存在公切線，求參數(shù)范圍

解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題

（3）已知兩個(gè)函數(shù)之間公切線條數(shù)，求參數(shù)范圍

解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題

【典例1-11（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知曲線丁=Inx與曲線＞有唯一交點(diǎn)，且在交點(diǎn)處有

相同的切線，則。=（）

3￡

A.2B.-C.1D.

22

【典例1-2]（24-25高三上?遼寧?期中）已知直線卜=X+。是曲線＞=ln（x-l）和7=。/-3工的公切線,

則Q+/的值為.

【變式1?1】（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知直線歹=去+6是曲線》=/的切線，也是曲線^=-。一'的切線,

貝！JE+b=（）

1

A.—B.1C.eD.1+e

e

【變式1-2]（2024高三?全國?專題練習(xí)）曲線弘=工2-1與%=a（x-￡|-2hu（a>0）在交點(diǎn)處存在公切線，

貝（Ja=.

【變式1-3]（24-25高三上?山西長治?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx,g[x}=ax\存在直線過點(diǎn)，-￡|

與曲線了=/（x）和y=g（x）都相切，則a=.

題型05求切線條數(shù)求參數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

--------------------------------------------------------------------------------------------------!

設(shè)切點(diǎn)為尸。0,%）,則斜率左=/'（%）,過切點(diǎn)的切線方程為：y—%=/'（Xo）（x—%）,

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)4（a,6）,所以b-%=/'（%）伍-％）然后解出毛的值，有多少個(gè)解對(duì)應(yīng)有多少條切線.1

【典例1-1】（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（》）=蓑.若過點(diǎn)尸（-1,加）存在3條直線與曲線y=/（x）

相切，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A-一三%

【典例1-2]（24-25jWj二上?四川自貢?期中）若過點(diǎn)（21）作曲線>=e、的切線有且僅有兩條，則b的取值范

圍是.

【變式1-1]（22-23高三上?遼寧?階段練習(xí)）已知過點(diǎn)（明方）可以作函數(shù)〃x）=x3-x的三條切線，如果

〃〉0,則。和b應(yīng)該滿足的關(guān)系是（）

A.0<b<a3B.一<b<a3—aC.—a<b<a3D.—a<b<a3—a

9

【變式1-2]（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）己知過點(diǎn)（0,。）可作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為

題型06已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)

【解題規(guī)律?提分快招】

⑦已知/(X，在區(qū)間。上單調(diào)遞增=VxeD,/'(xj20恒成立.

②已知/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減=VxeD,/'(x)40恒成立.

注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號(hào).

【典例1-1](24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)〃%)=咚?-血在[L+⑹上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍為()

A.(-℃,1)B.(-oo,2]C.(-oo,2)D.(一8,3]

【典例1-2】(2024?廣東肇慶?一模)已知函數(shù)/(x)=(x+6-(6>0)在R上單調(diào)遞增,

則里的最大值為.

a

【變式1-1](23-24高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中)若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)不，x2e(m,+co),當(dāng)玉<超時(shí)，

九曲土二玉3>2恒成立，則加的取值范圍()

再-x2

A.[e:+co)B.[e2,+oojC.[e,+oo)D.|^e,e2]

【變式1-2](2024?湖北?一模)已知函數(shù)/仁)="2_1仙+2》是減函數(shù)，則。的取值范圍為()

A.(-?5,0]B.(-co,-l]C.(-oo,l]D.J-co,--

題型07已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間

【解題規(guī)律?提分快招】

⑦已知/(x)在區(qū)間。上存在單調(diào)增區(qū)間=令/'(x)〉0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間/,則/口。

②己知/(x)在區(qū)間。上存在單調(diào)減區(qū)間o令/'(x)<0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間則河口。

【典例1-1](2025高三?全國?專題練習(xí))己知函數(shù)〃x)=(2x2+ax+l)e"(a>0)在上存在單調(diào)

遞減區(qū)間，則。的取值范圍為()

A.(0,l)u(4,+oo)B.(1,4)

【典例1-2](24-25高三上?北京順義?階段練習(xí))已知函數(shù)/3=小-2尤2+1在區(qū)間(0,1)上存在增區(qū)間,

則。的取值范圍是.

【變式1-1](24-25高二上?全國?課后作業(yè))若函數(shù)/(x)=lnx+ax2_2在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A?昌”JB.昌川

C.DD.卜),+a

【變式1-2](23-24高二下?山西?期中)已知函數(shù)/(x)=(x2_2G+l)e、，若函數(shù)在(-1,0)存在單調(diào)增

區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的范圍為.

題型08已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)

【解題規(guī)律?提分快招】

已知函數(shù)在區(qū)間。上不單調(diào)o使得/'(%]=0(其中/是變號(hào)零點(diǎn))

2

【典例1-1](22-23高二下?北京海淀?期中)若函數(shù)〃尤)=5-血在(°㈤上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)后的取值范圍

是()

A.[1,+?)B.(1,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【典例1-2](24-25高三上?河北張家口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/+(x_2)e，-2x+5在區(qū)間

(2根-1,3加+2)上不單調(diào)，則加的取值范圍是.

【變式1-1](23-24高二下?北京?期中)已知函數(shù)"+欣+3在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

A.(-2,-1)B.1L-；]C.D.

【變式1-2](23-24高二下?山東荷澤?期中)若函數(shù)〃x)=e=alnx+l在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為()

A.(e,e2)B.(e,2e2)C.(-(?,e)U(e2,+co)D.(l,e2)

題型09構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

行(；)]二[07GW

高頻考點(diǎn)1："(x)+/(x)]=[e"(x)]'

②x"TW(x)+nf(x)]=[x"(x)了

高頻考點(diǎn)1：xf'(x)+f{x)=[xf，(x)]'

高頻考點(diǎn)2x[V'，(x)+2/(x)]=[x2/(x)y

③f\x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx\

(4)cosx-/(x)sinx=[f(x)cosx\

【近殖1-1】(2024.遼寧武建展擬就測(cè))已%口函藪尸/(x)是空義相五工而嗇函反，11x6(-00,0]^,

/(x)+xf,(x)<0,若"=6=(cos；)/(cos；j,c=(4sin；j/14sin；j,貝[Ja,b,c的大小關(guān)系是

()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【典例1-2】(2024?寧夏銀川?三模)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，/'(X)是

/(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，3/(x)+/(x)>0,且/(2)=2,則不等式(%+1)"(%+1)>16的解集為()

A.(1,+8)B.(-OO,-2)U(2,+CO)

C.(-oo,l)D.

【變式1-1](2024?云南?模擬預(yù)測(cè))已知尸⑺是定義域?yàn)?曰的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且

/'(x)sinx+/(x)cosx<0,則不等式/(x)sinx>；/(力的解集為.

【變式1-2](23-24高三上?河南焦作?開學(xué)考試)已知定義在R上的函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)滿足

/(x)>_〃x),若〃ln3)=]則滿足不等式/(x)>4的x的取值范圍是.

【變式1-3](24-25高三上?山東?階段練習(xí))已知函數(shù)“X)在R上滿足/(x)=/(r),且當(dāng)xe(-8,0]時(shí)，

〃幻+江(對(duì)<0成立，若a=206./(2e6),6=ln2-〃ln2),c=log2：dk)g2：,則。,仇。的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

題型10構(gòu)造可商函數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

①/'(X)-十(X)

enx

高頻考點(diǎn)1:

xf'(x)-nf(x)

D1

XM+

高頻考點(diǎn)1：礦(x)；/(x)=V，

X"X

一旃①上cXf\x)-2f{x}J(x)v

局頻考點(diǎn)2：，'；，二［弋六］

③/'(x)sinx—/(x)cosx=1/(x)了

sin2xsinx

/'(x)cosx+/(x)sinx=13,

一cos2Xcosx

【典例1-1］(24-25高三上?福建南平?期中)定義在上的函數(shù)〃x),/'(X)是的導(dǎo)函數(shù)，且

r(x)<-tanx./(x)成立，。=2噌],b=41f[^\,o=手/圖，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【典例1-2】(2024?吉林長春?一模)已知定義在(0,+s)上的函數(shù)〃x)J'(x)是〃x)的導(dǎo)函數(shù)，滿足

W)-2/(x)<0,且"2)=4,則不等式/(21-4'>0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+0>)D.(-℃,1)

【變式1-1](23-24高二下?山東煙臺(tái)?階段練習(xí))已知/'(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且/'(x)</(x)對(duì)于xeR恒成立,

則()

A./(l)<e<(0),/(2024)>e2024/(0)B./(l)>ef(O),/(2024)>e2024/(0)

C./(l)<eA0),/(2024)<e2024/(0)D./⑴〉ef(O),/(2024)<e2024/(0)

【變式1-2](2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)y=對(duì)于任意的xe,會(huì)"滿足

r(x)cosx+/(x)sinx>0(其中/'(x)是函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是()

A./(0)>&/百B,仞

CWE"5D—⑼"?

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.(2024?河南新鄉(xiāng)?一模)函數(shù)〃x)=/-2上+5的圖象在點(diǎn)(1,〃功處的切線方程是()

A.y=5x-lB.y=x+lC.y=-x+5D.歹=x+3

2.（2024?貴州黔南?一模）曲線/（x）=lnx在點(diǎn)（1J（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）

1e

A.—B.1C.—D.e

3.（2024?山東濰坊?三模）已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為r。），M/（l）=e,當(dāng)x>0時(shí)，/（x）<：+e，，則不

等式*x）T^>i的解集為（）

e

A.（0,1）B.（0,+e）C.（1,+oo）D.（0,l）O（l,+（?）

4.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)//（村=1-3"2-2X在［1,4］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為（）

5.（23-24高二下,江蘇,期中）已知函數(shù)=—ax>xe（0,+oo）,當(dāng)時(shí)，不等式"''v"

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.^0,|B.（2,e）C.D.

6.（2024?四川成者B?二模）直線了=丘+6與函數(shù)y=e'T和了=e'-2的圖象都相切，則6=（）

A.2B.In2C.l+ln2D.-2In2

7.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）已知曲線>=x+hu在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線了="2+工+2相切，則。=

（）

1111

A.一一B.-C.——D.—

221212

8.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)（1,心）可以作y=（x+l）e"的三條切線，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.（Yet。）B.（-6e-3,0）C.（-6e-3,2e）D.（e,2e）

9.（2024?湖南邵陽?三模）若過點(diǎn)（a,6）可以作曲線y=lnx+l的兩條切線，則（）

A.b<ln^B.b>Ina+1C.a<0D.b>ea

211

10.（2024?湖南長沙?二模）已知m>0,n>0,直線y=-x+m與曲線y=2\wc-n+A相切，則一+—

emn

的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

11.（2024?廣東佛山?一模）設(shè)/'（x）是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，/（l-x）+/（l+x）=0,/（2）=0,當(dāng)尤>1時(shí),

（x-l）/（x）-/（x）>0,則使得