2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專(zhuān)練：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（8類(lèi)題型全歸納）（解析版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專(zhuān)題04三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01三角函數(shù)單調(diào)性.........................................................................I

題型02周期...................................................................................5

題型03對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心.......................................................................9

題型04奇偶性.................................................................................13

題型05最值與值域（可化為一元二次函數(shù)型）...................................................15

題型06圖象平移與伸縮變化....................................................................17

題型07根據(jù)圖象求解析式......................................................................20

題型08與。有關(guān)的問(wèn)題........................................................................24

?>-----------題型探析,明規(guī)律-----------O

題型01三角函數(shù)單調(diào)性

【解題規(guī)律?提分快招】

函數(shù)y=smxy=cosxy=tanx

在\7^\3TT4K

圖象"2(V\\2r

2；n：2

Rk兀一%,2k兀+eZ(kn-gk兀+y),keZ

遞增區(qū)間[2k7i-肛2k兀]9keZ

nCT3兀、.?

遞減區(qū)間[2左乃+—,2k兀H—左￡Z[2k兀,2k兀+?],左eZ無(wú)

【典例1-1］（22-23高一下?北京懷柔?期末）已知/（x）=2sin2x則〃X）滿(mǎn)足（）

A.周期是2兀，在。卷上單調(diào)遞增B.周期是如，在0皆上單調(diào)遞減

C.周期是兀，在0方上單調(diào)遞增D.周期是兀，在0胃上單調(diào)遞減

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性、二倍角的余弦公式、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期

【分析】先利用余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)/（x）可得周期，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷可得答案.

【詳解】/（x）=2sin2x=l-cos2x,所以周期丁二1=兀；

當(dāng)工￡0卷時(shí)，2xe[0,7i],

因?yàn)?（x）=cosx在％w[0,7i]單調(diào)遞減，所以歹=1-cosx在％G[0,兀]單調(diào)遞增，

所以/（x）=2sin2、=l—cos2x在0,]上單調(diào)遞增.

故選：C.

【典例1-2]（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（尤）=—?jiǎng)t可斷定函數(shù)〃x）（）

tanx+1

TT

A.最小正周期為H,奇函數(shù)，在區(qū)間（0,萬(wàn)）上單調(diào)遞增

B.最小正周期為71,偶函數(shù)，在區(qū)間（0,；TT）上單調(diào)遞減

C.最小正周期為曰7E，奇函數(shù)，在區(qū)間（0J,r9上單調(diào)遞增

D.最小正周期為iTT，偶函數(shù)，在區(qū)間（0J,T9上單調(diào)遞減

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求含tanx的函數(shù)的單調(diào)性、求含tanx的函數(shù)的奇偶性、求正切（型）

函數(shù)的周期

【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)定義、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)判斷得解.

17T

【詳解】函數(shù)/（、）=「~；的定義域?yàn)閧X￡R|XWZ+E水￡Z},

tanx+12

11

顯然/(-%)=即函數(shù)/（x）是偶函數(shù)，排除AC；

tan2(-x)+1tan2x+1

]

X/(X+71)=「/（x），即函數(shù)“X）的周期是支，

tan2(%+兀)+1t,anJx+1

而“0）=1,當(dāng)X=：時(shí)，“X）無(wú)意義，則:不是“X）的周期，因此/'（X）的最小周期是兀，排除D；

TTTT

函數(shù)y=tanx在（0,9上單調(diào)遞增，且tanx>0,則ktan?x在（0,；）上單調(diào)遞增，

1TT

所以函數(shù)/（%）=「一;在（0,彳）上單調(diào)遞減，B正確.

tanx+12

故選：B

【變式1-1]（23-24高一下?北京順義?期末）下列函數(shù)中，以兀為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增

的是（）

A.y=tan］x+；jB.y=|sinx|C.y=cos2xD.y=sin］x-：j

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正切（型）函數(shù)的周期、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、

求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性

【分析】對(duì)于A,ktan（x+9在（0百單調(diào)遞增，在（?5）單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,作出函數(shù)尸|sinx

4442

的大致圖象，由圖可知，B正確；對(duì)于C,函數(shù)V=cos2無(wú)在（0q）單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,函數(shù)，=5m（》-今

最小正周期為2兀，故D錯(cuò)誤.

7T

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)y=tan（x+：）的最小正周期為兀，

4

當(dāng)xe（04時(shí)，x+

2444

所以y=tan（x+?）在（0；）單調(diào)遞增，在（;5）單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

4442

TT

對(duì)于B,作出函數(shù)）=|sinx|的大致圖象如圖所示，函數(shù)>=|sinx|的最小正周期為兀，且在區(qū)間（0,今單調(diào)遞

增，故B正確；

7T

對(duì)于C,函數(shù)y=cos2x最小正周期為兀，由2E<2x<7i+2E;,左EZ,得也<x<,+E,左EZ,當(dāng)左=0時(shí)，

7T

了=32%在（0,萬(wàn)）單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,函數(shù)y=sin（x-a最小正周期為2無(wú)，故D錯(cuò)誤.

【變式1-2］（23-24高二下?北京?期末）已知函數(shù)/1(無(wú))=2sin(ox+0),xER,其中o>0,-n<<p<n.若

/'（x）的最小正周期為6兀，且當(dāng)x=5時(shí),/（x）取得最大值，則（）

A.在區(qū)間［-2兀,0］上是減函數(shù)B./（%）在區(qū)間［-3匹f］上是減函數(shù)

C.“X）在區(qū)間［-2兀,0］上是增函數(shù)D.在區(qū)間［-3兀,-兀］上是增函數(shù)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、由正弦（型）函

數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、由正弦（型）函數(shù)的周期性求值

7T

【分析】由函數(shù)“X）的最小正周期為6兀求0,且2sin（z+e）=2求。，進(jìn)而確定解析式，分別求出函數(shù)的

0

單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)驗(yàn)證即可.

2兀1

【詳解】???函數(shù)”X）的最小正周期為6兀，根據(jù)周期公式可得。

0713

/（%）=2sin（—x+cp）,

?.?當(dāng)x=5時(shí)，/'（X）取得最大值，

JTJT

/.2sin（—+°）=2,貝0=—+2E,

63

,兀

,/-7C<67<71=>0=—,

3

1TT

???/（x）=2sin（-x+-）,

由一四+2標(biāo)+四（—+2fai,得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間［6E-2,6hr+囚］左EZ,

233222

由四+2E型+2版,得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間［6fat+g,6E+M］左eZ,

233222

結(jié)合選項(xiàng)知C正確，

故選：C.

【變式1-3］（24-25高三上?廣東江門(mén)?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，以兀為周期，且在區(qū)間［］,兀］上單調(diào)遞增的

是（）

A.y=sin|x|B.>>=cos|x|

C.y=|tanr|D.y=|cosx|

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性、求正切（型）函數(shù)的周期、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求

余弦（型）函數(shù)的最小正周期

【分析】先判斷各函數(shù)的最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可選擇判斷.

TT37r

【詳解】對(duì)于A：由sin-5=1,sin-5=-1,可知兀不是其周期，（也可說(shuō)明其不是周期函數(shù)）故錯(cuò)誤；

..fcosx,x>0fcosx.x>0

對(duì)于B：y=cosx=</、=\=cosx,其最小正周期為2兀，故錯(cuò)誤；

［cos（-x）,x<0［cosx,x<0

對(duì)于C：y=加間滿(mǎn)足卜an（x+i）=kanx|,以兀為周期，

當(dāng)xe仁,nJ時(shí)，y=|tanx|=-tanx,由正切函數(shù)的單調(diào)性可知y=|tanx|=-tanx在區(qū)間值,兀J上單調(diào)遞減,

故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=|cosx||cos（x+7t）|=|cosx|9以兀為周期,

當(dāng)xegw）時(shí)，^=|cosx|=-cosx,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，尸-cosx在區(qū)間L上單調(diào)遞增，故正

確；

故選:D

題型02周期

【解題規(guī)律?提分快招】

函數(shù)y=Nsin3x+0)y=Acos(d?x+0)y=4tan(dZx+°)

周期T7=亞T=至T*

⑷⑷⑷1

函數(shù)yg“4sin(0x+0)|y=\?4cos(0x+0)|y=|Atan(0x+(p)\

周期T

T=—T=—T=—

⑷囪

函數(shù)ygJsin(d?x+0)+b|yqZcos(0x+0)+6|y=\<4tan(0x+0)+b|

(6工0)(bwO)(6工0)

周期TT*

T與T=—

10

其它特艇做，可通過(guò)畫(huà)圖直瓣蜥雕0

【典例1-1］（23-24高一下?北京?期中）下列函數(shù)中，周期為兀且在，gj上單調(diào)遞增的是（）

A.y=tan|x|B.y=shi國(guó)

C.y=|sinx|D.y=|cosx|

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、正切型三角函數(shù)圖象的應(yīng)用、求正弦（型）函數(shù)的最小正周

期

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的變換規(guī)則一一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：y=tan|x|的圖象是將y=tanx在了軸右側(cè)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng)過(guò)去，了軸及V軸右側(cè)部分

不變，

所以〉=tan|x|不具有周期性，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：V=sin|x|的圖象是將y=sinx在》軸右側(cè)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)過(guò)去，V軸及V軸右側(cè)部分不變,

函數(shù)圖象如下所示：

所以了=而聞不具有周期性，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：y=binx|的圖象是將y=sinx在x軸下方部分關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)上去，x軸及x軸上方部分保持不變,

函數(shù)圖象如下所示：

又y=sinx的最小正周期為2兀，所以＞=|sinx|的最小正周期為兀，

又了=$出》在（0,]]上單調(diào)遞增且函數(shù)值為正，所以y=binx|在（0,]]上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D：y=|cos?的圖象是將丁=cosx在x軸下方部分關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)上去，x軸及x軸上方部分保持不變,

函數(shù)圖象如下所示：

又了=??》的最小正周期為2兀，所以y=|cosx|的最小正周期為久,

又了=3》在/句上單調(diào)遞減且函數(shù)值為正，所以尸|cosx|在10句上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；

故選：C

【典例1-2］（23-24高一上?福建廈門(mén)?階段練習(xí)）以下函數(shù)中最小正周期為兀的個(gè)數(shù)是（）

y=|sinx|y=sin|x|y=cos|x|y=tan—

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用、求

正切（型）函數(shù)的周期

【分析】對(duì)于A,直接畫(huà)出函數(shù)圖象驗(yàn)證即可；對(duì)于BCD,舉出反例推翻即可.

【詳解】畫(huà)出函數(shù)＞=|sinx|的圖象如圖所示：

y=sinx

由圖可知函數(shù)》=|sinx|的最小正周期為兀，滿(mǎn)足題意；

對(duì)于＞=〃x）=sinW而言，/0=si唱=1?l=siny=/（＞“即函數(shù)V=/（x）=sinW的最小正周

期不是兀，不滿(mǎn)足題意；

對(duì)于y=f（x）=cos忖而言,/（o）=cos|o|=1*-1=cos同=/（7t+0）,即函數(shù)V=〃x）=cos,1的最小正周期

不是兀，不滿(mǎn)足題意；

對(duì)于y=/（x）=tang而言，f［^\=tanytan:+兀］,即函數(shù)y=/（x）=tang的最小

213J633\3）2

正周期不是兀，不滿(mǎn)足題意；

綜上所述，滿(mǎn)足題意的函數(shù)的個(gè)數(shù)有1個(gè).

故選：A.

【變式1-1］（22-23高一下?北京西城?期末）下列函數(shù)中，最小正周期為兀且是偶函數(shù)的是（）

A..y=smIx+—IB.＞=tanx

C.y=cos2xD.y=sin2x

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求正切（型）函數(shù)的周期、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求余

弦（型）函數(shù)的最小正周期

【分析】由三角函數(shù)的最小正周期公式和函數(shù)奇偶性對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,y=sin(x+：]的最小正周期為：?=牛=2兀，故A不正確；

7T

對(duì)于B,V=tanx的最小正周期為：丁=丁=兀，

y=tanx的定義域?yàn)閇xxw]+析，左eZ，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令〃x)=tanx,

則/(一力=12!1(-芯)=-1211工=-〃制，所以〉=tanx為奇函數(shù)，故B不正確；

2兀

對(duì)于C,y=cos2x的最小正周期為：T==7i,

令g(x)=cos2x的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

則8(-力=<:。5(-2*)=<：002天=8(*),所以y=cos2x為偶函數(shù)，故C正確；

2兀

對(duì)于D,>=sin2x的最小正周期為：7=5=兀，

y=sin2x的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，令/z(x)=sin2x,

ppj〃(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-〃(x),所以y=sin2x為奇函數(shù)，故D不正確.

故選：C.

【變式1-2](23-24高一上?北京豐臺(tái)?期末)函數(shù)/")=5也日05、-5)則()

A./(x)是最小正周期為2Tl的奇函數(shù)B./(x)是最小正周期為2兀的偶函數(shù)

C./(X)是最小正周期為7T的奇函數(shù)D./(X)是最小正周期為7T的偶函數(shù)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求余弦(型)函數(shù)的奇偶性、求余弦(型)函數(shù)的最小正周期、誘導(dǎo)公式五、六、三角恒等變

換的化簡(jiǎn)問(wèn)題

【分析】對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)得/(x)=|sinx『，然后利用正弦三角函數(shù)的性質(zhì)從而求解.

【詳解】對(duì)A、C：由題意得/(x)=sinxcos[x-3=sin2x=g(l-cos2x),定義域?yàn)镽,

所以/(-x)=；[l-cos2(-x)]=；(l-cos2x)=〃x),所以/(久)為偶函數(shù)，故A、C錯(cuò)誤；

對(duì)B、D：函數(shù)f(x)的最小正周期為2千兀=兀，故B錯(cuò)誤，D正確，

故選：D.

題型03對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心

【解題規(guī)律?提分快招】

JT

⑴函數(shù)V=Zsin（0x+。）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸由0x+0=左乃+萬(wàn)（左eZ）解得，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)由

ox+0=左乃（左eZ）解得；

（2）函數(shù)y=Acos（（t>x+9）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸由0X+。=左萬(wàn)（左eZ）解得，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)由

JI

①x+（p=k兀+—（左wZ）解得；

2

k冗

（3）函數(shù)y=Ntan（0x+。）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心由（yx+0=；-左eZ）解得.

【典例1-11（24-25高三上?北京?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/Gj=fsin0x+cos0x?>0,。>0）的最小正周期為

兀，最大值為行，則函數(shù)/（x）的圖象（）

A.關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于直線(xiàn)x=E對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)中心、輔助角公式

【分析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期性求出。，根據(jù)最值求出"再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性逐一判

斷即可.

【詳解】f（x）=tsincox+coscox=y/t2+1sin^a>x+（p）,其中tan0=：,

因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為兀，

所以臼=兀，解得。=2,

（D

因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為血，

所以+1=&,解得￡=1（才=_1舍去），

所以/（x）=sin2x+cos2x=41sin+:1,

因?yàn)?

所以函數(shù)圖象不關(guān)于直線(xiàn)x=-弓對(duì)稱(chēng)，也不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故AB錯(cuò)誤；

因?yàn)?=&，

所以函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x=?對(duì)稱(chēng)，不關(guān)于點(diǎn)0對(duì)稱(chēng)，故c正確，D錯(cuò)誤.

O<o

故選：C.

【典例1-2］（24-25高三上?北京海淀?階段練習(xí)）若函數(shù)y（x）=Ncosx-sinx（N>0）的最大值為2,則

A=,/（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為

【答案】G與（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】求cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)中心、輔助角公式、由cosx（型）函數(shù)的值域（最值）求參

數(shù)

【分析】根據(jù)輔助角公式對(duì)函數(shù)/（X）進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)最大值求出A,最后利用余弦型函數(shù)求出對(duì)稱(chēng)中

心.

【詳解】由/（x）=4cosx-sinc=J4」+1cos（x+0）,其中tane二；,

又函數(shù)/（X）的最大值為2,則J/+1=2,

又N>0,貝U/=G，tan（p=,不妨取夕=：,

36

故/（x）=2cos（x+2，

則/（x）的對(duì)稱(chēng)中心滿(mǎn)足xH—=—Fkn,左eZ,解得x=—I-ku,左eZ,

623

即/（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（§+左兀，。），左EZ,

則/（X）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心可為：［1,0）

故答案為：百，（答案不唯一）

【變式1-1］（24-25高二上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=2cosLx+jj（?>0）的部分圖象如圖所

示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.CD-I

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)苫=5?7r對(duì)稱(chēng)

C.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)］|,o］中心對(duì)稱(chēng)

27rjr

D.函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為kK-—,kn--化eZ）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求cosx（型）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)中心、由余弦（型）函數(shù)的周

期性求值

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)圖象可得7=兀，可得。=2,即可判斷選項(xiàng)A的正誤；利用＞=cosx的性質(zhì)，整體代

入法，直接求出/'（x）=2cos，x+；）的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心及單調(diào)區(qū)間，即可判斷出選項(xiàng)B,C和D的正誤.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由圖知］？=?一（一合］=學(xué)，得到7=番=兀，又。＞0,則。=2,所以選項(xiàng)A正確，

43112J4倒

對(duì)于選項(xiàng)B,由2》+二=加，^x=---,左eZ,當(dāng)左=2時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為x=2,所以選項(xiàng)B正確，

3266

對(duì)于選項(xiàng)C,由2x+［=：+E,得尤=勺+卷水eZ,當(dāng)后=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)中心為I*,。］,所以選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,由2kliW2xH—?2kn+7i,得/CJIWxWkit-\—,

363

所以〃X）的單調(diào)遞減區(qū)間為E-+gWeZ）,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

o3_

故選：D.

【變式1-2］（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=tan（0x+ej0＞0,闡圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)

中心間的距離為兀，若/（。）=1,則函數(shù)〃x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（）

A.加B?加C.feo）D.（兀,。）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求正切（型）函數(shù)的周期、求正切（型）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心

【分析】由周期公式和正切函數(shù)的取值得到函數(shù)表達(dá)式，再利用換元法求出正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心；

【詳解】由題可得］T=兀，7=2兀，又。＞0,所以。="兀=51，

所以/（x）=tan］；x+°j,貝/（0）=tan。=1,

71

則夕=歷1+—,左wZ,

4

又貝=故/（x）=tan（；x+：j.

x+—=—,AeZ,解得x=E-四，左eZ.

2422

結(jié)合選項(xiàng)可得當(dāng)后=1時(shí)，

故。,o）是/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心.

故選：B.

【變式1-3］（24-25高三上?北京朝陽(yáng)?階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=2sin（2x+W，則下列命題正確的是（）

A.“X）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)

B.仆）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

TT

c.“X）在0,-上為增函數(shù)

D.f（x）的圖象向右平移自個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)中心、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的

單調(diào)性

【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)驗(yàn)證依次判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,/C）=2sin（g+3=2sin兀=0片±2,y=/（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)不對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由，。=2sin［+［=2sing=ew0,得y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)［可不對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由0,—,得+,

TT

由正弦函數(shù)性質(zhì)知了=/（x）在區(qū)間0,—上單調(diào)遞增，C正確；

對(duì)于D,7（x）=2sin|^2x+^圖象向右平移5個(gè)單位得到

g（x）=2sin2卜-力［+］=2si“2x+jwg（-x）,故g（x）不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：C

題型04奇偶性

【解題規(guī)律?提分快招】

JI

（1）函數(shù)y=Nsin（0x+。）是奇函數(shù)=。=左乃（左eZ）,是偶函數(shù)Q0=左1+萬(wàn)（左eZ）；

JI

（2）函數(shù)y=Zcos（（yx+。）是奇函數(shù)=0=左乃+萬(wàn)（左eZ）,是偶函數(shù)=（左eZ）；

（3）函數(shù)y=Ntan（@x+。）是奇函數(shù)=。=bz'（左eZ）.

*真椀m72425謫三王事言「喬葭分為5一不前函藪市廠(chǎng)比天截泊R函寄函及層一廠(chǎng)了一

A.y=x2+1B.y=tanxC.y=2xD.y=x+sinx

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求正弦（型）函數(shù)的奇偶性、求正切（型）函數(shù)的奇偶性

【分析】根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的定義域及奇偶性判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)y=/+l的定義域?yàn)镽,為偶函數(shù)；

對(duì)于B,函數(shù)＞=tanx的定義域?yàn)?x卜w|■+配,左ez},為奇函數(shù)；

對(duì)于C,函數(shù)＞=2,的定義域?yàn)镽,為非奇非偶函數(shù)；

對(duì)于D,函數(shù)＞=x+sinx的定義域?yàn)镽,

因?yàn)椋?x,y=sinx為奇函數(shù)，所以函數(shù)夕=x+sinx為奇函數(shù).

故選：D.

【典例1-2］（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且其圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)的是（）

A.y=cos^2x+-|-^B.y=sin^2x+^

C.y=cos（x+7t）D.y=sin（x+ir）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的奇偶性、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸及對(duì)稱(chēng)中心、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值

一一誘導(dǎo)公式、求余弦（型）函數(shù)的奇偶性

【分析】利用誘導(dǎo)公式逐一化簡(jiǎn)可判斷奇偶性，然后代入驗(yàn)證判斷對(duì)稱(chēng)性即可.

【詳解】對(duì)于A,y=cos［2x+5］=-sin2x為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,y=sin12x+|^=c°s2x為偶函數(shù)，

因?yàn)閏os（2義:卜os］=0,所以ksin（2x+］的圖象關(guān)于點(diǎn)冷0）對(duì)稱(chēng)，B正確;

對(duì)于c,y=cos（無(wú)+7i）=-cos尤為偶函數(shù)，

因?yàn)?COS￡=-￥，所以不是y=C0S（X+7T）的對(duì)稱(chēng)中心，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,歹=5畝（工+兀）=一5畝1為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：B

冗7T

【變式（233高一下?北京?期中）函數(shù)昨滿(mǎn)-彳內(nèi)界-/是,）

A.最小正周期為的偶函數(shù)B.最小正周期為兀的偶函數(shù)

jr

C.最小正周期為5的奇函數(shù)D.最小正周期為兀的奇函數(shù)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的余弦公式、求正弦（型）函數(shù)的奇偶性

【分析】由二倍角公式、誘導(dǎo)公式得N=sin2x,結(jié)合三角函數(shù)的周期性、奇偶性即可判斷.

［詳角星］V=cos2（x--sin2（x--^）=cos12x-j=sin2x,

由于sin（-2x）=-sin2x,且夕=$也2工的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，

所以y=sin2x是奇函數(shù)，

注意到它的周期為2?兀=%.

2

故選：D.

【變式1-2］（23-24高一下?北京順義?期中）下列函數(shù)中，最小正周期為兀且是偶函數(shù)的是（）

A.y=cos2xB.y=tanxc.y=sin（x+：］D.y=sin2x

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的奇偶性、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的最小正周

期、求正切（型）函數(shù)的周期

【分析】借助三角函數(shù)得周期性與對(duì)稱(chēng)性逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】對(duì)A：T=一=2,又了=8$2尤是偶函數(shù)，故A正確；

71

對(duì)B：V=tanx為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：）=sin（x+e］周期為2兀，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：y=sin2x為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式1-3］（23-24高一下?北京?期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（ogj單調(diào)遞增的是（）

A.y=tanxB.y=sinxC.>=cosxD.y=xsinx

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求正切（型）函數(shù)的奇偶性、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷排除AB,再由單調(diào)性排除C的可得.

7T

【詳解】由三角函數(shù)性質(zhì)知選項(xiàng)AB中函數(shù)都是奇函數(shù)，C中函數(shù)是偶函數(shù)，但它在（0,萬(wàn)）上是減函數(shù)，也

排除，只有D可選，

實(shí)際上，記〃x）=xsinx,

貝1J/（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x）,它是偶函數(shù)，

兀71

又設(shè)0<再<%2<5，貝|0<sinXi〈sin%,因此再sin玉<馬sin%,即/（芯）</（%），/（%）在（。母上是增函

數(shù)，滿(mǎn)足題意.

故選：D.

題型05最值與值域（可化為一元二次函數(shù)型）

【解題規(guī)律?提分快招】

通過(guò)撞元「轉(zhuǎn)筋歷二元三次函藪錄值城;注熹換元后百變量的取值皰國(guó)一……一

【典例1-1］（23-24高一下?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程1-siif%-sinx+2。=0在（0,—］上有解,

那么實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

A.a<—B.—VaV0C.——D.——<a<0

82222

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx（型）的二次式的最值

【分析】根據(jù)給定條件求出sinx的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)求出值域得解.

TTTT

【詳解】方程1—si/x—sinx+Z。=0在（0,萬(wàn)]上有解，即2a=sit?x+sinx—l在（0,萬(wàn)]上有解，

令"sinx,/￡（0,1],貝仃=?+”1=。+；）2一（￡（一11],即一1<2QW1,

所以一!

22

故選：C

【典例1-2]（23-24高一下?上海浦東新?期中）函數(shù)〃x）=tan2x-tanx,xe的最大值與最小值之

和為.

【答案】4

4

【知識(shí)點(diǎn)】求含tanx的二次式的最值、求正切（型）函數(shù)的值域及最值

JT冗

【分析】換元法求函數(shù)值域，首先令tanx=L根據(jù)xe得進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)即可求解.

TTJT

【詳解】令tanx=f,,.,XG,fe[-1,1],

44jL」

貝lj>=/-/=因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為t=

所以）=廣一，在江-1,1上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)？=-1時(shí)，J^max=2,當(dāng)”;時(shí)，ym.n=-1,

17

函數(shù)/（X）=tai?X-tanx的最大值與最小值之和為2-a="

7

故答案為：—.

4

【變式1-1]（23-24高一下?江蘇常州?期末）函數(shù)/（x）=cos2x-4sinx-l的值域是（）

A.（-*2]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-6,2]

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx（型）的二次式的最值、二倍角的余弦公式

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為〃元）=-2（sinx+l）2+2,結(jié)合正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

22

【詳解】由函數(shù)/（x）=cos2x-4sinx-l=-2sinx-4sinx=-2（sinx+1）+2,

因?yàn)閟inxe[-1,1],

所以當(dāng)sinx=T時(shí)，可得/'（x）1Mx=2；當(dāng)sinx=l時(shí)，可得/（x）1nhi=-6,

所以函數(shù)/（x）的值域?yàn)閇-6,2].

故選：D.

【變式1-2](22-23高一下?江蘇揚(yáng)州?期中)函數(shù)/(幻=(：052》-685》+2的值域是().

777

A.[--,+<?)B.[--,-3]C.[-3,9]D.[--,9]

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求含cosx的二次式的最值、二倍角的余弦公式

【分析】首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成二次函數(shù)的形式，進(jìn)一步利用余弦函數(shù)的值域求出/(x)的值域.

【詳解】由題意可知：/(x)=cos2x-6cosx+2=2cos2x-6cosx+l=2^cosx--1^-g,

由于-IWCOSXVI,所以當(dāng)cosx=l時(shí)，函數(shù)y(x)疝n=-3,

當(dāng)cosx=-l時(shí)，函數(shù)/(x)1rax=9,

所以函數(shù)“X)的值域?yàn)閇-3,9].

故選：C.

【變式1-3](24-25高一上?上海■課后作業(yè))函數(shù)y=sin2x+2cosx,xe，])值域是.

【答案】(1,2)

【知識(shí)點(diǎn)】求含cosx的二次式的最值

【分析】由題意可得cosxe(0,1),又昨_(cosx-iy+2,可求值域.

【詳解】因?yàn)樗詂osxe(0,l),

>=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2e(1,2),

所以函數(shù)〉=sin2x+2cosx,x￡J值域是。,2).

故答案為:(L2)

題型06圖象平移與伸縮變化

【解題規(guī)律?提分快招】

(1)不詼變函直互

(2)改變函數(shù)名(結(jié)合誘導(dǎo)公式變形)

一【云麗]一(24125一看三王京熹二瓶金牙丁函富旬法藪]1友/37碼畝豪二反葡落南藪)二益3；一，益31

的圖象()

A.向左平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度

44

C.向左平移聯(lián)個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移聯(lián)個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過(guò)程、輔助角公式

【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)〉=sin3x-cos3x,然后根據(jù)三角函數(shù)解析式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.

［詳解】因?yàn)椋?sin3x-cos3x=A/2sin,

所以將其圖象向左平移聯(lián)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得）=V^sinx+去］一;=41sin3x.

故選：C.

【典例1-2］（23-24高一上?北京大興?期末）要得到函數(shù)y=的圖象，只需將函數(shù)7=sinx圖象

上的所有點(diǎn)（）

A先向右平吃個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍

B先向右平移%單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)呢

C.先向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍

O

D.先向右平移慨個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;

ON

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過(guò)程

【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移，伸縮的變換規(guī)律，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)＞=sinx圖象上的所有點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)＞=5畝［-仁），

再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函

故選：A

【變式1-1］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=sinLx-^j（xeR,。＞0）的最小正周期為

兀.將＞=/（x）的圖象向左平移。（夕＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于7軸對(duì)稱(chēng)，則。的一個(gè)值是（）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式

【分析】

根據(jù)函數(shù)的周期求。，結(jié)合三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

函數(shù)/（x）=sin[ox-力（xeR,0>O）的最小正周期為兀，

2.

——=71,得0=2,貝!J/(x)=sin(2x-T),

CD4

將歹=/?的圖象向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于V軸對(duì)稱(chēng),

JTJT

貝歹=sin[2(x+0)一R=sin(2x+2^>--),

;圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

_71Tl,,r

2。-1=耳+初c,4eZ

r，,13兀E,一

貝1夕=胃+q~，keZ,

o2

當(dāng)左=1時(shí)，9=?+^=?，當(dāng)左=0時(shí)，(p

o2o

故選：B.

【變式1-2123-24高一下,北京東城?期中）把函數(shù)>=si"的圖象向左平移;個(gè)單位后，再把圖象上所有點(diǎn)

的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的縱坐標(biāo)不變，則所得函數(shù)圖象的解析式為（）

C.y=sin^3x+yjD.y=sin^3x+-^-j

【答案】c

【知識(shí)點(diǎn)】求圖象變化前（后）的解析式

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解即可.

【詳解】把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移;個(gè)單位后，y=sin（x+；J,

再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的；，縱坐標(biāo)不變，得y=41113工+5

故選：C

【變式1-3]（23-24高三上?北京通州?期中）已知函數(shù)/（x）=Ncos（2x+°）（/>0,網(wǎng)<無(wú)）是奇函數(shù)，且

3兀

-1,將/（無(wú)）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

g（x）,則（）

A.g(x)sinxB.g(x)=-sinx

71

C.g(x)=cosX+-D.g(x)=cos

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】由余弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知9=]+瓶化eZ）,|同<71,

所以0=］或0=_］,

3兀-cosg+0