彈性力學(xué) 課件 第9章-等截面直桿的扭轉(zhuǎn)

彈性力學(xué)配套教材：馬宏偉、張偉偉主編《彈性力學(xué)》，高等教育出版社，2024.12等截面直桿的扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力和位移01扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬法02橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)03矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)04薄壁桿的扭轉(zhuǎn)05扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力和位移01Polynomialsolution問題的提出：（1）等截面直桿，截面形狀可以任意；（2）兩端受有大小相等轉(zhuǎn)向相反的扭矩M；求：桿件內(nèi)的應(yīng)力與位移？

1.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)求解方法：按應(yīng)力求解；半逆解法（3）兩端無約束，為自由扭轉(zhuǎn)，不計體力

；材料力學(xué)結(jié)果：（1）（∵自由扭轉(zhuǎn)）（2）側(cè)表面：扭轉(zhuǎn)問題的未知量：——

由材料力學(xué)中某些結(jié)果出發(fā)，求解。扭轉(zhuǎn)問題的基本方程平衡方程：考慮扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力、體力特點：（a）——扭轉(zhuǎn)問題的平衡方程代入平衡方程，得：考慮相容方程：扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的相容方程代入邊界條件：（1）側(cè)面：（2）端面：（1）側(cè)表面：0000000000

（1）側(cè)表面：0000000000表明：在桿件的側(cè)面上（橫截面的邊界上），應(yīng)力函數(shù)

Φ

應(yīng)取常數(shù)。對單連體（實心桿）可?。簩τ诙噙B體（空心桿）問題，Φ在每一邊界上均為常數(shù)，但各個常數(shù)一般不相等，因此，只能將其中的一個邊界上取Φs=0，而其余邊界上則取不同的常數(shù)，如：Ci——由位移單值條件確定。（2）上端面：00000000由圣維南原理轉(zhuǎn)化為：（a）（b）（c）求解(a)式，有：同理，對式（b），應(yīng)有：對式（c）：yCD分部積分，得：yCD同理，第二部分有：將其代入式（e）：所以：結(jié)論：等直桿的扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為解下列方程：泛定方程：定解條件：應(yīng)力分量：——應(yīng)力函數(shù)法由物理方程，得：代入幾何方程，有（f）

2.扭轉(zhuǎn)的位移與變形積分前三式，有：代入幾何方程后三式，有：只是x,y的函數(shù)f1和

f2都是z的一次函數(shù)

f2是

x

的一次函數(shù)f1是

y

的一次函數(shù)又由：得：從中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、

x、

y、

z

和以前相同，代表剛體位移。若不計剛體位移，只保留與變形有關(guān)的位移，則有將其用極坐標(biāo)表示：由將位移分量代入上式，有：由此可見：對每個橫截面（z=常數(shù)）它在xy面上的投影形狀不變，而只是轉(zhuǎn)動一個角度

=Kz。K

——單位長度桿件的扭轉(zhuǎn)角

。將其代入：有：將兩式相減，得：將其對照式：可見：實際問題中，K可通過實驗測得。小結(jié)：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭轉(zhuǎn)問題應(yīng)力的求解Φ（x，y）——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)的確定——側(cè)面邊界條件——桿端邊界條件——相容方程1.扭轉(zhuǎn)問題按應(yīng)力求解的基本方程——應(yīng)力函數(shù)法應(yīng)力的確定K

——單位長度桿件的扭轉(zhuǎn)角3.扭轉(zhuǎn)問題桿件位移與變形——桿件的抗扭剛度或：——扭轉(zhuǎn)桿件的變形——扭轉(zhuǎn)桿件的位移扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬法02Calculationofdisplacementcomponents1.薄膜比擬概念比擬的概念：如果兩個物理現(xiàn)象，具有以下相似點：（1）泛定方程；（2）定解條件；

則可舍去其物理量本身的物理意義，互相求解確定。扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬：——由普朗特爾（Prandtl.,L.）提出

薄膜在均勻壓力下的垂度z

，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)Φ，在數(shù)學(xué)上相似（泛定方程相似、定解條件相似）。因此，可用求薄膜垂度z

變化規(guī)律的方法來解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題?！まD(zhuǎn)問題的薄膜比擬方法。——為扭轉(zhuǎn)問題提供了一種實驗方法

設(shè)一均勻薄膜，張在水平邊界上，水平邊界與某受扭桿件截面的邊界具有相同的形狀和大小，薄膜在微小的均勻壓力下，各點發(fā)生微小的垂度z。有關(guān)薄膜假定：

不能受彎矩、扭矩、剪力作用，只能受張力FT

（單位寬度的拉力）作用。

取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如圖，ab邊上拉力：ab邊上拉力在

z軸上投影：cd邊上拉力：cd邊上拉力在

z軸上投影：ad邊上拉力：ab邊上拉力在

z軸上投影：bc邊上拉力：bc邊上拉力在

z軸上投影：2.薄膜比擬方法在

z

方向上外力：兩邊同除以dxdy，整理得：或：邊界條件：

式

和

變?yōu)椋海╝）由平衡條件：表9.1薄膜垂度函數(shù)與扭桿應(yīng)力函數(shù)對照表

扭桿應(yīng)力函數(shù)薄膜垂度函數(shù)滿足的微分方程

（相容方程）也可變形為：邊界條件

（側(cè)面邊界條件）

（薄膜邊界條件）（端面邊界條件）構(gòu)造z的雙重積分V表示薄膜與底面形成幾何體的體積

當(dāng)薄膜與扭桿橫截面具有相同的邊界時，變量：與決定于同樣的微分方程與邊界條件，因而，兩者應(yīng)有相同的解答。并有：（9-12）3.扭矩M、截面上的剪應(yīng)力與薄膜體積、斜率的關(guān)系薄膜與邊界平面間的體積為：由式（c）:（c）得到:代入上式，有:由式：得到：（d）

或扭矩M與薄膜體積的關(guān)系截面剪應(yīng)力與薄膜斜率的關(guān)系

由可得：其中：表示薄膜垂度z

沿y方向的斜率。同理，有得結(jié)論：當(dāng)薄膜受均布壓力q作用時，使得：

由于x、y軸方向是可以取在扭桿橫截面上任意兩互相垂直的方向，因而可得到如下推論：

(1)該扭桿的應(yīng)力函數(shù)

，等于該薄膜的垂度z。(2)該扭桿所受的扭矩M，等于該薄膜發(fā)生垂度后形成體積的2倍，即2V。(3)該扭桿橫截面上某一點處的切應(yīng)力(沿x方向)，等于薄膜上對應(yīng)點處的沿y方向上斜率

，而沿方向的切應(yīng)力

，等于薄膜上對應(yīng)點處沿x方向的斜率的相反數(shù)

。則得：（1）（2）（3）橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)03SimplysupportedbeamssubjectedtouniformlydistributedloadsxyOab1.問題的描述橢圓截面直桿：長半軸為a，短半軸為b，受扭矩M

作用。求：桿中的應(yīng)力與位移。2.問題的求解求應(yīng)力函數(shù)Φ根據(jù)：及橢圓截面方程：可假設(shè)：（a）（b）式中：m為待定常數(shù)。將其代入方程：得到：（c）利用方程：（c）利用方程：（d）式中：代入式（d）,有：可求得：（e）xyOab（e）（c）將其代入式（e）,得：（f）至此，Φ

滿足所有的條件：求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（2）合剪應(yīng)力：xyOab求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（2）合剪應(yīng)力：（3）最大、最小剪應(yīng)力：對上式求極值，當(dāng)

當(dāng)a=b時，與材料力學(xué)中圓截面結(jié)果相同。xyOab求桿的形變與位移xyOabABCD由得到：——桿件單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角位移分量由可求得：（f）xyOabABCD比較兩式，得：對其分別積分，得：式中：w0為常數(shù)，代表剛體位移。若不計剛體位移，則有：表明：（1）扭桿的橫截面并不保持平面，而翹曲成曲面。（2）曲面的等高線在xy面上的投影為雙曲線，其漸近線為x、y軸。（3）僅當(dāng)a=b時（圓截面桿），才有w=0，橫截面保持平面。矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)04WedgebodyissubjectedtogravityandliquidpressureyxOAa/2a/21.問題：圖示矩形截面桿：a、b、M

（1）

（2）兩種情形：a>>b；求：桿的應(yīng)力與位移。2.問題的求解（1）a>>b情形：——狹長矩形一般情形；求應(yīng)力函數(shù)Φ∵a>>b，由薄膜比擬可以推斷，應(yīng)力函數(shù)Φ

絕大部分截面幾乎不隨x變化，即不受短邊約束的影響，對應(yīng)的薄膜幾乎為一柱面?！嗫梢越频厝。憾鹤?yōu)椋簩ι鲜椒e分，有：利用邊界條件：可求得：（a）利用式：積分求得：（b）（c）求剪應(yīng)力（1）剪應(yīng)力分量：（2）最大剪應(yīng)力：yxOAa/2a/2桿件的變形單位長度扭轉(zhuǎn)角：由式：此時應(yīng)力函數(shù)Φ

可表示為：（d）（2）任意情形（a/b=任意值

）：求應(yīng)力函數(shù)Φ基本方程與邊界條件：此時應(yīng)力函數(shù)Φ

為一般函數(shù)：求解思路：對狹長矩形結(jié)果，進行修正。將Φ分解成兩部分，即：其中：Φ

1為狹長矩形的應(yīng)力函數(shù)，即：（e）（f）（g）yxOAa/2a/2（g）調(diào)整函數(shù)F，使其滿足邊界條件：將式（g）代入方程：得到：因為：∴有：（h）表明：F

應(yīng)為一調(diào)和函數(shù)。原問題轉(zhuǎn)化為：（i）

由問題的對稱性，F(xiàn)應(yīng)為x、y的偶函數(shù)。滿足上述條件的函數(shù)只能是：（j）yxOAa/2a/2現(xiàn)在放松條件a>>b,應(yīng)力函數(shù)增加一個F,如將式（j）代入式（i）第二式，得：原問題轉(zhuǎn)化為：（i）滿足上述條件的函數(shù)只能是：（j）將上式右邊為級數(shù)，并比較兩邊系數(shù)，有yxOAa/2a/2代入函數(shù)F，有最后確定應(yīng)力函數(shù)

為：（k）yxOAa/2a/2求最大剪應(yīng)力：

由薄膜比擬可以斷定，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形橫截面長邊的中點（如點A：x=0,y=

b/2）,其大小為：（l）單位長度扭轉(zhuǎn)角K：應(yīng)用式：yxOAa/2a/2（m）代入式（l）,得最大剪應(yīng)力公式：（n）將上述兩公式表示成：式中：、1僅與a/b

有關(guān)，可列表查得。yxOAa/2a/2系數(shù)、1表：a/b

1a/b

11.00.1410.2083.00.2630.2671.20.1660.2194.00.2810.2821.50.1960.2315.00.2910.2912.00.2290.24610.00.3120.3122.50.2490.258∞0.3330.333正方形截面桿（a=b）翹曲后截面變形的等高線如圖：實線表示向上翹曲（凸）；虛線表示向下翹曲（凹）。薄壁桿的扭轉(zhuǎn)05Seriessolution1.開口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)分類：（1）開口薄壁桿件；（2）閉口薄壁桿件?！獌H討論其自由扭轉(zhuǎn)。假定：（1）由于桿件壁厚b很薄，可近似視其為狹長矩形的組合；（2）曲的狹長矩形與同長度、寬度的直狹長矩形差別不大。扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與變形：

設(shè)ai、bi

分別為扭桿橫截面的第i個狹長矩形的長度和寬度，Mi為該矩形面積上承受的扭矩（為整個橫截面上扭矩的一部分），

i代表該矩形長邊中點附近的剪應(yīng)力，K代表該扭桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角，則狹長矩形的結(jié)果，有扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力與變形：

設(shè)ai、bi

分別為扭桿橫截面的第i個狹長矩形的長度和寬度，Mi為為該矩形面積上承受的扭矩（為整個橫截面上扭矩的一部分），

i

代表該矩形長邊中點附近的剪應(yīng)力，K

代表該扭桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角，則狹長矩形的結(jié)果，有（a）（b）由式（b）得：（c）該矩形長邊中點附近的剪應(yīng)力及桿件的扭轉(zhuǎn)角：整個橫截面上的扭矩為：（d）比較式（c）與式（d），有：將上式代回式（a）（b），有：

由于每個狹長矩形的扭轉(zhuǎn)角相同，所以整個橫截面的抗扭剛度為：

說明：（1）式

給出的狹長矩形中點處的應(yīng)力值精度較高；但兩個狹長矩形的連接處誤差較大，可能發(fā)生遠大于中點處的應(yīng)力。——應(yīng)力集中。（2）連接處應(yīng)力隨連接圓角的半徑

而變化，圖中給出胡斯（J.H.Huth）用差分法計算得到的結(jié)果。2.閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力：——由薄膜比擬方法分析。方法說明：

在薄壁桿橫截面的外邊界上張一薄膜，使得薄膜在外邊界上的垂度為零；