廣東省增城區(qū)四校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷（含答案）

廣東省增城區(qū)四校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足(3+4i)z=2+i，則z=（）A．25?i B．225?12．若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(?1,1)，則1z+1A．i B．?i C．-1 D．13．已知在平行四邊形ABCD中，AD=(2，6)，ABA．(?2，?5) B．(?1，?5) C．4．在△ABC中，若b=3，c=322A．無(wú)解 B．兩解C．一解 D．解的個(gè)數(shù)不能確定5．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個(gè)原理“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的一個(gè)半圓，則該幾何體的體積為（）A．3π B．3π2 C．36．如圖，一個(gè)漏斗的上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，兩部分的高相等，下面部分的體積為16A．23 B．13 C．127．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于（）A．56m B．153m C．52m D．156m8．設(shè)點(diǎn)E為正方形ABCD的中心，M為平面ABCD外一點(diǎn)，△MAB為等腰直角三角形，且∠MAB=90°，若F是線段A．ME≠DF，且直線ME、DF是相交直線B．ME=DF，且直線ME、DF是相交直線C．ME≠DF，且直線ME、DF是異面直線D．ME=DF，且直線ME、DF是異面直線二、多選題9．若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為（）A．平行 B．相交C．直線在平面內(nèi) D．相切10．已知i為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說(shuō)法中正確的是（）A．i10=?1 B．復(fù)數(shù)?2?iC．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則|z|2=z2 D．若11．已知△ABC中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.A．若b=1，c=2，A=2π3B．若b=5，B=π4，sinC．若A>B，則sinD．若A=π6，a=5，則12．如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD?A1BA．水的部分始終呈棱柱狀B．水面四邊形EFGH的面積為定值C．棱A1D1D．若E∈AA1，F(xiàn)∈BB三、填空題13．已知向量a=(?2,3),b=(3,m)，且a⊥14．已知正方體ABCD?A1B15．若正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為8，高為4，則它的側(cè)面積為.16．已知△ABC是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=3，b=4，則最大邊c的取值范圍是．（結(jié)果用區(qū)間表示）四、解答題17．知非零向量e1和e（1）如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3（（2）欲使向量ke1＋e2與e118．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知3a（1）求角B的大?。唬?）若b=1，△ABC的面積為34，求△ABC19．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C（1）求證：BD1//（2）求點(diǎn)B到平面ACE的距離．20．如圖，在△ABC中，AB=2，cosB=13，點(diǎn)D（1）若∠ADC=3π4，求（2）若BD=2DC=4，求sin∠BAD21．如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面PAD；（2）在PB上確定一個(gè)點(diǎn)Q，使平面MNQ∥平面PAD，并證明你的結(jié)論．22．已知半圓圓心為O，直徑AB=4，C為半圓弧上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）若PA=34CA?14（3）若y=PA?PO，當(dāng)y得最小值時(shí)，求點(diǎn)P

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】z=2+i故答案為：C．

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】由題得z=?1+i,∴1故答案為：B

【分析】首先由復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理即可得出答案。3．【答案】D【解析】【解答】由題設(shè)，AM=故答案為：D.

【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義可得AM→4．【答案】C【解析】【解答】由正弦定理，得bsin得sinC=因?yàn)閏<b，則C<B，故C為銳角，故滿足條件的△ABC只有一個(gè).故答案為：C.

【分析】根據(jù)正弦定理求出sinC=5．【答案】C【解析】【解答】圓錐底面周長(zhǎng)為12所以圓錐的底面半徑r=1，圓錐的高h(yuǎn)=2所以圓錐的體積為V=1由祖暅原理，該幾何體的體積也為3π故答案為：C

【分析】由圓錐底面周長(zhǎng)可求得圓錐的底面半徑r=1，圓錐的高h(yuǎn)=26．【答案】A【解析】【解答】長(zhǎng)方體與四棱錐同底等高，故長(zhǎng)方體的體積是四棱錐體積的3倍，故個(gè)漏斗的容積為16故答案為：A

【分析】長(zhǎng)方體與四棱錐同底等高，故長(zhǎng)方體的體積是四棱錐體積的3倍，即可得到答案.7．【答案】D【解析】【解答】在△BCD中，∠CBD=180由正弦定理得BCsin解得BC=152在Rt△ABC中，AB=BCtan故答案為：D

【分析】在△BCD中，由正弦定理，求得BC=152，再Rt△ABC在中，即可求得AB=158．【答案】B【解析】【解答】連接EF，如下圖所示：由題意AB⊥AD，AB⊥AM，AM=AD，AB=AB，則Rt△BAM≌Rt△BAD，所以，BM=BD，因?yàn)镋、F分別為BD、BM的中點(diǎn)，則EF//DM，因?yàn)镕M=12BM=所以，ME=DF，且直線ME、DF是相交直線.故答案為：B.

【分析】連接EF，推導(dǎo)出四邊形FMDE是等腰梯形，結(jié)合等腰梯形的幾何性質(zhì)可得結(jié)論.9．【答案】A,C【解析】【解答】如圖1所示，α與β平行，a//β，而直線a在平面如圖2所示，α與β平行，a//β，而綜上：若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為平行或直線在平面內(nèi).故答案為：AC

【分析】畫(huà)出圖形，分析出這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為平行或直線在平面內(nèi).10．【答案】A,D【解析】【解答】A：(iB：對(duì)于復(fù)數(shù)?2?i的虛部為-1，B不符合題意；C：由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，設(shè)z=bi(b∈R，則|z|2=bD：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)，則所以z?z故答案為：AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方與復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.11．【答案】A,B,C【解析】【解答】A.因?yàn)閎=1，c=2，A=2π由余弦定理得：a2=bB.因?yàn)閎=5，B=π4，sinA=解得a=bC.因?yàn)锳>B，0<A<180°，0<B<18由正弦定理，得2RsinA>2Rsin所以sinA>D.因?yàn)锳=π6，a=5，設(shè)R為由正弦定理，2R=asinA故答案為：ABC

【分析】利用余弦定理求解即可判斷A；利用正弦定理和余弦定理求解即可判斷B；利用正弦定理即可判斷C、D.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由于四邊形ABFE與四邊形DCGH全等，且平面ABFE‖平面DCGH，則由棱柱的定義可知，水的部分始終呈棱柱狀，所以A符合題意，因?yàn)锽C‖F(xiàn)G，BC⊥平面ABB1A1，所以FG⊥平面ABB1A1，因?yàn)镋F?平面ABB1A1，所以FG⊥EF，因?yàn)镕G‖EH，F(xiàn)G=EH，所以因?yàn)樗倪呅蜤FGH為矩形，所以水面四邊形容器底面一邊BC固定在底面上時(shí)，BC‖F(xiàn)G‖A1D1，所以由線面平行的判定定理可知，棱A如圖，由于水平放置時(shí)，水的體積是定值，水的高度是定值h，底面面積不變，所以當(dāng)一部分上升的同時(shí)，另一部分下降相同的高度a，設(shè)BF=h?a，則AE=h+a，所以BF+AE=h?a+h+a=2h為定值，所以當(dāng)E∈AA1，F(xiàn)∈BB故答案為：ACD

【分析】利用棱柱的定義即可判斷選項(xiàng)A，由水面四邊形EFGH的邊長(zhǎng)在變化，即可判斷選項(xiàng)B，利用線面平行的判定定理即可判斷選項(xiàng)C，由于水平放置時(shí)，水的高度是定值，從而求出AE+BF為定值，即可判斷選項(xiàng)D.13．【答案】2【解析】【解答】由題意可得?2×3+3m=0,解得m=2.

【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求出m的值。14．【答案】12π【解析】【解答】根據(jù)題意正方體的對(duì)角線為外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)為2，易得對(duì)角線長(zhǎng)度為23，所以外接球的半徑r=3，則外接球的表面積為：故答案為：12π.

【分析】正方體的對(duì)角線為外接球的直徑，進(jìn)而根據(jù)題意求出外接球的半徑r=315．【答案】100【解析】【解答】因正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為2，下底邊長(zhǎng)為8，高為4，則該正四棱臺(tái)上底、下底面邊心距分別為1，4，而正四棱臺(tái)的高、斜高、兩底面對(duì)應(yīng)邊心距構(gòu)成直角梯形，于是得斜高h(yuǎn)'因此，側(cè)面積S=4×2+8所以所求的側(cè)面積為100.故答案為：100

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，借助其高、斜高、兩底面對(duì)應(yīng)邊心距構(gòu)成的直角梯形求出斜高即可計(jì)算得解.16．【答案】（5，7）【解析】【解答】因?yàn)椤鰽BC是鈍角三角形，最大邊為c，所以角C為鈍角，在△ABC中，由余弦定理可得：cosC=a2又因?yàn)閏<a+b=7，所以5<c<7，所以最大邊c的取值范圍是：5<c<7，故答案為：（5，7）.

【分析】由題意可得C為鈍角，由余弦定理結(jié)合c<a+b，即可求解.17．【答案】（1）解：因?yàn)锽D=BC＋CD=5e1+5且AB為非零向量，所以AB與BD共線，即A，B，D三點(diǎn)共線.（2）解：因?yàn)閗e1＋e2與e1所以存在實(shí)數(shù)λ使得ke1＋e2=λ(e即(k?λ)e因?yàn)閑1和e2不共線，所以k?λ=0，【解析】【分析】（1）利用共點(diǎn)向量的共線證明三點(diǎn)共線即可；

（2）利用向量共線可得(k?λ)e1=(kλ?1)e2，又非零向量e118．【答案】（1）解：在△ABC中，由正弦定理得a=2Rsin∵3acosB=b∵A∈(0，π∴3cosB=sinB，又顯然∴tanB=3，又∵B∈(0（2）解：∵B=π3，由S△ABC在△ABC中，由余弦定理，得b∴1=(∴a+c=2，∴△ABC的周長(zhǎng)為3．【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理可得3acosB=bsinA，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系和角B的范圍即可求解；

19．【答案】（1）證明：如圖所示：連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE，∵E，O為中點(diǎn)，∴BD又BD1?平面ACE，OE?平面ACE，∴B（2）解：設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為d，在Rt△ADE中，AE=A在Rt△CDE中，CE=C∴AE=CE，又∵O為CA中點(diǎn)，∴OE⊥CA，在Rt△ABC中，CA=A則OE=A即S△AEC∵在正方體ABCD?A∵VB?AEC=VE?ABC，∴【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)線面平行判定定理，結(jié)合中位線定理，可得答案；

（2）由題意，根據(jù)等體積法VB?AEC=V20．【答案】（1）解：∵cosB=13，則B為銳角，∵∠ADC=3π4，則∠ADB=π4，在∴AD22（2）解：∵BD=2DC=4，故DC=2，BC=BD+DC=6，由余弦定理可得AC=A在△ABD中，由正弦定理可得BDsin故sin∠BAD=2在△ACD中，由正弦定理可得CDsin故sin∠CAD=∵sin∠ADB=∴sin【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理ADsinB=ABsin∠ADB，可得AD=83；

（2）由題意，根據(jù)余弦定理，求得21．【答案】（1）證明：取PB中點(diǎn)Q，連MQ、NQ，∵M(jìn)、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，∴NQ//BC，MQ//PA∵AD//BC，∴NQ//AD，∵M(jìn)Q∩NQ=Q，PA∩AD=A，∵M(jìn)Q?平面MNQ，NQ?平面MNQ，PA?平面PAD，AD?平面PAD∴平面MNQ//平面PAD，∵M(jìn)N?平面MNQ，∴MN//面PAD（2）解：由（1）可知Q在PB的中點(diǎn)上時(shí)，平面MNQ//平面PAD【解析】【分析】（1）取PB中點(diǎn)Q，連MQ、NQ，中位線定理和四邊形ABCD為平行四邊形可得MQ//PA，NQ//AD，根據(jù)平面與平面平行的判定定理可證得平面MNQ//平面PAD；故可得MN//平面PAD．（2）由（1