《彈性力學(xué)》 課件 第3章 應(yīng)變理論

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第3章應(yīng)變理論外力(或溫度變化)作用下，物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生相對運(yùn)動(dòng)。物體的這種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，稱為變形。本章任務(wù)有兩個(gè)：1、分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)；2、建立幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。2

第3章應(yīng)變理論§3.1相對位移張量§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)§3.4應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式§3.5主應(yīng)變與主方向§3.6最大切應(yīng)變八面體切應(yīng)變§3.7應(yīng)變球張量與應(yīng)變偏張量§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系§3.10平面應(yīng)變§3.11極坐標(biāo)系下幾何方程與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程3

§3.1相對位移張量

在外力作用下，物體整體發(fā)生位置和形狀的變化，一般說來各點(diǎn)的位移不同。4

如果各點(diǎn)的位移完全相同，物體發(fā)生剛體平移或平動(dòng)；

如果各點(diǎn)的位移不同，但各點(diǎn)間的相對距離保持不變，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)等剛體移動(dòng)。§3.1相對位移張量5

如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形。這種變形一方面表現(xiàn)在微線段長度的變化，稱為線應(yīng)變或正應(yīng)變；一方面表現(xiàn)在微線段間夾角的變化，稱為切應(yīng)變。§3.1相對位移張量6

§3.1相對位移張量

物體在外力的作用下產(chǎn)生變形，同時(shí)也產(chǎn)生位置的變化。（一）位移與變形-概念（1）位移在外力作用下，物體各點(diǎn)位置發(fā)生變化，即發(fā)生了位移。若物體內(nèi)各點(diǎn)發(fā)生位移后仍保持各點(diǎn)初始狀態(tài)的相對位置，則物體只發(fā)生了剛體平移和轉(zhuǎn)動(dòng)，這種位移稱之為剛體位移。（2）變形若物體內(nèi)各點(diǎn)發(fā)生位移后改變了各點(diǎn)間初始狀態(tài)的相對位置，則物體同時(shí)產(chǎn)生了形狀和大小的變化，則稱物體產(chǎn)生了變形。7

（一）位移與變形-位移矢量§3.1相對位移張量描述物體位置變化的矢量為位移矢量。上述位移矢量包含兩部分：剛體位移與變形。8

（二）相對位移張量§3.1相對位移張量平面Oxy平面內(nèi)物體相鄰兩點(diǎn)和。受力后，移動(dòng)至和。P點(diǎn)到Q點(diǎn)的矢量表示為，

點(diǎn)到的矢量表示為9

（二）相對位移張量§3.1相對位移張量在移動(dòng)過程中P點(diǎn)位移分量為：Q點(diǎn)位移分量為：矢量沿坐標(biāo)軸分量為：矢量沿坐標(biāo)軸分量為：10

（二）相對位移張量§3.1相對位移張量分析點(diǎn)P和點(diǎn)Q位移以及矢量和之間關(guān)系。將Q點(diǎn)位移分量對P點(diǎn)按泰勒級數(shù)展開，可得：即：11

（二）相對位移張量§3.1相對位移張量根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q位移分量表達(dá)式：記矢量和變位前后變化量為，則：12

（二）相對位移張量§3.1相對位移張量因此矢量在變位前后，其位移分量變化量為：于是有：13

（二）相對位移張量§3.1相對位移張量即：點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間相對位移分量可用上式表達(dá)。其系數(shù)矩陣組成的張量稱為相對位移張量。二維情況下：表示由當(dāng)為1和2時(shí)對的偏導(dǎo)數(shù)組成的張量。三維情況下：14

（一）應(yīng)變張量-數(shù)學(xué)定義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量分解二維相對位移張量，如下：對稱張量反對稱張量物體變位過程中發(fā)生變形的應(yīng)變張量物體剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量15

（一）應(yīng)變張量-數(shù)學(xué)定義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量三維相對位移張量軸向(縱向)應(yīng)變：g：切應(yīng)變g直角改變量六個(gè)應(yīng)變分量§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量17

（二）應(yīng)變張量-物理意義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量物體變形：線段的伸長或縮短；線段間的相對轉(zhuǎn)動(dòng)；xyOPABvu變形前變形后PABuv注：略去了二階以上高階無窮小量。18

（二）應(yīng)變張量-物理意義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量PA的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：P點(diǎn)的剪應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化xyOPABuv19

（二）應(yīng)變張量-物理意義§3.2應(yīng)變張量、幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量自學(xué)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛量20

（一）均勻應(yīng)變§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)當(dāng)位移分量u、v、w是坐標(biāo)x、y、z的線性函數(shù)，由這種位移對應(yīng)的應(yīng)變稱為均勻應(yīng)變。均勻應(yīng)變的位移分量（u、v、w

）用矩陣形式表示為：式中、、、、、、

......均為常數(shù)。21

（一）均勻應(yīng)變以等截面巖石試件的壓縮為例，如圖所示，試件的下端面與不動(dòng)的光滑剛體平面相接觸，試件內(nèi)坐標(biāo)為（、、）點(diǎn)的位移分量為：其中和均為常數(shù)，為泊松系數(shù)。在變形后，該點(diǎn)的坐標(biāo)（、、）為：§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)22

（一）均勻應(yīng)變變形前，可在彈性體內(nèi)找一圓球面方程：變形后，由式解、、并代入式，得：

式為一橢圓球面的方程?？梢姡冃吻暗膱A球面，經(jīng)過變形后為橢球面，即圓球面變成橢球面?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)23

（一）均勻應(yīng)變均勻應(yīng)變有下列性質(zhì)：各應(yīng)變分量在物體內(nèi)為常數(shù)，此即均勻應(yīng)變。變形后，物體內(nèi)的平面仍為平面。變形后，物體內(nèi)任一直線仍為直線。原平行直線變形后仍為平行直線。

兩平行直線可視為兩平行平面與另一平面的交線，由前述結(jié)論可知，兩平行平面在變形后仍為兩平行平面。它們與變形后的另一平面的交線自然仍為平行直線。正平行六面體變?yōu)樾逼叫辛骟w。

變形前的正平行六面體，經(jīng)變形后，平行面仍保持平行，由性質(zhì)（1）可知，剪應(yīng)變一般不全為零，即變形前互相垂直的平面，經(jīng)過變形后不再垂直而變成斜平行六面體。圓球面變成橢球面，證明如上?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)24

（二）剛性位移若應(yīng)變張量中六個(gè)應(yīng)變分量均為零，則微單元體的體積和形狀都不變，此時(shí)物體所發(fā)生的位移稱為剛性位移?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)25

（二）剛性位移求，應(yīng)求:u是x的常函數(shù)位移分量：§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)26

（二）剛性位移類似方法求：可得：其中，均為常數(shù)。同理可得：其中，分別表示剛體沿x、y、z

軸的平移常數(shù)，用表示?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)27

（二）剛性位移其中：p、q、r為物體繞各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角?！?.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)28

（三）純應(yīng)變?nèi)魬?yīng)變分量不等于零，而轉(zhuǎn)動(dòng)分量、、均等于零，這樣的應(yīng)變叫做純應(yīng)變。由為零，可得：此三等式是全微分的條件，這時(shí)必存在一個(gè)函數(shù)（x，y，z），使得：§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)29

（三）純應(yīng)變即：因而函數(shù)稱為位移矢量的勢函數(shù)，則位移旋度為零，即：純應(yīng)變也稱為無旋應(yīng)變§3.3幾種特殊的應(yīng)變狀態(tài)30

§3.4應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式用于求解不同坐標(biāo)系下應(yīng)變張量分量之間關(guān)系。P點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)在坐標(biāo)系Oxyz中，可用以下應(yīng)變張量表示：P點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)在坐標(biāo)系中為：31

§3.4應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式若計(jì)：則，應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式可寫作：注意，轉(zhuǎn)換矩陣中每行或每列元素平方和為1。32

（一）主應(yīng)變與主方向§3.5主應(yīng)變與主方向問題：對于某一點(diǎn)而言，是否存在一個(gè)坐標(biāo)系，使得該點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)只有正應(yīng)變分量，而剪應(yīng)變分量為零。根據(jù)斜截面應(yīng)變公式：為常數(shù)。上述方程組存在非零解，故系數(shù)矩陣行列式為零。33

（一）主應(yīng)變與主方向§3.5主應(yīng)變與主方向即特征方程為：式中：

、、為應(yīng)變張量的第一、二、三不變量。對某一點(diǎn)，其應(yīng)變張量不變量不隨坐標(biāo)變化而變化，為常數(shù)。特征方程的三個(gè)解為主應(yīng)變，主應(yīng)變代回方程，與方向余弦之和為1聯(lián)立，可得主方向。34

（二）基本性質(zhì)§3.5主應(yīng)變與主方向主應(yīng)變性質(zhì)：不變性、實(shí)數(shù)性、極值性主方向性質(zhì)：正交性在主方向空間：35

（三）示例§3.5主應(yīng)變與主方向假設(shè)某物體內(nèi)位移場如下式：式中，A為常數(shù)，確定：在點(diǎn)P（1,1,0）處主應(yīng)變。解：根據(jù)上節(jié)示例，得：36

（三）示例§3.5主應(yīng)變與主方向在點(diǎn)P（1,1,0）的應(yīng)變張量為：特征方程為：即：可得：37

§3.6最大切應(yīng)變八面體切應(yīng)變在材料屈服強(qiáng)度研究中，有時(shí)采用基于應(yīng)變的表達(dá)式。與§2.7節(jié)類似，可以得到最大剪應(yīng)變與八面體剪應(yīng)變。（一）最大剪應(yīng)變選取主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向，設(shè)主應(yīng)變?yōu)?、、，已知，則法線為的斜截面上應(yīng)變矢量大小為：正應(yīng)變?yōu)椋杭魬?yīng)變?yōu)椋寒?dāng)法線變化時(shí)，剪應(yīng)變隨之變化。最大剪應(yīng)變是在約束下的條件極值。38

（一）最大剪應(yīng)變與§2.7節(jié)求解最大剪應(yīng)力方法相同，可得最大剪應(yīng)變?yōu)椋海ǘ┌嗣骟w剪應(yīng)變八面體是由法線與主軸等夾角的八個(gè)面組成的體。八面體正應(yīng)變?yōu)椋喊嗣骟w剪應(yīng)變?yōu)椋河尚苯孛鎽?yīng)變公式可得：§3.6最大切應(yīng)變八面體切應(yīng)變39

§3.7應(yīng)變球張量與應(yīng)變偏張量（一）應(yīng)變張量分解平均主應(yīng)變：各個(gè)方向主應(yīng)變大小相同，故稱之為應(yīng)變球張量。表示物體受各向同向外部作用使得物體體積大小發(fā)生變化。稱之為應(yīng)變偏張量。表示物體受到外部各方向差異作用使得物體形狀發(fā)生變化。40

（二）應(yīng)變偏張量不變量應(yīng)變偏張量具有對稱性，可以求得應(yīng)變偏張量的主偏應(yīng)變和主方向。按照求解主偏應(yīng)力和主方向方法，可以求得偏應(yīng)變張量的特征方程為：式中，特征方程的三個(gè)解為主偏應(yīng)變，主偏應(yīng)變帶回方程，與方向余弦之和為1聯(lián)立，可得主方向。偏應(yīng)變張量與應(yīng)變張量主應(yīng)變大小之差為平均主應(yīng)變。偏應(yīng)變張量與應(yīng)變張量主方向一致?！?.7應(yīng)變球張量與應(yīng)變偏張量41

§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（一）應(yīng)變協(xié)調(diào)物體變形后仍保持其連續(xù)性和整體性。應(yīng)變協(xié)調(diào)與不協(xié)調(diào)的情況：42

（二）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程在二維情況下，有2個(gè)位移分量（、），但有3個(gè)應(yīng)變分量(

、、），因此3個(gè)應(yīng)變分量不獨(dú)立。根據(jù)幾何方程：可得：§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程43

（二）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程類似地，三維情況下：§3.8應(yīng)變協(xié)調(diào)方程44

（一）單連通體（域）和多連通體（域）定義如果物體所占的區(qū)域只有一個(gè)連續(xù)邊界，就稱此物體為單連通體（域）；反之，如果物體所占的區(qū)域多于一個(gè)連續(xù)邊界，就稱此物體為多連通體（域）。也可以把單連通體定義為沒有孔洞的物體，把多連通體定義為開有一些孔洞的物體，圖3.9-1為平面單連通體，圖3.9-2為平面多連通體，圖3.9-3為一個(gè)錨環(huán)，它是一圓環(huán)環(huán)繞與其共面但不相交的軸旋轉(zhuǎn)而成的物體。它是空間多連通體的一個(gè)例子。圖3.9-1單連通體圖3.9-2平面多連通體圖3.9-3空間多連通體§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系45

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明

對于單連通體，為什么滿足了（3.9-1）所示的協(xié)調(diào)方程后位移函數(shù)就單值連續(xù)呢？（3.9-1）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系46

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明由式（3.9-2）其中由式（3.9-3）給出，由（3.9-4）給出。（3.9-3）（3.9-4）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系47

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明由式（3.9-3）和（3.9-4）二式可得：（3.9-5）（3.9-6）（3.9-7）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系48

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明上面三式分別是位移分量、、的微分方程。若應(yīng)變分量和轉(zhuǎn)動(dòng)分量已知，求上面三式的積分，就可分別求得位移分量、、?，F(xiàn)在來證明：在求上述積分時(shí)，必須滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（3.9-1）式。

從數(shù)學(xué)分析上可知，方程是可以積分的?！?.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系49

如果A、B、C存在關(guān)系：（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明即：全微分的條件，也是線性積分與積分路線無關(guān)的條件。對單連通域，滿足這個(gè)條件后，所得積分是單值的。把上述積分的條件（3.9-8）式運(yùn)用于（3.9-5）式，此時(shí)則可積分的條件為：§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系50

利用（3.9-5）式，并經(jīng)整理后，可把上式寫為：（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明由（3.9-4）式不難驗(yàn)證：利用（3.9-9）式，化簡的第三式，將式重寫如下：（3.9-9）§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系51

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明類似地，將可積分條件（3.9-8）式分別運(yùn)用于（3.9-6）、（3.9-7）兩式，分別可得下面兩組可積分條件：從、、式得三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量、、對坐標(biāo)、、的九個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，如果應(yīng)變分量已知，則轉(zhuǎn)動(dòng)分量可以確定。§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系52

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明現(xiàn)將、、三式所示的偏導(dǎo)數(shù)重新排列如下：§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系53

進(jìn)一步對、、三式分別運(yùn)用可積分條件（3.9-8）式，[例如，對式運(yùn)用可積分條件]，并稍加整理，可分別得到如下三式：（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系54

（二）單連通體（域）協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系證明在、、三式所示的關(guān)系中，有些關(guān)系是相同的，如：式的第三式與的第二式相同。式的第二式與的第一式相同。式的第三式與的第一式相同。所以僅有六個(gè)關(guān)系式是不同的，這不同的六個(gè)關(guān)系式完全與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（3.9-1）相同，因此應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、、的必要和充分的可積分條件，也是（3.9-5）至（3.9-7）三式的必要和充分的可積分條件。因而在單連通域里如六個(gè)應(yīng)變分量已知，并滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則保證可以求得正確的位移分量。§3.9協(xié)調(diào)方程與位移單值連續(xù)關(guān)系55

§3.10平面應(yīng)變（一）平面應(yīng)變概念平面應(yīng)變是指有且僅有一個(gè)主應(yīng)變?yōu)榱愕臓顟B(tài)。例如，荷載作用在無限長擋土墻上，由于在墻厚方向約束無限大，因此，墻厚方向應(yīng)變分量全部為零。設(shè)墻厚方向?yàn)閦，則應(yīng)變張量可表示為：56

（一）平面應(yīng)變概念對具有以下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)變問題處理：（1）構(gòu)件縱向（如Z軸方向）的尺寸遠(yuǎn)大于橫向（如x,y軸方向）尺寸；（2）與縱向（z軸）垂直的各橫截面的尺寸和形狀相同；（3）所有外力均與縱軸（z軸）垂直，并且沿縱軸（z）軸沒有變化；（4）物體的約束（支承）條件不隨Z軸變化。長直堤壩、隧道圓柱形長管（受油壓、水壓）作用圓柱形長輥軸（受垂直與軸的均勻壓力）§3.10平面應(yīng)變57

（一）平面應(yīng)變概念-對比平面應(yīng)力對具有以下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)力問題處理：（1）構(gòu)件縱向（如Z軸方向）的尺寸遠(yuǎn)小于橫向（如x,y軸方向）尺寸；如等厚度薄板；（2）外力作用于周邊上，并于xoy平面平行，體積力垂直z軸；（3）由于板的厚度很小，故外力可看作沿著z軸均勻分布，且為常量。yzxytba§3.10平面應(yīng)變58

（二）應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式若坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)后應(yīng)變分量表達(dá)式：??§3.10平面應(yīng)變59

（二）應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式（三）主應(yīng)變與主方向任意斜截面上剪應(yīng)變?yōu)椋骸?.10平面應(yīng)變60

（三）主應(yīng)變與主方向主方向上剪應(yīng)變?yōu)榱悖矗嚎傻茫夯虼胝龖?yīng)變分量，得到主應(yīng)變大小為：§3.10平面應(yīng)變61