2025年 九年級數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí) 相似三角形綜合壓軸題 專題提升訓(xùn)練

2025年春九年級數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)《相似三角形綜合壓軸題》專題提升訓(xùn)練（附答案）1．如圖，在四邊形ADBC中，BA平分∠DBC，且∠BDA=∠BAC=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)F．（1）求證：AB（2）當(dāng)∠DBA=30°時(shí)，求BFBA（3）是否存在點(diǎn)F，使F是AB的三等點(diǎn)？若存在，請求出∠DBA的度數(shù)；若不存在，請說明理由；（4）求∠BDE的最大值．2．已知，如圖1，將△AED繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△BEF，延長FB到點(diǎn)C，使得BC＝FB，連接DC．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)B、C不重合），連接AG交DF于點(diǎn)H，連接HC，過點(diǎn)A作AK//HC，交DF于點(diǎn)K．①求證：HC＝2AK；②當(dāng)點(diǎn)G是BC邊中點(diǎn)時(shí)，恰有HD＝n?HK（n為正整數(shù)），求n的值．3．（1）△ABC和△CDE是兩個(gè)等腰直角三角形，如圖1，其中∠ACB=∠DCE=90°，連接AD、BE，求證：△ACD≌△BCE．（2）△ABC和△CDE是兩個(gè)含30°的直角三角形，中∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=30°，CD<AC，△CDE從邊CD與AC重合開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α0°<α<180°①如圖2，DE與BC交于點(diǎn)F，交AB于G，連接AD，若四邊形ADEC為平行四邊形，求BGAG②若AB=12，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，求BE的長．4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，AC=BC，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．（1）如圖，若CE=CF，求證：DE=DF．（2）如圖，在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中：①探究三條線段AC，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②若CE=8，CF=4，求DN+DM的長．5．如圖，已知拋物線y=12x2+bx+c與x軸相交于A?6,0，B1,0，與y（1）求該拋物線的表達(dá)式：（2）若直線l與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)Pm,n在該拋物線上，當(dāng)∠PAC=45°時(shí)，求m6．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E在DC的延長線上，連結(jié)AE交對角線BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F．（1）若CECD=2（2）求證：GA（3）若CECD=m,AEGF=n7．（1）觀察猜想：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接BD，交AC于點(diǎn)G，連接CE交BD于點(diǎn)F，則BDCE值為______，（2）類比探究：如圖3，當(dāng)∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°時(shí)，請求出BDCE的值及∠BFC（3）拓展應(yīng)用：如圖4，在四邊形ABDC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠BDC=45°．若CD=8，BD=6，請直接寫出A，D兩點(diǎn)之間的距離．8．如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，以BC為邊構(gòu)造矩形BCEF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在AD、AB上．動(dòng)點(diǎn)P在AF上從點(diǎn)F向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在射線AD上從點(diǎn)A向點(diǎn)D方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PF=2x，△APQ的面積為S，則S=?3x2+12x．當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)Q（1）求證：△AFE∽△EDC；（2）求AF和EF的長；（3）如圖2，EF=2CD，點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，且EGFG=12，連結(jié)DH、GH，當(dāng)PQ與四邊形9．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)．（1）若∠CAB=120°,∠EDF=60°，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)．①如圖1，DE⊥AC，則AECE②如圖2，若點(diǎn)E在CA的延長線上，F(xiàn)在AB的延長線上．試判斷AE,BF,AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若BE⊥AC于點(diǎn)E,BE,DA的延長線交于點(diǎn)G．若GEBE=410．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與A、B重合），連接CD，分別以AC，DC為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，連接EF．（1）當(dāng)點(diǎn)F在△ABC的外部時(shí)，求證：△ACD∽△ECF；（2）如圖1，當(dāng)D，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線時(shí)，求△ECF的面積；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，其它條件不變，連接DE，若DE//AC，求AD的長．11．如圖1，在△ABC中，AB=42（1）求邊AC的長．（2）D邊AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE//AB交邊BC于點(diǎn)E，將△CDE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)的三角形△CD′E′，連接AD①求證：△ACD②當(dāng)∠AD′C=30°③在△CD′E′旋轉(zhuǎn)的過程中，12．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，AE和BC的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是邊BC上的一點(diǎn)，且滿足BG=13BC=a，連接AG，DG，且DG與AE（1）若a=1，求ΔAOG的面積（2）當(dāng)ΔAOG是直角三角形時(shí)，求所有滿足要求的a值．（3）記SΔDOE=x，①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系．②當(dāng)∠AGO=∠DEA時(shí)，求tan∠DAE13．已知△OAB和△ODC有公共頂點(diǎn)O，∠OBA=∠OCD=30°，∠OAB=∠ODC=60°，連接AD，BC，取AD的中點(diǎn)M并連接OM．（1）如圖1，若點(diǎn)D位于線段OA上，則BCOM（2）如圖2，若點(diǎn)D位于線段OB上，①不添加其它字母和連線，直接寫出圖中除△AOB∽△DOC外的另一組相似三角形；②猜想OM與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到圖3所示位置時(shí)，線段OM，BC之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論．14．如圖（1），點(diǎn)P是菱形ABCD對角線BD上的一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰在AP的右側(cè)作等腰三角形APE，且使∠APE=∠ABC，AP=PE．（1）當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)，APAE=1時(shí)，（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)，APAE=kk≠1（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外，APAE=32，BP=6，菱形ABCD的面積為15．如圖，已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)∠ACB＝∠AED＝60°時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，則∠CEB＝°，線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)∠ACB＝∠AED＝90°時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，請判斷∠CEB的度數(shù)及線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝25，AE＝2，連接CE、BD，在△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DE⊥BD時(shí)，請直接寫出EC16．如圖，設(shè)拋物線C1:y=a(x+1)2?5,C2:y=?a(x?1)2+5,C1（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D在線段AB上，過D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，在DH的右側(cè)作正三角形DHG．記過C2頂點(diǎn)M的直線為l．且l與x軸交于點(diǎn)N①若l過△DHG的頂點(diǎn)G，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；②若l與△DHG的邊DG相交，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．17．觀察發(fā)現(xiàn)，如圖1、圖2，已知在△ABC和△CDE中，AC=6，CD=9，將△CDE固定，△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，若△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，直接判斷AD與BE之間的數(shù)量關(guān)系是______；其中BE的最大值為______．（2）如圖2，若△ABC和△CDE是直角三角形，∠DCE=∠ACB=90°，∠CDE=∠CAB=30°，判斷AD與BE之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由，并求出BE的最大值．（3）如圖3，已知在Rt△DBC中，∠DBC=90°，CD=9，以BC為直角邊向外作等腰Rt△ABC，連接AD，求出18．如圖1，現(xiàn)有矩形紙片ABCD，AB=8cm，AD=6cm．連接BD，將矩形ABCD沿BD剪開，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不變，將△BCE從圖1的位置開始，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°?α<360°．在△BCE旋轉(zhuǎn)過程中，連接AE（1）如圖2，將圖1中的△BCE旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C落在邊BD上時(shí)，邊CE與邊AB交于點(diǎn)F，則CF的長為______cm；（2）如圖3，將圖1中的△BCE旋轉(zhuǎn)到當(dāng)點(diǎn)E落在BA延長線上時(shí)，求此時(shí)AC:AE的值；（3）如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)圖3中的△BCE，當(dāng)AC=AE時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，求此時(shí)α的度數(shù)及△AEC的面積；（4）將圖4中的△BCE繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，則在某一時(shí)刻AC和AE還能相等嗎？如果不能，請說明理由，如果能，無需說明理由，請直接寫出此時(shí)△AEC的面積的值．19．在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)O是斜邊BC上的一點(diǎn)，連接AO，點(diǎn)D是AO上一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE//AB，DF//AC，交BC于點(diǎn)（1）如圖1，若點(diǎn)O為斜邊BC的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)O是線段EF的中點(diǎn)．（2）如圖2，在（1）的條件下，將△DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，連接AD，CF，請寫出線段AD和線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，若點(diǎn)O是斜邊BC的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，將△DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，連接AD、BE、CF，請求出BEAD20．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（1）如圖①，△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD,CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．求∠BFC的度數(shù)（2）已知：△ABC與△ADE的位置如圖②所示，直線BD,CE交于點(diǎn)F．直線BD，AC交于點(diǎn)H．若∠ABC=∠ADE=α，∠ACB=∠AED=β，求∠BFC的度數(shù)應(yīng)用結(jié)論：（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0)，N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK，連接NK，OK，求線段OK參考答案1．解：（1）證明：∵BA平分∠DBC，∴∠DBA=∠ABC，又∵∠BDA=∠BAC=90°，∴ΔABD∽ΔCBA，∴ABBD∴AB（2）如圖1，連接AE，∵∠BAC=90°，E為BC的中點(diǎn)，∴AE=1∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴∠2=∠3，∵BA平分∠DBC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴BD//AE，∴ΔBDF∽ΔAEF，∵∠1=30°設(shè)BC=2x，則AE=EC=AC=x，由勾股定理得，AB=3∴AD=12AB=∴BFAF∴BFAB（3）①當(dāng)BFAF則BDAE=2，即∵BD<BC，∴BFAE②當(dāng)BFFA由（2）得BD//AE，∵ΔBDF∽ΔAEF，∴BDAE設(shè)BD=x，則AE=2x，BC=4x，∵AB∴AB∴AB=2x，∵∠BDA=90°，AB=2BD，∴∠DBA=60°；（4）如圖2，連接AE，過點(diǎn)A作AM⊥BC，∵BA平分∠DBA，AD⊥BD，AM⊥BC，∴AD=AM，∵當(dāng)AM與AE重合時(shí)，AM最大，也就是AD最大，即AD的最大值為AE的長度．∴∠DEA=45°，又∵BD//AE，∴∠BDE=∠DEA=45°，∴∠BDE的最大值為45°．2．解：（1）證明：如圖1中，∵△AED繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到△BEF，∴∠ADE＝∠F，AD＝BF，∴AD//CF，∵BC＝FB，∴AD＝BC，∵AD//BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）①證明：∵BC＝FB，∴FC＝2BF，∵BF＝AD，∴FC＝2AD，∵AK//CH，∴∠AKF＝∠CHD，∴∠AKD＝∠CHF，∵∠ADK＝∠F，∴△AKD∽△CHF，∴ADCF∴CH＝2AK．②如圖2中，過點(diǎn)G作GM//DF交HC于M．∵G是BC的中點(diǎn)，且FC＝2BF，∴CG＝14∵GM//DF，∴△CMG∽△CHF，∴MGHF=CGCF＝∵AD//FC，∴△AHD∽△GHF，∴DHFH=AHGH=∴GMDH=3∵AK//HC，GM//DF，∴∠HAK＝∠GHM，∠AHK＝∠HGM，∴△AHK∽△HGM，∴HKGM=AHHG＝∴HKHD＝1∴n＝4．3．解：（1）∵△ABC和△CDE是兩個(gè)等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）①連接CG，如圖所示，∵四邊形ADEC為平行四邊形，∴AD//∴∠ADE+∠CED=180°，∵∠CED=90°?∠CDE=90°?30°=60°，∴∠ADE=120°，∴∠ADC=∠ADE?∠CDE=90°，∵∠CAB=∠CDE=30°，∴A、D、G、C四點(diǎn)共圓，∴∠AGC=∠ADC=90°，∵∠CAB=30°，∴CG=12AC，AG=∴CG=3BG，即∴BGAG②∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB?∠DCB=∠DCE?∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，∵∠CAB=∠CDE=30°，∴ACBC∴△ACD∽△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=∠DBC+∠CAD=90°，∴△DBE為直角三角形，設(shè)BE=a，∴AD=3a，∴過D點(diǎn)作DH⊥AC于H，∠A=30°，則DH=ADsin又∵∠ACD=α，∴CD=HD又在Rt△CDE中，∠CDE=30°∴DE=CD∴在Rt△BDE中，由勾股定理得D即a2∴a2解得a=24即a==24故BE的長為1234．（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE與△DCF中，CE=CF∠DCE=∠DCF∴△DCE?△DCF，∴DE=DF．（2）①解：∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°?135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴△DCF～△CED，∴CDCE∴CD∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴CD=2∴AC②解：如圖，過D作DG⊥BC于G，DH⊥AC于H，則∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，當(dāng)CE=8，CF=4時(shí)，由CD2=CE?CF∴在Rt△DCG中，CG=DG=CD?sin同理DH=4，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴△CEN～△GDN，∴CNGN∴GN=1∴DN=G同理：△DMH～△FMC，∴HMMC∴HM=CM=1∴DM=D∴DN+DM=45．解：（1）∵拋物線y=12x2+bx+c∴12×?62?6b+c=0∴拋物線的表達(dá)式為y=1（2）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，而l⊥AC，AO⊥y軸．∴△CDE∽△ACO，則DEOC∵A?6,0，C0,?3，設(shè)∴AO=6，OC=3，又DE=?x，CE=?∴?x3=?12x2從而12∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為?1,?5．（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P1在x軸上方時(shí)，設(shè)直線AP1與l∵∠P1AC=45°，l⊥AC，∴△AM1C是等腰直角三角形，AC=M1C，作M1H∴M1H1=CO=3，∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為3,3∴直線AP1的表達(dá)式為又∵P∴n=13m+2n=1②如圖，當(dāng)點(diǎn)P2在x軸下方時(shí)，設(shè)直線AP2與l交于點(diǎn)M2，作M2H2⊥y軸于點(diǎn)H2，則Rt△C又P2m,n，n=?3m?18n=12綜上所述，m的值為536．解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥DE，AD∥BC，AB=AD=BC=DC，∴△ABG∽△EDG，∴AGEG∵ECDC∴DCDE∴AGGE（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△FBG，∴AGFG∵AB∥DE，∴△ABG∽△EDG，∴BGDG∴AGEG∴AG（3）∵AD∥BC，∴△ADG∽△FBG，∴ADFB∵AB∥DE，∴△ABG∽△EDG，∴AGEG又∵AGFG=DG∴AGEG∵CECD=m，CF∥∴CEDE=EF∵AGEG∴AGEG∵AEGF∴AE=nGF，則AG=AE-GE=nGF-GE，則GE=nGF-AG，由（2）可知：AG∴EG=G∴nGF-AG=GA令GAGF則nGF-AG=x·GA，變形得：GA:nGF∴nx則n=x∵AB∥CE，∴△ABF∽△ECF，∴ABEC又∵CEDC∴AFEF則AFEF∴BFBC=1m+1，又∵∴BFAD∴ADBF又∵AGFG∴x=m+1，∵n=x∴n=m+12+m+1∴m與n的關(guān)系為n=m7．解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，∴?ABC和?ADE為等腰直角三角形，∴ADAE∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴?BAD~?CAE，∴BDCE又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=45°，故答案是：2，45°；（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，∴DE=12AD，BC=12AB，AE=3DE，AC=∴ADAE∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴?BAD~?CAE，∴BDCE又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=30°；（3）以AD為斜邊，在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADM，連接CM，如圖，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴?ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAM=45°，ABAC∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM，∴?BAD~?CAM，∴∠ABD=∠ACM，BDCM又∵BD=6，∴CM=62=32∵四邊形ABDC的內(nèi)角和為360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°∴∠ABD+∠BCD=180°，∴∠ACM+∠BCD=180°，∴∠DCM=90°，∴DM=CD∴AD=2DM=241，即A，D兩點(diǎn)之間的距離是241．8．（1）證明：∵∠DEC+∠AEF=90°，∠A+∠AEF=90°，∴∠DEC=∠A，∵∠EFA=∠EDC=90°，∴△AFE∽△EDC；（2）∵S=?3x當(dāng)x=4時(shí)，S=0，此時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)A，∴PF=2x=8，即：AF=8，∵當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)Q恰好運(yùn)動(dòng)至E點(diǎn)，∴此時(shí)，PF=4，AP=4，∴S=12AP?EF=2EF=?3×∴EF=6，綜上所述：AF=8，EF=6；（3）∵AF=8，EF=6，∴AE=10，∵PF=2x，當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)Q恰好運(yùn)動(dòng)至E點(diǎn)，∴PFAQ∴AQ=52①當(dāng)PQ∥EG時(shí)，則AQAE=APAF，即∴PF=2x=83②當(dāng)PQ∥DH時(shí)，延長DH交AB的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，∵EF=2CD，∴CD=3，∵△AFE∽△EDC，∴AFED=FE∴AD=10+4=14，∵AEAD∴DN=425，AN=56∴BN=AF+BF-AN=8+5-565=9∵點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，∴BH=3，∵BHDN∴BM=1，∵APAM=AQAD，即：∴PF=2x=167③當(dāng)PQ∥GH時(shí)，延長GH交AB于點(diǎn)K，并反向延長交CE的延長線于點(diǎn)L，交AD于點(diǎn)O，∵EGFG∴FG=4，∵BKFK=BH∴BK=15，∵BH=CH，∠CHL=∠BHK，∠HCL=∠HBK=90°，∴?CHL??BHK，∴CL=BK=15，∴EL=15-5=10，∵ELAK∴1028=OE∴AO=10-5019=140∵PQ∥GH，∴AQAO=APAK，即：∴PF=2x=1621④PQ不可能平行AD；綜上所述：PF=83或167或9．解：（1）①連結(jié)AD，∵AC=BC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，∵∠CAB=120°,∠EDF=60°，∴∠C=∠B=12∴AC=2AD，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°，∴AE=12∴CE=AC-AE=2AD-12AD=∴AECE故答案為：13②結(jié)論是：AE?BF=1連接AD，在AB上取點(diǎn)G，使AG=AD，連接DG，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∠CAB=120°，AB=AC，∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，∴△ADG為等邊三角形，∴AD=GD,?又∠EDF=60°，∴∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDF=60°，∴∠ADE=∠GDF，在△ADE和△GDF中，{∴△ADE≌△GDF(ASA)，∴AE=GF，∵∠GDB=∠ADB?∠ADG=90°?60°=30°，∴∠C=∠ABC=∠GDB=30°，∴BG=DG，AD=12∴AE=GF=GB+BF，∴AE-BF=GB=DG=AD=12∴AE?BF=1（2）過G作GH⊥BA交BA延長線于H，∵∠CAD=∠BAD，∴∠GAH=∠GAE，∵BE⊥AC于點(diǎn)E,BE,DA的延長線交于點(diǎn)G．∠GEA=90°=∠GHA，在△GHA和△GEA中，{∠GHA=∠GEA∴△GHA≌△GEA(AAS)，∴GH=GE，又∵∠H=∠AEB，∠HBG=∠EBA，∴△GHB∽△AEB，∴GBAB∴GHGB∵GEBE設(shè)GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x，∴AEAB故答案為：4910．（1）證明：∵△AEC和△DFC是等腰直角三角形，∴∠DFC=∠AEC=90°，∠DCF=∠ACE＝45°，∴∠DCF-∠ACF=∠ACE-∠ACF，即∠ACD＝∠ECF，在Rt△AEC中，cos∠ACE=CEAC在Rt△DFC中,cos∠DCF=CFCD∴CEAC∴△ACD∽△ECF；（2）解：∵D，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，∴∠EFC=∠DFC=90°，∵△ACD∽△ECF，∴∠ADC=∠EFC=90°，如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=12在Rt△ABM中，cos∠B=BMAB在Rt△BDC中，cos∠B=BDBC∴BD=185∴AD=AB-BD=5-185=7在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=AC∴S△ADC∵△ACD∽△ECF，∴S△ECF∴S△ECF（3）解：過C作CN⊥AB于點(diǎn)N，過A作AM⊥DE于點(diǎn)M，如圖2，由（2）可得：CN=245在Rt△ANC中，sin∠CAN=∵AC=5，∠AEC=90°，∠ACE=45°，在Rt△AEC中，AE=AC?sin∵DE∥AC，∠DEA=∠CAE=45°，∵AM⊥DE，∴∠AME=90°，在Rt△AME中，AM=AE?sin∵DE∥AC，∴∠CAN=∠MDA，∴sin∠CAN=sin∠MDA=24∴AMAD∴AD=12511．解：（1）過A作AH⊥BC于H，∵AH⊥BC∴∠AHB=90°∵∠ABC=45°,?∴AH=BH=4∵BC=7∴CH=BC?BH=3，在Rt△AHC中，AC=A（2）①∵DE//AB，∴CD∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴CD=AD,CE=EB，∵△CDE點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CD∴△CDE≌△CD∴CD=C∴C∴C∵∠ACB+∠ACE∴∠BCE∴△ACD②過C作CN⊥AD′于∵△AC∴∠AD∴M、C、D∴∠CM∵∠C∴∠CM∵AB//DE，∴∠ABC=∠CED=45°，∴∠CM∵CN⊥AD′于∴∠CNM=90°,?∴CN=MN,?∵∠AD∴CN=1∵CD∴CN=5∴MC=2③過C作CK⊥DE于K．∵BE=CE=∠CKE=90°,?∴CK=EK=2∴點(diǎn)C到DE的距離為72即在△CD′E′旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C點(diǎn)∴點(diǎn)A到D′E′∵DE=1∴S△A=52即△AD最大面積為5212．解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，CG=1，BC=3，GC=2，∵矩形ABCD中，AD//CF，∴∠DAE=∠CFE，AD=BC=3，又∵DE=CE，∠AED=∠FEC，∴ΔDAE?ΔCFE，∴CF=AD=3，∴FG=CG+CF=CG+AD=5，∵∠DAE=∠CFE,∠AED=∠FEC∴ΔAOD～ΔGOF，∴OD∵ΔAOG底邊OG上的高與ΔAGD底邊GD的高相等，∴（2）∵∠GAO<90°∴分兩種情形討論情形①：如圖1，∠AOG=90°，∵ΔAOD～ΔGOF∴OMON∴OM=3，ON=5易證ΔGON～ΔGCD，∴GN∴GN=54a易證ΔGON～ΔDMO，ΔDMO～ΔOAM∴ΔGON～ΔOAM∴∴∴a=情形②：如圖2，∠AGO=90°，∵∠AGB+∠BAG=90o，∠AGB+∠DGC=90o，∴∠BAG=∠DGC，∵ΔABG～ΔDCG∴∴a×2a=64∴a=4（3）①∵ΔAOD～ΔGOF，∴OAOF又∴ΔDAE?ΔCFE∴AE=EF，∴∴又∵∴y=5x，②∵∠AGO=∠DEA，∠AOG=∠DOE∴ΔAOG～ΔDOE∴SΔAOGS過O作OH⊥AD于H，則有AH∴∴a=4，∴AD=BC=12，∴tan13．解：（1）設(shè)OD=a，OA=b，∵∠OBA=∠OCD=30°，∠OAB=∠ODC=60°，∴∠AOB=∠COD=90°，CD=2a，OC=CD同理，OB=3bBC=3(a+b)AD=b?a，∵AD的中點(diǎn)是M，∴DM=12OM=OD+DM=b+a2BCOM（2）①△AOD∽△BOC，延長OM交BC于N,由（1）得，OCOD=OBOA=∴△AOD∽△BOC；②由相似得，∠DAO=∠CBO，∵AD的中點(diǎn)是M，∴MO=MD，∴∠ADO=∠NOB，∵∠DAO+∠ADO=90°，∴∠CBO+∠NOB=90°，∴OM⊥BC；（3）延長OM交BC于N,在MN上截取MH=OM,∵AM=MD,∠OMD=∠AMH，∴△OMD≌△AMH,∴AH=OD,∠HAD=∠ADO，∴AH∥OD,∴∠HAO+∠AOD=180°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD+∠BOC=180°，∴∠BOC=∠HAO，由（2）可知，OCOD∴OC∴△BOC∽△OAH，∴BCOH=OBOA=∴BCOM∵∠AOH+∠NOB=90°，∴∠CBO+∠NOB=90°，∴OM⊥BC；14．解：（1）連接AC∵∴AP=AE=PE，△APE是等邊三角形∴∠APE=∠ABC=60°∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AC∴△ABC是等邊三角形∴AB=AC，∠BAC=60°∵∠BAC=∠PAE=60°∴∠BAC?∠PAC=∠PAE?∠PAC即∠BAP=∠CAE在△BAP和△CAE中BA=CA∴△BAP≌△CAE（SAS）∴BP=CE，即BPCE（2）如圖，連接AC．∵四邊形ABCD是菱形，∴BA=BC．∵△APE是以AP為腰的等腰三角形，且∠APE=∠ABC，AP=PE，∴∠EAP=∠CAB，∴△APE～△ABC，∴APAE∵∠EAP=∠BAC，∴∠EAP?∠PAC=∠BAC?∠PAC，即∠CAE=∠BAP．在△BAP和△CAE中，∵APAE=AB∴△BAP～△CAE，∴BPCE（3）如圖，連接AC，∵APAE=3∴ABAC=BP∴CF⊥AD設(shè)AB=3x，AC=2x，則AO=x，由勾股定理可知AO=2，又∵△BAP～△CAE，∴AOAF∴AF=223∴△DCE的面積為142故答案為1415．解：（1）△ABC為等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，同理可得△ADE是等邊三角形∵∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°故答案為：∠CEB=60°；BD=CE．（2）∠CEB＝45°，BD＝2在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝2同理，AD＝2∴AEAD=AC∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE∴∠AEC＝∠ADB，BD＝2∵點(diǎn)B、D、E在同一條直線上:∴∠ADB＝180°?∠ADE＝135°∴∠AEC＝135°∴∠CEB＝∠AEC?∠AED＝45°；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝2在Rt△ABC中，AC＝25∴AB＝2①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D上方時(shí)，如圖③，過點(diǎn)A作AP⊥BD交BD的延長線于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四邊形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根據(jù)勾股定理得，BP＝A∴BD＝BP?AP＝4，∴CE＝1②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D下方時(shí)，如圖④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝1綜上CE的長為22或42．16．解：（1）∵點(diǎn)A（2，4）在拋物線C1上，∴把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y=a（x+1）2-5得a=1，∴拋物線C1的解析式為y=x2+2x-4，設(shè)B（-2，b），∴b=-4，∴B（-2，-4）；（2）①如圖由（1）可知a=1，∴C2的解析式為：y=?∴M（1，5），∵D（1，2），且DH⊥x軸，∴點(diǎn)M在DH上，MH=5，過點(diǎn)G作GE⊥DH，垂足為E，由△DHG是正三角形，可得EG=3∴ME=4，設(shè)N（x，0），則NH=x-1，∵DH⊥x軸，GE⊥DH，∴GE//x軸，∴△MEG∽△MHN，∴MEMH∴45∴x=5∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為54②當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖，直線l與DG交于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最大；過點(diǎn)G，M作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)Q，F(xiàn)，設(shè)N（x，0），∵A（2，4），即AH=4，且△AGH為等邊三角形，∴∠AHG=60°，HG=AH=4，∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，∴GQ=1∴OQ=OH+HQ=2+23∴G(2+23∴NQ=x?2?23∵△NGQ∽△NMF，∴NQNF∴x?2?23∴x=當(dāng)點(diǎn)D移到與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖：直線l與DG交于點(diǎn)D，即點(diǎn)B，此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最?。弧連（-2，-4），∴H（-2，0），D（-2，-4），設(shè)N（x，0），∵△BHN∽△MFN，∴NHFN∴x+21?x∴x=?2∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為?217．解：(1)∵∠DCE=∠ACB=90∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；∵將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，BE≤BC+CE，且BC=AC=6，CE=CD=9BE≤6+9=15，∴即當(dāng)點(diǎn)B、C、E共線時(shí)，BE的值最大，最大值為15.故答案為：AD=BE，15；(2)AD=3BE，BE理由：∵△ABC和△CDE都是直角三角形，∠CDE=∠CAB=30∴tan∠∴AD:∴AC:CB=CD:CE.∵∠DCE=∠ACB=90∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴AD:BE=AC:BC=3∴AD=∵AC=6，CD=9，∴當(dāng)點(diǎn)A在DC的延長線上時(shí)，AD的值最大，最大值為AC+CD=6+9=15，∴當(dāng)點(diǎn)B在EC的延長線上時(shí)，BE的值最大，最大值為AD3(3)如圖，以CD為邊在CD下方作CE⊥CD，且CD=CE，連接ED，∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴AC=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≌△BECSAS∴AD=BE，設(shè)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∵在△BFE中，BF+FE≥BE，∴當(dāng)點(diǎn)B、F、E共線時(shí)BE最大，BE的最大值為BF+F