第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算

考試要求1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．【知識梳理】1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有________又有________的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的________(或稱模)，記作________．(2)零向量：____________的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于____________________長度的向量．(4)平行向量(共線向量)：方向____________或____________的非零向量．向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量________．(5)相等向量：長度______且方向______的向量．(6)相反向量：長度______且方向______的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝________(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝________減法求兩個向量差的運(yùn)算三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝_________；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向____；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向____；當(dāng)λ＝0時，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使________．[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1．中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.3．解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更要考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件．【診斷自測】1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等和a，b的方向無關(guān)．()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．()(4)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．()2．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a與b都是單位向量，則a＝bB．直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量C．若用有向線段表示的向量eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AN,\s\up6(→))不相等，則點(diǎn)M與N不重合D．海拔、溫度、角度都不是向量3．(必修二P16例8改編)已知a，b是兩個不共線向量，向量b－ta與eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共線，則實(shí)數(shù)t＝________．4．(必修二P14例6改編)在平行四邊形ABCD中，BC的中點(diǎn)為M，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AM,\s\up6(→))＝________.考點(diǎn)一平面向量的概念例1(1)(多選)下列命題正確的有()A．方向相反的兩個非零向量一定共線B．零向量是唯一沒有方向的向量C．若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同D．“若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”?“四邊形ABCD是平行四邊形”(2)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b|______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．a(chǎn)與b同向，且|a|>|b|，則a>bD．兩個終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為()A.eq\o(BA,\s\up6(→)) B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算例2(1)(2024·太原模擬)在矩形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，線段AC和DE交于點(diǎn)F，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))(2)(2024·安慶調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C．－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．訓(xùn)練2(1)(2024·南充診斷)如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)(2024·河南部分學(xué)校聯(lián)考)已知不共線向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為N，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A．2a－2b B．2a＋2bC．－2a－2b D．－2a＋2b考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用例3(1)(2024·長沙質(zhì)檢)已知向量a，b不共線，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c與d共線，則實(shí)數(shù)x的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)(2)(2024·濰坊調(diào)研)已知點(diǎn)M為△ABC中BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))過點(diǎn)N的直線與AB，AC分別交于P，Q兩點(diǎn)，且設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A．5 B．6C．9 D．10_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線．(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.訓(xùn)練3(1)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq