2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層特訓(xùn)卷熱點(diǎn)問題專練十三數(shù)學(xué)文化文

PAGEPAGE2熱點(diǎn)(十三)數(shù)學(xué)文化1．[2024·江西贛州聯(lián)考](數(shù)列中的文化)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其意思為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從其次天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達(dá)目的地．”若將此問題改為“第6天到達(dá)目的地”，則此人其次天至少走了()A．96里B．48里C．72里D．24里答案：A解析：依據(jù)題意知，此人每天行走的路程構(gòu)成了公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．設(shè)第一天走a1里，則其次天走a2＝eq\f(1,2)a1(里)．易知eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))≥378，則a1≥192.則其次天至少走96里．故選A.2．[2024·福建莆田模擬](程序框圖中的文化)將元代聞名數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》中的一首詩(shī)改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x＝0，則一起先輸入的x的值為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(15,16)C．4D.eq\f(7,8)答案：D解析：這是一道函數(shù)與程序框圖相結(jié)合的題．當(dāng)i＝1時(shí)，酒量為2x－1；當(dāng)i＝2時(shí)，酒量為2(2x－1)－1＝4x－3；當(dāng)i＝3時(shí)，酒量為2(4x－3)－1＝8x－7；當(dāng)i＝4時(shí)，酒量為0，即2(4x－3)－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).故選D.3．[2024·福建泉州兩校聯(lián)考](函數(shù)中的文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．”其意思為：“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)所收稅金為持金的eq\f(1,2)，第2關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,3)，第3關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,4)，第4關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,5)，第5關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,6)，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．”則在此問題中，第5關(guān)所收稅金為()A.eq\f(1,36)斤B.eq\f(1,30)斤C.eq\f(1,25)斤D.eq\f(1,20)斤答案：C解析：設(shè)此人持金x斤，依據(jù)題意知第1關(guān)所收稅金為eq\f(x,2)斤；第2關(guān)所收稅金為eq\f(x,6)斤；第3關(guān)所收稅金為eq\f(x,12)斤；第4關(guān)所收稅金為eq\f(x,20)斤；第5關(guān)所收稅金為eq\f(x,30)斤．易知eq\f(x,2)＋eq\f(x,6)＋eq\f(x,12)＋eq\f(x,20)＋eq\f(x,30)＝1，解得x＝eq\f(6,5).則第5關(guān)所收稅金為eq\f(1,25)斤．故選C.4．(立體幾何中的文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，與題中描繪的器具形態(tài)一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某地下雨天時(shí)利用該器具接的雨水的深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器具口的面積．參考公式：圓臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)()A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸答案：A解析：由三視圖可知，該器具的上底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12寸．因?yàn)樗佑晁纳疃葹?寸，所以水面半徑為eq\f(1,2)×(12＋6)＝9(寸)，則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以這一天該地的平均降雨量約為eq\f(342π,π×122)≈2(寸)，故選A.5．[2024·河北辛集中學(xué)期中](數(shù)列中的文化)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里．”其意思是：“現(xiàn)有一匹馬行走的速度漸漸變慢，每天走的里數(shù)是前一天的一半，連續(xù)行走7天，共走了700里．”若該匹馬按此規(guī)律接著行走7天，則它這14天內(nèi)所走的總路程為()A.eq\f(175,32)里B．1050里C.eq\f(22575,32)里D．2100里答案：C解析：由題意可知，馬每天行走的路程組成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為{an}，則該匹馬首日行走的路程為a1，公比為eq\f(1,2)，則有eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7)),1－\f(1,2))＝700，則a1＝eq\f(350×128,127)，則eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))14)),1－\f(1,2))＝eq\f(22575,32)(里)．故選C.6．[2024·河南商丘12月月考](生活中的文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸．問三女幾何日會(huì)面？”大致意思是：“一家出嫁的三個(gè)女兒中，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家．三個(gè)女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次會(huì)面？”假如回娘家產(chǎn)天均回夫家，當(dāng)?shù)仫L(fēng)俗正月初二都要回娘家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)為()A．58B．59C．60D．61答案：C解析：由題意知，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家，當(dāng)?shù)仫L(fēng)俗正月初二都要回娘家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，小女兒、二女兒和大女兒回娘家的天數(shù)分別是33,25,20，小女兒和二女兒、小女兒和大女兒、二女兒和大女兒同時(shí)回娘家的天數(shù)分別為8,6,5，三個(gè)女兒同一天回娘家的天數(shù)為1，因此，從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)為33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故選C.7．[2024·重慶七校聯(lián)考](推理與證明中的文化)某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動(dòng)車輛限行政策，每輛機(jī)動(dòng)車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今日算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推想肯定正確的是()A．今日是周四B．今日是周六C．A車周三限行D．C車周五限行答案：A解析：在限行政策下，要保證每天至少有四輛車可以上路行駛，周一至周五每天只能有一輛車限行．由周末不限行，B車昨天限行知，今日不是周一，也不是周日；由E車周四限行且明天可以上路可知，今日不是周三；由E車周四限行，B車昨天限行知，今日不是周五；從今日算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，假如今日是周二，A，C兩車連續(xù)上路行駛到周五，只能同時(shí)在周一限行，不符合題意；假如今日是周六，則B車周五限行，又E車周四限行，所以A，C兩車連續(xù)上路行駛到周二，只能同時(shí)在周三限行，不符合題意．所以今日是周四．故選A.8．[2024·陜西省西安市期中](解三角形中的文化)《數(shù)書九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)空白，雖與聞名的海倫公式形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．其求法是：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積．”把以上這段文字用數(shù)學(xué)公式表示，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))(S，a，b，c分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜)．現(xiàn)有周長(zhǎng)為4eq\r(2)＋2eq\r(5)的△ABC滿意sinAsinBsinC＝(eq\r(2)＋1)eq\r(5)(eq\r(2)－1)，試用以上給出的數(shù)學(xué)公式計(jì)算△ABC的面積為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)答案：A解析：因?yàn)閟inAsinBsinC＝(eq\r(2)＋1)eq\r(5)(eq\r(2)－1)，則由正弦定理得abc＝(eq\r(2)＋1)eq\r(5)(eq\r(2)－1)．設(shè)a＝(eq\r(2)＋1)x，b＝eq\r(5)x，c＝(eq\r(2)－1)x，又周長(zhǎng)為4eq\r(2)＋2eq\r(5)，所以4eq\r(2)＋2eq\r(5)＝(eq\r(2)＋1)x＋eq\r(5)x＋(eq\r(2)－1)x，解得x＝2.所以S＝＝eq\r(3).故選A.9．(程序框圖中的文化)《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題，原文如下：“今有物不如其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二，問物幾何？”其大意為：一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)．此問題可以用計(jì)算機(jī)解決．記N≡r(MODm)，表示正整數(shù)N除以正整數(shù)m的余數(shù)為r，例如10≡2(MOD4)．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i等于()A．7B．10C．8D．23答案：C解析：依據(jù)框圖可列表如下：N1234567891011121314151617181920212223i01112223334445556667778故選C.10．[2024·湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)模擬](數(shù)列中的文化)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金箠由粗到細(xì)是勻稱改變的，其重量為M，現(xiàn)將該金箠截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為ai(i＝1,2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，則iA．4B．5C．6D．7答案：C解析：由題意知，由細(xì)到粗每段的重量組成一個(gè)等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝2，,a9＋a10＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝2，,2a1＋17d＝4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(15,16)，,d＝\f(1,8).))所以該金箠的總重量M＝10×eq\f(15,16)＋eq\f(10×9,2)×eq\f(1,8)＝15.因?yàn)?8ai＝5M，所以有48eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(15,16)＋i－1×\f(1,8)))＝75，解得i＝6，故選C.11．[2024·石家莊中學(xué)畢業(yè)班模擬考試(一)](三角形中的文化)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶早在《數(shù)書九章》中就提出了已知三角形的三邊求其面積的公式：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方，得積．”(即△ABC的面積S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))2)))，其中△ABC的三邊分別為a，b，c，且a>b>c)，并舉例“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知為田幾何？”則該三角形沙田的面積為()A．82平方里B．83平方里C．84平方里D．85平方里答案：C解析：由題意知三角形沙田的三邊長(zhǎng)分別為15里、14里、13里，代入三角形的面積公式可得三角形沙田的面積S＝eq\r(\f(1,4)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(132×152－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(132＋152－142,2)))2)))＝84(平方里)．故選C.12．[2024·四川達(dá)州模擬](生活中的文化)里氏震級(jí)是由古登堡和里克特制定的一種表明地震能量大小的標(biāo)度，用來(lái)表示測(cè)震儀衡量的地震能量的等級(jí)，地震能量越大，地震儀記錄的震波的振幅就越大，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中A，A0分別是距震中100公里處接收到的所關(guān)注的這個(gè)地震和0級(jí)地震的震波的最大振幅，則7級(jí)地震震波的最大振幅是5級(jí)地震震波的最大振幅的()A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍答案：D解析：對(duì)公式M＝lgA－lgA0進(jìn)行轉(zhuǎn)化得M＝lgeq\f(A,A0)，即eq\f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M，當(dāng)M＝7時(shí)，地震震波的最大振幅為A7＝A0·107，當(dāng)M＝5時(shí)，地震震波的最大振幅為A5＝A0·104，則eq\f(A7,A5)＝eq\f(A0·107,A0·105)＝100.故選D.13．[2024·湖北八校聯(lián)考](三角函數(shù)中的文化)公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)探討正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)覺了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可表示為m＝2sin18°.若m2＋n＝4，則eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________.答案：－eq\f(1,6)解析：由m2＋n＝4得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，代入所求表達(dá)式，可得eq\f(1－2cos227°,3·2sin18°·2cos18°)＝eq\f(－cos54°,6sin36°)＝eq\f(－sin36°,6sin36°)＝－eq\f(1,6).14．[2024·江蘇南京高三聯(lián)合體調(diào)研](概率中的文化)歐陽(yáng)修在《賣油翁》中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技術(shù)讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為4cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為acm的正方形孔，若隨機(jī)地向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽視不計(jì))正好落入孔中的概率為eq\f(1,4π)，則a＝________.答案：1解析：由題可知，油(油滴的大小忽視不計(jì))正好落入孔中的概率是P＝eq\f(a2,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2)＝eq\f(1,4π)，解得a＝1.15．[2024·陜西西安期中](數(shù)列中的文化)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家探討過(guò)各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)＝e