2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（江蘇卷1）（全解全析）

2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試(江蘇卷)01

全解全析

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若集合/={一1,0,1,4},B=Mog2(x+l)<2},則何3=()

A.{0,1}B.{0,4}C.{0,1,4)D.{-1,0,1,4}

【答案】A

【解析】2?={x|log2(x+l)<2}={x|-l<x<3},所以/口8={0,1},

故選A.

2.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：123,6,7,9,%,這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則加為

()

A.10B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】因為該組數(shù)據(jù)共7個，且7x50%=3.5,所以這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為從小到大第4個數(shù)，即

解得加=14,

故選C.

3.正方形/BCD的中心為。，邊長為2,點P在8。上，則后.函=()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【解析】以正方形45C。的中心。為原點，NC與5。分別為x軸、了軸建立直角坐標(biāo)系.

因為正方形邊長為2,對角線長度為2近.則4(-夜,0),C(V2,0),0(0,0).

由于點P在5。上，設(shè)于0,了),ye[-0,左].下=(9,y),CO=(-72,0).

根據(jù)向量數(shù)量積公式APCO=-1,

故選A.

4.在(。+6)”的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數(shù)之和等于第10項與第11項的二項式系數(shù)之和,

則〃=()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【解析】由題意可得：C：+C：=C：+C：°,則C3=C*,

可得〃+1=14,所以〃=13,

故選D.

5.點聲源在空中傳播時，衰減量AA(單位：dB)與傳播距離d(單位：米)之間的關(guān)系式為

AA-lOlg—.若傳播距離從20米變化到40米，則衰減量的增加值約為(參考數(shù)據(jù)：值5。0.7)()

4

A.3dBB.6dBC.9dBD.12dB

【答案】B

【解析】當(dāng)d=20時，AZj=101gl007r,當(dāng)d=40時，AL?=101g400兀，

則,M=101g400K-101gl007t=201g2=20(lg10-lg5)?20x(l-0.7)=6.

故選B.

22o

6.已知雙曲線C：.-4=ig>0,6>0)的漸近線方程為y=±1x,且其右焦點為(5,0),則雙曲線C的標(biāo)

ab4

準(zhǔn)方程為()

【答案】B

【解析】由題意得，2=。，。=5,-：c2=a2+b2,

a4

22

.?“=4,6=3,故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-匕=1,

169

故選B.

7.已知角。,￡滿足85/7=；,85戊85(。+￡)=；,貝lJcos(2a+/?)=()

1

ABC.一D

-1-i6-1

【答案】C

cos(a+/7-a)=cos(cr+/7)cosa+sin(a+/7)sina=g,

【解析】由cos尸

結(jié)合350（：05（0+力）=；,可得sin（a+/7）sina=；一1^一五1,

所以有cos(2a+/?)=cos(a+a+/?)=cos6/cos(cif+/?)-siii6Zsin(6z+/7)=--^-=—,

故選：C.

8.在圓幕定理中有一個切割線定理：如圖1所示，QH為圓。的切線，R為切點、,QCQ為割線，則

\Q^[=\QC\-\QD\.如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點/（T。），點P是圓。：/+/=4上

【答案】A

【解析】連接尸。,

在△P4B中，因為。是的中點，

所以用=；（西+而），平方得|由『=：（|西『+|PS|2+21秒〔J麗卜OS/4PB],

將COS//P8」PH；詈]|代入可得歸o|=gj2（P"+|尸砰）一口靖=2,

l\rA\?\rD\Nv\/

因為|明=2,所以網(wǎng)『+」「=10,

3

所以c°s/"PA閆網(wǎng)，

3

在Rt△形T,|尸丁|=|必k05/4?8=而力，

\rA\

所以21PH+3歸7|=2|川|+向22屈=6行,

當(dāng)且僅當(dāng)2|尸H=向即|尸/卜孚

時，取等號,

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)4/2為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.匕必2|=歸值|B.Z|+22=Z]+Z2

C.若團(tuán)=閭，則Z；=Z；D."Z1<Z2"是"Z|-Z2<0"的充分不必要條件

【答案】ABD

【解析】設(shè)4=a+bi,z2=c+di(q,b,c,dGR),

對于選項A:因為平2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

所以12必21=yl(ac-bd)2+(ad+be)2=y/a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,

且閔㈤="2+/42+/=Ja%2+〃/+//+b2c2,所以匕閔=㈤"I，故A正確；

對于選項B：因為Z]+z2=(^+c)+(Z)+6/)z,z1=a-bi,z2=c-di,

貝!]Z]+z2=(Q+c)—(6+d)，,Z]+z2=(Q+c)_(b+d)i,

所以4+Z2=4+Z2,故B正確;

對于選項c：若團(tuán)=㈤,例如4=i+i0=i-i,滿足聞=團(tuán)=血,

但z；=(l+i)~=2i,z；=(1-i)-=-2i,即二；Hz；,故C錯誤;

對于選項D：若與<Z2,則a/?都是實數(shù)，且Z「Z2<0,即充分性不成立;

若Z］-Z2<0,例如Z］=l+i,Z2=2+i,且Z］_Z2=_l<0,

但Z1/2不是實數(shù)，無法比較大小，即必要性不成立;

綜上所述：“4<Z2"是"z「z<0"的充分不必要條件，故D正確.

故選：ABD.

10.設(shè)函數(shù)則()

2+smx

A./(TI+X)=/(X)B./(7t-X)=-/(^)

D.的最小值為一］

C.〃x)在區(qū)間［0,兀］上單調(diào)遞減

【答案】BCD

cos(兀+x)-cosxcosx

【解析】〃兀+x)=故A錯誤;

2+sin(7t+x)2-sinx-2+sinx

COS(71-x)-cosx

〃n7)==-/(x),故B正確;

2+sin(it-x)2+sinx

-sinx(2+sinx)-cos2x1-2sinx

(2+sinx)2(2+sinx)2，

當(dāng)XE［0,兀］時，sinx>0,-l-2sinx<0,即尸(％)<0,

所以/(x)在區(qū)間［0,兀］上單調(diào)遞減，故C正確;

令f(x)=C0SX=y,貝！|2y+ysinx=cosx,

2+sinx

整理得2y=cosx-ysinx=^/1+j?sin(x+^?),

所以sin(x+°)=<J

1+/3--T

即/(X)的最小值為-g,故D正確.

故選：BCD.

11.對于拋物線/：/=2",(p>0),尸是它的焦點，y的準(zhǔn)線與x軸交于T,過點7作斜率為曲％>0)的

直線與y依次交于B、/兩點，使得恰有BT-BF=0,下列說法正確的是()

A.k是定值，。不是定值

B.k不是定值，P也不是定值

C./、B兩點橫坐標(biāo)乘積為定值

D.記AB中點為M,則M和/橫坐標(biāo)之比為定值

【答案】AD

【解析】如圖,

由題意得7-TTp0,設(shè)8

設(shè)直線"的方程為x=my-4,機(jī)=；,（左不等于0）,

2k

x=my---P-o

聯(lián)立29,可得y-2mpy+p=0,

V=2px

所以M+%=2mp,y)2=p。,

p.v

對于A,由近.麗=0,即一萬一/f"七一1"

可得工-4+，=。，即y：+=0，

424

解得貨=（0-2）p2,由斤>0,貝?。?>0,可得必=

可得3的橫坐標(biāo)叵即8

P，P\,

2

775-2/?_2775-2

可得左=忑二5一不51為定值,故A正確B錯誤;

2P+3

對C'4B兩點橫坐標(biāo)乘積為審=喟1=工=亡,不是定值，故C錯誤;

4p24

22

江+也2

對D,由題意，M的橫坐標(biāo)為2P2P_歹；+竟_（必+%）-2%為_4加2P2-222

24P4P4/?

（2加2-1））

_2_2_~2~

p21（火+2）0

由C選項分析可得點力的橫坐標(biāo)為彳.看2=-2—

迅P

所以=5-2石為定值,故D正確.

2

故選：AD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

2

12.記△4BC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c.已知6=2,c=3,cos（8+C）=-§,則。=

【答案】亞

【解析】由COS（5+C）=COS［K-（5+C）］=-COST4=--,故cosZ=§,

2

22

貝［j/=b+c-2bccosA=4+9-12x-=5f故〃

13.函數(shù)/（%）=x-2sinx在［0,2可上的最大值點為.

【答案】y/|^

【解析】由題意得/7x）=1-2cosx,

當(dāng).時，r（x）＜0,所以/⑴在［0,1和［m，2兀］上單調(diào)遞減，

當(dāng)xeKj時，八x）＞0,所以Ax）在卓芝|上單調(diào)遞增，

所以〃x）在xj處取得極小值，在x音處取得極大值，

當(dāng)x=0時，/（0）=0;

當(dāng)x音時，函數(shù)“X）取得極大值曰音+回

因為「百＞0,所以最大值點為

14.已知一正五棱錐，其頂點與各側(cè)棱中點合計11個點.從這11個點中任選4個點，這四個點不共面的概

率為

【答案】￡

【解析】從11個點中取4個點的取法為=330種,

只要求出共面的就可以了，共面的分四種情況:

1.四個點都在正五棱錐的某一個面上，每個面5個點，有C；種，6個面共有6C；=30情況

2.四個點在兩條側(cè)棱上且不在側(cè)面內(nèi)的情況有=25,

3四個點均在各側(cè)棱的中點時有C；=5,

4.其中兩點所在直線與另兩點所在直線平行，

且這四個點也不在四面體的某一個面上有10種，

因此取4個不共面的點的不同取法共有：330-30-25-5-10=260,

所以這四個點不共面的概率為=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）如圖，圓柱的軸截面為正方形，點E在底面圓周上，旦BE=CE,M為AE

上的一點，且瓦為線段NC上一動點（不與4c重合）

（1）若4N=2NC,設(shè)平面BMVc面3EC=/,求證：MN/H■

TT

（2）當(dāng)平面3AW與平面QEC夾角為試確定N點的位置.

【解】（1）由題知/5_1面5￡。,￡。＜=面，則4B_LEC,

由8c為底面圓的直徑，則

由BEC4B=B,BE,ABu面ABE,

ECABE,

又?.,EA/u面A8E,/.ECIBM,

又BMLAC,ACcEC=C,4C,ECu面4EC,

_L面AEC,

又：4Eu面4EC,故

ME_ME-EABE2_1_NC

由AB=BC=4iBE,在A4BE中，由射影定理:

~AM~AM-EA-zF_2-^V

故MN11EC,ECu面BEC,MN<X面BEC,

:.MN”畫BEC,又面8￡Cc面aW=/,MNu面BMN,

：.MN//l.

(2)由(1)知，以E為原點EC,￡3為x,V軸正方向，過E的母線為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)EC=1,

設(shè)灰=撫3=卜44仞),彳€(0,1),W=SC+CW=(1,-1,0)+(-2,A,V2A)=(1-2,-1+2,722),

~BM.n=--v+—z=0

設(shè)面BACV的法向量為方=(x,y,z),則3-3

麗?亢=(1-㈤x+(-l+X)y+&z=0

令產(chǎn)1,則

又平面EDC的一個法向量v=(0,1,0)

設(shè)平面與平面DEC的夾角為。，則

解得幾=0或人;，

其中2=0時N,C重合，不合題意，

7T1

故當(dāng)平面與平面DEC夾角為1時彳=5,此時N為/C中點.

1,

16.(本小題滿分15分)已知函數(shù)/'(x)=xlnx-ia(x-2y-3x.

(1)若。=1,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)有兩個極值點，求。的最小整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù)：ln2。0.7)

【解】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=xlnx-g(x-2『-3x,所以/=lnx-x,

設(shè)g(x)=lnx-x,g'(x)=^-^,

則g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+⑹單調(diào)遞減，

所以g(x)=g⑴=T,即以(x)<0,

故〃x)在(0,+⑹單調(diào)遞減.

(2)/'(X)=lnx-ax+2a-2,

即原題等價于/(X)有兩個零點，設(shè)〃(x)=lnx-G+2a-2,^(x)=—

當(dāng)aWO時，h'(x)>0,

則Mx)在定義域單調(diào)遞增，/(x)最多有一個零點，與題意不符.

當(dāng)a>0時，令"(x)>0=x<L

a

即"(X)在］o,￡|單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

當(dāng)X—0,0⑴一―00,Xf+8,-

由于/(X)有兩個零點，貝必(：］>0這等價于2a-lna-3>0①,

注意到a=1時①式不成立，而。=2時成立，故4的最小整數(shù)值為2.

17.(本小題滿分15分)已知橢圓y：4+4=l(a>6>0),/與圓產(chǎn)+小=/-〃在第一、第四象限分別

ab

TT

交于0、P兩點，且滿足ZPOQ=~,PQ=1,

(1)求橢圓/的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)A是橢圓上的一點，若存在橢圓的弦BC使得OAUBC,OA=BC,求證:四邊形O42C的面積為

定值.

【解】(1)由對稱性知，］。尸|=|。。|,

因為/尸。0=］，PQ=I,所以aop。是邊長為1的等邊三角形，

因為。位于第一象限，所以0(學(xué),?，

31

代入橢圓7的方程有互+&7,

/b2~

a1

代入圓Y+/=力—b2的方程有:+：=/—〃，

44

聯(lián)立解得/=￡a,b2=-1,

22

土+匕一1

所以橢圓r的標(biāo)準(zhǔn)方程為§+工一1.

22

4

m2n2q

(2)證明：設(shè)則直線。/的斜率為一，且丁+7=1,即加2+3"2=三,

m——2

22

因為。4//2C,CM=2C,所以四邊形0/3C是平行四邊形,\BC\=\OA\=ylm2+n2,

ri

設(shè)直線BC的方程為>

y--a—)

聯(lián)立<2m，得(2加2+6〃2)X2_12〃2及+6后2-3加2二0,

2xC24

——+2y2=1

13/

12后6R2—3加2

所LA玉+*2=

2m2+6n22加2+6/

2&?J毋-2〃25+3/

2病+6川

I~22J加2-2〃2/+3/

='m+n-------------3-----------因為忸。|二|。4|二府

2

J加2-2島2+3〃，

所以j/+“2=%2+〃2

2

2

393

整理得6q-2島2)=j,即H=j

n,、

一(m-t)-n

m

而點A到直線5C的距離為"

22

所以四邊形OABC的面積S=2S^ABC=2--\BC\-d=\O^d=^m+n.JM=M=1)為定值.

2yjm+n-4

18.(本小題滿分17分)2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識,

M大學(xué)舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽

(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記

小王在初賽中答對的題目個數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決

賽的概率；

(2)、大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績,對進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵.獎勵規(guī)則如下:

已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次

獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎中獎的概率均為。[o<P<j],且每次是

否中獎相互獨立.

(i)記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎I次的概率為了(。)，求〃的極大值；

(ii)/大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120

元，試求此時。的取值范圍.

【解】(1)由題意知，X的可能取值為0,1,2,

r°r21

則尸(x=0)=中

15

尸(X=1)=*1

c2ro2

尸(X=2)=*]

故X的分布列為

X012

182

p

1515

124

貝七(X)=UX-------Fix-------F2X—=—.

V7151553

記事件A：小王已經(jīng)答對一題，事件8:小王未進(jìn)入決賽，

/.、n(AB}C'C*4x24

則小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率A)=-^-=-^^=—=-.

(2)(i)由題意知，/(p)=C；p(l-p)2=3p3-602+30[o<0<：j,

則/⑺=3(3p-l)(p—l),

令/''(。)=0,解得P=；或。=1(舍)，

當(dāng)時，f'(p)>0,當(dāng)peg,時，/'(同<0,

所以/(。)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)P=g時，有極大值，且/'(P)的極大值為；

(ii)由題可設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎金為隨機(jī)變量y,

則Y的可能取值為60,120,180,360,

尸(y=60)=(l-0二

P(y=120)=C；Ml-0)2,

尸(y=i80)=c初20_0，

產(chǎn)(y=360)=/,

所以E(Y)=60(1-p)3+120C；p(l-，A+180C；p2(1-p)+360p3=60(2p3+3p+l),

所以9E（y）占1120,

即540(2p3+3p+l)21120,整理得2P、3p---^0,

1OQ

經(jīng)觀察可知p=-是方程2P3+3p-'=0的根,

故2P3+3p_==2+竺

77Q

因為2P2+（°+看>0恒成立，

7911

所以由2/+3p-,20可得。-釬0,解得得”葭

「、

又0<p<；3,所以P的取值范圍13為.

19.（本小題滿分17分）對于數(shù)列｛4｝,若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱｛g｝

為尸數(shù)列.

（1）若｛勾｝的前〃項和5,=3,+2,試判斷｛%｝是否是P數(shù)列，并說明理由；

（2）設(shè)數(shù)列％,電，。是首項為-1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是P數(shù)列，求d的取值范圍；

（3）設(shè)無窮數(shù)列｛%｝是首項為。、公比為4的等比數(shù)列，有窮數(shù)列他,｝,k“｝是從｛%｝中取出部分項

按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項和分別為（，T2,求｛g｝是P數(shù)列時。與4所滿足的條件,

并證明命題”若。>0且T=4，則｛%｝不是尸數(shù)列

【解】⑴???S“=3”+2,

.?““=5"-九=2-3。吟2）,

當(dāng)〃=1時，4=Si=5,

5,n=l

故％

23'T,n>2

那么當(dāng)左eN*時，一片=2-3"-3?-2=3上一2>0,符合題意,

故數(shù)列｛%｝是產(chǎn)數(shù)列

（2）由題意知，