2024-2025學年河北省高一上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省2024-2025學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由解得，由解得，所以，，所以,故選：B.2.函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，由已知，，，，，，由零點存在性定理可得函數(shù)的零點所在區(qū)間是.故選：C.3.“”是“是冪函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若是冪函數(shù)，則，得，所以“”是“是冪函數(shù)”的充要條件，故選：B.4.小明同學在公園散步時，對公園的扇形石雕（圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀（圖2），在扇形AOB中，，則扇形AOB的面積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得扇形的圓心角，扇形半徑，則扇形面積故選：A.5.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，，的大小關系是.故選：A.6.已知函數(shù)（，且）的圖象過定點，且角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，，則點的坐標為，根據(jù)三角函數(shù)的定義，所以．故選：B.7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，解得.所以函數(shù)的定義域為，又的對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，故由復合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.8.溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強弱程度的一個指標，在化學中，常用值來表示溶液的酸堿度.的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.已知某溶液中氫離子的濃度是摩爾/升，則該溶液的約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1.921 B.1.301 C.1.875 D.1.079【答案】A【解析】由題意可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A B.C. D.【答案】AC【解析】由，，得，A正確；當時，，B錯誤．因為是增函數(shù)，，所以，C正確；因為是減函數(shù)，，所以，D錯誤；故選：AC.10.對于函數(shù)，存在，使得，我們稱為“不動點”函數(shù).下列函數(shù)中，是“不動點”函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】令，即.因為，所以無解，則不是“不動點”函數(shù)，A不正確；令，即，即.因為，所以有兩個不同的非零實根，則是“不動點”函數(shù)，B正確；令，即，易知是方程的一個解，則是“不動點”函數(shù)，C正確；當時，令，即，解得或，則方程在上無解；當時，，則方程在上無解.故不“不動點”函數(shù)，D不正確；故選：BC.11.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的值域為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關于點對稱D.若方程在上有2個不同的實數(shù)解，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】因為，的值域為，故A正確．由，得，所以在上先增后減，故B錯誤．因為，所以的圖象關于點對稱，故C正確．由，得，由，得，由正弦函數(shù)的圖象可得，解得，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.與角終邊相同的最小正角是________．（用弧度表示）【答案】【解析】與角終邊相同的最小正角是，即，故答案為：.13.函數(shù)的最小值為________．【答案】1【解析】由得，則定義域為．因為在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以的最小值為．故答案為：1.14.如圖，地在自西向東的一條直線鐵路上，在距地的B地有一金屬礦，地到該鐵路的距離．現(xiàn)擬定在之間的地修建一條公路到地，即修建一條的運輸路線．若公路運費是鐵路運費的倍，則當?shù)氐降氐木嚯x為__________時，總運費最低．【答案】【解析】設當?shù)氐降氐木嚯x為時，鐵路每公里運費為，公路每公里運費為．由題意得，則總運費，要使總費用最低，只需最小即可．設，則，得，則，得．當時，總費用最低，則，得，所以當?shù)氐降氐木嚯x為時，總運費最低．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求的值；（2）若，求的值．解:（1）．（2）．16.已知函數(shù)（，且）的圖象過點，．（1）求，的值；（2）求不等式的解集．解：（1）因為函數(shù)的圖象過點，，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，所以，所以或，解得或，即不等式的解集為.17.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由解得，所以．（2）由，得，則，所以．18.已知是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．（1）求．（2）若，，證明：．（3）求不等式的解集．解：（1）因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，又是定義在上的偶函數(shù)，所以．（3）由且是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增得，解得，即不等式的解集為．19.將曲線上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得曲線上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．（1）求的解析式；（2）設函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上有3個零點，求的取值范圍．解：（1）由題意得.（2）因為是增函數(shù)，當時，由得，由正弦函數(shù)的圖象可知，所以，由題意可知，則解得，即的取值范圍為．（3）令，則函數(shù)有兩個零點，且的圖象與直線，共有3個公共點，由的圖象可知，當，時，，得，由，得，，符合題意．當，時，解得，綜上的取值范圍為．河北省2024-2025學年高一上學期1月期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由解得，由解得，所以，，所以,故選：B.2.函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，由已知，，，，，，由零點存在性定理可得函數(shù)的零點所在區(qū)間是.故選：C.3.“”是“是冪函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若是冪函數(shù)，則，得，所以“”是“是冪函數(shù)”的充要條件，故選：B.4.小明同學在公園散步時，對公園的扇形石雕（圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀（圖2），在扇形AOB中，，則扇形AOB的面積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得扇形的圓心角，扇形半徑，則扇形面積故選：A.5.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，，的大小關系是.故選：A.6.已知函數(shù)（，且）的圖象過定點，且角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，，則點的坐標為，根據(jù)三角函數(shù)的定義，所以．故選：B.7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，解得.所以函數(shù)的定義域為，又的對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，故由復合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.8.溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強弱程度的一個指標，在化學中，常用值來表示溶液的酸堿度.的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.已知某溶液中氫離子的濃度是摩爾/升，則該溶液的約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1.921 B.1.301 C.1.875 D.1.079【答案】A【解析】由題意可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A B.C. D.【答案】AC【解析】由，，得，A正確；當時，，B錯誤．因為是增函數(shù)，，所以，C正確；因為是減函數(shù)，，所以，D錯誤；故選：AC.10.對于函數(shù)，存在，使得，我們稱為“不動點”函數(shù).下列函數(shù)中，是“不動點”函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】令，即.因為，所以無解，則不是“不動點”函數(shù)，A不正確；令，即，即.因為，所以有兩個不同的非零實根，則是“不動點”函數(shù)，B正確；令，即，易知是方程的一個解，則是“不動點”函數(shù)，C正確；當時，令，即，解得或，則方程在上無解；當時，，則方程在上無解.故不“不動點”函數(shù)，D不正確；故選：BC.11.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的值域為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關于點對稱D.若方程在上有2個不同的實數(shù)解，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】因為，的值域為，故A正確．由，得，所以在上先增后減，故B錯誤．因為，所以的圖象關于點對稱，故C正確．由，得，由，得，由正弦函數(shù)的圖象可得，解得，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.與角終邊相同的最小正角是________．（用弧度表示）【答案】【解析】與角終邊相同的最小正角是，即，故答案為：.13.函數(shù)的最小值為________．【答案】1【解析】由得，則定義域為．因為在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，所以的最小值為．故答案為：1.14.如圖，地在自西向東的一條直線鐵路上，在距地的B地有一金屬礦，地到該鐵路的距離．現(xiàn)擬定在之間的地修建一條公路到地，即修建一條的運輸路線．若公路運費是鐵路運費的倍，則當?shù)氐降氐木嚯x為__________時，總運費最低．【答案】【解析】設當?shù)氐降氐木嚯x為時，鐵路每公里運費為，公路每公里運費為．由題意得，則總運費，要使總費用最低，只需最小即可．設，則，得，則，得．當時，總費用最低，則，得，所以當?shù)氐降氐木嚯x為時，總運費最低．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求的值；（2）若，求的值．解:（1）．（2）．16.已知函數(shù)（，且）的圖象過點，．（1）求，的值；（2）求不等式的解集．解：（1）因為函數(shù)的圖象過點，，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，所以，所以或，解得或，即不等式的解集為.17.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．解：（1）由解得，所以．（2）由，得，則，所以．18.已知是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增．（1）求．（2）若，，證明：．（3）求不等式的解集．解：（1）因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得.（2）由（1）得，由，得，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，又是定義在上的偶函數(shù)，所以．（3）由且是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增得，解得，即不等式的解集為．19