中考數(shù)學一輪復習題型歸納精練專題14 與圓有關的性質（解析版）

專題14與圓有關的性質題型分析題型分析題型演練題型演練題型一圓的基本概念辨析題型一圓的基本概念辨析1．下列說法中，正確的是（）A．過圓心的直線是圓的直徑B．直徑是圓中最長的弦C．相等長度的兩條弧是等弧D．頂點在圓上的角是圓周角【答案】B【分析】根據直徑，弦，等弧，圓周角的定義，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、過圓心的弦是圓的直徑，故此選項不符合題意；B、直徑是圓中最長的弦，故此選項符合題意；C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，故此選項不符合題意；D、頂點在圓上，兩邊分別與圓還有另一個交點的角是圓周角，故此選項不符合題意；故選：B．2．如圖，圖中⊙O的弦共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據弦的定義即可求解．

連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑，直徑是一個圓里最長的弦．【詳解】解：圖中有弦共3條，故選C．3．下列說法正確的是（

）A．弧長相等的弧是等弧 B．直徑是最長的弦C．三點確定一個圓 D．平分弦的直徑垂直于弦【答案】B【分析】根據等弧的概念、弦的概念、確定圓的條件以及垂徑定理判斷即可．【詳解】A、能夠重合的弧是等弧，弧長相等的弧不一定是等弧，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、直徑是最長的弦，本選項說法正確，符合題意；C、不在同一直線上的三點確定一個圓，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、平分弦（不是直徑的弦）的直徑垂直于弦，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．4．如圖在矩形中，，，M是邊的中點，N是邊上的動點，將沿所在直線折疊，得到，連接，則的最小值是________．【答案】【分析】根據矩形折疊的性質得到，確定出當點在線段上時，有最小值，再利用勾股定理計算即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，．∵M是的中點，∴．∵將沿所在直線折疊，∴，∴點在以點M為圓心，為半徑的圓上，∴如圖，當點在線段上時，有最小值，∵，∴的最小值為．故答案為：．5．某校計劃在校園內修建一座周長為20m的花壇，同學們設計出正三角形，正方形和圓三種圖案，通過計算說明使花壇面積最大的圖案是_______（填圖形）．【答案】圓【分析】分別求出正三角形，正方形和圓三種圖案的面積，即可求解．【詳解】解：當設計成正三角形，則邊長是，則面積是；當設計成正方形時，邊長是5m，則面積是；當設計成圓時，半徑是，則面積是．∵這三個數(shù)中最大，∴使花壇面積最大的圖案是圓．故答案為：圓．6．如圖，在中，點A、B在圓上，且，則的度數(shù)為_______°．【答案】60【分析】連接，證明是等邊三角形，可得結果．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：60．7．如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E，若，試求的度數(shù)．【答案】．【分析】利用半徑相等和等腰三角形的性質以及三角形的外角性質得到，即可解決問題．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．8．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，的頂點，均落在格點上，點在網格線上．(1)線段的長等于______；(2)以為直徑的半圓的圓心為，在圓上找一點，使平分請用無刻度的直尺作圖；(3)以為直徑的半圓的圓心為，在線段上有一點，滿足．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點．【答案】(1)(2)畫圖見解析(3)畫圖見解析【分析】（1）直接利用勾股定理進行計算即可；（2）如圖，取與網格線的交點D，連接并延長交于點E，則E即為所求，（3）記交于點G，連接，延長交的延長線于F，連接延長交于點P，則點P即為所求．【詳解】（1）解：由勾股定理可得：．（2）如圖，取與網格線的交點D，連接并延長交于點E，則E即為所求，理由如下：由格線，，∴，∵，∴為的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，即平分．（3）記交于點G，連接，延長交的延長線于F，連接延長交于點P，則點P即為所求．由，，同理可得：為的中位線，∴，而，∴，∵平分，∴是的垂直平分線，∴，與關于直線對稱，∴，∵，∴，∴，則點P即為所求．題型二垂徑定理的應用題型二垂徑定理的應用9．如圖的周長是，是的弦，，垂足為M，若，則的長為（

）A．8 B．12 C．15 D．16【答案】D【分析】連接，先根據的周長是，可求得半徑為，根據可求出的長，再根據勾股定理可求出的長，根據垂徑定理進而得出結論．【詳解】解：如圖：連接，的周長是，的半徑，，，是的弦，，，，故選：D．10．如圖，在中，弦的長為，圓心到的距離為，則的半徑為（

）A．4 B．5 C．3 D．7【答案】B【分析】由垂徑定理可得的長，利用勾股定理即可求出的長，即為圓的半徑．【詳解】解：作于E，連接，∴，又∵，∴，故選：B．11．在中，是直徑，是弦，，將圓沿著翻折，使弧與直徑相交于點E和F，且，的長為_____．【答案】【分析】設翻折前與對應的弦為，過圓心O作于點M，交于點N，連接、，根據垂徑定理以及翻折的性質，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵是的直徑，，∴，設翻折前與對應的弦為，過圓心O作于點M，交于點N，連接、，如圖：則，∴，，∵，∴，∴，∴，由翻折可知：，在中，由勾股定理得，∴，在中，由勾股定理得，，∴，即的長為．故答案為：．12．如圖是一座圓弧型拱橋的截面示意圖，若橋面跨度米，拱高米（為的中點，為弧的中點）．則橋拱所在圓的半徑為_____________米．【答案】26【分析】根據垂徑定理得，設圓的半徑為R，根據勾股定理列方程求出R即可.【詳解】解：如圖，橋拱所在圓的圓心為O，半徑為R，連接∵為的中點，為弧的中點，∴三點共線，且,在Rt中，根據勾股定理得

解得故答案為：2613．如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作的外接圓，圓心為O（保留作圖痕跡）；(2)求外接圓的半徑．【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）首先畫出和的垂直平分線，兩線交于點O，以O為圓心，長為半徑畫圓即可；（2）過A作，連接，設的外接圓的半徑，首先利用勾股定理計算出的長，然后再利用勾股定理計算出r即可．【詳解】（1）解：如下圖，畫出和的垂直平分線，兩線交于點O，以O為圓心，長為半徑畫圓，即為所求；（2）如上圖，過A作，連接，設的外接圓的半徑，，，，，解得：．14．已知：的半徑為5，點在直徑上，過點作的弦，過點作直線的垂線，垂足為點．(1)如圖1，當時，求線段的長；(2)當點是線段的中點時，求的長；(3)如果，求線段的長．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）連接，利用垂徑定理和勾股定理解答即可；（2）連接，利用垂徑定理和線段垂直平分線的性質得到為等邊三角形，利用等邊三角形的性質和直角三角形的性質解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分∶①當點F在線段上時，連接，設，則，證明得，即可求得結論；②當點F在線段的延長線上時，連接，同理解答即可．【詳解】（1）解：連接，如圖，∵的半徑為5，∴，，∴，．∵，∴∴；（2）解：連接，如圖，∵點F是線段的中點時，∴經過點圓心O，，垂直平分，∴∵，AB是直徑，∴是的垂直平分線，，∴，∴．∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴；（3）解：①當點F在線段上時，連接，如圖，設，則，，∴，∴．∵，∴，∵，AB是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴(不合題意，舍去)或，∴；②當點F在線段的延長線上時，連接，如圖，設，則，，∴，∴，∵，∴，∵，AB是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴（不合題意，舍去）或，綜上，如果，線段的長為或．題型三利用弧、弦、圓心角的關系求解題型三利用弧、弦、圓心角的關系求解15．如圖，在兩個同心圓中，為，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，可得結論．【詳解】解：∵的度數(shù)為，∴，∴的度數(shù)為，故選D．16．下列說法中正確的是（

）A．經過三點一定可以作一個圓 B．相等的圓心角所對的弧也相等C．圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸 D．等弧所對的圓周角相等【答案】D【分析】根據確定一個圓的條件，圓周角定理，圓心角定理，圓的對稱軸的知識即可判斷正誤．【詳解】A．經過不在同一直線上的三點一定可以作一個圓，A選項錯誤，所以A選項不符合題意；B．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧也相等，B選項錯誤，所以B選項不符合題意；C．圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，C選項錯誤，所以C選項不符合題意；D．等弧所對的圓周角相等，D選項正確，所以D選項符合題意．故選：D17．若一個圓的半徑是6cm，則90度的圓心角所對的弦的長度為_____．【答案】【分析】根據題意得到等腰直角三角形，根據勾股定理計算即可．【詳解】解：如下圖，圓心角，是等腰直角三角形，，又，作，，，，弧所對的弦長，故答案為：18．如圖，點A在半圓O上，是直徑，．若，則的長為__．【答案】【分析】連接，由圓心角，弦，弧的關系可得，結合等腰直角三角形的性質可求解的長，進而可求解的長．【詳解】解：連接，∵，是直徑，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．19．如圖，在中，，以點C為圓心，為半徑的圓交于點D，交于點E，求的度數(shù)．【答案】【分析】連接，先根據三角形內角和計算出，再根據等腰三角形的性質由得到，然后再利用三角形內角和計算出，再根據直角的性質求出，最后根據圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)求解．【詳解】解：如下圖，連接，，，，，，，的度數(shù)為．20．如圖，在的內接四邊形中，，是四邊形的一個外角．求證：．【答案】見解析【分析】根據弧與弦的關系，得出，根據同弧所對的圓周角相等得出，是四邊形的一個外角，得出，進而得出，根據，即可得證．【詳解】證明：，∴，四邊形是圓內接四邊形，，，由圓周角定理得，，．題型四利用弧、弦、圓心角的關系證明題型四利用弧、弦、圓心角的關系證明21．下列命題中，正確的是（

）①同弧所對的圓周角相等；②相等的圓心角，所對的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對的弧也相等；④在等圓中，圓心角不等，所對的弦也不等A．①② B．①③ C．①④ D．①②③④【答案】C【分析】根據所學定理和推論可知①④正確，②③錯誤．【詳解】解：①根據圓心角的定義知，頂點在圓心的角是圓心角；故①正確．②缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧才相等；故錯誤．③在圓中，一條弦對著兩條弧，所以兩條弦相等，它們所對的弧不一定相等；故錯誤．④根據圓心角、弦、弧之間的關系定理，在等圓中，若圓心角相等，則弦相等，所以圓心角不等，弦也不等；故④正確．故選：C．22．如圖，在中，，，則下列結論錯誤的是（

）A．弦的長等于圓內接正六邊形的邊長 B．弦的長等于圓內接正十二邊形的邊長C． D．【答案】D【分析】根據正多邊形的性質和圓的相關概念對四個選項逐一進行分析．【詳解】解：A．因為，，所以，所以為等邊三角形，，以為一邊可構成正六邊形，故結論正確，該選項不符合題意；B．因為，根據垂徑定理可知，；再根據A中結論，弦的長等于圓內接正十二邊形的邊長，故結論正確，該選項不符合題意；C．根據垂徑定理，，故結論正確，該選項不符合題意；D．根據圓周角定理，圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)的一半，，故結論錯誤，該選項符合題意．故選：D．23．如圖，點A，B，C，D，E都是上的點，，，則______°．【答案】116【分析】連接、，根據圓內接四邊形的性質求出，根據圓心角、弧、弦之間的關系定理求出，根據圓內接四邊形的性質計算，得到答案．【詳解】解：連接、，∵點A、C、D、E都是上的點，∴，∴，∵，∴，∴，∵點A、B、C、E都是⊙O上的點，∴，∴，故答案為：116．24．如圖，的兩條弦、互相垂直，垂足為，且，已知，，則的半徑為__．【答案】【分析】過作于，于，連接，由推出，根據正方形的判定推出是正方形，再求出的長，最后在中，根據勾股定理即可求出．【詳解】解：過作于，于，連接，，，過圓心，，，，，，，，，四邊形是正方形，，在中，由勾股定理得：．故答案為：．25．如圖，在中，弦相交于點P，且，求證：．【答案】見解析【分析】根據，得到，推出，得到，即可得到結論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．26．如圖，是的外接圓，平分，交于點F，交于點D，平分，交于點E，連接．(1)求證：；(2)若點A是的中點，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據同弧所對的圓周角相等，得到，再利用角平分線平分角以及三角形外角的性質，得到，即可得證；（2）根據等弧對等弦，得到，證明，得到，再根據等角對等邊，得到，即可得到．【詳解】（1）證明：如圖∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，即；（2）證明：∵點A是的中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．題型五圓心角的概念辨析題型五圓心角的概念辨析27．下列說法正確的是（）A．如果一個角的一邊過圓心，則這個角就是圓心角B．圓心角α的取值范圍是C．圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角D．圓心角就是在圓心的角【答案】C【分析】由圓心角的定義：圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，即可求得答案．【詳解】解：∵圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，∴A、D錯誤，C正確；∵圓心角α的取值范圍是，∴B錯誤．故選：C．28．如圖中，，以C為圓心，為半徑的圓交于點D，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接先求解再利用圓心角與弧之間的關系可得答案．【詳解】解：如圖，連接∵，∴∵∴∴∴的度數(shù)為：故選B．29．如圖，在中，劣弧的度數(shù)為，則圓心角_________.【答案】【分析】的度數(shù)即為所對圓心角的度數(shù)；【詳解】解：的度數(shù)即為所對圓心角的度數(shù)；∴故答案為：30．如圖，是的弦，，則________．【答案】【分析】根據同圓中半徑相等，可得，根據等邊對等角以及三角形內角和定理可得結果．【詳解】解：∵，∴，又，∴，故答案為：．31．如圖，、是⊙O的直徑，弦，弧的度數(shù)為，求的度數(shù)．【答案】【分析】連接，由弧的度數(shù)為，得到，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求出，再由，即可得到．【詳解】解：連接，如圖，∵弧的度數(shù)為，∴，∵，∴，∴，∵弦，∴．32．如圖所示，以O為圓心的兩個同心圓，小圓半徑為1，大圓半徑為，用6條直徑將兩個圓12等分，點A在大圓等分點上，點B在小圓等分點上，且．（1）將繞點O順時針旋轉得，請在圖甲中畫出．（2）將繞點O順時針旋轉得，使邊第一次經過點B，請在圖乙中畫出．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由于圓被12等分，可得每小格為30°，則120°為4小格，據此畫圖即可；（2）計算出AB=2，根據經過點B，可知點B為A2B2中點，從而得到旋轉角，畫出圖形即可．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求．（2）AB=，如圖所示，即為所求．題型六圓周角的概念辨析題型六圓周角的概念辨析33．下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據圓周角的定義（角的頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可．【詳解】解：根據圓周角的定義可知，選項C中的角是圓周角．故選：C．34．如圖，四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點，且位于右上方的小正方形內，則sin∠APB等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由圖，與為同弧所對的角，根據同圓內，同弧所對的圓周角與圓心角的關系即可求得答案．【詳解】解：A、B、O是小正方形頂點，，（同圓內，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半），，故選：B．35．如圖，△ABC內接于圓，弦BD交AC于點P，連接AD．下列角中，所對圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根據題意可直接進行求解．【詳解】解：由圖可知：所對圓周角的是∠ACB或∠ADB，故選C．36．已知點、、、在圓上，且切圓于點，于點，對于下列說法：①圓上是優(yōu)?。虎趫A上是優(yōu)??；③線段是弦；④和都是圓周角；⑤是圓心角，其中正確的說法是________．【答案】①②③⑤【分析】根據優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義逐項分析判斷即可【詳解】解：，都是大于半圓的弧，故①②正確，在圓上，則線段是弦；故③正確；都在圓上，是圓周角而點不在圓上，則不是圓周角故④不正確；是圓心，在圓上是圓心角故⑤正確故正確的有：①②③⑤故答案為：①②③⑤37．如圖，點均在圓上，則圖中有________個圓周角．【答案】8【分析】根據圓周角的定義，圓周角的頂點必在圓周上，據此可把頂點分別為A、B、C、D的圓周角數(shù)出來，即可得到答案．【詳解】解：以點為頂點的圓周角各有3個，以點為頂點的圓周角各有1個，共有8個圓周角．故答案為8．題型七圓周角的性質應用題型七圓周角的性質應用38．如圖，四邊形內接于．若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，以及圓內接四邊形的內對角互補，進行求解即可．【詳解】解：四邊形ABCD內接于，，∴，，∴；故選C．39．如圖，已知四邊形是的內接四邊形，且，，，下列命題錯誤的是（

）A． B．C． D．圖中全等的三角形共有2對【答案】D【分析】根據等弧對等角、證，利用全等的性質得到,,結合已知利用勾股定理逆定理證，然后利用等腰三角形和三角形面積公式進行分析即可．【詳解】解：四邊形是的內接四邊形即且，，故A正確，不符合題意；,,在中，故B正確，不符合題意；故C正確，不符合題意；圖中全等三角形有：，，，共有3對故D錯誤，符合題意；故選：D40．如圖，點，在上，連結，，且，若點是圓上異于，的另一點，則___________．【答案】或【分析】分別從點在優(yōu)弧上與點在劣弧上去分析求解即可求得答案．【詳解】解：∵，若在優(yōu)弧上，如圖，則：；若點在劣弧上，如圖，則：；故答案為：或．41．如圖，在圓內接正六邊形中，，交于點G，已知半徑為，則的長為________．

【答案】2【分析】連接、，則三角形為直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接、、，則經過O點，且O是的中點，∵六邊形是正六邊形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設的長為x，則，∴，解得：或（舍去）．故答案為：2．42．如圖，四邊形內接于以為直徑的圓，圓心為，且，延長、交于，連接．(1)求證：；(2)過點作的垂線交的延長線于，且．①求線段的值；②若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）先利用圓心角定理的推論證明，得到再利用圓周角定理得到，即可求證．（2）①先證明，得到對應線段的比例，再求解即可；②分別求出和，再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：①∵，∴設，，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴；②∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∴即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，，∴，即，∴．43．如圖，是的直徑，D是的中點，且交于點E，連接并延長交的延長線于點F．(1)當，求的大?。?2)當?shù)陌霃綖?，，求的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出，再利用三角形外角的性質求解；（2）先利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵D是的中點，∴，∵半圓所對的圓周角是∴，∵∴，∴．（2）∵D是的中點，∴垂直平分，如圖，連接，在中，，∴在中，，∴的長為．題型八半圓或直徑所對的圓周角為90°及其逆應用題型八半圓或直徑所對的圓周角為90°及其逆應用44．如圖，AB為的直徑，C、D是上的兩點，，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．35° C．40° D．50°【答案】C【分析】連接，利用圓周角定理得到，，然后利用三角形內角和計算的度數(shù)．【詳解】解：連接，如圖，∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，故選