2025年新高考復(fù)習(xí)突破講義：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【考點(diǎn)預(yù)測】

1,對數(shù)式的運(yùn)算

⑴對數(shù)的定義::一般地，如果。、=N(a>0且awl),那么數(shù)X叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log“N,

讀作以。為底N的對數(shù)，其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見對數(shù):

①一般對數(shù)：以。(。>0且為底，記為log"讀作以。為底N的對數(shù);

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①log；=0；log：=l；其中〃>0且awl；

②3°g%=N(其中0>0且awl，N>0)；

③對數(shù)換底公式：log6集;

④log.(MN)=\ogaM+log”N-

M

⑤log,W=log"M-log”；

V!

⑥logbn=—log“b(m,n&R).

m

⑦a{ogab=6和log。a'=6；

⑧l(xiāng)og/=7^—；

log/

2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=log“x(a>0且OR1)叫做對數(shù)函數(shù).

值域：R

過定點(diǎn)（1，0）,即x=l時(shí)，y=0

在（0,+8）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當(dāng)0<x<l時(shí)，》<0,當(dāng)時(shí)，當(dāng)0cx<1時(shí)，y>0,當(dāng)xNl時(shí)，y<0

y>0

【方法技巧與總結(jié)】

1、對數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近x軸；當(dāng)0<。<1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖

象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸.（見下圖）

a增大

a增大

【典型例題】

例1.（2024廣東一模）假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力直相同，之后甲通過學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的

基礎(chǔ)上進(jìn)步2%,而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過（）天，

甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數(shù)據(jù)：愴102。2.0086,1g99"9956,lg2?0.3010）

A.23B.100C.150D.232

【答案】B

【解析】令甲和乙剛開始的“日能力值”為1,〃天后，甲、乙的“日能力值”分別（1+2%）”,（1-1%）”,

依題意，盧鵠=20,即（音）■=20,兩邊取對數(shù)得〃1g臂=坨20,

（1—1/o）yyyy

,,l+lg21+0.3010

因止匕〃=----------?---------------100

7必lgl02-lg992.0086-1.9956

所以大約需要經(jīng)過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.

故選：B

例2.（2024?高三?江西?開學(xué)考試）研究表明，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)/之間

的關(guān)系為IgE=4.8+1.5^.2023年12月18日在甘肅積石山縣發(fā)生了里氏6.2級(jí)地震，2024年1月4日在斐

濟(jì)群島發(fā)生了里氏5.7級(jí)地震，若前后這兩個(gè)地震釋放的能量之比是〃，則〃的整數(shù)部分為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】c

【解析】設(shè)前后兩次地震釋放的能量分別為回，與,

flgE.=4.8+1.5x6.2[￡___

由已知得北一7，兩式相減得lg±=tL5xn0.5=0.75,

[lgE2=4.8+1.5x5.7E2

貝（]〃=4=IO075=i（）a=Viooo

E?

因?yàn)?4<1000<6’，則5〈痂而<6,即〃="1000€（5,6）,

所以〃的整數(shù)部分為5.

故選：C.

例3.（2024?高一訶南?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃x+l）=log/+2，-3,則〃2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】令無+1=2,得x=l,則〃2）=log/+2-3=-1.

故選：A

例4.（2024?全國?模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛叫中，已知生與。9是方程2尤2一尤+加=0的兩根，則

']、1%(％+為+…+%1)

,d=()

A.也B?智「vn11

D

114-T

【答案】B

【解析】因?yàn)樗呐c。9是方程2/—x+m=0的兩根t由韋達(dá)定理得名+。9=21

。-1-1

因?yàn)閿?shù)列｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列，所以4+-%+^10—^3^9—2a6=],&=),

，1、1。84（%+。2+…+/1）/-J\loglla/\logj-i-4,2-711

所以出咱4史61—。f_a/Ti

-1

11

故選：B.

例5.（2024廣東佛山模擬預(yù)測）已知仍w1,bg“"=2,log/,加=3,貝貝og^冽=()

A.）B，C.，D.*|E.均不是

6565

【答案】D

【解析】由題意知，機(jī)>。,,b>Q,

因?yàn)閎g“加=2,log,m=3,

所以由換底公式可得log,,,。,log?,^=|,

又因?yàn)閗>g?,a+log“/=log?,ab（ab^l）,

所以log,“"4+!=，,

23o

所以由換底公式可得log.^=|.

故選：D.

例6.（2024?高一?廣東江門?階段練習(xí)）若函數(shù)尸/⑴是函數(shù)1罐（?>0,且e）的反函數(shù),且滿足

/⑵=1,則〃尤）=（）

A.log2xB.[C.log05尤D.2、

2

【答案】A

【解析】函數(shù)y=a*（a>0且"1）的反函數(shù)為>=bgaX,

即/（xblo&x,又/⑵=1,所以log“2=l,所以。=2,

則/（x）=log2X.

故選：A

例7.（2024?高一?全國專題練習(xí)）已知函數(shù)①了=4、；②尸log,2;@y=-log3x;@；；=log02^;⑤

y-log3x+l；（?了=1。82仁+1）.其中是對數(shù)函數(shù)的是（）

A.①②③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合歹=bg“X（a>0且awl）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，

其中x是自變量，。是常數(shù),

易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；

③中y=-log3x=log廣，是對數(shù)函數(shù)；④中昨log02G=log0.04x,是對數(shù)函數(shù)；

⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).

故選：C.

例8.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)①y=log^zx；②y=logfe；③y=logcx；④y=logrfx的大致圖

象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）

A.a+c<b+aB.a+d<b+c

C.b+c<a+dD.b+d<a+c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得6>a>l>d>c,則a+b>a+c,6+d>a+c,故A正確，D錯(cuò)誤；又a+d與

b+c的大小不確定，故B,C錯(cuò)誤.故選A.

例9.（2024?高一?青海西寧?開學(xué)考試）函數(shù)>=旭卜+1）佰勺圖象是（）

【答案】A

【解析】因?yàn)閥=|lg（x+i）|zo，故排除D；

當(dāng)X=O時(shí)，y=|lg（0+l）|=0，故排除BC；

結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知A正確.

故選：A.

例10.(2024?天津南開一模)已知。=2h，b=log,，。=1幅3,則()

43

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，?=2-"<2-1=1,；=log[<6=log\<log￡=1,

2幺42工3~44

c=log23>log22=l,

所以a<b<c,

故選：A.

例11.(2024?重慶?模擬預(yù)測)若函數(shù)〃x)=ln(x2_2ax+3a)在[1,+“)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.(-oo,l]B.(-1,1]C.[T,+e)D.[1,+s)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ln(/-2ax+3a)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

-2a<1

所以*2，解得

1—2。+3?！?

故選：B.

例12.(2024?高一?上海?開學(xué)考試)設(shè)。,4c都是非零常數(shù)，且滿足4。=6〃=9。，則工+2=.(結(jié)果用

ac

6表示)

【答案】|

【解析】由。也c都是非零常數(shù)，設(shè)4"=6"=9°=/>1，則a=log44b=log6f,c=log9J

11?

所以一+—=log,4+log,9=log,36=2log,6=-

acb

故答案為：I

例13.(2024?高三?全國專題練習(xí))函數(shù)/(x)=lnx+x,xe[l,e]的值域?yàn)?

【答案】[Le+l]

【解析】函數(shù)/(x)=lnx+x,xe[l,e]為增函數(shù)，故其值域?yàn)閇l,e+l].

故答案為：[Le+l]

例14.(2024?陜西西安?二模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足Ax+2)=-/Q),且當(dāng)0<x<2時(shí)，

/(x)=3'-lnx，則〃211)=.

【答案】-3

【解析】由已知可得/卜+2)+/■(尤)=0，所以/(x+4)+/(x+2)=0,

所以/(尤+4)=/(x),即7=4是函數(shù)/(x)的一個(gè)周期，

所以〃211)=〃3)=-〃l)=-(3Jlnl)=-3.

故答案為：-3

例15.(2024?高一?安徽蚌埠?期末)(1)若3-5,求2+1的值；

ab

2

(2)求值:(27)3+(1g5)2+1g2Klg50-13-TI|.

1111

【解析】(1)因?yàn)?"=5=15,所以。=logs15,b=logs15,T=，

ai.Julug,J.J

貝+1r^+7^^]=5(10條3+log5§=51og5(3x$=t；

abU°g315log515J

22

22

(2)(27)3+(lg5)+lg2xlg50T3—兀|=任)3+(lg5)+lgyxlg(10x5)-n+3

=32+(lg5)2+(l-lg5)x(l+lg5)-7i+3=12-7t+(lg5)2+l-(lg5)2=13-TT.

例16.(2024?高一?江蘇常州?期末)(1)計(jì)算：3噫2+(0.125)^-0.25x卜J；

(2)已知3,=5>=15,計(jì)算工+工的值并證明肛>4.

%V

【解析】(1)3臉2+(0.125)3-0.25X1：

214

=2+83-1X(-2)

=2+4-4

=2

(2)因?yàn)?、=5^=15,

所以X=logs15,y=logs15,

1

-+\+..=logls3+log155=log1515=l

xylogs15logs15

因?yàn)楣?工=1,x>0,y>Q,xy>0

xy

所以孫=x+V，且x>0,y>0,xwy,

所以母=x+>>2/^,即中>4.

例17.（2024高一全國?課后作業(yè)）計(jì)算:

,25,…1

(1)10§4—+10§23-10§0.5-；

2

(2)(log32+log23)-^|

log32-

251

+g2

【解析】(1)l°g41°§23-log0,5=9+lo3___員5

2

log24log20.5

=log21+皿23-log25=log2|^X3H-5j=log2l=0

(2)(1。&2+皿)2一窗l(fā)og?3

bg"

ln2In3yIn2In2In3In3

In3In2JIn3In3In2In2

圖+BF制*工

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污

染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢

水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/n?,第“次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量/滿足函數(shù)模型

14+儲(chǔ)-53。2"+，（reR,〃eN*）,其中為為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，八為首次改

良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，〃為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過

0.65g/m3時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn),若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參考

數(shù)據(jù)：1g2?0.30,1g3?0.48)

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【解析】由題意知"=2.25g/m3,12.21g/m3,

當(dāng)〃=1時(shí)，1%+(「％)x33,故33=1,解得f=-0.25,

所以5=2.25-0.04x3"頌"f.

1g40

由q40.65,得3°物"川240,即0.25(1注著,

1g3

得〃2生喂?+1-14.33，又〃eN*,

1g3

所以“215,

故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要15次.

故選：D

2.(2024?高三?四川?期末)蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的大數(shù)之間的計(jì)算而

發(fā)明了對數(shù).利用對數(shù)運(yùn)算可以求大數(shù)的位數(shù).已知1g5=0.699,則限是()

A.9位數(shù)B.10位數(shù)C.II位數(shù)D.12位數(shù)

【答案】B

【解析】記23JM,則31xlg2=lgM,

則lgM=31x(l-lg5)=9.331,則M=10"331e(io9,i0io),

故才是10位數(shù).

故選：B

3.(2024青海一模)已知集合/=卜卜=愴(*+2X+3)},5={x|x2-4<0)，則Nu8=()

A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-2,3)D.(-2,2)

【答案】C

【解析】由-尤2+2x+3>0得：X2-2X-3=(X+1)(X-3)<0,,；.4=(-1,3);

由4-4<0得:(x+2)(x-2)<0,.-.-2<x<2,A5=(-2,2),:.AU5=(-2,3).

故選：C.

4.（2024?高一山西大同?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=lg（4-k|）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（-4,0）B.（-8,0）C.（0,4）D.（0,+e）

【答案】A

【解析】對于函數(shù)〃x）=lg（4-附,令4Txi>0,即忖<4,解得-4Vx<4,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋═,4）,

（4—xx20

又片4-卜卜'；，所以尸4Txl在（0,+e）上單調(diào)遞減，在（-咫0）上單調(diào)遞增，

函數(shù)了=lgx在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以1（x）=lg（4Tx|）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-4,0）,單調(diào)遞減區(qū)間為（0,4）.

故選：A

5.（2024?江西九江?二模）若函數(shù)〃月=1113+1）在（1,2）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.（~<?,0）B.C.D.[-1,0）

【答案】C

【解析】函數(shù)/（力=m（辦+1）在（1,2）上單調(diào)遞減，

由函數(shù)y=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）=ax+l在（1,2）上單調(diào)遞減且恒大于0,

則有[g⑵=2〃+12。，解得一廣"°.

故選：C

1

6.（2024?高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)於）=+In（3x-1）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A?（T/7]B?（7/7）

J/Jz

C.["，fD?[-g.

【答案】B

【解析】要使函數(shù)/W=蠟常+ln（3x-1）有意義，則：一4：2：°，二函數(shù)人x）的定義域?yàn)椋ǎ?

VI-4x\3x-l>0323

7.(2024全國模擬預(yù)測)已知函數(shù)/3=3，，若。="10836),6=/(108510),°=/0,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【解析】依題意，log36=l+log32>l+log3V3=|,log510=l+log52<l+log5V5=|,

3

因此Iog510<5<log36,而函數(shù)〃x)=3'在R上單調(diào)遞增,

所以〃唾510)</(|)</(1嗝6),即b<c<a.

故選：D

30J

8.(2024?高一湖南階段練習(xí))已知a=0.3,b=3,c=10go.30.06,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>0aC.c>b>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】由指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，可得0<0.33<0.3°=1,即。<a<1,

又由1=3°<30-3<30-5=6<2,即1<b<2,

又由對數(shù)的運(yùn)算，可得c=log°&06>log0_30Q9=2，即c>2,

所以c>6>a.

故選：C.

9.(2024?高一廣東茂名?期末)若指數(shù)函數(shù)"X)經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則它的反函數(shù)g(x)的解析式為()

2

A.g(x)=log2xB.g(x)=log05xC.g(x)=2*D.g(無)=x

【答案】A

【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)/(x)=/(a>0且分1)，點(diǎn)(2,4)在〃x)的圖象上，

所以4=/,解得。=2.

所以/(x)=2"故反函數(shù)g(x)=log,x.

故選：A

10.(2024?高二?貴州遵義?期末)1909年一位丹麥生物化學(xué)家提出溶液pH值，亦稱氫離子濃度指數(shù)、酸堿

值，是溶液中氫離子活度的一種標(biāo)度，其中P源自德語，意思是濃度，H代表氫離子.pH的定義式為：

pH=-lgc（H+）,c（H+）指的是溶液中氫離子活度.若溶液甲中氫離子活度為31622776.60168379，溶液乙中

氫離子活度為31622.77660168.則溶液甲的pH值與溶液乙的pH值的差約為（）

,11

A.—B.—4C.—3D.——

33

【答案】C

【解析】由題意可知，溶液甲的pH值與溶液乙的pH值的差為

-1g31622776.60168379+1g31622.77660168=lg31622.77660168。_3=_3

31622776.60168379

故選：C.

11.（2024?高三?江蘇揚(yáng)州?期末）2018年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國89歲高齡的著名數(shù)

學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng).在1859年，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科

學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前

著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)何題，并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為Mx）。4的結(jié)論.

若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為（）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，Igea0.43,計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

A.1079B,1075C.434D,2500

【答案】B

【解析】因?yàn)樗?000）=黑黑=黑^=2500叱2500、0.43=1075,

所以，估計(jì)1000。以內(nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為1075.

故選：B.

12.（2024?貴州貴陽一模）純電動(dòng)汽車是以車載電源為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車輪行駛，符合道路交通、安全

法規(guī)各項(xiàng)要求的車輛，它使用存儲(chǔ)在電池中的電來發(fā)動(dòng).因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用

車的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C、放

電時(shí)間蜂口放電電流/之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=I\,其中2為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常

數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為7.5A時(shí)，放電時(shí)間為60h;當(dāng)放電電流為25A時(shí)，放電時(shí)間

為15h,則該蓄電池的Peukert常數(shù)2約為（參考數(shù)據(jù)：1g2。0.301,1g3。0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【解析】由題意知。=7.5"x60=25"xl5,

所以=4，兩邊取以10為底的對數(shù)，得"g]=21g2,

,21g22x0.301…

所以a=—―~------------1.15

加"l-lg31-0.477

故選：D.

二、多選題

13.（2024?高一?河南省直轄縣級(jí)單位?期末）下列說法正確的是（）

A.幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

B.函數(shù)J，=f與了=（五）4是同一函數(shù)

C.函數(shù)了=2、與了=142戈的圖象關(guān)于直線了=》對稱

D.y=sinx,xe12024兀,2024兀]是以27t為周期的函數(shù)

【答案】AC

【解析】對于A,易知幕函數(shù)了=x“（ceR）,顯然恒過定點(diǎn)（1,1），故A正確；

對于B,由了=（6）"可知x20,即其定義域?yàn)閇0,+8）,而＞=/的定義域?yàn)镽,所以兩函數(shù)定義域不同，

故B錯(cuò)誤；

對于C,由反函數(shù)的定義易知函數(shù)了=2,與昨互為反函數(shù)，

故其函數(shù)圖象關(guān)于直線了=尤對稱，故C正確；

對于D,根據(jù)周期性定義知對于定義域內(nèi)無=2024兀,2024兀+2兀旬-202471,2024?!],不滿足周期性定義,

故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

14.（2024?高一山東威海?期末）已知10"=2,10"=3,則J.

【答案】3

【解析】因?yàn)?0"=2,10〃=3,所以“=愴2,6=坨3,

,,b炫3

政2?—21g2—2log23=3?

故答案為：3

15.(2024?高一福建漳州期末)設(shè)工=log27,則7筋一7-"的值為.

a

.7

【答案】—/3.5

【解析】由1=1嗎7,則。=1嗚2，所以7。=2,

a

故72—7-。=(7")2-(7"[=22-2-1=g,

故答案為：f7

16.(2024?四川廣安?二模)已知函數(shù)7'("=<.則/[/(-2)]的值為

【答案】-4

【解析】Q/(-2)=4-2=^>0,

；J[〃一2小=log$=log22T=-4.

故答案為：-4.

17.(2024?高三?上海?階段練習(xí))方程lg(2-x)+lg(3-x)=lgl2的解是_____.

【答案】x=-l

【解析】由方程lg(2—x)+lg(3—x)=lgl2,可得lg[(2-x)(3-x)]=lgl2,

2-x>0

.?<3-x>0,解得x——1.

(2-x)(3-x)=12

故答案為：x=T

14

18.(2024?高一?云南?階段練習(xí))計(jì)算：^(log^y-^og^+e--log23=

【答案】2-21og23

21114

[解析]^(log23)-^ogjS+e-log,3

2

=^(log23)-41og23+4-log23

=J(log23-2)2-logz3

=|log23-2|-log23

=2-log23-log23=2-21og23.

故答案為：2-21og23

19.(2024?高一?山西呂梁期末)設(shè)了=/(對是定義在R上的函數(shù)，滿足/(f)-〃x)=0,且

/(l+x)-/(l-x)=0,當(dāng)0<x41時(shí);"x)=ln(xe)+2T,則“2023)=.

【答案】)/0.5

【解析】了二/⑴是定義在R上的函數(shù)滿足〃-x)=/(x)，所以=,

又因?yàn)?無)=/(l-x)，所以/Q+x)=/(x-l)，所以〃2+x)=/(x),

則函數(shù)/(X)的周期為2,所以/(2023)=/(1)=2-=1,

故答案為：!

20.(2024?高一山東青島?期末)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列①②③的函數(shù)的解析式_________.

①/㈤的定義域?yàn)?0,+8)；②八砧六外動(dòng)+八%);③當(dāng)x>l時(shí)，/(%)>0.

【答案】/(x)=lnx(答案不唯一)

【解析】取/(x)=lnx,其定義域?yàn)?0,+8),/(X[X2)=In(xxx2)=InXj+lnx2=/&升/依)，

滿足/(無㈤=/&)+/(無2)，且當(dāng)x>l時(shí)，〃x)>0,滿足所有條件，

故答案為：〃x)=lnx;(答案不唯一)

21.(2024?高一北京東城?期末)函數(shù)/(x)=E+In(x2)的定義域是______.

【答案】(-8,0)”0』

【解析】由題意得[吐0,解得無,

故定義域?yàn)?-8,0)3?！?

故答案為：(-oo,0)u(0,l]

22.(2024?云南?模擬預(yù)測)若〃x)=ln[l+&)為奇函數(shù)，貝同=.

【答案】-1

【解析】對于函數(shù)〃x)=ln［l+噓］,

2

令1■1->01解得x>—b<—b—2,

x+b

所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-9-2)U(-6,+8),

又/(x)為奇函數(shù)，所以-j-2=0，所以…1,

此時(shí)/(外=111(1+/^)=1111三口，定義域?yàn)?一00，一1)1^。#00),

且〃-x)=ln［三I』1］曰=-/(x)，滿足f(x)為奇函數(shù).

故答案為：T

23.(2024?高一?上海閔行階段練習(xí))函數(shù))'=皿1(無+2)一/，無q2,6］的最大值為

2

【答案】-6

【解析】由題意，知產(chǎn)-小在［2,6］上單調(diào)遞減，k1<^(工+2)在［2,6］上單調(diào)遞減，

故>=1(^(》+2)--在［2,6］上單調(diào)遞減，

2

則當(dāng)X=2時(shí)該函數(shù)取到最大值l°g工(2+2)-2?=一6,

2

故答案為：-6

2

24.(2024?高一山西長治期末)已知函數(shù)〃x)=log3(-x+4x+。-1)的最大值為2,則。=.

【答案】6

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃無)=log3(*+4x+a-1)由y=log3Z,f>0與/=-x?+4x+a-1復(fù)合而成，

而V=log?，在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)f=r2+八+o-1取最大值時(shí)，函數(shù)V=log3^取得最大值，

由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)x=2時(shí)，*.=。+3,此時(shí)〃x)1mx=log3(a+3),所以logs(。+3)=2,解得a=6.

故答案為：6

25.(2024高一四川綿陽開學(xué)考試)函數(shù)〃尤)=優(yōu)(。>0且"1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(Le),則函數(shù)1⑴的反

函數(shù)g(x)=.

【答案】y=inx

【解析】由題可得："e,故〃x)=e］其定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+向；

因?yàn)閗e"解得x=ln>,故的反函數(shù)為>=lnx.

故答案為：歹=lnx.

四、解答題

-ln20

26.(2024?高一四川眉山?開學(xué)考試)(1)(log43+log23)log32+e+(7r-l)

3x-3x

(2)已知j=3，求工的值.

a+a

【解析】(1)原式=0。43+1嗝3)噫2+€吟+1

3131

=-log23?log32+-+l=-+-+l=3;

(a3x+a3x\ax/⑦

(2)由于/=3,故原式二r

V\.a+a一二I-aa7+1

32l

+327+17.

3+1-12

27.(2024?高一?廣西百色?開學(xué)考試)計(jì)算下列各式的值：

(1)(-3-)3+(0.002)2-10x(V5-2)-1+(V2-V3)°；

8

⑵(噫2+log92)(log43+log83)一e%?

T_2_1

【解析】(1)(-3|)3+(0.002)2-10x(V5-2)-1+(V2-V3)°

o

=(I)3""+(500A-10X(V5+2)+1

--+10V5-10V5-20+1.

99

272+lo2lo3103_

()(log32+log,2)(log43+log83)-e'"=(l°g3^§3)(1-g2+1§2)1

355355

=-10§32><-10§23--=2X6X10g32xl0g23-4

55c

=------=0.

44

28.(2024?高一遼寧撫順?開學(xué)考試)求了=log?〃-4X+7)的定義域和值域.

【解析】l^t=x2-4x+7,貝！k=(x-2y+323.

因?yàn)?>0恒成