2025年新高考數(shù)學(xué)重難點專項復(fù)習(xí)：集合?？碱}型十一大題型（原卷版）

重難點01集合常考題型十一大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.解決集合定義類型題要注意以下兩點：

①要時刻不忘運用集合的性質(zhì)，用的最多的就是互易性;

②元素與集合的對應(yīng)，如數(shù)對應(yīng)數(shù)集，點對應(yīng)點集.

技巧二.判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法

1.直接法：集合中的元素是直接給出的.

2.推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.

技巧三.用列舉法表示集合應(yīng)注意的兩點

1.應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點，還是其他元素；

2.若集合中的元素是點時，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對用小括號括起來表示一個元素.

技巧四.利用描述法表示集合應(yīng)關(guān)注五點

1.寫清楚該集合代表元素的符號.例如，集合｛x￡R|x<l｝不能寫成｛x<l｝.

2.所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi).例如，｛xwZ|x=2四,kRZ,這種表達方式就不符合

要求，需將ZeZ也寫進花括號內(nèi),即｛X￡Z|X=2Z,AreZ）.

3.不能出現(xiàn)未被說明的字母.

4.在通常情況下，集合中豎線左側(cè)元素的所屬范圍為實數(shù)集時可以省略不寫.例如，方程/-2x+1=0的

實數(shù)解集可表示為｛xeR|/-2x+1=0｝,也可寫成例4-2x+1=0｝.

技巧五.由集合中元素的特性求解字母取值（范圍）的步驟

1.根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值

2.根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進行檢驗

3.寫出所有符合題意的字母的取值

技巧六判斷集合間關(guān)系的方法

1.用定義判斷

①任意XW/時，XW6,則A^B.

②當(dāng)6時，存在xw8,且雙Z,則A^B.

③若既有AQB,又有比Z,貝U/=B.

2.數(shù)形結(jié)合判斷

對于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍.

技巧七.子集與真子集的個數(shù)

①力的子集的個數(shù)有2"個.

②/的真子集的個數(shù)有（2"-1）（優(yōu)1）個.

③力的非空子集的個數(shù)有(2"-1)(/721)個.

④力的非空真子集的個數(shù)有(2"-2)(7721)個.

技巧八.求給定集合的子集的兩個關(guān)注點

1.按子集中元素個數(shù)的多少，以一定的順序來寫.

2.在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身.

技巧九.符號問題辨析

1.元素與集合、集合與集合的關(guān)系.

"G"是"元素"與"集合"之間的從屬關(guān)系，如ae{a}.

或是"是兩個集合之間的包含關(guān)系.

2.0、{0}、0、{0}的關(guān)系

Q)區(qū)別：0不是一個集合，而是一個元素，而{0},0,{0}都為集合，其中{0}是包含一個元

素0的集合；

0為不含任何元素的集合；{0}為含有一個元素0的集合，此時0作為集合{0}的一個元素.

(2)聯(lián)系：0￡{0},0€0,030},0C{O},0士0},0C{0},0C{0}.

技巧十.解決集合交、并、補運算的技巧

/.如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補集

的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖來求解.這樣處理起來，相對來說比較直

觀、形象且解答時不易出錯.

2.如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進行

交、并、補集的運算.解答過程中要注意邊界問題.

0*題型提分練

題型1集合的定義與性質(zhì)

【例題1](2022春?陜西咸陽?高一校考期末)下列各組對象中不能形成集合的是()

A.高一數(shù)學(xué)課本中較難的題B.高一(2)班全體學(xué)生家長

C.高一年級開設(shè)的所有課程D.高一（12）班個子高于1.7m的學(xué)生

【變式1-1]1.（2017春?山西朔州?高一?？计谀┮阎獂,y,z為非零實數(shù)，代數(shù)式中+含+高+器的

1*1\y\\z\\xyz\

值所組成的集合是M,則下列判斷正確的是（）

A.4eMB.2eMC.0eMD.—4cM

【變式1-1]2.（2021秋?天津靜海?高一靜海一中校考期末）已知A是由0,m,m2-3m+2三個元素組

成的集合，且2WA,則實數(shù)m為（）

A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可

【變式1-1]3.（2022春?山東臨沂?高一統(tǒng)考期末）已知X￡{2,3},yG{-31,-24,4）,則（%,y）可表示不同

點的個數(shù)是（）

A.1B.3C.6D.9

【變式1-U4.（2023春?北京石景山?高一統(tǒng)考期末）若集合{附,四}={1,2,3,4},且下列四個關(guān)系：①a=l;

②b/1；③c=2；④d/4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組（a,b,c,d）的個數(shù)是（）

A.7B.6C.5D.4

【變式1-1]5.（2022春?吉林長春?高一統(tǒng)考期末）下列四組集合中表示同一集合的為（）

A.M={（-1,3）},N={（3,-1）}

B.M={-1,3},N={3,-1}

C.M={（x,y）|y=x2+3x）,N={x[y=x2+3x}

D.M={0},N=0

【變式1-1]6.（2021秋?上海浦東新?高一上海市實驗學(xué)校校考期末）設(shè)Q是有理數(shù)，集合X={x|x=a+

b42,a,beQ,x0）,在下列集合中；

（1）（y\y=2x,xGX）；（2）（y\y=^=,xGX}；（3）（y\y=1,xGX]；（4）{y\y=x2,xGX）；與X相

同的集合有（）

A.4jB.3jC.2jD.lj

題型2集合的表示方法

【例題2]（2023春?廣西北海?高一統(tǒng)考期末）用列舉法可將集合{（居y）l%￡[0.1},ye{1,2}}表示為（）

A.{0,1}B.{（1,2））

C.{（0,1）,（1,2）}D.{（0,1）,（0,2）,（1,1）,（1,2）}

【變式2-1J1.（2023春遼寧沈陽?高一校聯(lián)考期末）方程（7-4x）2-（一一4x）-20=o的解集為.

【變式2-1]2.（2023秋?湖南長沙?高一統(tǒng)考期末）用列舉法表示{含eN|aeN）=

【變式2-113.（2019春嚀夏?高一校考期末）不等式阿+1|<3的解集是

A.{x\x<—4或%>2}B.{x|—4<x<2]

C.{x[x<-4或x>2}D.{x|-4<x<2}

【變式2-1]4.（2023秋?江西南昌?高一統(tǒng)考期末）已知集合”=（（x,y）|xeN,yeN,x+y<2},則M中

元素的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

題型3元素與集合、集合與集合間的關(guān)系

【例題3]（2023秋?全國?高一專題練習(xí)）已知集合4={x\x=2m-l,meZ）,B={x\x=2n,n&Z}且

孫x2EA,x3eB,則下列判斷不正確的是（）

A.?上"B.x2"x3GB

C.x1+x2EBD.+x2+x3EA

【變式3-1]1.（2023秋?山東荷澤?高一山東省東明縣第一中學(xué)校考期末）已知集合力=（x|x2-l=0},

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.l"B.{-1}￡XC.02XD.{-1,1]=X

【變式3-1]2.（2023春?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）下列五個寫法:①{0}G[1,2,3}；00￡{0};@{0,1,2）￡

[1,2,0）；④。€0；⑤0n0=0,其中錯誤寫法的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3-1]3.（2023秋?重慶渝中?高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎?={xER\x2+3x=0},則有

（）

A.0cxB.-3eC.A有4個子集D.{3}UA

【變式3-l】4.（2023秋?四川眉山?高一?？计谀┧?={x|x=*2k+l）,keZ},B={*=觸土/金z},

則集合A,B之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（）

A.AQBB.B^AC.A=BD.4與8互不包含

【變式3-1]5.（2022秋?陜西安康?高一?？计谀┎?=[1,-1-a,a2+3a-3）,B={%|%2-2%+1=

0},C={x\x2—（a+l）x+a=0}.

（1）討論集合B與C的關(guān)系；

（2）若a<0,且CU4,求實數(shù)a的值.

題型4子集真子集個數(shù)問題

【例題4]（2022秋?江西宜春?高一校聯(lián)考期末）集合{yGN|y=-x2+6,xeN}的真子集的個數(shù)是（）

A.15B.8C.7D.63

【變式4-1]1.（2022春?河北保定?高一河北省曲陽縣第一高級中學(xué)期末）集合M={久|aX2+3x-1=0}

至多有1個真子集，貝必的取值范圍是（）

或

A.a<—44B.aN—C.o=0D.a=40a<—

【變式4-1]2.（2023秋?江西新余?高一統(tǒng)考期末）已知集合4={-1,0},B={1,2},則集合C=

{z[z=/+丫2,力eB}的真子集個數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

【變式4-1]3.（2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知集合M滿足{2,3}cMc{1,2,3,4,5},

那么這樣的集合M的個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【變式4-114.（2023秋?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末）已知集合4={x|（m-I）%2+3%-2=0}恰有兩個非

空真子集，則m的值可以是.（說明：寫出滿足條件的一個實數(shù)m的值）

題型5集合的并交補運算

【例題5]（2022春?陜西西安?高一長安一中?？计谀┮阎螹={%|%=華+,keZ},集合N=

卜卜=等一ez},則MnN=（）

A.0B.MC.ND.Z

【變式5-1]1.（2023秋?江蘇鹽城?高一校聯(lián)考期末）設(shè)全集U=R,集合4={%|%<2},B=[x\x<-2

或x>6},貝！Mn（（：脛）=（）

A.{x\x<2}B.{x|2<%<6]

C.{x\—2<x<2]D.{x\—2<x<6]

【變式5-1]2.（2023秋?北京昌平?高一統(tǒng)考期末）已知集合4B都是N*的子集，4B中都至少含有兩個元

素,且4B滿足：

①對于任意x,y”,若x7y,則孫eB;

②對于任意x,yeB,若無<y,則（eA

若4中含有4個元素，貝必UB中含有元素的個數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【變式5-1]3.（2023春?四川綿陽?高一期末）集合A={（%,y）|y=x,xeR],B={（%,y）|y=x2,x&R},

則AnB的元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.8

【變式5-1]4.（2023秋?河北邯鄲?高一統(tǒng)考期末）設(shè)4、々、4、…、必是均含有2個元素的集合，且

&n&=0An4+i=0。=1,2,3,…,6）記B=&u4u&u…u/,則B中元素個數(shù)的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

題型6集合關(guān)系求參數(shù)

【例題6]（2023春?遼寧葫蘆島?高一統(tǒng)考期末）已知集合a={1,㈤，8={0,m+—1},aU8,則

實數(shù)m的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式6-1]1.（2023春?云南曲靖?高一統(tǒng)考期末）已知集合4={1,2},B={%|ax+1=0},若BUA,則

a的取值集合為（）

A-{-l,TB.{-1}C.{-|}D.

【變式6-1]2.（2023春?重慶北倍?高一西南大學(xué)附中校考期末）已知集合M={x|x=3k-2,keZ},集

合N={x\x=6k+l,keZ），則（）

A.M=NB.MUN

C.NUMD.MnN=0

【變式6-1]3.（2023春?四川成都?高一校聯(lián)考期末）下面有四個命題：

①{3}￡1x\x>3]；

②若a=2^2,B=[xER|x>2+V2）,貝[]aGB；

③若-a不屬于N*，則a屬于N*；

④若A=[x]y=V1-x2],B=[y\y=V1-%2},貝=B

其中真命題的個數(shù)為（）

A.0jB.ljC.2jD.3j

【變式6-1]4.（2023秋?吉林?高一統(tǒng)考期末）設(shè)a,6eR,P={1,a},Q={2a+3,6},若「=Q,則a-

b=

【變式6-1]5.（2022秋?江蘇連云港?高一期末）集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3GM且

N《M,則a的取值為

【變式6-1]6.（2022春?吉林長春?高一長春市第五中學(xué)?？计谀┖腥齻€實數(shù)的集合可表示為{a,%1）,

也可以示為{a?,a+b,0）,貝以2°13+。2。14的值為

題型7集合運算求參數(shù)

【例題7]（2023春?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合2=[2,0,x},B={2,/}且4CB=B,則x的取值集

合為（）

A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-V2,1,72}

【變式7-1J1.（2023春?寧夏石嘴山?高一平羅中學(xué)校考期末）已知集合4={0,4,m},B={O,m2}，且AUB=

a,則m的值為（）

A.0B.-2或2

C.—2或1或2D.-2或0或1或2

【變式7-1]2.（2023春?湖南衡陽?高一衡陽市一中校考期末）已知集合M={0,2,a},N={2a,4-a）,

MnNH0,則a的可能取值的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式7-1]3.（2023春?山東濱州?高一?？计谀┮阎疷={-1,1,3},集合4={a++2},且

CuA={一1}，貝必=?

【變式7-1]4.（2021秋?四川成都?高一成都七中?？计谀┮阎?={x|2a+1W%W3a+5},集合

B=<%|3<%<33},若Au（AnB）,貝1|ae（）

A.[1,9]B.[1潦]

C.(―8,—4)U[1,9]D.(―8,—4)u

題型8集合與不等式求參數(shù)

【例題8](多選)(2023秋?四川南充?高一四川省南充高級中學(xué)?？计谀?已知集合4={%I-1<x<7},

8={"。+23比32。-1},若使8=4成立的實數(shù)2的取值集合為乂，則乂的一個真子集可以是()

A.(—oo,4]B.(—00,3]C.(3,4]D.[4,5)

【變式8-1]1.(2023春廣東汕頭?高一統(tǒng)考期末)若Z={%|%2+%-a>0},且1人，貝必的取值范圍

為

【變式8-1]2.(2022秋,全國?高一期末)設(shè)M為實數(shù)，集合2={x|-2<%<4],B=(x\m<x<m+2].

(1)若機=3,求4UB,CR(4nB)；

(2)若4nB=0,求實數(shù)m的取值范圍.

【變式8-1]3.(2022秋?全國?高一期末)已知非空集合4={x\2a+1<x<3a—5],B={x|3<x<22}.

(1)當(dāng)a=10時，求4CB,2U8；

(2)求能使aUB=B成立的a的取值范圍.

【變式8-114.(2023秋?浙江臺州?高一統(tǒng)考期末)已知集合4=16川2￡1-3<；1<￡1+1},8=

{xGR|(x+l)(x—3)<0}.

(1)若a=0,nB；

(2)若An(CRB)=A,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式8-115.(2023秋?吉林長春?高一長春外國語學(xué)校?？计谀?已知集合M={%|1<%<2},集合N=

{%|3<%<5}.

(1)求CRMMC(CRN)；

(2)設(shè)4=(x\a<x<a+3],若2U(CRN)=R,求實數(shù)a的取值范圍.

題型9集合與方程求參數(shù)

【例題9](2022秋?湖南懷化?高一校聯(lián)考期末)已知集合4=(x|x2-5x+6=0},B=(x\x2-Sx+a0].

若BU4,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式9-1]1.(2021秋?云南保山?高一?？计谀?已知集合A=(%|%2-3%+2=0),B={x|x2-ax+

(a—1)=0},C={x|x2—mx+2=0}.

(1)命題p:\/xEB,都有％GX,若命題p為真命題，求a的值；

(2)若xe4是％eC的必要條件，求m的取值范圍.

【變式9-1]2.(2022秋?河南開封?高一?？计谀?設(shè)集合4={x|%2-l=0},S={x\x2-ax+b=0},

且8不。.

(1)若4UB,求實數(shù)a,b的值；

(2)若4￡c,且C={-1,2m+1,m2),求實數(shù)m的值.

【變式9-1]3.(2022秋?上海崇明?高一上海市崇明中學(xué)?？计谀?設(shè)集合A=(x\x2+3x+2=0),B=

{x\x2+(m+l)x+m=0}.

Q)用列舉法表示集合A；

(2)若8￡A,求實數(shù)小的值.

【變式】春福建福州高一?？计谀┕杉?2

9-l4.(2023?4={X|/+4X=0}^={%|%+2(a+l)x+a-l=0}.

(1)若4UB=B,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若AUB=4,求實數(shù)a的取值范圍.

【變式9-1]5.(2021秋?上海寶山?高一上海交大附中?？计谀?設(shè)集合M=[x\x2-mx+6=0,xeR],

且Mn{2,3}=M,求實數(shù)zn的取值范圍.

題型10韋恩圖的應(yīng)用

【例題10](2023秋?浙江臺州?高一統(tǒng)考期末)某學(xué)校舉辦了第60屆運動會，期間有教職工的趣味活動

"你追我趕"和"攜手共進”.數(shù)學(xué)組教師除5人出差外，其余都參與活動，其中有18人參加了“你追我

趕"，20人參加了“攜手共進"，同時參加兩個項目的人數(shù)不少于8人，則數(shù)學(xué)組教師人數(shù)至多為()

A.36B.35C.34D.33

【變式10-111.（2023春?云南大理?高一統(tǒng)考期末）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有85%的學(xué)

生喜歡足球或游泳，70%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生

數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.15%B.63%C.67%D.70%

【變式10-1]2.（2022秋?海南?高一統(tǒng)考期末）已知集合4={0,1,2,3,4,5）,集合B={1,3,5,7,9},則Venn

圖中陰影部分表示的集合中元素的個數(shù)為

【變式10-1】3.（2023秋?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過淮安方特、龍宮

大白鯨世界、西游樂園三個景點時，甲說：我去過的景點比乙多，但沒去過淮安方特；乙說：我沒去過龍

宮大白鯨世界；丙說：我們?nèi)齻€人去過同一個景點.則乙一定去過的景點是（）

A.淮安方特B.龍宮大白鯨世界

C.西游樂園D.不能確定

【變式10-1】4.（2023春?內(nèi)蒙古赤峰高一赤峰紅旗中學(xué)松山分校校聯(lián)考期末）若全集U=R,集合4=

{0,123,4,5},B={x|x>3],則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{3,4,5}B.{0,1,2}C.[0,1,2,3}D.{4,5}

題型11新定義題型

【例題11]（2023秋?廣西欽州?高一統(tǒng)考期末）當(dāng)一個非空數(shù)集G滿足:如果a,beG,+b,a-b,

abeG,且b力0時，￡eG時，我們稱G就是一個數(shù)域.以下關(guān)于數(shù)域的說法：①0是任何數(shù)域的元素；②若

數(shù)域G有非零元素，則2019eG；③集合P={久|x=2k,keZ}是一個數(shù)域.④有理數(shù)集是一個數(shù)域.其中

正確的選項是（）

A.①②④B.②③④C.①④D.①②

【變式11-1]1.（2023秋?四川成都?高一成都實外?？计谀┒x40B=[x\x=^,mGA,ne可若2=

[1,2,4},B={2,4,8}則40B中元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.5

【變式11-112.（2022秋?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末淀義差集M-N=