2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：求圓的方程八大題型（解析版）

重難點(diǎn)07求圓的方程八大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.幾何法：

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.

技巧二待定系數(shù)法：

①若已知條件與圓心(a,5)和半徑/■有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,/"的方程組,

從而求出a,b,/■的值；

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，巳尸的方程

組，進(jìn)而求出D,E,尸的值.

技巧三.標(biāo)準(zhǔn)方程法

確定圓心位置的方法

(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；

(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；

(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線.

技巧四.圓系方程

1.過直線Ax+By+C=0與圓A2+必+Dx+Ey+F-0交點(diǎn)的圓系方程為解+尸+Dx+Ey+F+A{Ax+By

+Q=O(/leR);

.過圓必+必+和圓：必+必+交點(diǎn)的圓系方程：必+〃+

2G:Dix+Eiy+6=0G6x+E2y+￡=0Dix

+8y+6++〃+D2X+￡y+￡)=0(/1/-1)(該圓系不含圓G解題時(shí)注意檢驗(yàn)圓G是否滿足題意，

以防漏解).

題型提分練

題型1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程法

【例題11(2022秋?青海海南?高二海南藏族自治州高級(jí)中學(xué)?？计谀?圓心在x軸負(fù)半軸上，半徑為4,

且與直線x+By-5=。相切的圓的方程為()

A.(x+3/+y2=16B.(十—3)2+y2=16

C.(x—13)2+y2=16D.(%+13)2+y2=16

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為⑺,0)(m<0),由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線久+V3y-

5=0的距離d=4,解得小的值，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為(爪,0),(m<0),

圓的半徑為4,且與直線x+V3y-5=0相切，

則圓心到直線％+V3y-5=0的距離d=甯=4,

解得：巾=—或13(舍)，

則圓的坐標(biāo)為(-3,0),故所求圓的方程為(x+3)2+y2=16,

故選：A

【變式1-1】1.(2023春?上海楊浦?高二統(tǒng)考期末)以C(l,l)為圓心，且經(jīng)過M(2,3)的圓的方程

是.

【答案】(X-I)2+(y-1)2=5

【分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把M(2,3)代入圓方程即可求出參數(shù)，從而得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】因?yàn)閳A心C(1,D,故可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為0-D2+(y-I)?="，

因?yàn)辄c(diǎn)M(2,3)在圓上,所以產(chǎn)=(2—1尸+(3—1尸=5,

所以所求圓的方程為(x-IP+(y-I)2=5.

故答案為：(X—l)2+(y-l)2=5

【變式1-1]2.(2023秋?浙江杭州?高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀?已知點(diǎn)力(4,0),。(0,0"(0,-3),則

△20B的內(nèi)切圓的方程為.

【答案】(x-I)2+(y+l)2=l

【分析】根據(jù)給定條件，確定AAOB內(nèi)切圓的圓心位置，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再借助點(diǎn)到直線的距離公式求解

作答.

【詳解】依題意，△&。8內(nèi)切圓的圓心C在第四象限，并且到X、y軸距離相等，令此圓半徑為＞0),則

圓心C(r,—r),

直線48方程為：升'=1,即3x—4y—12=0,直線28是圓C的切線,

|3r-4(-r)-12|

因此r=732+(-4)2-解得r=1或r=6,

顯然r<\OB\=3,于是r=1,圓心C(l,—1),

所以△40B內(nèi)切圓的方程為(x-+(y+I)2=1.

故答案為：(％-I)2+(y+I)2=1

【變式1-1]3.(2022秋?甘肅蘭州?高二蘭化一中?？计谀?斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的"黃

金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后

在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90。的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.如圖為該螺旋

線在邊長(zhǎng)為1,1,2,3,5,8的正方形的中的部分，建立平面直角坐標(biāo)系(規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1),則

接下來的一段圓弧所在圓的方程為

【答案】(%+4)2+(y—2)2=169

【分析】根據(jù)題意，分析要求的圓的圓心和半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，接下來的一段圓弧所在圓的半徑r=5+8=13,其圓心為(-4,2),

(根據(jù)題中圖象規(guī)律發(fā)現(xiàn))，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為0+4)2+(y-2)2=169.

故答案為：(X+4)2+(y-2)2=169.

【變式1-U4.(2022秋?廣東珠海?高二珠海市第一中學(xué)校考期末)德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的"最

大視角原理"：對(duì)定點(diǎn)人B和在直線/上的動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)［與△力PB的外接圓相切時(shí)/APB最大若2(0,2),8(0,8),

P是光軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P對(duì)線段4B的視角最大時(shí)，△APB的外接圓的方程為()

A.(x—4)2+(y—4)2=25B.(x—4)2+(y—5)2=16

C.(x—5/+(y—4)2=16D.(%-4)2+(y-5)2=25

【答案】D

【分析】先由條件確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求△力PB外接圓的方程.

【詳解】設(shè)P（P，0）,（P>0）,則燈=k4P=-，fc2=,

tan/-APB=tan（zXPx—乙BPx）=::卜?

2,86

=-差=j-6<6=3

1+（一6與）1+患P+y-2碑4'

當(dāng)且僅當(dāng)p=T時(shí)成立，解得p=4,,P（4,0）,

設(shè)44PB的外接圓的方程為(％+a)2+⑶+匕/=r2,

fa2+(2+bp=r2

則,2+(8+b)2=r2,解得a=-4,—5,r2=25,

((4+a)2+b2=r2

△2P8的外接圓的方程為(x—4)2+(y—5)2=25.

故選：D.

【變式1-1]5.(2022秋?廣西欽州?高二浦北中學(xué)統(tǒng)考期末)已知直線I：久-2y+4=0與圓C：x2+y2

2x+2y-8-。相交于A,B兩點(diǎn).

⑴求圓心為。(-3,3),過A,B兩點(diǎn)的圓D的方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B且面積最小的圓的方程.

【答案】(1)0+3)2+(y-3)2=10；

(2)(x+2)2+(y-I)2=5.

【分析】(1)聯(lián)立直線/與圓C的方程，求出交點(diǎn)做-4,0),B(0,2).求出圓的半徑，即可得出圓的方程；

(2)當(dāng)線段48為圓的一條直徑時(shí),面積最小.求出|4B|=2遙以及線段4B的中點(diǎn)，即可得出圓的方程.

【詳解】(1)解：聯(lián)立直線/與圓C的方程(2+。:既:::?？傻茫?一2y=0,

(%十y十zx-rzy—o—u

解得V1=0,=2,代入直線方程可得久1=-4,%2=0，不妨設(shè)4(-4,0),5(0,2).

又圓心為。(-3,3),

則圓D的r=\DA\=J(—4+3萬+(0-3)2=VlO,

所以圓D的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.

(2)解：要使圓的面積最小，則應(yīng)使半徑最小.當(dāng)線段48為圓的一條直徑時(shí)，面積最小.

\AB\=7(-4-0)2+(0-2)2=2V5,所以圓的半徑q=母=西，

又圓心即線段48的中點(diǎn)(-2,1),

所以圓的方程為(久+2產(chǎn)+(y-1)2=5.

【變式1-1]6.(2023秋?遼寧沈陽?高二東北育才學(xué)校?？计谀?已知△ABC中，點(diǎn)4(-1,5),4C邊上中線

所在直線匕的方程為8%+y-12=0,48邊上的高線所在直線%的方程為x-3y+6=0.

(1)求點(diǎn)8和點(diǎn)C的坐標(biāo)：

(2)以M(l,0)為圓心作一個(gè)圓，使得4、B、C三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外，求這

個(gè)圓的方程.

【答案】4),C(3,3)

(2)(x—I)2+y2-17

【分析】(1)求出直線4B的方程，聯(lián)立直線和直線人的方程可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C(m,n),根據(jù)點(diǎn)C在

直線％上以及線段AC的中點(diǎn)在4上可得出關(guān)于血、元的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)計(jì)算出|/M|、|BM|、\CM\,比較大小后可得出圓”的半徑，即可得出圓”的方程.

【詳解】(1)解：因?yàn)?B邊上的高線所在直線)的方程為尤-3y+6=0,

且直線%的斜率為]，則=-3,故直線4B的方程為y-5=-3(x+1),即3x+y-2=0,

聯(lián)立直線4B和直線乙的方程可得謊，解得「二2，即點(diǎn)8(2,-4),

設(shè)點(diǎn)C(m,n),則線段4。的中點(diǎn)為。(掌，等)，

由題意可得F**+等-12=0,解得爪=n=3,即點(diǎn)C(3,3).

Im—3n+6=0

(2)解：因?yàn)?J(-l-l)2+(5—0)2=V29,\BM\=V(2-l)2+(-4-0)2=V17,

\CM\=J(3—+(3-0)2=V13,貝！J|CM|<\BM\<\AM\,

故圓M的半徑為|BM|=V17,所以，圓M的方程為(X-1)2+y2=17

題型2圓的一般方程法

［例題2］)(多選)(2022秋?湖北?高二統(tǒng)考期末)已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(1,1),S(-2,3),

C(-l,-2),則下列說法正確的有()

A.AC邊上的高所在直線的方程7久+4y+2=0；

B.ABBC的外接圓的方程為廣+川+3久一y-4=0；

C.過4作直線1與線段BC相交，則直線1斜率的取值范圍為［-1,|］；

D.AABC的面積為季

【答案】BCD

【分析】對(duì)選項(xiàng)力，利用直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系可求得高線方程；對(duì)選項(xiàng)B,用待定系數(shù)求圓的方程；對(duì)選

項(xiàng)C,根據(jù)直線(從點(diǎn)B到點(diǎn)C的過程中斜率的變化求得；對(duì)選項(xiàng)D，△4BC的面積利用點(diǎn)到直線的距離求得

△中力C邊的高，然后根據(jù)面積公式即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)4,直線4c的斜率為：％0=詈=|

則AC邊上的高的斜率為：-1

則用1的方程為：y—3=—|'(x+2),BP2%+3y—5=0

故/不正確；

對(duì)選項(xiàng)B,設(shè)仆ABC的夕卜接圓的方程為/+y2+。尤+6丫+9=o

1+1+D+E+F^0

則有：%+9+-2D+3E+F=0

.1+4-0—2E+F=0

解得：D=3,E=-l,F=-4

所以A2BC的夕卜接圓的方程為：x2+y2+3x-y-4=0

故B正確；

對(duì)選項(xiàng)C,%B=/=-I，%C=44=|

則過點(diǎn)力作直線/與線段BC相交時(shí)，則直線1斜率的取值范圍為：卜|,|]

故C正確；

對(duì)選項(xiàng)。，易知AC所在直線的方程為：3x-2y-1=0

點(diǎn)B到直線4c的距離為：S3旁T=舊

V9+4

又|ac|=V22+32=V13

則△力BC的面積為：y

故。正確

故選：BCD

【變式2-1]1.(2022秋?山東荷澤?高二統(tǒng)考期末)已知MBC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)A(4,0),8(-2,0),

C(-2,2)，則△力BC的外接圓的方程為

【答案】(x-1)2+(y-1)2=io

【分析】令外接圓圓心。(％y),而4B中點(diǎn)為D(l,0)、BC中點(diǎn)為E(—2,l),由麗?荏=麗?阮=0求X、y,

進(jìn)而求半徑，即可寫出TEC的外接圓的方程.

【詳解】令MBC的外接圓圓心0(%y)，又A(4,0),F(-2,0),

.?.48中點(diǎn)為。(1,0),則近-AB=-6(1—K)=0,貝卜=1,

BC中點(diǎn)為E(-2,l),則布.阮=2(1-y)=0,則y=1,

二圓心0(1,1),又外接圓的半徑R=\OA\=J園一1)2+(—1)2=V10,

.?.A4BC的外接圓的方程為(％-1產(chǎn)+(y-=10.

故答案為：(％-I)2+(y-I)2=10.

【變式2-l】2.(2023秋訶南平頂山?高二統(tǒng)考期末)已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(3,0),B(1,2),C(-1,0).

(1)求△ABC外接圓的方程；

(2)若直線I：3x+4y-8=0與4ABC的外接圓相交于M,N兩點(diǎn)，求乙MCN.

【答案】⑴0-1)2+f=4

(2)乙MCN=60°

【分析】(1)設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn),求出方程組的解，即可得到本題答案；

(2)先求出圓心到直線MN的距離，即可得到NPMN=30°,然后求出NMPN,即可得到本題答案.

【詳解】(1)設(shè)圓的一般方程為：/+y2+°無+功+/=o,(￡>2+產(chǎn)一4/>0),

代入點(diǎn)力(3,0),B(1,2),C(-1,0)得，

9+30+F=0(D=-2

l+4+D+2E+F=0,解得E=0,

、1-D+F=0(尸=-3

所以圓的一般方程為：/+必—2x-3=0,

標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-l)2+y2=4.

(2)圓心P(l,0)到直線3x+4y-8=0的距離d=吟惠良=1,

又因?yàn)閨PM|=2,在等腰△PMN中，乙PMN=30°,

所以圓心角NMPN=2x60°=120°,貝！J/MCN=60°.

【變式2-1]3,(2023秋?廣東清遠(yuǎn)?高二統(tǒng)考期末)已知△48(7的頂點(diǎn)分別為4(-1,7)乃(-4,-2),(7(3,-1).

(1)求△ABC外接圓的方程；

(2)設(shè)P是直線1:4x-3y-25=0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作^4BC外接圓的一條切線，切點(diǎn)為Q,求|PQ|最小值

及點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（I）/+y?+2%—4y—20=0

（2）|PQlmin=2V^,P（羨,一裝）

【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程將4B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求得△4BC外接圓的方程；

（2）根據(jù)切線長(zhǎng)公式可知，當(dāng)P與圓心之間的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)|PQ|最小，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩

直線垂直關(guān)系即可求得最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】（1）設(shè)44BC外接圓的方程為/+丫2+以+3+?=0,

：50-D+7E+F=0

將4B,C分別代入圓方程可得20-4D-2E+F=0,解得。=2,E=-4,F=-20,

.10+3D-F+F=0

所以AABC外接圓的方程為/+必+2%-4y-20=0.

（2）△ABC外接圓（x++（y—2產(chǎn)=25的圓心為M（—1,2）泮徑R=5；

因?yàn)閨PQ|=J|PM|2-R2=J|PM1-25,所以要使|PQ|最小，只需|PM|最小即可，

當(dāng)PM1/時(shí)，|PM|最小，所以iPMlmin=卜整二:;2"=7,

所以iPQImin="2-25=2V6；

r_0_2__3

設(shè)P（x0，yo）,則|Xo+1~4;

（4%o—3yo—25=0

解得乂0=y,y0=-Y,

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P得,-3）.

【變式2-1]4.（2023秋?廣東深圳?高二深圳大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┚匦瘟CD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)

M（2,0）,48邊所在直線的方程為x-3y-6=0,AC所在直線的方程為x-y-2=0.

（1）求BC邊所在直線的方程；

（2）求經(jīng)過M,A,B三點(diǎn)的圓的方程.

【答案】（1）3%+y-14=0

(2)x2+y2—6x+6y+8=0

【分析】(1)聯(lián)立兩條直線得點(diǎn)力(0,-2),由C與A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱得C(4,2),由BC與2B垂直，得BC邊所

在直線的方程；

(2)聯(lián)立直線方程解出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓的一般方程，將M,A,B坐標(biāo)分別代入，解出圓的方程.

【詳解】(1)由二彳二2‘二;，得｛；二22，貝必(°，一2),

因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線相交于M(2,0)，所以C與A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，

%+o_2

設(shè)Cg,y0),所以仁二，得出=2,貝依4,2)，

<~2-一

因?yàn)榱邊所在直線的方程為久-3y-6=0,斜率為1,

BC與48垂直,所以直線8c的斜率為-3,

則邊所在直線的方程為y-2=-3x(x-4),即3x+y-14=0；

'_24

(2)由以黃憶°。，解得:二，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為管，-1)，

V5

設(shè)所求圓的方程為/+y2+。％+七丫+/=0,且+￡2-4/>0,

4+20+F=0(D=-6

則4-2E+F=0，得|E=6

—+—+—D--E+F=0IF=8

,252555

貝II所求圓的方程為：%2+y2-6%+6y+8=0.

題型3數(shù)形結(jié)合法

【例題3](2022秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)過點(diǎn)力(-6,2),8(2,-2)且圓心在直線x-y+1=0上的圓

的方程是()

A.(x-3)2+(y-2)2=25B.(x+3)2+(y+2)2=25

C.0—3)2+(y—2)2=5D.Q+3)2+(y+2)2=5

【答案】B

【分析】由題設(shè)得42的中垂線方程為y=2(x+2),其與久-y+1=0交點(diǎn)即為所求圓心，并應(yīng)用兩點(diǎn)距離

公式求半徑，寫出圓的方程即可.

【詳解】由題設(shè)，4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),且磯=三=-|,

.MB的中垂線方程為y=2(x+2),聯(lián)立x-y+1=0,

.-｛J，可得｛::Zl，即圓心為(7-2),而r="2-(-3)『+[-2—(-2)猿=5,

A—yii.—uy-乙

二圓的方程是(％+3)2+(y+2)2=25.

故選：B

【變式3-1】1.(多選)(2022秋?江蘇連云港?高二期末)若圓C的半徑為，且直線2x+3y-10=0與

圓C相切于點(diǎn)P(2,2),則圓的方程是()

A.%2+(y—l)2=13B.x2+(y+I)2=13

C.(x+4)2+(y—5)2=13D.(x—4)2+(y—5)2=13

【答案】BD

【分析】由直線與圓相切及點(diǎn)在圓上，結(jié)合待定系數(shù)法得到方程組，解之即可.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-a)2+(y-b)2=13,圓心坐標(biāo)為(a,6),

過圓心且過切點(diǎn)的直線與直線2x+3y-10=0垂直，得三=,即3a-2b=2①，

由點(diǎn)P(2,2)在圓上得(2-爐+(2-b)2=13②,

將①②聯(lián)立42一a*(愛林=13，解得｛二;＜：L

故所求圓的方程為/+(y+1尸=13或(％-4尸+(y-5)2=13.

故選:BD.

【變式3-1J2.(多選)(2022秋?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期末汜知圓C和直線Bx-y=。及x軸都相切，

且過點(diǎn)(3,0),則該圓的方程是()

22

A.(%-3)2+(y-V3)=3B.(%-3)2+(y+3V3)=27

C.(x+3)2+(y-V3)=3D.Q—3)2+(y—3值)=27

【答案】AB

【分析】首先設(shè)出圓的方程，根據(jù)直線與圓相切以及圓經(jīng)過的點(diǎn)，列出等量關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意設(shè)所求圓的方程為0-a)2+(y-by="，?.?圓與久軸相切，:g=\b\.

((3-a)2+b2=b2(=3(a=3

依據(jù)其他條件則有］的回=網(wǎng)，解得［a3或［1康,所以該圓的方程為

(x-3)2+(y-V3)2=3或0-3)2+(y+3百)？=27

故選：AB

【變式3-1】3.(2023秋?江西吉安?高二江西省吉水縣第二中學(xué)?？计谀?已知點(diǎn)4(-2,2)鳳6,4),H(5,2),

H是AA8C的垂心.

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求MBC的外接圓的方程.

【答案】(1)C(6,-2)

(2)(x-|)2+(y-D2=T

【分析】(1)先求出直線,4H的斜率，則可求出直線4c的斜率和直線BC的傾斜角，求出直線4C,BC的

方程，聯(lián)立方程組求出兩直線的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)先得到C8邊和AC邊的中垂線方程，進(jìn)行聯(lián)立得圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式算出半徑，即可得到

答案

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)4(-2,2),B(6,4),W(5,2),H是&ABC的垂心，

所以臉=言=2,所以%c=J,

0-0Z

，直線4C的方程為y-2=-*x+2),BPx+2y-2=0,

又?.也*0，二BC所在直線與x軸垂直，故直線BC的方程為x=6,

聯(lián)立直線4C與BC的方程得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(6,-2)；

(2)CB邊的中垂線方程為y=l,

因?yàn)?c=[,所以AC邊的中垂線的斜率等于2,

因?yàn)?C邊的中點(diǎn)為(2,0),

故AC邊的中垂線的方程為：y=2(x-2),

所以聯(lián)立兩條中垂線得小質(zhì))解得Q，

所以圓心坐標(biāo)為(|,1),半徑八=[|-(-2)]2+(1-2)2吟，

則MBC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為①|(zhì))2+(y-l)2=攀

【變式3-1J4.(2023春?上海浦東新?高二?？计谀?已知圓C：(%-+(y_I/=4,P為直線/:2x+y+

2=0上的動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)P作圓C的切線24切點(diǎn)為A，當(dāng)△P4C的面積最小時(shí)公P4C的外接圓的方程為()

A.(%-1)2+(y-02=|B.(%-1)2+(y-1)2=

222

C.%+(y-j)=|D.(%-j)+y2=^

【答案】C

【分析】先確定△P4C的面積最小時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，再由AP4C是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求

出外接圓方程.

【詳解】

由題可知，P4_LAC,半徑相=2,圓心,所以5心4c=|l^l-\AC\=\PA\=^\PC\2-\AC\2=

VPC|2-4,要使△P4C的面積最小，即PC最小，PC的最小值為點(diǎn)C(l,l)到直線1:2x+y+2=0的距離

=V5，即當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至UPC11時(shí)SAPAC最小直線珀勺斜率為-2，此時(shí)直線PC的方程為y-1=|(%-1),

由［y-1=2-1),解得,所以P(-1,0),因?yàn)椤鱌4C是直角三角形，所以斜邊PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,j),而PC|=J(1+1)2+(1—0)2=V5,所以△PAC的外接圓圓心為(0,￡),半徑為手，所以△PAC的

2

外接圓的方程為^+(y-3=:

故選：C.

【變式3-1］5.(2021春浙江寧波?高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期末)已知4(1,1),5(3,3),動(dòng)點(diǎn)C在直線「y=久-4

上.

(1)設(shè)AABC內(nèi)切圓半徑為r,求r的最大值：

(2)設(shè)AZBC外接圓半徑為R,求R的最小值，并求此時(shí)外接圓的方程.

【答案】(1)小ax=亨；(2)-n=乎，外接圓方程為卜一芝f+(%一］=高.

【分析】(1)利用面積相等可得r=,只需出C|+MC|最小即可，結(jié)合平面幾何知識(shí)可得答案；

(2)48中垂線方程為y=-%+4,“中垂線方程為y一等=公(久—等)，求出圓心坐標(biāo)，可得R?=

2222

(m-8m+23)+(m-8m+15),換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

16

【詳解】(1)因?yàn)閗/B=&=1=AB][/到，的距禺d=^==2^2,

所以三角形△48。的面積S=3-d=|x2V2x2V2=4z

所以S=|(|^|+\BC\+\AC\)r=i(2V2+\BC\+\AC\)r=4

r=2+匹，只需叫+IM最小即可，

設(shè)4關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為A(p,q),

貝”屋：山_4=V二A，所以4(5,一3),

、2-2

\BC\+|初最小為國(guó)4|=V4T36=2V10,

_8_V10-V2

-2V2+2VIO.2

(2)4B中垂線方程為y=-x+4

m2-8m+27

X=--------

AC中垂線方程為y-等=念(％-等)圓心坐標(biāo)為4

-m2+8m-ll

3(m2—8m+23)2+(m2—8m+15)2

R29=a-1)2+(y-1)2=---------------------------------

16

設(shè)1=(m2—8m+19)G[3,+00)

(m2—8m+23)2+(m2—8m+15)2(t+4)2+(t—4)2t2+16r25\

Rz=

-------------------------------1--6-------------------------------=----------------1--6---------------=-------8-------6—L8,4-oo/

Rmax=學(xué)，此時(shí)爪=4,圓心坐標(biāo)為償,(),所以外接圓方程為(％-S'+(%-|)2=^.

【變式3-1］6.(2022秋浙江溫州高二溫州中學(xué)?？计谀?已知直線匕：X-y+3=0和勿x+y+1=0的

交點(diǎn)為4,過4且與久軸和y軸都相切的圓的方程為,動(dòng)點(diǎn)B,C分別在。和%上，目田。=2,則

過A,B,C三點(diǎn)的動(dòng)圓掃過的區(qū)域的面積為

【答案】(x+1)2+(y-1)2=1或者(x+5)2+(y+5)2=254兀

【分析】由力點(diǎn)坐標(biāo)確定圓位置，設(shè)出圓方程后代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得圓方程，分析動(dòng)圓圓心的軌跡，從而可得

動(dòng)圓掃過的區(qū)域及其面積.

【詳解】根據(jù)題意，由［二七：U,解得,可得直線/］：尢—y+3=0和"：％+y+1=0的交點(diǎn)

為4(—2,1),

顯然，點(diǎn)4位于第二象限.

過4且與久軸和y軸都相切的圓的方程為(x-a)2+O+a)2=a2,a<0,

把點(diǎn)力的坐標(biāo)代入，可得(-2-a)2+(1+a)2=a2,求得a=-1,或a=-5,

故要求的圓的方程為(x+1)2+(y-1)2=1,或者(x+5>+(y+5)2=25；

直線k：x-y+3=0和%：%+y+l=O,有1x1+(-1)x1=0,則直線二和%垂直，

又由兩直線的交點(diǎn)為4,動(dòng)點(diǎn)8,C分別在。和6上,且|BC|=2,

則過4,B,C三點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心為BC的中點(diǎn)，其半徑r=|x\BC\=1,即動(dòng)圓的圓心到4的距離d=r=l,

則動(dòng)圓的圓心在以A為圓心，半徑r=1的圓上，

故動(dòng)圓掃過的區(qū)域的面積S=兀x22=4兀；

故答案為：(*+1)2+(y-1)2=1,或者(x+5>+(y+5)2=25；47T.

題型4已知解析式型

【例題4】(2023春四川達(dá)州?高二?？计谥?方程氏-1|=孑=6』*表示的曲線是()

A.一個(gè)圓B.兩個(gè)半圓C.兩個(gè)圓D.半圓

【答案】A

【分析】方程|X-1|=一(y—l)2可化為(x-+(y-1)2=1,根據(jù)圓的概念即可得到對(duì)應(yīng)曲線.

【詳解】由方程|x-1|=Jl_(y_1)2,兩邊平方得阿-1|2=(J1-(y-1列)2,

即(尤-I)2+(y-1)2=1,所以方程表示的軌跡為一個(gè)圓，

故選：A.

【變式4-1]1.(2023?四川德陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它

蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平

面直角坐標(biāo)系中，曲線C:/+必=團(tuán)+加是一條形狀優(yōu)美的曲線，曲線C圍成的圖形的面積是()

A.2nB.4+TTC.2+IID.n

【答案】C

【分析】判斷曲線的對(duì)稱性，結(jié)合當(dāng)X20,y20時(shí)，曲線即(X-1)2+(y-j)2=i,可作出曲線圖象，數(shù)

形結(jié)合，求得答案.

【詳解】以一％-丫代換x,y,方程/+y2=\x\+|y|不變，

故曲線C：x2+y2=|%|+|y|關(guān)于原點(diǎn)及x軸，y軸對(duì)稱，

當(dāng)x20,y20時(shí),可得/+y2-x-y=0,即(x-|)2+(y-1)2=|,

可得此時(shí)曲線是以C?,9為圓心，r=f為半徑的半圓，

由此作出曲線C的圖象如圖所示，

所以曲線C圍成的圖形的面積是魚xa+2xnx(')2=2+TT,

故選：C

【變式4-1]2.(2021秋?上海浦東新?高三華師大二附中?？计谥?已知曲線C：J(x+2)2+y2.

V(%-2)2+y2=4,則曲線C的大致圖像是()

*

1-

-3Q)-101CD3

A.B.T「

片

2-

____________—

\-202jx

C.D.-2-

【答案】B

【分析】利用特值法，令％=0即可得解.

【詳解】令比=0,則j4+y2.j4+y2=4+y2=4,解得y=0,

故曲線C經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,

故選:B.

【變式4-1】3.（多選）（2023?全國(guó)高二專題練習(xí)）若曲線E是由方程團(tuán)-1=萬千和舊-1=VT二港

共同構(gòu)成，則（）

A.曲線E關(guān)于直線y=±久對(duì)稱

B.曲線E圍成的圖形面積為兀+4

C.若點(diǎn)（x°,yo）在曲線E上，則通的取值區(qū)間是[-VXa]

D.若圓/+*=產(chǎn)。＞0）能覆蓋曲線E,則r的最小值為2

【答案】AD

【分析】對(duì)條件作代數(shù)變換得到E是由4個(gè)半圓組成，作曲線E的圖形，根據(jù)圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.

【詳解】由=產(chǎn),?;Jl-y22o,...團(tuán)得x21或xW-1,

當(dāng)X21時(shí)，X-1=Jl_y2,（X-1）2+y2=1,是圓心為（1。），半徑為1的半圓，

同理可得E的其他部分分別為圓心為（-1,0）半徑為1的半圓圓心為（0,1）半徑為1的半圓，圓心為（0,-1）

半徑為1的半圓；

作曲線E的圖形如下圖：

圖中虛線部分4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形；

對(duì)于A,顯然圖形關(guān)于y=±x對(duì)稱，正確;

對(duì)于B,圖形的面積=2x2+4x學(xué)=2兀+4，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由圖可知出的取值范圍是[-2,2],錯(cuò)誤；

對(duì)于D,覆蓋住曲線E的圓的半徑的最小值顯然是2,正確；

故選：AD.

【變式4-1]4.(2022春?貴州黔西?高二統(tǒng)考期末)方程陽-1=J4-。一1尸表示的曲線的周長(zhǎng)

為.

【答案】4n

【分析】由㈤一12。確定X的范圍,\x\-l=[4一(y-1)2可化為(|x|-I)2+(y-If=4,對(duì)X分類

討論，即可去絕對(duì)值，得出對(duì)應(yīng)曲線，最后算得周長(zhǎng)

【詳解】由題，團(tuán)一120,即％21或x<-1,

|%|-1=J4一(y-可化為(|x|-I)?+(y-1)2=4,

當(dāng)x>1時(shí)，即(X-I)2+(y-1)2=4,即為對(duì)應(yīng)圓的右半部分；

當(dāng)x<一1時(shí)，即(x+I)2+(y-I)2=4,即為對(duì)應(yīng)圓的左半部分，

綜上，曲線的周長(zhǎng)剛好為半徑為2的圓周，即4TI,

故答案為：4n

【變式4-1]5.(2023?北京?高三專題練習(xí))曲線/+2%加+2/_1=。的一條對(duì)稱軸是；y的取

值范圍是.

【答案】左軸[-1,1].

【分析】以-y代替y,方程不變，可得曲線的對(duì)稱軸方程，由方程可得0+|y|)2=l-y2>0,即可求出y

的取值范圍

【詳解】以-y代替y,方程不變，可得曲線的一條對(duì)稱軸是%軸；

由/+2x\y\+2y2-1=0,可得(x4-|y|)2=1-y2,所以1一y?20,解得一1<y<1,

即y的取值范圍是

故答案為：x軸；[-1,1]

題型5直徑公式法

【例題5](2023秋河南駐馬店?高二統(tǒng)考期末)以2(0,0),B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程為()

A.%2+y2-2%=0B.x2+y2+2%=0

C.x2+y2—2y=0D.x2+y2+2y=0

【答案】A

【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心坐標(biāo)，兩點(diǎn)間距離公式求出圓的直徑，得解.

【詳解】力(0,0),5(2,0),

4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

??以4B為直徑的圓的圓心為(1,0),又|4B|=2,

胭的半徑為1,

???以4B為直徑的圓的方程為(x-1)2+V=1即/+丫2-2%=0.

故選：A.

【變式5-1]1.(2023春?上海崇明?高二統(tǒng)考期末)已知兩點(diǎn)P(3,l)、Q(5,-3),則以PQ為直徑的圓的方

程是.

【答案】(x-4)2+(y+1)2=5

【分析】根據(jù)條件求出圓心坐標(biāo)及圓的半徑即可.

【詳解】???P(3,l)、Q(5,-3),；.PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-1),即為圓心坐標(biāo)，

又|PQ|=V(5-3)2+(-3-l)2=2相.?.圓的半徑為早=V5,

則所求圓的方程為0-4)2+(y+1)2=5.

故答案為：(x-4)2+(y+I)2=5.

【變式5-1]2.侈選)(2022秋湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí))下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a

B.過不同兩點(diǎn)(久2，%)的直線方程為口=工

y2-yi%2—%1

C.線段4B的兩個(gè)端點(diǎn)401，%)和以久2，%)，則以48為直徑的圓的方程為0--x2)+(y-%)。-

%)=0

D.經(jīng)過點(diǎn)(2,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-3=0

【答案】ABD

【分析】利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，直線兩點(diǎn)式方程、直線方程的對(duì)稱及圓的方程逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】若一條直線的斜率為tana,,此時(shí)a可以為負(fù)值，

而直線的傾斜角的范圍為[0JT),所以A不正確.

由直線的兩點(diǎn)式方程可知過不同兩點(diǎn)4(/,yi),B(x2,y2)

的直線方程為懸=爰

但是兩點(diǎn)所在直線不能與坐標(biāo)軸垂直或平行，故B錯(cuò)誤.

根據(jù)|4B|二J(X】一小)2+-、2尸與

22

%i+x271+y2\_\AB\

x-2-J4

易得圓的方程為：(x-%i)(x-%2)+(y-yi)(y一%)=o,故C正確.

當(dāng)截距為0時(shí)直線方程為y=,故D錯(cuò)誤.

故選:ABD.

【變式5-1]3.(2021秋?安徽?高二校聯(lián)考期中)已知圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為4(1,0),s(o,2V2)，則該圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程為

[答案](x_I)+(y-a)2=：

【分析】由題知圓心坐標(biāo)為G，魚),直徑為3,再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程公式求解即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)閳A直徑的兩個(gè)端點(diǎn)為4(1,0),B(0,2V2),

所以圓心坐標(biāo)為(|,/),直徑為4B=3,

所以圓的方程為1-1)2+(y-魚『=[.

/、2o

故答案為：(x-])+(y-V2)=：

【變式5-1]4.(2022秋?山西太原?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知線段PQ的端點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,3),

端點(diǎn)P在圓C:(x-8)2+(y-1)2=4上運(yùn)動(dòng).

⑴求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡E的方程；

(2)若一光線從點(diǎn)Q射出，經(jīng)x軸反射后，與軌跡E相切，求反射光線所在的直線方程.

【答案】(l)(x-3)2+(y-2)2=l

(2)4x-3y-1=0或3x-4y-6=0

【分析】(1)設(shè)M(x,y),P(xO,yO),由題意得j逼_,整理得右,見的表達(dá)式，即可得點(diǎn)P坐

標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上，代入整理，即可得答案.

(2)先求得Q關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q'坐標(biāo)，即可設(shè)出直線I的方程，根據(jù)直線I與E相切，即可求得直線I的

斜率k,整理即可得答案.

(1)設(shè)M(x,y),P(xO,yO),由題意得通_,

-y

整理得:資+〉又點(diǎn)P在圓c上，則(沏一8)2+仇-1)2=4,

整理得：軌跡E的方程為(x-3)2+(y-2)2=1;

(2)由題意得Q(-2,3)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q'(-2,-3),

由題意得過點(diǎn)Q,(-2,-3)的直線斜率存在，且設(shè)為k,

所以直線I：y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0

因?yàn)橹本€I與E相切，所以d="某事/=1,

所以(5k-5)2=k2+l,整理得25(k2-2k+l)=k2+l,

所以24k2-50k+24=0，即(3k-4)(4k-3)=0,

解得y或*,

所以反射光線I：y+3=1(x+2),gp4x-3y-1=0或y+3=|(x+2),即3x-4y-6=0.

【變式5-1]5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知4(1,0),B(3,0)是圓C直徑上兩個(gè)端點(diǎn)，則圓C的方程

為,若直線y=依截圓C所得的弦長(zhǎng)為百,貝收=.

【答案】(x-2)2+y2=l士普

【分析】由直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)可直接求出中點(diǎn)坐標(biāo)為圓心，端點(diǎn)距離的一半為半徑，進(jìn)而寫出圓C的方程；

再由圓心到直線的距離公式結(jié)合垂徑定理即可求出斜率.

【詳解】解：因?yàn)?(1,0),8(3,0)是圓C直徑上兩個(gè)端點(diǎn)

所以|4B|二J(1一3尸+(0-0尸=2

所以圓心為(2,0),半徑為1,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-2)2+y2=1,

由垂徑定理得，圓心到直線的距離為d=J12一囪=1

即粵=」=+續(xù)

VP+T2-15

故答案為：(x-2)2+y2=l,±^.

題型6圓系方程法

【例題6](2023秋?山東濟(jì)南?高二山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？计谀?已知圓Ci：/+⑶一=5,

圓G：/+y2—4x+2y—0.

(1)求圓Ci與圓C2的公共弦長(zhǎng)；

(2)求過兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程.

【答案】⑴2百

⑵卜一丁+―丁丹

【分析】(1)將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心的到公共弦的距離，再利用弦心距，半

徑和弦的關(guān)系可求得答案，

(2)解法一：設(shè)過兩圓的交點(diǎn)的圓為(/+y2_4%+2y)+A(x2+y2-2y-4)=0,A-1,求出圓心坐

標(biāo)代入2x+4y=1中可求出4,從而可求出圓的方程，解法二：將公共弦方程代入圓方程中求出兩圓的交點(diǎn)

坐標(biāo)，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a,6),然后列方程組可求出a,b,再求出圓的半徑，從而可求出圓的方程.

【詳解】(1)將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，

即(產(chǎn)+y2-4x+2y)—(x2+V-2y-4)=0,化簡(jiǎn)得x—y—1=0,

所以圓Ci的圓心(0,1)到直線x-y-l=。的距離為d=與善=V2,

貝(1(野1)2=/J