2025年中考數(shù)學復習：幾何探究題 專項訓練（含答案）

中考數(shù)學專題復習：幾何探究題專項訓練

1.如圖，在RdABC中，ZBAC=9O°,/A8C=30。，點。是平面內一動點（不與點C重合），連接C。，將線段

繞點。順時針旋轉60。，得到線段（點E不與點&重合），連接8E.取的中點P,連接4P.

⑴如圖（1）,當點E落在線段AC上時，—=,直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為

⑵如圖（2）,當點E落在平面內其他位置時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證

明；若不成立，請說明理由.

⑶若AC=6,CP=3,當點8,D,E在同一條直線上時，請直接寫出線段AP的長.

2.如圖，點E為正方形ABC。邊BC延長線上的一個點，連接AE交3。于點P、交CD于點G.

圖2

FGFA

⑴求證:

FAFE

（2）如圖2,連接AC交2。于點O,連接OE交于點X,連接切:

①若「G=l,FA=3,求tan/OEC的值;

②若FH//AC,求一.

HG

3.如圖，在AABC、汨中，AB=AC,AD=AE,設NBAC=4ME=夕.連接以BC、8D為鄰邊作

口BDFC,連接EF.

⑴若a=60。，當AD、AE分別與A3、AC重合時（圖1）,易得EF=CF.當AADE繞點A順時針旋轉到（圖

2）位置時，請直接寫出線段所、CT的數(shù)量關系；

（2）若。=90。，當AADE繞點A順時針旋轉到（圖3）位置時，試判斷線段EF、CF的數(shù)量關系，并證明你的結

論;

⑶若a為任意角度，AB=6,BC=4r,AD=3,△5E繞點A順時針旋轉一周（圖4）,當A、E、尸三點共線

時，請直接寫出針的長度.

4.已知，四邊形A3CO是邊長為4的正方形，點E在射線AD上運動，連結BE,在射線AD下方作以防為邊的

矩形8EFG,且￡F=5.

（2）如圖②，當點E在線段AD上，且=1時、求點尸到直線AD的距離.

（3）當點尸或點G落在正方形ABCD的邊所在的直線上時，求矩形BEFG的面積.

5.如圖1,在等邊AABC中，AB=2,過點C作CELA2,垂足為￡,尸為CE上任意一點(點P與點C不重合),

把人尸繞點A順時針旋轉60。，點尸的對應點為點，分別連接8。、PD、ED.

⑴求證：BD=CP；

(2)當點尸與點E重合時，請你按照題干要求，在圖2中作出圖形，并延長CE交8D于點凡求出8尸的長;

(3)直接寫出線段。E長度的最小值.

6.某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)【觀察與猜想】

DF

如圖1,在正方形A8C。中，點E,尸分別是AB,上的兩點，連接。E,CF,DELCF,則"的值為

⑵【類比探究】

CE

如圖2,在矩形A8C。中，AD=7,8=4,點E是上的一點，連接CE,BD,日CD_LBD.求一的值；

BD

(3)【拓展延伸】

如圖3,在四邊形ABC。中，/A=/3=90。，點E為A8上一點，連接。E,過點C作。E的垂線交ED的延長線

于點G,交的延長線于點F且AD=2,DE=3,CF=4求AB的長；

7.已知在矩形ABC。中AB=4,AD=6,點￡是邊4。上的一個點(與點AQ不重合).連接CE,作NCEF=90。，交直

線8C點F,點G為線段EF的中點.

(1)如圖1,若點E是A。的中點，四邊形EHAB是矩形，求證：XHEFsNDCE；

(2)如圖2,若將邊A。向左平移1個單位得平行四邊形48cO,當點G落在邊48上時，求4E的長；

⑶如圖3,連接。憶點反是。尸的中點，連接GH,EH,是否存在點E,使AEGH為等腰三角形？若存在，直接

寫出OE的值.

8.如圖，△ABC中，ZACB=90°,CB=CA,CE_LA8于E,點尸是CE上一點，連接A尸并延長交BC于點

CGLA。于點G,連接EG.

圖1圖2

⑴求證：CD2=DG-DA-,

(2)如圖1,若點。是BC中點，求證：CF=2EF；

(3)如圖2,若GC=2,GE=2網,求證：點F是CE中點.

9.感知發(fā)現(xiàn)：如圖①，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點、,連接OE,過點石作￡FDE交BC于點尸.易

類比探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為邊上一點，連接OE,過點E作跖JLDE交BC于點尸.

⑴求證：AAED^ABFE.

⑵若AS=10,AD=6,E為AB的中點，求防的長.

(3)如圖③，在AABC中，NACB=90。，AC=BC,AB=4.E為A3邊上一點(點E不與點A、3重合)，連接

CE,過點E作/CEF=45。交8C于點當△CEF為等腰三角形時，8E的長為.

10.如圖，已知AABC中，AB=AC,NB4C=a.點。是AABC所在平面內不與點A、C重合的任意一點，連接

CD,將線段CD繞點。順時針旋轉a得到線段。E,連接4。、BE.

(1)如圖1,當a=60。時，線段3E與4。的數(shù)量關系是；直線BE與相交所成的銳角的度數(shù)是

(2)如圖2,當。=90。時，

①(1)中的結論是否仍然成立，請說明理由；

②當3E〃AC,AB=6,AO=&時，請直接寫出的面積.

11.已知正方形中，點E是邊CD上一點(不與C、。重合)，將"DE繞點A順時針旋轉90。得到"3凡

如圖1,連接跖分別交AC、AB于點P、G.

(1)請判斷AAEF的形狀；

⑵求證：PA2=PG?PF

(3)如圖2,當點E是邊C。的中點時，PE=1,求AG的長.

12.如圖1,正三角形A3C中，D是BC邊上的一點，以點。為頂點作血甲=60。，分別交AB,AC于點E,

F.

圖1圖2

(1)當防=C。時，3。與C/的關系是

(2)將NED產繞點。順時針旋轉，當5E=2CD時，求”的值;

CF

(3)如圖2,若。在正三角形ABC中CB邊的延長線上，點E與點A重合，點尸落在AC延長線上，AB=2,

qi

-ABD_求。廠長.

q4

°DCF

Ar

13.在AA8C中，ZACB=90°,——=m,。是邊BC上一點，將△ABD沿折疊得到△AED,連接BE.

BC

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當機=1,AE落在直線AC上時.求證：ZDAC^ZEBC；

⑵類比探究

如圖2,當加力1,AE與邊BC相交時，在4。上取一點G,使/ACG=N8CE,CG交AE于點兒探究孚的值

CE

(用含山的式子表示)，并寫出探究過程;

(3)拓展運用

在(2)條件下，當7〃=克，。是8C的中點時，若EB?EH=6,直接寫出CG的長.

2

14.如圖1,RfAABC和RfAAOE中，ZACB=ZADE^90°,ABC=NAE￡)=a°.

圖1圖2備用圖1備用圖2

⑴當a=30°時，

①當點。，￡分別落在邊AC,A8上，猜想BE和C。的數(shù)量關系是；

②當△AOE繞點A旋轉到如圖2的位置時(45°<ZCAD<90°).分別連接CD,BE,則①的結論是否仍然成立?

若成立，請給出證明；若不成立.請說明理由.

⑵當a=45。時，將△AOE繞點A旋轉到/?！?=90。，若AC=10,AD=2非,直接寫出線段C。的長.

15.小志同學在玩一副直角三角尺時發(fā)現(xiàn)：含45。角的直角三角尺的斜邊可與含30。角的直角三角尺的較長直角邊

完成重合(如圖①)，即ACDA的頂點4,C分別與ABAC的頂點A,C重合現(xiàn)在，他讓ACD4固定不動，將

A8AC通過變換使斜邊經過△C/M的直角頂點D.

(1)如圖②將ABAC繞點C按順時針方向旋轉。(0。＜。＜180。)，使邊8C經過點D,則a

(2)如圖③，將ABAC繞點A按逆時針方向旋轉使邊BC經過點。，求證：BC〃AC；

(3)如圖④，若AB=2,將ABAC沿射線AC的方向平移機個單位長度使邊BC經過點。，求機的值.

16.綜合與探究

問題情境:

圖3

探究發(fā)現(xiàn):

⑴如圖1,當3E=5時，連接AE,過點B作成，AE于點G,交CD于點、F,請直接寫出線段BG和3尸的長

度;

⑵如圖2,以8E為邊作正方形并把正方形BEPG繞點2逆時針旋轉，連接AG和。尸，發(fā)現(xiàn)。尸與AG之

間存在數(shù)量關系，請寫出它們的數(shù)量關系并證明.

探究拓廣：

⑶如圖3,點E運動到與點C重合，連接AC,在A3上取點R使AF=8,以B為邊作正方形CFMN,連接

AM,在圖3中補全圖形并直接寫出AM的長.

17.如圖，△ABC中，AC=BC,ZC=120°,。在BC邊上、△BOE為等邊三角形，連接AE,尸為AE中點，連

⑴請直接寫出b、。下的數(shù)量關系，不必說明理由；

（2）將圖1中的△QBE繞點8順時針旋轉。（0°<?<60°）,其它條件不變，如圖2,試回答（1）中的結論是否成

立？并說明理由；

⑶若將圖（1）中的AOBE繞點8順時針旋轉90。，其它條件不變，請完成圖3,并直接給出結論，不必說明理

由.

18.如圖，在等邊AABC的AC,3c邊上各取一點E,。，使AE=a>,Ar>,BE相交于點O.

AAA

AAA

BDCBQDCBDCnr

圖1圖2備用圖

（1）求證：AD=BE；

Q）若BO=6OE=%2,求CO的長.

7

⑶在（2）的條件下，動點P在CE從點C向終點E勻速運動，點。在8C上,連結ORPQ,滿足/OPQ=60。，記

PC為x,。。的長為》求y關于尤的函數(shù)表達式，并寫出x的取值范圍.

19.問題提出:

如圖①所示，在矩形A0C5和矩形。的中，益=寸點A,O,。不在同一直線上，連接A￡>,b.HO

是”前的中線，那么HO,CF之間存在怎樣的關系？

F

圖③

⑴問題探究：先將問題特殊化，如圖②所示，當％=1且ZAOD=90。時，〃。,庭的數(shù)量關系是，位置關系

是.

(2)問題拓展：再探究一般情形如圖③所示，當左=1,NA8W90。時，證明(1)中的結論仍然成立.

(3)問題解決：回歸圖①所示，探究M9,CF之間存在怎樣的關系(數(shù)量關系用上表示)？

20.已知矩形ABC。的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點2落在邊上的P點處.

(1)若圖1中的點尸恰好是C￡>邊的中點，求NOAB的度數(shù)；

(2)如圖1,已知折痕與邊BC交于點。，連結AP、OP、OA.

①求證：△OCPs&DA；

②若△OCP與"YM的面積比為1:4,求邊A3的長；

⑶如圖2,(2)的條件下，擦去折痕A。、線段。尸，連結8P.動點M在線段AP上(點M與點尸、A不重合)，

動點N在線段的延長線上，且BN=PM,連結MN交網于點E作ME,3尸于點E.試問當點M、N在移動

過程中，線段E尸的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段取的長度.

(2025年)

參考答案：

1.

(1)

解：①如圖所示，延長3萬交AP于尸，取8E中點G,8。中點"，連接AH,AG,GH,

???在RtZXABC中，ABAC=90°,NABC=30。，”是8C的中點，

AAC=-BC,BH=CH=AH=-BC,ZACB=60°,

22

：.AC=AH=BH=CH,

同理可得AG=-BE=BG

2f

??,將線段CD繞點。順時針旋轉60度得到線段DE,

：.ZD=60°,DE=DC,

???△OCE是等邊三角形，

ZEC￡>=60°,CE=CD,

??,尸是8的中點，

???CP=-CD=-CE,

22

???G、H分別是5E,5C的中點，

:?GH是工ACE的中位線，

：,GH=-CE.HG//CE,

2

AZBHG=ZACB=60°,HG=CP,

在△AGH和△BGH中

AG=BG

<AH=BH,

GH=GH

???△AGH絲△BGH(SSS),

：?NAHG=NBHG=60。,ZHBG=ZHAG；

VZECZ)=60°,點E在AC上，

???ZAHG=ZECD=60°,

在△AHG和△AC尸中，

HG=CP

<ZAHG=ZACP,

AH=AC

：.AAHG^AACP(SAS),

：.AG=AP,

（2025年）

.-G_1

*BE-2

②;△A”G之△ACP

：.ZHAG=ZCAP

?：/HBG=/HAG,

：.ZHBG=ZCAPf

VZAFB=1SQ°-ZCAP-ZAEF,ZACB=180°-ZHBG-ZBEC,NBEC=/AEF,

：.ZAFB=ZACB=60°,

?,?直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60°；

⑵

解：（1）中結論仍然成立，理由如下:

如圖所示，連接CE,延長A尸交延長線于G,

同理可得。斤CO,ZDCE=60°,

ZACB=90°-ZABC=60°,

JZACP=ZBCE,

..CPCP1AC

CECD2BC

：.AACP^ABCE,

嚏嚏4ZCAP=ZCBE,

：.ZCAP+ZACB=ZCBE+NG,

???ZG=ZACB=60°,即直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60°；

G

⑶

（2025年）

解：如圖（3）所示，當點E在線段8。上時，過點C作于N,

,:CP=3,尸是CO的中點，

：.CD=6,

由（2）知AOCE是等邊三角形，

CE=DE=CD=6,EN=DN=gDE=3,

CN=y/CE2-NE2=343，

在RtZXABC中，ABAC=90°,ZABC=30°,

：.BC=2AC=12,

BN=飛BC。-CN。=3V13，

，BE=BN-NE=35-3,

.1n,3V13-3

??AP=—BEt=-----------;

22

如圖（4）所示，當點￡在線段5。的延長線上時，過點。作CNLDE于N,

同理可得EN=ON=；OE=3,BN=3713,

BE=BN+NE=3岳+3,

.13舊+3

22

綜上所述，A尸二3萬一3或A尸二3萬+3

22

2.

（1）

（2025年）

證明：???四邊形ABC。是正方形，

:.AD〃BC,AB||CD,

AD//BC,

AZDAF=ZBEA,ZADF=ZEBF,

：?AADFS正BF,

,FADF

FEBF

：AB\\CD,

??/DGF=/BAF,/GDF=AABF,

??ADGFSABAF,

.DFFG

BFFA

FGFA

FAFE

..FGFA

①解:FG=1,FA=3

FA~FEf

：.FE=9,

：?GE=FE—FG=8,AG=AF+bG=4,

?：AD\\BE,

；?/DAG=/CEG,ZAGD=ZEGCf

:.ADAGS衛(wèi)EG,

.DGAG_4_l

**CG-EG-8-2?

/.CG=2DG,CD=3DG,

?；AD=CD,

AG=J3+DG2，

解得OG=3地

如圖1,作a于M,

（2025年）

圖1

由題意知OM〃CD,OM=CM=-CD=^^-,EM=CM+CE=^^-

255

*.?NEHC=/EOMNHEC=/OEM,

：.AEHCSAEOM,

12vHi

?HC_ECWHC

,,OMEM3而15Vw

55

解得「嚶

12而

一

tanZO￡C=—251

EC12師25

5

tan/OEC的值為'.

②解：如圖2,延長FH交CE于N,

圖2

由正方形的性質可知NBOC=90°,/BDC=45。,OB=OB,

:FH//AC,

：.ZNFB=ZNFD=90°,BF=FN,

設。尸=〃，OD=b,貝UCD=AZ）=，AC=BD=2b,FN=BF=2b—a,

（2025年）

DHfa，CN=CH=CD-DH=^2（b-a）,

'：FH//AC,

：.ZEFN=ZEAC,

又?：/FEN=ZAEC,

：.AEFNSAEAC,

.ENFNEN_2b-a

,,耘一就即EN+0（6-a）2b'

...EN=0（j）（2EC=6（b-a）（2b-a）+插2y[lb[b-a）

aaa

?：AD\\BEf

：./DAG=/CEG,ZAGD=ZEGC,

:?ADAGS^EG,

DGAD同_a

^~CG~~EC~2回.-a）-2{b-a），

a

,**DG+CG=回，

?八廠垃ab

??Ukj=--------

2b-a

*：FH//AC,

：.ZEFH=ZEAO,

XVNFEH=ZAEO,

工小EFHs小EAO,

.EF_FH_a_EF

^~AE~~AO~^~AF+EF9

同理AADF^AEBF,

FA_AD_Cb_a

**?FEBE?2y[2b（b—2b—a

a

：.AF=—^—FE,

2b-a

EF_2b-a_a

aFE+EF2bb，

2b-a

整理得（2）-a））=2"，

2b=3a,

(2025年)

'：GH=DH-DG=^2a-^^~

2b-a

CHy[2[b-a)2b—a3a-a

---------=2

??GH缶一飆aa

2b-a

.CH_

的值為2.

-GH

3.

(1)

解：如圖2,連接EC,

VZBAC=ZDAE=a,ZBAC=ZBAD+ADAC,ZDAE=ZDAC+ZCAE,

：.ZBAD=ZCAE,

又?.?AB=AC,AD^AE,

：.AADB^AAEC(SAS),

:?BD=EC,ZABD=ZACE,

：.AABC+AACB=ZDBC+/ECB,

??,四邊形ADR?是平行四邊形,

：.BC//DF,BD=CF

；?NDBC+NBCF=NDBC+NECB+NECF=180。,CF=EC,

：.ZABC+ZACB+NEC5=180。，

又?:ZABC+ZACB+ZBAC=180°,

???ZECF=ZBAC=a,

當a=60。時，CF=EC,

???△氐〕「是等邊三角形,

:?EF=CF；

(2025年)

(2)

解：同理(1)可得：CF=EC,NECF=NBAC=a,

當夕=90°時，CF=EC,

△ECF是等腰直角三角形，

EF=V2CF;

(3)

解：分兩種情況進行討論：

如圖31：AF=AE+EF,

同理1可得：CF=EC,NECF=NBAC=a,

XVAB=AC,AD=AE,ABAC=Z.DAE=a.

.ABADEC

"AC-A￡-FC

?*,AABC~AADE~ACEF,

.DEEFBC

ZADE=NCEF,

"~AD~~CE~~AB

VAB=6,BC=4,AD=3,

:.DE=2,EF=-EC,

3

由(1)得：△ADBFAAEC(SAS),

ZADB=ZAEC,

：.ZADE+ZADB=ZAEC+ZCEF

...當A、E、尸三點共線時，ZADE+ZADB=ZAEC+ZCEF,

.?.當A、E、尸三點共線時，D、B、E三點共線，

如圖4-1,過A點作AHLOE,

\'AD=AE,

(2025年)

/.DH=-DE=1,

2

AH=y/AD2-3DH2=V32-l2=20，

HB=JAB。-AH?=而-(20)2=277，

，BD=HB-HD=2y/y-l

EC=BD=2小-I,

：.EF=*C=/幣—D,

：.AF=AE+EF=3+-(2y/l=+1,

33

如圖4-2,AF=EF-AE,

2

同理可得：HB=277,EF=-EC,

BD=HB+HD=2A/7+1

EC=BD=2/j-l,

：.EF=|^=|(2^+1),

/?AF=EF-AE=：Q6+D一3=,

綜上所述：A尸長為巫1Z或巫2.

33

4.

⑴

解：在正方形A3CD中，AB=AD=4,ZA=90°,

在RtAABD中，BD=0AB=4應，

??,點￡與點D重合，

BE=BD=4>/2,

故答案為：4也;

（2025年）

(2)

解：如圖，過點尸作9_LAD,交AD的延長線于點M,

?/DE=1,AD=4,

AE=3,

在凡AA8E中，AB=A,

二.BE=5,

?：EF=5,

:.BE=EF,

?.-ZA=ZBEF=ZM=90。，

二ZABE+ZAEB=ZAEB+/MEF=90。,^ZABE=ZMEF,

:.MBE^^MEF（AAS）,

.-.MF^AE^3,

即點/到直線AD的距離為3；

（3）

解：分三種情況討論：

①如圖，當點P落在AD的延長線上時，

則S矩形EBFG=AB,E尸=4x5=20；

②如圖，當點尸落在3c的延長線上時，過點E作由，3c于點H,

（2025年）

,.EH=AB=4,/EHF=/G=9伊,

在及AEHF中,EF=5,

:.HF=3,

?:EFIIBG,

:"EFH=/FBG,

:.NEHF\\FGB,

EHHF

"FG-BG?

?.?BG=EF=5,

.4_3

,FG"5?

.Fr_20

3

,$s_20.100

??S矩形5EFG=^G?石尸二§X5=??；

③如圖，當點G落在OC延長線上時,

G

-.?ZA=ZBCG=9Q°,

ZABE=900-ZEBC=ZGBC,

\-AB=BC,

/.AABE^ACBG（A4S）,

;.BE=BG=5,

S矩形時G=BE?BG=5x5=25.

(2025年)

綜上，矩形HEFG的面積為20或或25.

5.

(1)

證明：???△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

由旋轉知，

：.AD=APfZDAP=60°,

：.ZDAB+ZBAP=ZBAP+ZCAP,

???ZDAB=ZCAPf

：.ADAB^APAC(SAS),

：.BD=CP；

(2)

解：如圖如

由旋轉知，AD=APfND4P=60。，

???尸是等邊三角形，

???當點尸與點E重合時，^AE=DEfNA即=60。,

?.?CE±ABf

：.AE=BE=DE,ZBCE=-NACB=30。,

2

?\ZEBD=30°,

NDBC=9。。,

在R也BCF中,

,BF

?；BC=2,tanNBC斤——,

BC

???5尸=2tan300=述；

2

(3)

解：山長度的最小值號,

（2025年）

理由是：如圖3,

圖3

由(1)知：ADAB^/\PAC,

.?.取AC的中點“，連接PH,則PH=OE,

PH長度的最小值就是。E長的最小值，

過點尸作"GLCE于G,垂足G就是PH最小時點尸的位置，此時尸

故。E長度的最小值是;.

6.

(1)

解：設。石與C尸的交點為G,

???四邊形ABC。是正方形，

AZA=ZFDC=90°,AD=CD,

VDE±CFf

ZDGF=90°,

：.ZADE+CFD=90°,ZADE+ZAED=90°,

：.ZCFD=ZAED,

在△人瓦）與4。尸C中，

ZA=ZFDC

</CFD=/AED,

AD=CD

：.AAED^ADFC（A4S）,

：.DE=CF,

（2025年）

故答案為：1;

⑵

解：如圖2,設。8與CE交于點G,

???四邊形A5CD是矩形,

：.ZA=ZEDC=90°,

VCE1BD,

：.ZDGC=90°,

：.ZCDG^-ZECD=90°,ZADB+ZCDG=90°,

：./ECD=ZADB,

???ZCDE=ZA,

/\DEC^/\ABD,

.CEDC4

9BD~AD~1

⑶

解：如圖3,過點。作CH,AT交A廠的延長線于點H,

圖3

CG工EG,

ZG=ZH=ZA=ZB=90°,

四邊形ABC"為矩形,

AB=CH,ZFCH+ZCFH=ZDFG+ZFDG=90°,

ZFCH=ZFDG=ZADE9ZA=ZH=90°,

.DEAD.DEAD

△DEAs/\CFH,..=----,..=,

CFCHCFAB

AD=2,DE=3,CF=4,

3_2

4-ABJ

(2025年)

7.

(1)

NQ=ZH=90。，F(xiàn)H=AB=4,AE=DE=3,

.?.NCED+NOCE=90。，

?/ZCEF=90°,

:./CED+ZHEF=9U。,

:"HEF=/DCE,

.-.AHEF^ADCE,

(2)

作。于H,作CD_LAD于O,

:.DD=1,

由(1)得：AEG4FAFGB,

,^EA!=BF=x,

:.ED=6-x,

:.EH=DH-DE=CF-DE=(6^-x)-(l^-6-x)=2x-lf

由(1)知：ACDE^^EHF,

,DECD

,?~~一~~,

FHEH

?7-?！?

(2025年)

15士ar

X二-------,

4

A,E=15±回；

4

(3)

如圖3,

作用_L4D于R,HQJ_AD于Q,

設DE=a,則AE=6—a,

???G是E尸的中點，”是的中點,

是DFD0的中位線，

.-.GH=-DE=-a,

22

由(1)可得，

Q_4

%—RE'

RE=—

a

EF=y/RF2+RE2=.16+(―)2,

Va

???EGIEF]?后加，

?/DR=DE+ER=a-\,

a

DQ=-DR=-{a+—),

22Q

:.EQ=DE-DQ=a--(a+—)=-(a--),

2a2a

EH2=EQ2+QH2=[--(a--)]2+4,

2a

當EG=G”時，

；[16+(竺力=JQ2,

4Q4

(2025年)

.?./=8+8岔或。2=8一8行(舍去),

當EG=EH時，

^-[16+(—)2]=^-(a-—)2+4,

4Q44

a2=32,

當GH=EH時,

/.a2=16>

綜上所述：OE?=8+86或32或16.

8.

(1)

證明：,/CG±AD,ZACB=90°,

：.ZCGD^ZACB^90°,

■:/CDA=NCDG,

：./\ACD^/\CGD,

：.CD：DG=DA：CD,

：.CD2=DG^DA；

(2)

如圖1,過E作EH〃AD交BC于點H,

,JHE//AD,

：.BH：HD=BE-.EA,CD：HD=CF：EF,

'：CB=CA,ZACB=90°,CE±AB,

為A8的中點，

；.BE：EA=lf

：.BH：HD=BE：EA=1

ID為3D的中點

CD=BD,

:.CD：HD=2,

9：EH//AD

：.CD：HD=CF：EF=2

.CF=2EF.

(2025年)

圖1

(3)

'：CB=CA,ZACB=90°,

：.ZBAC=45°,

VCEXAB,CG±ADf

：.ZAGC=ZAEC=90°,NACE=45。,

???A、C、G、E四點共圓，

:?/EGF=ZACF=45°,

圖2

4EGM是等腰直角三角形，

EM=GE?sin450=2后x也=2,

2

VCG=2,

：.CG=EM,

VZCFG=ZEFMfNCGF=NEMF=90。,

：.ACGF^AEMFf

：.CF=EF,

即點尸是CE中點.

9.

(1)

證明：??,四邊形ABCD是矩形，

：.ZA=ZB=90°f

：.ZADE+ZAED=90°,

?:DE±EF,

???ZDEF=90。，

（2025年）

ZBEF+ZAED=90°,

：.ZADE=ZBEF,

AAED^ABFE.

（2）

解：為AB中點，

AE=BE=5,

由（1）知人4￡?/48莊,

.ADAE6_5

??一，艮HI」n一—,

BEBF5BF

(3)

解：如圖,

①如果CE=CF,則NCEF=/CFE=45。，NECF=90°,

則點E1與點A重合，點廠與點8重合，不符合題意.

1800-45°

②如果CE=EF,則NEFC=/ECF=-------------=67.5。，

2

???/EFC為△班下的外角，

ZEFC=AB+ZBEF,

VZACB=90°,AC=BC,

???ZA=NB=45。，

???ZBEF=/EFC-ZB=67.5°-45°=22.5°,

ZACE=90°-ZECF=90°-67.5°=22.5°,

JZACF=NBEF,

又???ZA=N5,CE=EF,

：.AAEC冬4BFE,

：.BE=AC,

VZACB=90°,AC=BC,AB=4,

???AC=—AB=—x4=2V2,

22

BE=2V2.

(2025年)

③如果=EF,則ZCEF=NECF=45°,

：.ZCFE=90°,

在△■BEC中，NB=/BCE=45。,

：.NBEC=90。,

：.CELAB,

又：AC=BC,

.?.點E為AB中點,

BE=-AB=2.

2

綜上所述，8E的長為2&或2.

10.

(1)

解：由題意A8=AC,44c=60。；DC=DE,/CDE=6。。,

“8C和AOCE是等邊三角形，

AC=BCCD=CE,

?/ZACD-^-ZDCB=ZACB=60°,ABCE+^DCB=ZDCE=60°,

:.ZACD=ZBCE,

:.MDC=ABEC,

:.AD=BE,ZCBE=ZCAD

如圖1,延長AO交BE的延長線于尸，N尸即為直線5E與AO相交所成的銳角,

:.ZCBE-^ZBAF=ZCAD^ZBAF=ZBAC=60°

（2025年）

ZF=180°-NBAF-ZABF

=180°-(ZBAF+/CBE)-ZABC

=180°-60°-60°

=60。，

故答案為：BE=AD,60°；

(2)

解：①不成立，BE=AD,直線BE與AO相交所成的銳角的度數(shù)是45。.

理由如下：如圖2,

設直線2E交于點N,AD交EC于點當。=90。時,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

A—=sin45°=—,

BC2

2￡=sin45-亞

同理可得,

EC2

?DCAC0

*EC-BC

,/ZACB=ZACE+ZECB=45°,/DCE=ZACE+ZJDCA=45°,

：?/ECB=/DCA,

：.△DCA^AECB,

?ADAC直

**BE~BC~2'

BE=y/2AD，/CDA=NCEB.

9

：ZDMC=ZEMNf

：.ZDNE=ZDCE=45°,

???直線BE與直線AD相交所成的銳角的度數(shù)是45°.

②ADCE的面積是13或25.

解：當點。在aABC外時，作EGLCB交的延長線于點G,

（2025年）

?.?AO=0，BE=y/2AD,

:.BE=2,

?：BE//AC,

ZEBG^ZACB^45°,

???AEBG是等腰直角三角形，

BG=GE=近,

ABAC=9Q°,AB=AC=6,

BC=6垃,

.?.CG=60+應=70，

在RtACGE中，CE=y/CG2+EG2=10-

DE=CD=5應,

S.nCF=-DE-CD=-x542x5y[2=25；

點。在AABC內時，如下圖所示，

圖4

同理可得SgcE=13,

故^QCE的面積是13或25.

(2025年)

11.

(1)

由旋轉的性質可知，AF=AE,ZDAE=ZBAF,

:四邊形A3CD是正方形，

：.ZDAB=90°,

：.ZDAE+ZBAE^90°,

：.NBAF+/BAE=90。,

：.ZFAE=90°,

：.4AEF是等腰直角三角形。

(2)

證明：：四邊形ABCQ是正方形，ZCAB=45°,即/B4G=45°

由(1)可得乙4廠￡=45。，

ZPAG=ZAFP=45°,

又：ZAPG^ZFPA,

：.AAPG^AFBA,

.PAPG

??一■~,

PFPA

PA2=PGgPF;

(3)

解：設正方形的邊長為2a.

,/AADE繞點A順時針旋轉90。得到△ABR

AZABF=ZD=9Q°,DE=BF,

"：ZABC=90°,

：.ZFBC=180°,

：.F,B,C共線，

*.*DE=EC=BF=a,BC=2a,

:?CF=3a,EF=《CF?+EC?=,(3十『+〃2=Ma,

■:BG//EC,

：.BG:EC=FB:CF=FG:FE=1:3,

：.BG=-a,AG=-a,GE=^^~a,

333

???ZGAP=ZAEG=45°,ZAGP=AEGA,

：.AAGP^AEGA,

?AGGP

??茄一前‘

(2025年)

AG2=GP辭E，

52A/102回

AG=—X------------

353

12.

(1)

解：相等，

理由：???△A3C是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60°,

VZEDF=60°,

???ZBDE+ZBED=ZBDE+ZCDF=120°,

:./BED=/CDF,

?：BE=CD,

:?△BDE"ACFD(AAS),

：.BD=CF,

故答案為：相等；

(2)

解：???△ABC為正三角形，

：.ZB=ZC=60°,

?.?ZEDC=ZEDF+ZFDC=ZDEB+/B,

又NEDb=60。，

：.ZFDC=ZDEBf

：.ABDEsACFD,

,BDBE

??一，

CFCD

■:BE=2CD,

.BD2CDc

??-----=2；

CFCD

(3)

解：*.*ZADC=ZADB+ZFDC=60°,

ZABC=ZADB+ZDAB=60°,

:?/DAB=/FDC,

(2025年)

ZABC=ZACBf

：.NABD=NDCF,

:.叢BDAs^CFD,

.AO=ABS^DABT\

"DF~DC'S9cF~DC?~4，

.ADAB_1

""1)F~1)C~2'

VAB=2,

：.CD=4,

：.BD=2,

作△ABC的高AH,則8H=1,DH=3,

在△ABH中，由勾股定理得，BH=拒,

在△ABH中，由勾股定理得，

AD=y/BH2+DH2=J(@2+3?=2百,

:.DF=2AD=4G

A(E)

（D

解：如圖1,延長A￡）交BE于F,

圖1

由折疊知，AB=AE,ZBAF=ZEAF,

：.AF±BE,

(2025年)

ZAFB=90°=ZACB,

：.ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°,

???NADC=/BDF,

：.ZDAC=ZEBC；

(2)

解：如圖2,延長AZ)交BE于尸，

由(1)①知，/DAC=/EBC,

ZACG=ZBCE,

：.△ACGsdBCE,

(3)

(3)由折疊知，NA尸5=90。，BF=FE,

???點。是5C的中點，

：.BD=CD,

：?DF是△8CE的中位線，

：.DF//CE,

：.ZBEC=ZBFD=90°,ZAGC=ZECG,NGAH=NCEA,

由(2)知，△ACG^ABCE,

AC_AC

：.ZAGC=ZBEC=90°,而=J^二2加二行,

2

CGDC1

??=tanZGAC=_77=~f=,

AGACV2

設CG=x,則AG=五x,BE=2x,

：.AG=CEf

：.AAGH^AECH(AAS),

:.AH=EH,GH=CH,

GH=-x,

2

(2025年)

在中，根據勾股定理得，AH=-S/AG2+GH2=-x,

2

:EB?EH=6,

??x—o,

2

?,.x=0或x=_0(舍)，

即CG=0.

14.

(1)

①解：*/ZACB=ZADE=90,ZABC=ZAED=30°,

：.AB=2ACfAE=2AD,.

，BE=AB-AE=2(AC-AD),

CD=AC-CD,

..BE=2CD,

故答案為：BE=2CD；

②解：BE=2CD仍然成立,理由如下：

??,ZACB=ZADE=90fZABC=ZAED=30°,

二.AB=2AC,AE=2AD,

.AEAD

,耘一就'

???ZBAC=ZDAE,

NCAD=/BAE,

ACAD^ABAE,

BEAEc

——=——=2,

CDAD

，BE=2CD；

⑵

當點E在A3右側時，如圖3,過點A作A廠，3E,交BE的延長線于凡

A，\

快

CB

圖3

（2025年）

1,■ZABC=ZAED=a=45°,

AACB,AADE是等腰直角三角形，

"■-AC=10,AD