導(dǎo)數(shù)中的切線問題（5大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點題型專項訓(xùn)練

熱點題型?選填題攻略

專題05導(dǎo)數(shù)中的切線問題

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01在某一點的切線.........................................................................1

題型02過某一點的切線.........................................................................4

題型03切線中平行、垂直、重合問題............................................................7

題型04求公切線（兩個切點）..................................................................12

題型05切線的條數(shù)問題........................................................................16

-----------題型探析?明規(guī)律-----------o

題型01在某一點的切線

【解題規(guī)律?提分快招】

在窠二點的函?方程

切線方程歹-/（%）=/'（工0）（%-%0）的計算：函數(shù)歹=/（x）在點4（%,/（%））處的切線方程為

了-/（X。）=/（X。）（x-X。），抓住關(guān)鍵P0.

〔左=/（修）

彳麗加練i

一、單選題

1.（2025高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=e，T+xhu的圖象在點（1,/■⑴）處的切線方程是（）

A.2x—y—1=0B.2x+y-3=0C.2x—y—3=0D.x+y—2=0

【答案】A

【分析】求/'（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在某點處的切線的斜率就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值,

由此可計算切線方程.

【詳解】???/（x）=ei+xlnx,.?./⑴=1,/3=b+加+1,

???/'⑴=2,

???切線方程為y-l=2（x-l）,即2x-y-l=0.

故選：A.

2.(2025高三?全國?專題練習(xí))曲線〃x)=g/+x在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為()

12

A.-B.一CD

93-1-t

【答案】A

4

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線斜率，求出在處的導(dǎo)數(shù)，即為切線斜率，進而利用點斜式得

到切線方程，借助切線方程求出與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，從而利用面積公式求出面積即可.

【詳解】因為>=?三+無，y'=/+l,

所以y'k=2,

144

即曲線/產(chǎn)+%在點(1,學(xué)處的切線方程是^==2(%—1),

12

則切線與X/坐標(biāo)軸的交點分別是(10)，(0,-y)

1211

所以圍成的三角形面積為S=,x-yX-=-,

故選：A.

3.(24-25高三上?河北保定?期末)已知點-2)在拋物線C:f=2處(°>0)的準(zhǔn)線上，過點A的直線與

拋物線在第一象限相切于點3,記拋物線的焦點為尸，則忸目=()

9II-1315

A.—B.—C.—D.—

2222

【答案】C

【分析】由點-在準(zhǔn)線上可知。的值，從而確定拋物線的方程，設(shè)點8的坐標(biāo)為m>0,

通過對拋物線方程求導(dǎo)，可得點直線AB的斜率，再通過A、8兩點的坐標(biāo)也可求得心,于是建立關(guān)于加

的方程，解之可得比的值，最后利用拋物線的定義即可得解.

【詳解】拋物線C：=2"(p>0)的準(zhǔn)線方程為尸苫,

?.?點噌，-2)在準(zhǔn)線上，."勺-2即”4,

拋物線的方程為V=8y,即>=

O

設(shè)點8的坐標(biāo)為［私。

m>0,

對>="/求導(dǎo)可得，.?.直線AB的斜率為:

由《信-21、M私3，可知3B="~~丁=!機，解之得，m=6或(舍負(fù)),

13JV?)機_343

3

二點臺3號，由拋物線的定義可知，忸尸|=g+2=葭，

故選：C.

二、填空題

4.(24-25高三上?湖南?期中)曲線/(x)=ln(2x-l)在點(1)(1))處的切線方程為.

【答案】2x-y-2=0

【分析】求出f(l)=O,求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線斜率，由點斜式求出切線方程.

【詳解】因為"x)=ln(2x_l),則f⑴=0,

所以切點為(1,0),且/■'(力=4，貝！]左=/'(1)=2,

由直線的點斜式可得>=2(x-l),化簡可得2x-y-2=0,

所以切線方程為2x-y-2=0.

故答案為：2x-y-2=0

5.(24-25高三上?山東濰坊?期中)已知點在函數(shù)/(x)=sins-￥(0</<3)的圖象上，則曲線

y=f(x)在點P處的切線方程為.

【答案】&尤-了-收'=o

8

【分析】先代入點求出。，得到/(x)的解析式，再通過求導(dǎo)求出切線的斜率，進而得y=f(x)在

點尸處的切線方程.

【詳解】由題意，知d21=sin等-號=0

\oJ82

cc八兀03兀TIG)71一

%*0<<3,0<—<—,故—=—,(t)=2

8884

故/(x)=sin2x-9/'(x)=2cos2x,

''k=/'])=2cost=拒，

所以y=f(x)在點尸處的切線方程為〉即&工->-牛=0.

故答案為：V2x-y-=o.

8

題型02過某一點的切線

【解題規(guī)律?提分快招】

過窠二點的切線方程

設(shè)切點為尸（毛，為）,則斜率左=/'（無0）,過切點的切線方程為:y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因為切線方程過點/（m，n）,所以〃-%=/'（%）（加-/）然后解出毛的值.（無。有幾個值，就有幾條切線）

彳麗加綠i

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)曲線＞=X+Inx的一條切線過點（0,1）,則此切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面

積為（）

2

eee___e2

2（l+e）B-用C-2（e2+l）D,7Z1

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，求得直線在軸上的截距，即可得三角形的面積.

【詳解】設(shè)切點為（無。,%）?=1+:,

則切線方程為V-X。-Inx。=-X。）.

???切線過點（。,1）,，1-工0-1111：0=—工0-1，

，1叫,=2,%=e1.,.切線方程為y=（l+，）x+l,

2

故可得切線在XJ軸上的截距為-\e,1,

e2+l

e2

所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為遁WJ.

故選：C.

2.（24-25高三上?貴州遵義?階段練習(xí)）若函數(shù)”x）=alnx+2x的圖象在點（1,2）處的切線不經(jīng)過第二象限,

且該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為則。=（）

6

22

A.-1B.——C.-D.1

33

【答案】D

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出/'(x)的圖象在點(1,2)處的切線方程，再由該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形

的面積求出。的值，驗證是否符合題意即可.

【詳解】由〃x)="lnx+2x,得/(X)=￡+2,/⑴=“+2,

則/(x)的圖象在點(1,2)處的切線方程為y=(a+2)x-a,

由題意可知。+2*0,

將x=0代入切線方程，得y=將y=o代入切線方程，得

a+2

因為該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為：,

6

所以。卜4上7=：,解得。=1或。

當(dāng)。=1時，切線經(jīng)過第一、三、四象限，符合題意；

當(dāng)"=-:時，切線經(jīng)過第一、二、三象限，不符合題意.

故4=1.

故選：D

3.(24-25高三上?天津武清?階段練習(xí))若直線＞=履與曲線y=lnx+：相切，貝幾=()

2x

11

A.1112H—B.—C.-D.4

424

【答案】B

【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)P(x0,y。)，求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩點間的斜率公式計算可得直線斜率.

【詳解】設(shè)直線了=履與曲線y=+1相切于點P(xo，yo),

2x

求導(dǎo)可得了=!-上，因此切線斜率先=2-3=當(dāng)二，

z

x2x%2%2x0

lnxnH--------0

又切線過原點0(0,0),可得％2x02x0-l,化簡可得XohUo-Xo+JO,

，。一xo-O-2x；

令g(x)=xlnx-x+l,則g'(x)=lnx+1-1=Inx,

當(dāng)xe(0,1)時，g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x6(1,+8)時，g,(x)>0,即g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)在無=1處取得極小值，也是最小值，g⑴=0,

.2x-11

因此可得％=i,即可得上=式n「=5

故選：B

二、填空題

4.（2024?天津和平二模）過點（0,0）作曲線＞=2x（xeR）的切線，則切點的坐標(biāo)為.

【答案】O

【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程，將（。,0）代入求解即可.

【詳解】設(shè)切點的坐標(biāo)為2'）,由y=2x（xeR）,j/=2」n2,

所以過切點的切線方程為：y-2t=2'ln2（x-t）,

把（0,0）代入得：—2t=—t?2tln2,BPtln2=1,

所以/=」，則切點坐標(biāo)為：』2.]即匚,[.

In2（ln2J＜ln2）

故答案為:m

5.（2024高三?全國?專題練習(xí)）寫出曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點的切線方程：,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分無＞0和無＜0兩種情況，當(dāng)X＞。時設(shè)切點為（x°,lnx。），求出函數(shù)了=lnx的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切

線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出/，即可求出切線方程，當(dāng)x＜0時同理可得；

【詳解】因為＞=1中

當(dāng)x＞0時，y=lnx,設(shè)切點為（無。,In%）,由得

X/

所以切線方程為y-lnx。='（x-Xo）.

又切線過坐標(biāo)原點，所以-lnx0=L（-x。），解得x0=e,

所以切線方程為即y=L；

ee

當(dāng)x＜0時，y=ln（-x）,設(shè)切點為（％,In（-七）），由，=L得風(fēng)f=一，

X占

所以切線方程為＞7n（-xJ='（x-xJ.

x\

又切線過坐標(biāo)原點，所以Tn（-再）=’（一再），解得再=-e,

所以切線方程為>-1=J(x+e),即k-}.

故答案為：y=~x；y=--x.

ee

fQXX<0

6.(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)='-:過原點。(0,0)作曲線y=/(x)的切線，其切

[Im-,x>0,

線方程為.

【答案】x-ey=0

【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點的坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分類討論，即可求解.

【詳解】當(dāng)xWO時，函數(shù)〃力=*可得解(x)=ex

x

設(shè)切點為P(x0,y0),則f'(x0)=e°,

所以切線方程為1-e'。=eM(x-x0),

因為切線過原點。(0,0),可得-1。=-%/。，解得x0=l,不符合題意，舍去；

當(dāng)x>0時，函數(shù)/(x)=lnx,可得=：

設(shè)切點為則/'(xJ=L

王

所切線方程為>Tn無]='(X-再)，

再

因為切點過原點。(0，。)，可得lnX]=l,解得占=6,

此時切線方程為>T=」(x-e),即x-ey=0,

e

故答案為：x-ey=0

題型03切線中平行、垂直、重合問題

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(24-25高三上?湖北?期末)函數(shù)/(同=勺11(2工)在》=工處的切線與直線y=3x+5垂直，則”()

x2

1111

A.——B.——C.-D.—

612612

【答案】B

【分析】求出“X)導(dǎo)數(shù)，/'g]=4。，利用函數(shù)/(X)在x處的切線與直線丁=3x+5垂直，列出方程,

即可求出實數(shù)。的值.

【詳解】函數(shù)f（x）=,ln（2x）,求導(dǎo)得尸（x）=-￡ln（2x）+/,

/（X）在x=2處的切線斜率為,UJJ）I2；,

又/（X）在x=；處的切線與直線y=3x+5垂直，

所以3*4〃=-1,解得"一，.

故選：B.

2.（2024?山西?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（丫）=（"3）/+9-2*+（a-1）》+。若對任意/eR,曲線y=4（x）

在點（x°,〃X。））和處的切線互相平行或重合，則實數(shù)。=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】求得/'（力=3（叱3）尤2+2（a-2）x+a-l,根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為了=/'（%）為偶函數(shù)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/（工）=（"3）/+（。-2）工2+（”I）X+Q,

可得（x）=3（。-3）%2+2（Q-2）X+〃-1,

因為曲線y=/（x）在點&,〃尤。））和（-無。,〃-%））處的切線互相平行或重合，

可得y=/'（x）為偶函數(shù)，所以"2=0,解得a=2.

故選：C.

3.（23-24高二下?河北石家莊?期中）設(shè)曲線〃x）=*+6和曲線g（x）=cos，+c在它們的公共點P（0,2）處

有相同的切線，則〃+c的值為（）

A.0B.兀C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)兩曲線在2）有公切線，則產(chǎn)是公共點，該點處的導(dǎo)數(shù)值相同，列出方程求出A。的值,

則答案可求

f/（0）=o+Z）=2

【詳解】由已知得，（1、，解得c=l/=2-a,

[g（0）=l+c=2

又/'(x)=aeX,g'(x)=_]sin]x,

所以/'(0)=g'(0)得a=0,

所以a=0,6=2,c=l,

所以6"+c=2°+l=2.

故選：c.

4.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知f(x)=x3+nx-52,g(x)=x2-3Inx,若直線％+>+”=0是曲線歹=/(x)

與曲線P=g(x)的公切線，則加-〃=()

A.-30B.-25C.26D.28

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別設(shè)出與曲線歹=/(、)以及與曲線y=g(x)的切點坐標(biāo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,

代入計算，即可求解.

【詳解】設(shè)直線％+歹+冽=。與曲線y=/(、)相切于點⑼，與曲線y=g(x)相切于點

(b,-b-m),b>0.

由g(x)=Y—31nx知g(x)=2x——,又兩曲線的公切線斜率為-1,貝！)26—不=—1,解得6=1或b=—彳(舍

xb2

去).

所以1一31111=—1一加，解得加=一2.

由/(%)=/—52知/，(%)=312+〃，又兩曲線的公切線斜率為一1，貝!|3/+〃=_1，即〃=一3〃一1，故

/—(3〃+1)?！?2=—。+2,整理得/=_27,故q=—3,

所以〃=—3Q2—1=—28,故加—〃=26.

故選：C.

5.(2024?湖南長沙三模)斜率為1的直線/與曲線y=ln(x+a)和圓/+/=《都相切，則實數(shù)。的值為

()

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

【答案】A

【分析】設(shè)直線/的方程為7=x+b,先根據(jù)直線和圓相切算出6,再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出a.

【詳解】依題意得，設(shè)直線/的方程為了=x+6,即x-y+b=0,

1_H__A/2

由直線和圓=5相切可得，="y,解得6=±1，

當(dāng)6=1時，y=x+l和y=ln(x+a)相切，

V=一匚，設(shè)切點為(見〃)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，—^=1,

x+am+a

1=0

\rn=m+l

又切點同時在直線和曲線上，即.z解得冽=7.

=加+a)v2

即6=1時,a=2；

當(dāng)b=_］時，、=1和〉=111(%+4)相切,

y'=一匚，設(shè)切點為（sj）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一匚=1,

x+as+a

，二0

E=s-1

又切點同時在直線和曲線上，即，解得s=l.

t-ln(s+q)

a=0

即6=-1時，a=0.

綜上所述，。=2或。=0.

故選：A.

6.（23-24高三上?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）若曲線了=lnx在點（xo，lnx°）處的切線也是＞=/的切線，則不一定

是下列函數(shù)（）的零點.

/(x)=lnx-^-x+]

A.B./(x)=lnx---

x+1x-1

Y+]D."x)=lnxx-+J2

C.f(x)=1nx-~—

x+2x+1

【答案】B

【分析】設(shè)滿足題意曲線了=/的切線的切點為（國,戶），先分別求出兩曲線的切線方程，再根據(jù)切線相同

求出％,再的關(guān)系，即可得出答案.

【詳解】由了=lnx,得夕=’，則》上『=',

所以曲線V=lnx在點（xoJnx。）處的切線方程為〉一也不二-14尤-%）,

xo

1,1

即y=—x+Inx0-1,

%

設(shè)滿足題意曲線y=e”的切線的切點為（再,e』），

由＞=6，，得了=/,則V|『=e』，

所以曲線〉=e”在點（再,戶）處的切線方程為y-e』=e"（x-再），

gpj；=eXlx+eX|（l-xj,

因為曲線V=lnx在點（%,1口/）處的切線也是歹=^的切線，

[1X

—=e*

所以＜工0，

X|

Inx0-1=e（1-xJ

整理得In/-1=—（l+lnx0）,

即x0Inx0-x0=1+Inx0,

/\1Xn+1fX+1.

即=所以出七=七，即Inx。-七n=0,

工0一1/一]

V+1

所以X。一定是函數(shù)"x）=lnx-=的零點.

x-1

故選：B.

二、填空題

7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知曲線了=（/+，11^+2在點（1,2）處的切線為/,若直線加〃/,則直線加

的方程可能是.（寫出一個正確答案即可）

【答案】y=2x+l（答案不唯一）

【分析】由導(dǎo)數(shù)法求得切線的斜率，再由加〃/,寫出直線m的方程.

【詳解】解：由題知，點（1,2）在曲線y=（/+x）hu+2上，

由了=（2x+l）lnx+（x2+x）--=（2x+l）-lnx+x+l,

得兒?=2,

???切線/的斜率左=2,.?.切線/的方程為y-2=2（x-l）,即尸2x.

又根〃/,則直線〃，的方程可能是了=2x+l（答案不唯一）

故答案為：y=2x+l（答案不唯一）

8.（24-25高三上?湖南永州?期末）已知直線/皿-4尸3=0是曲線G：y=3&和。2號=長的一條公切線,

則q+左=.

【答案】9

【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，再結(jié)合切點同時滿足直線方程與曲線方程求解即可.

【詳解】設(shè)直線辦-4了+3=0與曲線”34相切于點

3

由歹二36,得

a3a

又?.?直線i的斜率為j.??肅=彳.

又點”（方,%）在直線"-例+3=0和曲線y=3&上，廣

ax0-4%+3=0

聯(lián)立①②可得a=12,故直線1的方程為12x-4y+3=0.

設(shè)直線12x-4y+3=0與曲線＞=小相切于點以國,必）.由〉=丘2,得了=2米.

又?.?直線1的斜率為3,，2句=3.

又點以再,必）在直線12x-4y+3=0和曲線丫=丘2上，.上：=口

12玉一4%+3=0

%=篙

聯(lián)立＜12%一4必+3=0,解得左=-3,a+k=9.

2kxi=3

故答案：9.

題型04求公切線(兩個切點)

【解題規(guī)律?提分快招】

求公切線方程

己知其中一曲線上的切點，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標(biāo)，

則應(yīng)假設(shè)兩切點坐標(biāo)，通過建立切點坐標(biāo)間的關(guān)系式，解方程.

具體做法為：設(shè)公切線在y=?x)上的切點尸1(X1，f(xi)),在y=g(x)上的切點尸2(M，g(M))，

X]-x2

彳詢加練i

一、單選題

1.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/。)=/+5X2+依.若函數(shù)了=/(x)在x=x0和x=x()+l的切

線互相平行，則兩平行線之間距離的最大值為()

12

A.-B.■—C.vD.-

6323

【答案】c

【分析】求出函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及平行關(guān)系求出切線方程，進而求出最大距離.

【詳解】函數(shù)/■00=/+]無2+辦，求導(dǎo)得((無)=3/+3%+。，

依題意，/'(%+1)=/'(%),即3(xo+l)2+3(xo+l)+a=3x；+3xo+a,解得%=-1,

則兩條切線的斜率為1(0)=。，對應(yīng)的兩個切點為(-11-。),(0,0),

切線方程為y_(g_a)=a(x+l)和＞="，即辦一y+；=0和ax-y=0,

切線內(nèi)-?+3=0過定點/(0,；),切線=O過定點0(0,0),

所以兩平行線之間距離的最大值為I。4=；.

故選：C

2.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）若直線了=息+6是曲線〃x）=e-3與g⑴=e*24_2025的公切

線，貝同=（）

1202320252

A.----B.----C.----D.----

2025202440474047

【答案】C

【分析】設(shè)直線y=與函數(shù)和g（x）的圖象相切于點耳（西,弘）和巴區(qū),％）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，

求得切線方程，列出方程組，結(jié)合斜率公式，即可求解.

【詳解】設(shè)直線V=h+b與函數(shù)/（x）=e-023的圖象相切于點片a，M）,

與g（x）=e'+2024—2025的圖象相切于點名心,%），

I+2024Y2+2024

因為/'（X）=eZ023,g，（x）=e，且乂=e*-2°23,%=e--2025,

則曲線y=f（x）在耳（網(wǎng),其）處的切線方程為j-/2必=e-（x_&），

曲線y=8俳）在￡（々,％）處的切線方程為》-爐+2。24+2025=二+2。24口一%）,

fe^i-2023=?、2+2024

所以|aX[-2023Xy-2023x2+2024x2+2024On”'解得西―3-4047，

122

[e'-x；e=e-x2e-2025

而MFJ-%爐一皿3一戶+2必+20252025

所以xt-x240474047,

故選：C.

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知直線＞=依+6是曲線y=e*的切線，也是曲線丁=-b的切線，則上+6=

（）

A.-B.1C.eD.1+e

e

【答案】C

【分析】設(shè)直線廣質(zhì)+6與曲線尸e，的切點為（4爐），與曲線＞=-r的切點為（9，-「），利用導(dǎo)數(shù)求

出曲線＞=e、在》=再處的切線方程，以及曲線》=-1,在x=七處的切線方程，根據(jù)兩切線重合可得出關(guān)于

為、X2的方程組，解出這兩個量的值，可得出左、6的值，即可得解.

【詳解】設(shè)直線丁=履+6與曲線y=e'的切點為（網(wǎng),爐），與曲線＞=_/'的切點為（％,-ef）,

對函數(shù)ke'求導(dǎo)得"=佇）'=e，,對函數(shù)尸-―求導(dǎo)得y=（-e-'）'=e-\

則曲線y=e'在x=±處的切線方程為了-e』=e』（x-xj,即y=鏟工+爐-玉e』，

曲線了二"一"在x=x?處的切線方程為y+ef=b爸（x-迎），

%2X2X2

BPy=e-x-x2e--e-,

X]—1

所以,解得

1

(1-xJe'=(-l-x2)e*2=-1

故后=e』=e,6=(l-l)e=0,所以4+6=e.

故選：C.

二、填空題

4.(24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí))若曲線y=ln(2x+2)在處的切線也是曲線＞=e*+x+a的切

線，貝!1".

【答案】0

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點斜式方程進行求解即可.

21

【詳解】曲線+

2x+2x+1

所以曲線＞=ln(2x+2)在[g,。]的切線的斜率為工^=2,

故切線為V=21x+g[=y=2x+l.

xrx

y=e+x+ay=e+19

所以曲線y=e"+尤+。在(％,e*+%+a)處的切線的斜率為ex°+1,

x

所以切線方程為:y-(^+xo+fl)=(e?+l)(x-xo),

化簡，得了=3。+1卜7產(chǎn)。+砂+Q,

產(chǎn)+1=2.=0

xx

[-xoe°+e°+6z=l[a=0

故答案為：0

5.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))若曲線G：y=/與曲線G：y=qe"存在公切線，則〃的最大值____.

【答案】44

e

%22

【分析】設(shè)公切線與曲線G切與點(國,引，與曲線G切與點伍，小)，由題意可得2網(wǎng)=。廿=苫一二：

化簡可得°上=4馬-4,則一父),構(gòu)造函數(shù)〃到=%/Q,利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.

【詳解】設(shè)公切線與曲線G切與點即引，與曲線G切與點卜2,廿)，

由＞=/,得y'=2x；由y=aex得了=aex.

洸孫-%2

_x2

貝[12xl=aQ=-----------,

x2-x1

所以2±=2x「匯n西=2%-2,所以小苞=4x,-4,即0=竺2」1.

X2

x2-xle

A(i\、4e'-4(x-l)ex4(2-x)

設(shè)〃Y,則"(：)2二—

由/''(x)>0ox<2；由/''(xkOnx〉？.

所以函數(shù)/(x)在(-s,2)上單調(diào)遞增，在(2,+s)上單調(diào)遞減.

4

所以函數(shù)〃x）V〃2）=2.

即。的最大值為;.

e.

故答案為：44

e

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是設(shè)出兩切點的

坐標(biāo)，由切線為兩曲線的公切線列方程組求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力.

6.（24-25高三上?福建福州?階段練習(xí)）若曲線y=lnx在點Pg,%）處的切線與曲線＞=e工相切于點Q

2

（亞，及），貝f+%=____-

Aj—1

【答案】-1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可分別用多和3表示出切線方程，根據(jù)切線方程相同可構(gòu)造方程組，化簡得到

X、—1

國=一，代入所求式子整理即可.

x2+1

，1/x,1

【詳解】；（lnx）=—,（二=e）.?.曲線y=lnx在點Pg,%）處的切線斜率左=一=力，

X項

二切線方程為＞」（》一再）+必=—x+lnxj-l,

再xx

或y=/（%―%）+%=dx+（1_%/,

-二e“2（-inx{=x2

x1(x2+l)=x2-1易知Z+lwO,

■^2---^x2=~[X2+1)+^2=-]

x2+1迎+1

故答案為：-1.

【點睛】思路點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)中的公切線問題，求解此類問題的基本思路是假設(shè)切點坐標(biāo)后，利用導(dǎo)

數(shù)幾何意義分別表示出兩函數(shù)切點處的切線方程，由兩方程形式一致可構(gòu)造方程組來求解相關(guān)問題.

7.（24-25高三上?山東聊城?階段練習(xí)）一條直線與函數(shù)了=Inx和夕=e，的圖象分別相切于點尸（士,必）和點

。（%，%），則（陽T）（x?+1）的值為.

【答案】-2

'1X,

—=e2x—1

【分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線方程，對照系數(shù)得到國，聯(lián)立得到七=七,

InXj-1=e*2（1—'

故（%T）（z+1）=卜卜2+1）=-2.

【詳解】因為/（x）=lnx,g（x）=e\所以r（x）=—g'（x）=e、，

則昨Inx在點尸（尤］,切）處的切線方程為即y=（無+lnx「l；

X2X1

>=/在點。（乙,%）處的切線方程為：—“f），即了=ex+e（1-x2）,

1X

—=e2i__

由已知彳再，由￡=*得玉=ef,故lnxi-l=lnef-1二一馬一1,

X2

InXj-1=e（l-x2）

故解得項二^7^,

國x2+1

所以（再T）=強工1—1=—因此（匹—1）（%2+1）=（--：］（%2+1）=一2.

故答案為：-2.

【點睛】方法點睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）已知切點4（尤。,/（毛））求斜率限即求該點處的導(dǎo)數(shù)上=/'伉）；

⑵已知斜率左求切點/（現(xiàn),/?））,即解方程/'（國）/；

⑶已知切線過某點M（玉,/（再））（不是切點）求切點，設(shè)出切點4/J（x。））,利用

■/(xj-7'(%)

k==/(%)求解.

題型05切線的條數(shù)問題

【解題規(guī)律?提分快招】

切線的條數(shù)問題

切線條數(shù)判斷，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點橫坐標(biāo)的函數(shù)零點個數(shù)判斷問題.

一、單選題

1.(2023?四川涼山?一模)函數(shù)〃x)=；x2+“l(fā)nx在區(qū)間(1,2)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，貝I］。的

取值范圍為()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-3,-2)

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性計算即可.

［詳解］由/(工)=；*2+q］nx=f'{x^=x+—(x>0),

不妨設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點為(網(wǎng),〃網(wǎng))),(孫/仇))，且/'(不)?/'(%)=-1

若a20,則/'(尤)>0恒成立，不符合題意，可排除A項；

所以。<0,此時易知>=/'(x)單調(diào)遞增，

/'(l)=l+a<0

要滿足題意則需，/'⑵=2+■!>()nae(-3,-2).

/⑴〃2)=(1+$2+￡|<一1

故選：D

2.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí))過點(3,1)作曲線y=ln(x-l)的切線，則這樣的切線共有()

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【分析】設(shè)出切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，寫出切線方程，根據(jù)切線過點(3,1),列方程，判斷

方程解的個數(shù)即可.

【詳解】因為>=ln(x-l),所以>=<(%>1).

x-1

設(shè)切點坐標(biāo)為：(x0,ln(x0-l)),切線斜率為：左==(x0>l).

%—1

所以切線方程為：yTn(Xo-l)=一、(尤-尤0).

又切線過點(3,1),

12

所以=-------(3-x0)=ln(x0-l)+-----；-2=0.

/一］工0_1

2

設(shè)/(x)=lnx+——2(x>0)

由/'（x）>0=>x〉2；由/'（%）<0=>0<x<2.

所以函數(shù)/（力在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增.

且d=2e-3>0,〃2）=ln2T<0,/（e2）=^>0.

所以/（x）=0在和（24各有1個根.

所以方程：ln（%-l）+—-2=°有且只有兩個解.

故選：C

3.（23-24高二下?浙江衢州?期末）若曲線>=（辦+l）hu有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是

（）

A.B,（0,e2）仁ifD-[J,ej

【答案】A

【分析】先設(shè)切點小,（"o+l）lnxo）,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用點斜式得到切線方程；再

根據(jù)切線過點（0,0）,得到七,。的關(guān)系，利用不有兩解求。的取值范圍.

【詳解】設(shè)切點o+l）l明）），

又;/=alnx+（ax+l>L=Qlnx+'+a,所以切線斜率為：k=a\nx0+—+aa

Xx%o

由點斜式，切線方程為：>-（％+1）1啄=alnx0+—+a|（x-x0）.

因為切線過點（。,0）,所以-（辦0+1）1叫=[alnXo+'+a（0-x0）.

IXo7

所以：6Zxo-lnxo+l=O.

因為過原點的切線有兩條，所以關(guān)于％方程辦-Inx+1=0有兩解.

由ax-lnx+l=O(x>0)=a=--

x

1-x-(lnx-l).

設(shè)/?）=一，貝」，（、）=2lnx

人____________________________________________7

X2

由//(%)〉0得2-111%>0=>]<62,

所以〃(x)在(od)單調(diào)遞增，在卜2,+動單