動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用-高考物理一輪復(fù)習(xí)鞏固卷（新高考）

考點(diǎn)鞏固卷09動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用

建議用時(shí)：60分鐘

考點(diǎn)預(yù)覽

考點(diǎn)序號(hào)考點(diǎn)考向題型分布

考點(diǎn)1動(dòng)量、動(dòng)量定理、動(dòng)考向1：動(dòng)量和動(dòng)量定理8單選+2多選

量守恒定律考向2：動(dòng)量變化量和沖量的計(jì)算

考向3：動(dòng)量定理解決蹦極類問題

考向4：動(dòng)量定理解決流體類問題

考向5：動(dòng)量守恒定律的理解和應(yīng)用

考點(diǎn)2動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用考向1:彈性碰撞3單選+3多選

考向2：非彈性碰撞

考向3：爆炸與反沖運(yùn)動(dòng)

考向4：人船模型

考點(diǎn)訓(xùn)練

考點(diǎn)01動(dòng)量、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律（8單選+2多選）

I

1.（2024?湖北武漢?二模）中國(guó)汽車?yán)﹀\標(biāo)賽是我國(guó)級(jí)別最高，規(guī)模最大的汽車賽事之一，其賽道有很多

彎道。某輛賽車在一段賽道內(nèi)速度大小由2V變?yōu)?v,隨后一段賽道內(nèi)速度大小由5V變?yōu)?v,前后兩段賽

道內(nèi)，合外力對(duì)賽車做的功分別為電和沙2,賽車的動(dòng)量變化的大小分別為和即2,下列關(guān)系式可能成

立的是（）

A.%=%,Np\=gp]B.所邳\=三號(hào)＞2

D.%=；%，%=4醞2

c.m=科，&?I=4&?2

【答案】B

【詳解】根據(jù)動(dòng)能定理有

W,=—m(4v)2——m(2v)2=6mv2

122

W.=—m(5v)2=12/wv2

222

可得

由于速度和動(dòng)量是矢量，具有方向，當(dāng)初、末速度方向相同時(shí)，動(dòng)量變化量最小，方向相反時(shí)，動(dòng)量變化

量最大，可知?jiǎng)恿孔兓拇笮》秶?/p>

2mv<tsp、<6mv

2mv<\p2<\2mv

可得

WAftV3Np

o2

故選B。

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）某“失重”餐廳的傳菜裝置如圖所示，運(yùn)送菜品的小車沿等螺距軌道向下做勻

速率運(yùn)動(dòng)，該軌道各處彎曲程度相同，在此過(guò)程中，小車（）

A.機(jī)械能保持不變B.動(dòng)量保持不變C.所受合力不為零D.處于超重狀

態(tài)

【答案】C

【詳解】A.小車沿等螺距軌道向下做勻速率運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，動(dòng)能不變，小車高度減小，即重力勢(shì)能

減小，則小車的機(jī)械能減小，故A錯(cuò)誤；

B.小車做螺旋運(yùn)動(dòng)，速度大小不變，方向改變，根據(jù)動(dòng)量表達(dá)式力p=av可知，小車的動(dòng)量大小不變，

動(dòng)量的方向發(fā)生變化，即動(dòng)量發(fā)生了變化，故B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)上述可知，小車做變速去運(yùn)動(dòng)，即小車所受合力不為零，故C正確；

D.由于小車沿等螺距軌道向下做勻速率運(yùn)動(dòng)，沿軌道方向的速度大小不變，即小車沿軌道方向所受合力為

0,故小車沿軌道方向的加速度為0,又由于該軌道各處彎曲程度相同，則軌道對(duì)小車的指向圖中軸心的作

用力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，該作用力方向沿水平方向，可知小車的加速度方向沿水平方向，小車不存在

豎直方向的加速度，則小車既不處于超重狀態(tài)，也不處于失重狀態(tài)，故D錯(cuò)誤。

故選C。

3.（2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)做投籃練習(xí)，兩次分別從相同高度的/、8兩位置拋出同一籃球，恰

好都垂直撞擊在籃板同一位置C,如圖所示，忽略空氣阻力，以下說(shuō)法正確的是（）

A.籃球兩次拋出時(shí)的動(dòng)量相等B.兩次籃球重力做功的平均功率相等

C.籃球兩次到位置C時(shí)機(jī)械能相等D.兩次重力的沖量不相等

【答案】B

【詳解】A.籃球垂直撞擊在籃板同一位置，可知逆過(guò)程可看做是平拋運(yùn)動(dòng)，因高度相同，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間/相

同，根據(jù)

「7

可知從4位置拋出時(shí)的水平速度較大，根據(jù)拋出時(shí)的速度

可知籃球從N位置拋出時(shí)的速度較大，動(dòng)量較大，故A錯(cuò)誤；

B.根據(jù)

p=mgh

t

可知，籃球兩次從拋出到撞擊籃板的過(guò)程中重力做功的平均功率相等，故B正確；

C.兩次在位置C重力勢(shì)能相等，但動(dòng)能不等，故機(jī)械能不等，故c錯(cuò)誤；

D.由

I=mgt

可知重力的沖量相等，故D錯(cuò)誤。

故選B。

4.（2024?黑龍江?一模）原地縱跳摸高是常見的體能測(cè)試項(xiàng)目。在某次摸高測(cè)試中，一同學(xué)從如圖/所示的

靜止下蹲狀態(tài)向上躍起，腳剛離開地面時(shí)如圖8所示，身體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)位置如圖C所示，三幅圖代表

同一豎直線上的三個(gè)位置，不計(jì)空氣阻力，關(guān)于該同學(xué)測(cè)試的全過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是（）

A.從/到8的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，地面對(duì)腳的支持力始終大于該同學(xué)的重力

B.從/到2的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，地面對(duì)腳的支持力的沖量為零

C.該同學(xué)在C圖位置的機(jī)械能大于在力圖位置的機(jī)械能

D.從4到C的過(guò)程中，地面對(duì)腳的支持力沖量大于該同學(xué)的重力沖量

【答案】C

【詳解】AB.運(yùn)動(dòng)員從用力蹬地到剛離開地面的起跳過(guò)程，先向上加速，地面支持力大于重力；當(dāng)?shù)孛嬷?/p>

持力等于重力時(shí)速度最大；之后腳與地面作用力逐漸減小，運(yùn)動(dòng)員開始減速；當(dāng)腳與地面作用力為零時(shí)，

離開地面。此過(guò)程地面對(duì)腳的支持力的沖量不為零，AB錯(cuò)誤；

B.蹬地起跳過(guò)程中運(yùn)動(dòng)員消耗體內(nèi)化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，3圖位置的機(jī)械能大于在/圖位置的機(jī)械能，從

B到C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，則該同學(xué)在C圖位置的機(jī)械能大于在/圖位置的機(jī)械能，C正確；

D.從/到C的過(guò)程中，應(yīng)用動(dòng)量定理有

/支+/G=0-0

所以地面對(duì)腳的支持力沖量等于該同學(xué)的重力沖量，D錯(cuò)誤。

故選C。

5.（2024?陜西?一模）今年春晚雜技節(jié)目《躍龍門》為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺盛宴。彩排時(shí)為確保演員們能夠

準(zhǔn)確掌握發(fā)力技巧，教練組將壓力傳感器安裝在圖甲的蹦床上，記錄演員對(duì)彈性網(wǎng)的壓力。圖乙是某次彩

排中質(zhì)量為35kg的演員在豎直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)計(jì)算機(jī)輸出的壓力-時(shí)間（FT）圖像，演員可視為質(zhì)點(diǎn)。不計(jì)

空氣阻力，重力加速度g=10m/s2,下列說(shuō)法正確的是（）

甲乙

A.從a時(shí)刻到b時(shí)刻，演員做勻變速直線運(yùn)動(dòng)

B.從a時(shí)刻到6時(shí)刻，演員一直處于失重狀態(tài)

C.在6時(shí)刻，演員的速度最大

D.從。時(shí)刻到6時(shí)刻，蹦床給演員的沖量大小為455N-s

【答案】D

【詳解】A.從。時(shí)刻到6時(shí)刻彈力逐漸減小，合外力不恒定，加速度變化，故演員做非勻變速運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò);

B.。時(shí)刻彈力最大，應(yīng)處于最低點(diǎn)，具有向上的加速度，當(dāng)重力與彈力相等時(shí)，加速度為零，此后加速度

變?yōu)橄蛳?，從a時(shí)刻到b時(shí)刻，故先處于超重狀態(tài)，后處于失重狀態(tài)，B錯(cuò)誤；

C.彈力和重力相等時(shí)，即在平衡位置時(shí)，演員的速度最大，C錯(cuò)誤；

D.演員在空中的時(shí)間

Z=(2.8-1.2)s=1.6s

故演員脫離蹦床時(shí)的速度

tc,

v=??—=8m/s

2

根據(jù)動(dòng)量定理可得

IF-mg(tb-ta)=mv

解得

IF=455N?s

D正確。

故選D。

6.(2024?廣西來(lái)賓?模擬預(yù)測(cè))某實(shí)驗(yàn)小組用電池、電動(dòng)機(jī)等器材自制風(fēng)力小車，如圖所示，葉片勻速旋轉(zhuǎn)

時(shí)將空氣向后排開，使小車以速度v勻速行駛，小車受到的阻力恒為力葉片半徑為r,空氣密度為p,下列

說(shuō)法正確的是()

A.風(fēng)力小車向后排開空氣的速度為v

B.空氣對(duì)葉片的推力為/

C.單位時(shí)間內(nèi)葉片推開空氣的質(zhì)量為加

D.當(dāng)葉片轉(zhuǎn)速變大時(shí)，小車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)獲得推力也變大

【答案】B

【詳解】AB.由于風(fēng)力小車做勻速運(yùn)動(dòng)，空氣對(duì)葉片的推力與阻力是平衡力，則空氣對(duì)葉片的推力為了,由

牛頓第三定律可知葉片對(duì)空氣的作用力為了,設(shè)空氣的速度為M，/時(shí)間內(nèi)葉片排開的空氣質(zhì)量為

m=pV=pSv't=p7tr~v't

對(duì)推開的空氣由動(dòng)量定理可知

ft=mv'—Q

解得

故A錯(cuò)誤，B正確;

C.單位時(shí)間內(nèi)葉片推開空氣的質(zhì)量為

m=pnr~v'=pitr~

故C錯(cuò)誤;

D.由于阻力不變，根據(jù)平衡條件可知小車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)空氣對(duì)小車的推力不變，故D錯(cuò)誤。

故選B。

7.（2024?山東荷澤?三模）風(fēng)箏在我國(guó)已存在兩千年之久，又有紙鶯、鸛子之稱。如圖所示，某時(shí)刻風(fēng)箏靜

止在空中，風(fēng)箏面與水平面夾角為9，牽引線與豎直方向夾角為26。已知風(fēng)箏質(zhì)量為加，垂直風(fēng)箏面的風(fēng)

速大小為v,風(fēng)箏面的面積為S,重力加速度為g,則風(fēng)箏所在高度空氣密度為（）

牽引繩

2mgcos02mgsin04mg口4mg

A，~c

Sv2,Sv2sin23'Sv2sin0

【答案】A

【詳解】對(duì)風(fēng)箏受力分析如圖1所示,作出矢量三角形如圖2所示，可知風(fēng)箏此時(shí)獲得的垂直風(fēng)箏面的力

F=2mgcos6

根據(jù)牛頓第三定律，風(fēng)箏對(duì)垂直風(fēng)箏面的風(fēng)的作用力大小也為E以風(fēng)為研究對(duì)象，單位時(shí)間At內(nèi)，垂直打

在風(fēng)箏面的風(fēng)的質(zhì)量

Am=pSv\t

在垂直風(fēng)箏面方向上由動(dòng)量定理有

F?Nt=Am?v

聯(lián)立解得空氣密度為

2mgcos6

故選Ao

圖1圖2

8.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于動(dòng)量和沖量，下列說(shuō)法正確的是（）

A.動(dòng)量守恒定律成立的條件是系統(tǒng)只受重力或彈力作用

B.物體動(dòng)量的方向一定與其所受合力的方向一致

C.物體運(yùn)動(dòng)的方向就是它的動(dòng)量的方向

D.物體受到的合力的沖量越大，它的速度一定越大

【答案】C

【詳解】A.動(dòng)量守恒定律成立的條件是系統(tǒng)受合外力為零，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B.物體動(dòng)量變化的方向一定與其所受合力的方向一致，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C.物體運(yùn)動(dòng)的方向即速度方向就是它的動(dòng)量的方向，選項(xiàng)C正確；

D.物體受到的合力的沖量越大，它的動(dòng)量變化越大，即速度變化一定越大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

故選C。

9.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，光滑的水平面上有個(gè)固定擋板尸，4B、C是水平面上的三個(gè)標(biāo)志點(diǎn)，

PA=AB^BC.A點(diǎn)處有一質(zhì)量為加2=7叫的靜止小球，緊貼P擋板的右側(cè)有一質(zhì)量為恤的等大小球以速

度均向右運(yùn)動(dòng)并與血2相碰，碰撞后球以匕=1%（待定系數(shù)々＜1）的速率彈回，并與擋板尸發(fā)生完全彈

性碰撞，若要使機(jī)1小球能在8c間追上爪2小球再相撞，兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)。則a的取值可能是（）

P44

ABC

【答案】BC

【詳解】根據(jù)題意，由動(dòng)量守恒定律有

加1%=-mxavQ+m2v2

解得

1+a

嶺=7%

若恰好在B處追上相碰有

Vyt=AP+PB,v2t=AB

解得

/=3%

即

3（l+cr）

a%=7%

解得

3

a=—

4

若恰好在C處追上相碰有

v1t=AP+PC,v2t—AC

解得

V|=2V2

即

2（l+a）

a%=7%

解得

2

a=—

5

爪1小球能在3c間追上小球再相撞，所以a的取值范圍是

本題選可能的，故選BC。

10.如圖所示，光滑水平面上有4、8兩木塊，4、8緊靠在一起，子彈以速度師向原來(lái)靜止的/射去，子

彈擊穿/留在8中。下面說(shuō)法正確的是

//////////////////////////////////

A.子彈擊中/的過(guò)程中，子彈和/、3組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒

B.子彈擊中/的過(guò)程中，/和3組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒

C.子彈擊中/的過(guò)程中，子彈和/組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒

D.子彈擊穿/后，子彈和3組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒

【答案】AD

【詳解】A.子彈擊中/的過(guò)程中，子彈和“、8組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。故A正確。

B.子彈擊中”的過(guò)程中，由于子彈對(duì)/和2組成的系統(tǒng)有作用力，所以/和2系統(tǒng)動(dòng)量不守恒。故B錯(cuò)

誤。

C.子彈擊中/的過(guò)程中，2對(duì)子彈和/組成的系統(tǒng)有作用力，系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。故C錯(cuò)誤。

D.子彈擊穿/后，子彈和3組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。故D正確。

故選AD?

考點(diǎn)02；動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用（3單選+3多選）

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在光滑水平地面同一直線上放置有三個(gè)大小相等的彈性小球，其中〃％=3.5kg,

mc=1kg,現(xiàn)給小球A一沿48連線的初速度也，若A、B兩小球僅能發(fā)生一次碰撞，小球A的質(zhì)量機(jī)A最

小值為（）

CAB

A.3.5kgB.1kgC.0.75kgD.0.5kg

【答案】D

【詳解】AB碰撞時(shí)，根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒

mVmV+mV

A0=AABB

J%說(shuō)=；/^+；外4

解得

加A一加B

——-Vo

加A+MB

2加A

VB二—■—%

加A+MB

1.若0<%<%時(shí)，A、B兩小球僅能發(fā)生一次碰撞，碰后AB同向，此時(shí)

m

加A>B=3.5kg

2.若〃=0時(shí)，A、B兩小球僅能發(fā)生一次碰撞，此時(shí)

=m

加AB=3.5kg

3.若以V。時(shí)，A、B兩小球發(fā)生碰撞后A反向，此時(shí)

加A<加B=3.5kg

則AC碰后，根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒

WAVA=WAVA1+WCVC

■加A4+；機(jī)

解得

加A

VA1="A

加A+/C

2加A

%=,"A

加A+加C

①若A球向左運(yùn)動(dòng)，不會(huì)和B球再次相碰，此時(shí)

mA>mc=1kg

即

1kg<mA<3.5kg

②若％=0,則A球靜止，不會(huì)和B球再次相碰，此時(shí)

mx=mc-1kg

③若A球向右運(yùn)動(dòng)

mA<mc=1kg

若需不會(huì)和B球再次相碰，則

血|41VBi

解得

1kg>mA>0.5kg

綜上，若A、B兩小球僅能發(fā)生一次碰撞，小球A的質(zhì)量為

mA>0.5kg

故選D。

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某次冰壺運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練中，甲壺與靜止的乙壺發(fā)生正碰。已知冰面粗糙程度處處相同,

不計(jì)空氣阻力，兩壺完全相同且均可視為質(zhì)點(diǎn)，碰撞時(shí)間極短可不計(jì)，碰撞前、后兩壺運(yùn)動(dòng)軌跡始終在同

一水平直線上。從開始碰撞到兩壺都靜止過(guò)程中，測(cè)得乙壺位移是甲壺位移的左倍，則（）

A.k<\

B.左值越大，兩壺碰撞過(guò)程中損失機(jī)械能越大

C.后值越大，兩壺碰撞過(guò)程中損失機(jī)械能越小

D.碰撞后瞬時(shí)，乙壺速度為零

【答案】C

【詳解】A.甲乙碰撞瞬間動(dòng)量守恒，即

mv0=甲+mv^

且有

喔Wv乙

2〃g2〃g

所以

^>1

故A錯(cuò)誤；

BC.兩壺碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能為

變形可得

,I

=mv-（----------------）

y[k—產(chǎn)+2

4k

由此可知，當(dāng)時(shí)，損失的機(jī)械能達(dá)到最大，隨著左增大，損失的機(jī)械能減小，故B錯(cuò)誤，C正確;

D.由于兩壺完全相同，所以碰撞后瞬時(shí)乙壺速度一定大于零，故D錯(cuò)誤。

故選C。

3.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）總質(zhì)量為力的返回式人造地球衛(wèi)星沿半徑為R的圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)到某

點(diǎn)時(shí)，向原來(lái)運(yùn)動(dòng)方向噴出氣體以降低衛(wèi)星的速度，隨后衛(wèi)星轉(zhuǎn)到與地球相切的橢圓軌道，要使衛(wèi)星相對(duì)

地面的速度變?yōu)樵瓉?lái)的左倍（左＜1）,則衛(wèi)星在該點(diǎn)將質(zhì)量為Am的氣體噴出的對(duì)地速度大小應(yīng)為（將連續(xù)

噴氣等效為一次性噴氣，地球半徑為地球表面重力加速度為g）

【答案】C

【詳解】設(shè)原本速度匕，由萬(wàn)有引力提供向心力

cMmv,

G—丁=m—

R2R

噴出后速度狂1，△加相對(duì)地球速度v,由動(dòng)量守恒

mvx=(m-A/n)^Vj+A/nv

又

=mS

解得

m+A：Am-km

v=

Aw

故選C。

4.（2024?臺(tái)灣?模擬預(yù)測(cè)）在新款車的碰撞安全測(cè)試中，一輛質(zhì)量為2000kg的汽車，以速度72加?/h

（20m/s）在水平地面上直線勻速前進(jìn)，和質(zhì)量為1000kg的靜止箱形障礙物發(fā)生一維非彈性正向碰撞，碰

撞后箱形障礙物被向前彈開，汽車車頭內(nèi)凹但仍持續(xù)向前行進(jìn)。假設(shè)空氣阻力與地面摩擦力可忽略。在此

碰撞過(guò)程中，速度感測(cè)器測(cè)得碰撞開始后汽車速率與時(shí)間的關(guān)系如圖所示。將開始碰撞的時(shí)間記為0.0秒,

則下列敘述哪些正確？（）

A.在0.5秒后，汽車與障礙物分離

B.在0.5秒后，汽車動(dòng)能減少一半

C.在0.5秒后，障礙物速率為20m/s

D.在0.5秒內(nèi)，汽車平均加速度量值為10m/s?

E.在0.5秒后，汽車與障礙物的總動(dòng)能減少1x101

【答案】ACE

【詳解】A.由圖可知，汽車在0.5s之后速度不再發(fā)生變化，所以在0.5秒后，汽車與障礙物分離，故A正

確;

B.由

"12

Ak=-mv

可知，0.5s之后汽車速度變?yōu)樵瓉?lái)的;，所以動(dòng)能應(yīng)該減少為原來(lái)的;，故B錯(cuò)誤；

C.空氣阻力與地面摩擦力可忽略，所以汽車和障礙物組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取向右為正方向，則

Mv=Mvi+mv2

代入數(shù)據(jù)得

Mv-Mv2000(20-10)/“/

%=-----------}-=------------------m/s=20m/s

2m1000

即0.5秒后障礙物速率為20m/s,故C正確；

D.由加速度公式可得

—

Av1020.2m/2

a=——=---------m/s=-20m/s

△t0.5

故D錯(cuò)誤；

E.汽車碰之前的動(dòng)能為

E.^-Mv2=-X2000X202J=4X105J

122

汽車碰之后的動(dòng)能為

25

E2=^MV-=1X2000X10J=1X10J

障礙物的動(dòng)能為

5

E,=—mVj=—x1000x2()2J=2x10J

3222

所以在0.5秒后，汽車與障礙物的總動(dòng)能減少

A￡,=4X105J-1X105J-2X105J=1X105J

故E正確。

故選ACE。

5.（2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測(cè)）在光滑絕緣的水平面上，相距為n的兩個(gè)帶電小球A、B,質(zhì)量分別為〃八

4/77,電荷量分別為+外+2q,小球A以速度v向靜止的小球B運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間/后，它們之間的距離縮短到上

這一極限值后又被彈開，兩個(gè)小球均可視為點(diǎn)電荷，則（）

A.小球A、B之間的距離最近時(shí)，速度大小分別為0.2v、0.2v

B.小球A、B之間的距離最近時(shí)，速度大小分別為-0.6v、0.4v

V1i）

C.在/時(shí)間內(nèi)，小球A對(duì)小球B的平均作用力大小為包一方+一

弓）

D.在/時(shí)間內(nèi)，小球A對(duì)小球B的平均作用力大小為「

5t

【答案】AD

【詳解】AB.小球A、B組成的系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，小球A、B之間的距離最近時(shí)，兩球具有相同的速度,

則有

mv=（機(jī)+4加）v共

解得

v共=