二次函數(shù)拓展之幾何篇（解析版）-2024-2025學年人教版九年級數(shù)學上冊

二次函數(shù)拓展之幾何篇(優(yōu)質(zhì)類型)

【類型覆蓋】

類型一、二次函數(shù)中的等腰三角形

【解惑】在平面直角坐標系中，二次函數(shù)了=。J+6X+3的圖象與X軸交于4(1,0),8(3,0)兩點，與〉軸交

于點c.

二U

圖①曲②

⑴求二次函數(shù)的表達式;

1

(2)如圖①，若點尸是線段8c上的一個動點(不與點8,C重合)，過點P作y軸的平行線交拋物線于點

Q,當線段尸。的長度最大時，求點。的坐標；

⑶如圖②，在(2)的條件下，過點。的直線與拋物線交于點。，且/CW=2/OC0.在夕軸上是否存在

點、E,使得ABAE為等腰三角形？若存在，直接寫出點￡的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(i)y=x~—4x+3

⑶存在，點E（0,8+743）^4（0,8-屈）或（0,5）或（0,屈）或（0,-屈）

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)由尸。=-x+3-(/-4x+3)=——+3x,即可求解；

(3)先求出點。(5,8),再分類求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得：y=a(x-l)(x-3)=a(x2-4x+3)=ax2+bx+3,

貝!JQ=1,

則拋物線的表達式為：y=^-4x+3；

(2)解：由拋物線的表達式知，點C(0,3),

由點3、C的坐標得，直線C8的表達式為：/=-尤+3,

設點。(陽/一4x+3),則點尸(x,-x+3),

貝IPQ=-x+3_(x?_4x+3)=_x~+3x,

故尸。有最大值，

33

止匕時x=—,貝！Jy=X?—4x+3=—,

即點。［1T；

(3)解：存在，理由：

設直線CQ的表達式為y=mx+n,

’335

—=-m+n,m=——

由點C,。的坐標得，，42,解得：，2

3=nn=3

2

???直線C0的表達式為：y=-|x+3,

令y=o,x=.|,故

過點。作70〃V軸交x軸于點T,則/TQC=/0C。,

ZCQD=2ZOCQ,ZTQC=ZQCO,

即直線CQ和。。關于直線。7對稱，故M1|,O

設直線。。的表達式為y=公+c,

33,

——=-a+。

3_342

代入。

2，-4，”（I，。］，得,9

0=-d+。

5

d=-

2

解得：

9

C=——

2

59

則直線力。的表達式為：=

59

聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：X2-4X+3=|X-|,

3

解得：尤=：（舍去）或5,

即點。（5,8）；

設點E(O,y),由叢的坐標得，BO?=68,。產(chǎn)=25+3-8)2,3爐=9+/,

當=時，貝|68=25+3-8）2,

解得：＞=8土保，即點￡（0,8+聞）或￡（0,8-聞）；

3

當DE=2E或2。=8E時,

同理可得：25+(.y-8)2=9+/或9+r=68,

解得：V=5或±7^,

即點E(0,5)或(0,屈)或(0,一屈)；

綜上，點￡(0,8+V43)或(0,8-屈)或(0,5)或(0,屈)或(0,-屈).

【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的

思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

【融會貫通】

1.綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線y=；x-2與x軸交于點/,與y軸交于點C,過

A,C兩點的拋物線了=ax?+6x+c(a/0)與x軸的另一個交點為點2(-1,0)，點P是拋物線位于第四象限圖

象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線/C于點E,點E

⑴求拋物線的解析式；

(2)點。是x軸上的任意一點，若aNS是以NC為腰的等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

⑶當EF=/C時，求點尸的坐標；

⑷在(3)的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為連接

NA,MP,則AM+MP的最小值為.

1Q

【答案】⑴尸寸2-寸-2

⑵D,(-4,0),2(4+275,0),D3(4-275,0)

4

⑶尸（2,-3）

⑷亞

2

【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的

關鍵.

（1）先根據(jù)題意確定點C的坐標，然后運用待定系數(shù)法求解即可；

（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標與圖形即可解答；

（3）先證明A/OCGAE尸尸（ASA）可得尸尸=OC=2,設尸］機,g機？機-2）（0〈機＜4）,則尸］

可得小=-二/+2〃?，即-+2?=2,求得可得加的值，進而求得點P的坐標；

22

3

（4）如圖：將線段板向右平移,單位得到MG,即四邊形〃7\%G是平行四邊形，可得

附=MG,NG=MV=|,即G,0j,作尸（2,-3）關于對稱軸x=g的點片（1,一3）,則初尸=初彳，由兩點間的

距離公式可得PG=浮,再根據(jù)三角形的三邊關系可得NA+MP=MG+MPl＞PlG=浮即可解答.

【詳解】（1）解：,直線y=gx-2與X軸交于點/,與y軸交于點C,

當,v=0時，x=4,即/（4,0）；當x=0時，y=-2,即C（0,—2）；

???設拋物線的解析式為＞=。（工+1）。-4乂.豐0）,

把C（0,-2）代入可得：-2=°（0+1）（0-4）,解得：〃=

j=；（x+l）（x-4）=；x2_|x_2,

13

???拋物線的解析式為：），=牙-尹-2.

（2）解：???4（4,0）,C（0,-2）,

.-.OC=2,OA=4,

AC=>JOC2+AB2=275，

如圖：當。2=/C=26,OC_L/2,

5

ODX=CM=4,即A（-4,0）；

如圖：當AD?=AC=2亞,

二.-4C=20-4卸D2（4-2A/5,0）；

如圖：當/。3=4。=2右，

=g+"=2石+4,即。2（4-2氐0）；

綜上，點D的坐標為°（-4,0）,A（4+2指,0）也（4-275,0）.

(3)解：如圖：?；P￡〃x軸，

APEA=/CMC,

PF//>軸，

："PFE=/OCA,

???EF=AC,

,“AOC知EPF(ASA),

.?.PF=OC=2f

,設夕卜，(加2-2^(0<m<4),則F^m^m-2

好1"123°、I?>

：.Pr=-m-2-\—m——m-2\=——m+2m,

2(2212

+2冽=2,解得：m=2(負值舍去)，

,103

當冽=2時，—x2——x3—2=—3,

???尸(2,-3).

13

(4)解：???拋物線的解析式為：3^=-X2--X-2,

6

3

???拋物線的對稱軸為：直線x=；,

3

如圖：將線段從4向右平移,單位得到MG,

.?.四邊形跖V/?是平行四邊形，

：.NA=MG,AG=MN=

a

作尸(2,-3)關于對稱軸x=￡的點片(1,-3),則=M

3V13

2

■■NA+MP=MG+MPx>PiG=^Y-

：.NA+MP的最小值為封豆.

2

故答案為哀叵.

2

2.如圖，拋物線y=-gf+6x+c與x軸交于/、2兩點，與〉軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點

D,已知/(TO),C(0,2).

(1)求拋物線的表達式；

⑵在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使APCD是以8為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐

7

標；如果不存在，請說明理由；

⑶點E是線段3c上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點尸，當點E運動到什么位置時,

四邊形。。5斤的面積最大？求出四邊形CDAF的最大面積及此時￡點的坐標.

13

【答案](山=--X2+-X+2

(2)存在，尸點的坐標為C或353_5

或

2522，-2

13

⑶￡為8c的中點，四邊形CO8尸的面積最大，最大面積為了，第2,1)

【分析】(1)待定系數(shù)法求解即可;

2

12933圖+(-2＞，設

(2)由y=—可得對稱軸為直線x=——L5，即。，CD2=

222x2

21=(￡|+(相-2『，當APCO是以CO為腰的等腰三角形，分PC=CD,PD=CD

PR,m,則PD=加2,PC

兩種情況計算求解即可;

(3)由4(T0),對稱軸為直線x=54,可得5(4,0),待定系數(shù)法求直線3C的解析式為歹=-^1x+2,

如圖，貝!JS四邊形⑺所+S△成尸+'比尸=|"+2￡7"可知當斯最大時，四邊形CD5廠的面積最大，設

11

,貝Ijj〃，—#+_|〃+2],9

E\n,--n+1EF=--n2+2?=-—(n-2)+2,可知當〃=2時，EF最大,最

I2

13

大值為2,則S四邊形如尸=萬，第2，1)，為3c的中點，然后作答即可.

1---------/J+C=0

【詳解】(1)解：將/(TO),C(0,2)代入＞=-5/+廄+。得，(2

c=2

,3

b=—

解得，2,

c=2

13「

y——X2H—X+2；

22

3,

(2)解：\-y=-x,2H—X+2,

2

2

23

???對稱軸為直線x=

2J

2x

8

??.O|可,

3

CD2=I+(-2『,

設加)則92=%2,PC2=[j\+(m-2)\

當APS是以CO為腰的等腰三角形，分PC=CD,PD=CD兩種情況求解;

當PC=CD時，PC1=CD1,即|+(-2『,

解得，冽=0或加=4,

當尸D=CD時，PD?=CD?,即加2=(|)+(-2))

535

解得,m=-^rn=~-

22

??.《：】'di-1}

綜上所述，存在，點p的坐標為g,4)或邕)或@,彳

3

(3)解：:/(TO),對稱軸為直線x=不

???8(4,0),

設直線BC的解析式為y=PX+q,

將8(4,0),C(0,2)代入y=px+g得，，:丁=0

1

P=--

解得，2,

q=2

???直線BC的解析式為y=-gx+2,

如圖，

9

=-x-x2+-^Fx4=-+2EF,

2222

???當EF最大時，四邊形CDS廠的面積最大,

設+則尸+

117

:.EF=——n2+2n=——(〃-2)+2,

22、7

2

.??當〃=2時，EF最大,最大值為2,

_2?_13

3四邊形CORP=5+2X2=5

.??￡(2,1),為8c的中點,

13

??.E為3C的中點，四邊形的面積最大，最大面積為1，磯2,1).

【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與面積綜合，一次函數(shù)解析式，

等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識.熟練掌握二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與面

積綜合，一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵.

3.如圖，已知拋物線與x軸交于/(TO)、8(3,0)兩點，與y軸相交于點C,直線y=-2x+3經(jīng)過點C,

備用圖

10

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點Q,使A/C。的周長最小，求點。的坐標;

⑶點尸是(1)中拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為“0<f<3),是否存在?是以為底的等

腰三角形？若存在，求點P坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=-x"+2x+3

(2)(1,2)

‘3+回12+回

⑶存在;-48-

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)如圖，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B,連接8c交拋物線對稱軸于點。，則此時，的

周長最小，即可求解；

(3)設點尸+2Z+3),根據(jù)APCD是以CD為底的等腰三角形，所以尸。=勿，貝|

(？-0)2+(-f2+2/)2=p-|j+(-Z2+2f+3)\求解即可得出'值，進而求解.

【詳解】(1)解：設拋物線的表達式為：y=a{x+l)(x-3)=a(x2—2x—3),

對于一次函數(shù)V=-2x+3,

當X=0時，y=3,

.■.C(0,3),

將點C的坐標代入拋物線表達式得：3a=-3,貝=

即拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3

(2)解：如圖，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點8,連接2c交拋物線對稱軸于點。，則此時，“CQ

的周長最小，

11

理由：A/C。的周長=/。+。0+/0=4:+%+。2=水:+8。為最小,

設直線BC的表達式為y=kx+b

把8(3,0),。(0,3)代入得：

???直線3C的表達式為：y=-x+3,

由拋物線的表達式知，其對稱軸為x=l,

當x=l時，y=-x+3=2,即點。(1,2)；

(3)解：存在，理由：

設點尸卜，一產(chǎn)+2，+3)

,?,直線y=-2x+3與了軸的交點為。，

3

當尸。時，x=-,

.“I，o]，

???APCD是以C。為底的等腰三角形,

:?PC=PD,

2

???(/-o)+(-』+2)="_|_]+(_?+2t+3)2,

8/—12/—15=0,

_3±739

―4?

,?<0</<3,

..一3+廊

??t—-----?

4

12

即尸點的坐標為

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,

二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用軸對稱求最短路徑，等腰三角形的性質(zhì)，屬二次函數(shù)綜合

題目，難度適中.

類型二、二次函數(shù)中的等腰直角三角形

【解惑】在平面直角坐標系中，拋物線V="2+區(qū)一3與X軸交于點/（-1,0）和點2（3,0）,與〉軸

交于點C.

⑴求拋物線的解析式；

（2）若點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，當△P8C面積最大時，求點P的坐標；

⑶若點尸為拋物線上一點，點0是線段3C上一點（點。不與兩端點重合），是否存在以P、0、。為頂點

的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=2x-3

3_15

(2)尸2，-T

"2-Vw_3

⑶存在，點P的坐標為（3,0）或（0,-3）或（2,-3）或

—2―，-2

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；

⑵作尸火〃y交友;于點R,先求得直線5c的解析式，設點尸的坐標為（x,/-2x-3）,則點R的坐標為

（x,尤-3）,利用三角形面積公式列式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）分四種情況討論，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.

13

【詳解】(1)解：將/(TO)、8(3,0)代入〉=/+為一3得,

a-b-3=0

9a+36—3=0

(2=1

解得:

b=-2

拋物線的解析式為：y=x2-2x-3=(x-l)2-4；

(2)解：作PR〃y交BC于點、R,

令尤=0,貝1J,v=-3,

???8(3,0),

設直線BC的解析式為y=履-3,

.?.0=31,

解得上=1,

???直線3c的解析式為y=x-3,

設點P的坐標為(x,/-2x-3),則點R的坐標為(x,x-3),

S&PBC=2PR.=/(x

i+?

3

??-——<0,

2

3有最大值，此時點的坐標為［(3,一了15

X=5時,SjBCP

(3)解：???點0是線段3C上一點,

14

???設點Q的坐標為（加，加-3）,

?.?3（3,0）,C（0,-3）,

.-，0B=0C=3f

???當點尸與點3重合，點。與點。重合時，△尸。。是等腰直角三角形，此時點。的坐標為（3,0）；

同理當點?與點C重合，點。與點5重合時，△P。。是等腰直角三角形，此時點尸的坐標為（0,-3）；

如圖，當點尸在第四象限時，過點0作。軸于點。，作尸石,。石交QE于點E,

vOQ=PQ,ZOQP=90°,

ZQOD=90°-ZOQD=ZPQE,

.?./\QOD^/\PQE,

：.QE=OD=m,QD=PE=|m-3|=3-m,

ED=QD+QE=m+3-m=3,即點尸的縱坐標為一3,

—2x-3=-3,

解得X=0或％=2,

??.點P的坐標為（2,-3）；

如圖，當點尸在第三象限時，過點。作軸于點。，作。石，。后交。E于點￡,設。。=d,

同理△尸也△。尸E,

15

PE=OD=EF=d,QF=m,QE=PD,OF=DE=|m—3|=3—m,

；.PD=DE—PE=3—m—d,QE=QF+EF=m+d,

：.3—m—d=m+d,

3

解得d=~~m，

33

???點P的縱坐標為-（3-加-d）=-3-m-----\-m

22

27_3

x—2x—3——,

2

解得X="叵（舍去）-2-Vio

或工二------

22

???點尸的坐標為2，-g

綜上，點P的坐標為（3,0）或（0,-3）或（2,-3）或

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、軸對稱的

性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性較強，具有一定的難度，熟

練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，學會用代數(shù)的方法求解幾何問題，分類思想的應用是解題的關鍵.

【融會貫通】

1.在平面直角坐標系中，已知拋物線工：了=辦2+法-1經(jīng)過點/（2,7）,5（-1-2）.

⑴求拋物線L的表達式；

（2）設Z關于原點。對稱的拋物線為少，〃的頂點為P,對稱軸為/.若點。在77上，點M在/上，連接

PQ、QM.若APQM為等腰直角三角形，求點”的坐標.

【答案】（i）＞=d+2x—l

（2）M（1,1）或M（l,0）

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求

解，是解題的關鍵.

（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

16

(2)先求出新的拋物線的解析式，分尸,。,河分別為直角頂點，三種情況進行討論求解即可.

【詳解】(1)解：把點42,7),次-L-2)代入函數(shù)解析式，得：

4a+2b—1=7a=1

解得:

a-b-l=-2b=2

?'-y=x2+2x-l；

(2)1y=f+2x-1=(x+1)-2,

頂點坐標為(T,-2),

則：(-1,-2)關于原點對稱的點為(1,2),

???￡,〃關于原點。對稱，拋物線的開口大小不變，方向相反，

的解析式為：v=—(x—1)+2=—x~+2x+1,

.?.尸(1,2),對稱軸為直線x=l,

設+2t+l),

當點尸為直角頂點時，則。此時不存在點。在拋物線上，不符合題意,

當點加為直角頂點時，則0河，加，且=點/在p點下方：

：,QM〃x軸，

m=—t2+2/+1

|^-l|=2-m，

卜-=2+/_2/-1,

解得：，=0或￡=1(舍去)或，=2,

當￡=0或￡=2時，m=1,

當點。為直角頂點時，過點。作。N,尸〃，貝IJ："(1,-產(chǎn)+2/+1),

是等腰直角三角形，

QN=PN=MN,

|1-?|=2—(―廠+2/+1),

17

解得：，=0或％=1（舍去）或，=2,

當￡=0或￡=2時，-*+2,+1=1,

:?MN=PN=\,

???1一加=1,

/.m=0；

綜上：M(U)或“(1,0).

3

2.在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=ax2+bx+5gH0)與x軸交于/,8兩點，且點/在點3的

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖1,在直線3c上方的拋物線上有一動點P,點。是點B關于了軸的對稱點，連接尸。交直線8c于點

ss

E,當—最大時，求出產(chǎn)比的最大值及此時點夕的坐標；

、ABED、ABED

18

⑶如圖2,將拋物線沿著射線5c的方向平移，使得新拋物線交y軸于點C,點M為新拋物線上任意一點,

點N為原拋物線對稱軸上位于x軸下方的一點，存在A/MN是以NN為腰的等腰直角三角形，請直接寫出

點N的坐標.

1Q

【答案］⑴尸_了+*

(2)最大值為|,此時點P的坐標為

(3)(1,1-V3)^(1,-4-372)

【分析】

(1)先得出(0,3，即OC=g,再根據(jù)三角形面積公式即可求得5(3,0),再利用待定系數(shù)法

即可求得拋物線的解析式；

(2)過點。作0尸,3C于點尸，過點P作尸GL3C于點G,設尸上,一3〃+/+1),則"“，一

由ABDFs叢BCO,可得竺=空，求得DF二正,再由^PHG^^BCO,可得

石二3指

----------1-----------1

2255

02

V------1-\1

Q&BEP5-------5利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案;

V675

3BED-BEDF

2

(3)當/K4N為直角時，則/M=4N,可得N(l,l-石)；當乙4NM為直角時，則/N="N,可得

【詳解】(1)解：???拋物線＞="+云+5(”0)與V軸交于點C,

9

,：ABOC的面積為:，

19139

:.—OB,OC=—,即一x—05=—

24224

/.0B=3,

19

???0B=30A,

:.0A=\,

.」(TO),5(3,0),

73八

3a-6+—=0

把/(TO),3(3,0)代入y=a/+版+萬，得：v2

3

9。+36+—=0

2

1

a=—

解得：《2,

b=\

i7

???拋物線的解析式為y=--x12+x+^

(2)解：?.?點。是點8關于V軸的對稱點,

???。(-3,0),

v5(3,0),cfo,|j,

13

二?直線的解析式為歹=—+BD=6,

在Rt^5CO中，BC=yJOB2+OC2=

1°313123

/.PH=——t2+t+一一——1+—-t+-t

222222

???NBFD=/BOC=90。，/DBF=/CBO,

:.BDFSBCO,

DF6

DFBD

即3一3指,

1)CSC

2~F

20

3號

?.*PH〃歹軸,

/.ZPHG=ZBCO,

???ZPGH=ZBOC=90°,

:gHGs^CO,

PHPG

BCOB

312,3_V52375

------L-\------1-----------1~\-----------1

,嘿375I2255

2

石23石

-BEPG”---------1-----------1

2_PG121

3BEP55---1H1,

v1r)p6指

Q^BED-BEDF"6---2

25

--<0,

6

1

3S.BEP最大值為［此時點月的坐標為315

當"-----=Q時,有最大值,

o

2xSABED5'W

(3)

解：存在A/VW是以/N為腰的等腰直角三角形，理由如下：

13

將拋物線y=-5/+x+］沿著射線8c的方向平移，使得新拋物線必交了軸于點C，

17

則拋物線向左平移了3個單位向上均平移了1個單位，則平移后的拋物線表達式為：^=-j(x+2)2+p

即弘=-^2_2x+-|,

則設點河卜,一g加2—2加+|J,點且〃<0,

當NMZN為直角時，則4W=4N,如圖2,

過點M作九。||y軸交x軸于點L,設原拋物線對稱軸交x軸于點K,

21

則/4LM=//KN=90。,

:.ZAML+ZMAL=90°,

???ZNAK+ZMAL=90°,

/AML=ZNAK,

:."ML汜AN4K(AAS),

AL=NK=-n,ML=AK=1-(-1)=2,

13

?/AL=m-(-1)=m+1,ML=——m7-2m+—,

22

12c3c

——m-2m+—=2

22

m+l=—n

加]=—2+A/3m,=-2—

解得：.用J舍去)；

n[=1—V3

.-.M(-2+73,2),N(l,l-百卜

當442W為直角時，則/N=MV,如圖4,

過點河作為〃〃》軸交y軸于點L,設原拋物線對稱軸交x軸于點K,

22

同理可得，AANK"ANML(K網(wǎng),

AK=NL=2,KN=ML=-n,

e「12c3

,:ML=\—m,NL=n——2m+—

n-\--m2-2m+-\=2

.JI22j,

-n=l-m

ml=—3—3A/2=3V2—3

解得：(舍去),

n——4—3V2n2=3-\/2—4

.,.皿-3-3后,-6-3匈，N(l,-4-3回；

綜上，M(-2+V3,2),川1,1-6)或屈卜3-3后,-6-30),(1,-4-372),

故答案為：(1,1一6)或(1,一4一3日).

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的平

移，線段的最值等，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和分類討論思想，避免遺漏.

3.在平面直角坐標系中，拋物線昨辦2+6x+c與x軸交于點么(-1,0)和點2,與了軸交于點C,頂點。的

坐標為(1,-4).

23

(1)直接寫出拋物線的解析式；

⑵如圖1,若點尸在拋物線上且滿足/PC8=/CAD,求點尸的坐標；

⑶如圖2,M是直線3c上一個動點，過點/作及軸于點N,。是直線/C上一個動點，當AQMN為

等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應點0的坐標.

【答案】(1)尸，-2龍-3；

（2）^（4,5）,P2

⑶M&，—-；，^2（-9,-12）,Q2（3,-12）；的（1,一2）,03（-1，0）；Af4（-3,-6）,

Q（0,-3）；?。▅,勺，21|，-￡|.

【分析】(1)根據(jù)頂點的坐標，設拋物線的解析式為＞=a(x-l)2-4,將點/(-1,0)代入，求出。即可得出

答案；

(2)利用待定系數(shù)法求出直線解析式為＞=2x-6,過點C作C4IIB。，交拋物線于點4,再運用待定

系數(shù)法求出直線C＜的解析式為y=2x-3,聯(lián)立方程組即可求出￡(4,5),過點2作y軸平行線，過點C作

x軸平行線交于點G,證明AOCE之AGC/(ASA),運用待定系數(shù)法求出直線C戶解析式為y=(x-3,即可求

(3)利用待定系數(shù)法求出直線/C解析式為＞=-3x-3,直線3c解析式為y=x-3,再分以下三種情況:

①當AQMM是以N0為斜邊的等腰直角三角形時，②當AQMN是以為斜邊的等腰直角三角形時，③當

竣MN是以為斜邊的等腰直角三角形時，分別畫出圖形結(jié)合圖形進行計算即可.

【詳解】(1)解：???頂點。的坐標為。,-4),

24

???設拋物線的解析式為y=a(x-1)2-4,將點/(-1,0)代入,

得0="_1_1)2_4,

解得：a=l,

y=_1)—4=-2x—3,

???該拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

(2)解:「拋物線對稱軸為直線x=l,/(TO),

.??5(3,0),

設直線3D解析式為>=依+e,

???5(3,0),￡>(1,-4),

J3上+e=0

\k+e=-4?

k=2

解得:

e=-6"

:?直線BD解析式為y=2x-6,

過點。作BIN。，交拋物線于點耳,

圖1

設直線m的解析式為了=2x+d,將。（0,-3）代入,

得-3=2x0+d,

解得：d=—3,

??.直線期的解析式為V=2x-3,

結(jié)合拋物線歹=、2—2x—3,可得X?—2x—3=2%—3,

25

解得：為=0(舍)，/=4,

故6(4,5),

過點8作y軸平行線，過點C作x軸平行線交于點G,

OB=OC,ABOC=/OBG=ZOCG=90°,

???四邊形O5GC是正方形，

設C6與X軸交于點E,則2%-3=0,

解得：、=；3,

在x軸下方作/BCF=/BCE交BG于點F,

???四邊形O5GC是正方形，

：.OC=CG=BG=3,NCOE=NG=90。,ZOCB=ZGCB=45°f

/.ZOCB-/BCE=ZGCB-ZBCF,

即ZOCE=ZGCF,

/.△OC^AGCF(ASA),

3

：.FG=OE=~,

2

33

??.BF=BG—FG=3一一=-,

22

設直線CF解析式為y=klx+ei,

?■-C(0,-3),小，-1}

5=-3

???＜3,

34+q=一萬

\k.=-

解得：'2,

4=-3

二直線C尸解析式為＞=：x-3,

結(jié)合拋物線＞=--2x-3,可得x?-2x-3=gx-3,

26

解得：石=。（舍），、2=萬，

5_7

P

225~4

綜上所述，符合條件的尸點坐標為：月（4,5）,

（3）解:設直線/C解析式為y=W|X+4,直線2c解析式為了=加2%+%，

???^（-1,0）,C（0,-3）,

\-mx+=0

"I?1=-3

[m,=-3

解得：」,

[%=-3

直線AC解析式為y=-3x-3,

?."（3,0）,C（0,-3）,

.??直線解析式為＞=x-3,

設

①當A&MM是以N◎為斜邊的等腰直角三角形時，此時/NMQ=90。，跖乂=,2,如圖2,

岡

???11%軸,

27

31二|，一（一］，）|,

、9

解得：￡=-9或,，

，必（，――）。1（，一_}Af2（-9,-12）,22（3,-12）；

②當△03河3乂是以屈303為斜邊的等腰直角三角形時，此時/河3乂。3=90。，M3N3=N3Q3,如圖3,

0

???4（T，O），

,-.|/-3|=|f-（-l）|,

解得：f=l,

a（-1,0）；

③當AQM4N4是以M4N4為斜邊的等腰直角三角形時，此時/M4Q4N4=90。，M2=MQ,如圖4,

0

?聞”

28

|-31=21/-(--)|,

o

3

解得：，=-3或(，

(-3,-6),g4(0,-3)；M5仔—'

綜上所述，點”及其對應點0的坐標為：

—］；以(-9,-12),2(3,-12)；M3(1,-2),Q3(-1,0)；Af4(-3,-6),24(0,-3)；

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與二

次函數(shù)圖象交點坐標，全等三角形判定和性質(zhì)，正方形判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等，本題屬于中

考壓軸題，綜合性強，難度較大，熟練掌握待定系數(shù)法、等腰直角三角形性質(zhì)等相關知識，運用數(shù)形結(jié)合

思想、分類討論思想是解題關鍵.

類型三、二次函數(shù)中的直角三角形

【解惑】如圖，