二次函數(shù)與冪函數(shù)（講義）（新高考）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第09講二次函數(shù)與募函數(shù)（精講）

題型目錄一覽

①幕函數(shù)的定義與圖像

②幕函數(shù)的性質(zhì)和綜合應(yīng)

用

③二次函數(shù)單調(diào)性問題-

④二次函數(shù)最值問題

⑤二次函數(shù)恒成立問題-

、知識(shí)點(diǎn)梳理

L幕函數(shù)的定義

一般地，y=x"（aeR）（a為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，幕為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為幕函

數(shù).

2.幕函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是導(dǎo)函數(shù)

①V的系數(shù)為1;②犬的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

（3）幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3.常見的幕函數(shù)圖像及性質(zhì)：

23

函數(shù)y=xy=xy二/y=

VJL

圖象Vk

TV]oxOx

定義域RRR{x|x>0}{x[%w0}

值域R{yly>0}R(y\y>0]

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在（-8,0）上單調(diào)遞在y,0）和

在R上單在R上單調(diào)遞在［0,+8）上單調(diào)

單調(diào)性減，在（0,+8）上單（0,+網(wǎng)上單調(diào)遞

調(diào)遞增增遞增

調(diào)遞增減

公共點(diǎn)(1，1)

4.二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)/（》）=奴2+法+。（。/0）的圖像是一條拋物線，二次項(xiàng)系數(shù)。的正負(fù)決定圖象的開口方向，對(duì)

稱軸方程為％=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（―2,4"一"）.

2a2a4a

【常用結(jié)論】

1.幕函數(shù)y=x"（aeR）在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下:

①當(dāng)。<0時(shí)，其圖象可類似y=xT畫出；

②當(dāng)0<〃<1時(shí)，其圖象可類似尸藍(lán)畫出；

③當(dāng)。>1時(shí)，其圖象可類似y=V畫出.

2.實(shí)系數(shù)一元二次方程+6x+c=0（aw0）的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系

A=Z?2—4ac>0

方程有兩個(gè)不等正根O

(1)b_

*1+*2=------>0

a

c八

xx=—>0

{2a

A=Z?2-Aac>0

（）方程有兩個(gè)不等負(fù)根玉,％2O<b_

2%%=--<。

a

c

xx=—>0

x2a

（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為玉,馬O工1%2=,<0

a

二、題型分類精講

題型一幕函數(shù)的定義與圖像

-策略方法若嘉函數(shù)y=d(a?Z)是偶函數(shù)，則a必為偶數(shù).當(dāng)a是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化

為根式，再判斷.

【典例1］已知幕函數(shù)滿足黑=4,則的值為()

A.2B.—C.—D.—2

44

【答案】B

【分析】設(shè)出塞函數(shù)的解析式，根據(jù)已知，求出參數(shù)的關(guān)系式，即可計(jì)算作答.

【詳解】依題意，設(shè)〃尤)=/，則黑=*=3°=4,

所以殖)=5

故選：B

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.現(xiàn)有下列函數(shù)：①y=??；②y=g］；③y="；④y=K'+l；⑤y=(x-l)2；?y=x-,@y=a\a>1),

其中累函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)的定義逐個(gè)辨析即可

【詳解】塞函數(shù)滿足y=x"形式，故y=d,y=x滿足條件，共2個(gè)

故選：B

2.已知Ax)為累函數(shù)，且/(8)=J,則/(4)=()

4

1111

A.—B.T7=C.D.—

2WV416

【答案】B

【分析】根據(jù)募函數(shù)及"8)=：求其解析式，進(jìn)而求"4).

4

【詳解】因?yàn)?(x)為嘉函數(shù)，

設(shè)“幻=丁，則〃8)=；=8a=23。

2_21

所以-2=3a,可得］=一1，貝［］/(4)=43=痛.

故選：B

3.下列幕函數(shù)中，定義域?yàn)镽的幕函數(shù)是()

3

A?y=/B?y=”

A2

C.y=xD.—5

/y一r4

【答案】D

【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)式與根式的互化，結(jié)合具體函數(shù)的定義域的求法逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.

33

【詳解】Ay=/=G，則需要滿足dZO,即XN0,所以函數(shù)y=/的定義域?yàn)椋邸悖?8)，故A不符合題

意；

By=x^=_L,則需要滿足x>0,所以函數(shù)y=xT的定義域?yàn)?0,+8),故B不符合題意；

Cy=x-6=《，則需要滿足xwO,所以函數(shù)丫=d的定義域?yàn)?F,0)5°，y)，故C不符合題意；

2____2

ny=x5=^,故函數(shù)y=/的定義域?yàn)镽,故D正確；

故選：D.

4.已知恭函數(shù)/(尤)=/的圖像過點(diǎn)(8,4),則/(尤)=嚴(yán)的值域是()

A.(-oo,0)B,(^?,0)u(0,+oo)

C.(0,+co)D.［0,+oo)

【答案】D

【解析】先求出基函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出值域.

【詳解】???募函數(shù)/(兄=喘的圖像過點(diǎn)(8,4),

2

.?.8“=4,解得

/(x)=#=浮20，

/W的值域是［0,+8）.

故選：D.

5.函數(shù)〃司=胴的圖象大致為（）

【分析】利用函數(shù)的奇偶性及塞函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?力=歷=/（刈，所以/⑺為偶函數(shù)，排除A,B選項(xiàng);

易知當(dāng)天>0時(shí)，/（》）=?為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.

故選：C.

6.下列函數(shù)中，其圖像如圖所示的函數(shù)為（）

22_2

A.y=x§B.y=JC.y=JD.y—x3

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】由圖象可知函數(shù)為奇函數(shù)，定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+?））,且在（0,+8）單調(diào)遞減,

.11!

對(duì)于A,>=尤3=我，定義域?yàn)椋?8,0）U（0,4<o）,〃_司=__=_〃尤），

所以函數(shù)為奇函數(shù)，在（o,+8）單調(diào)遞減，故A正確；

2

對(duì)于B,y=x3=^,定義域?yàn)镽,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,>=￡=也，定義域?yàn)镽，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=x^=~f,定義域?yàn)椋?e,O）U（O,y）,以/=^^=癥=/?）,函數(shù)為偶函數(shù)，故D

錯(cuò)誤.

故選：A.

m

7.如圖所示是函數(shù)>=V（加、“cN*且互質(zhì)）的圖象，貝I（）

B.加是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且‘>1

n

ryj

C.旭是偶數(shù)，，是奇數(shù)，且‘<1D.m、n是偶數(shù),且竺>1

nn

【答案】C

【分析】根據(jù)募函數(shù)的性質(zhì)及圖象判斷即可

【詳解】解：???函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故九為奇數(shù)，加為偶數(shù),

在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故生<1,

n

故選：C.

二、填空題

1

8.函數(shù)〃力=35的定義域?yàn)?

【答案】（O,+e）

【解析】將函數(shù)解析式變形為/（x）=J=,即可求得原函數(shù)的定義域.

_11

【詳解】??,/（x）=x2=-，所以，x>0.

yjrx

因此，函數(shù)〃尤）=/的定義域?yàn)椋?,+⑹.故答案為：（O,+e）.

9.設(shè)集合A=<yy=,xeR>,集合B=，yy=爐"N0>,則=.

【答案】(y(y>o))/(o,w)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與塞函數(shù)的性質(zhì)，先求出集合A、B,然后根據(jù)交集的定義即可求解.

【詳解】解：因?yàn)榧螦=，yy=,尤wR"={y|y>0},B=-yy=x2,x>0>={y|y>0},

所以4門3=口”>0小{小20}={#>0},

故答案為：{y|y>。}.

10.若函數(shù)y=x。的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,16)與(3,加)，則根的值為.

【答案】81

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象過的點(diǎn)求得參數(shù)。，可得函數(shù)解析式，再代入求值即得答案.

【詳解】由題意函數(shù)V=的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,16)與(3,m),

則16=2",;.a=4,則y=￡

故加=34=81,

故答案為：81

11.幕函數(shù)〃尤)=￡(aeR)滿足：任意xeR有〃一力=〃力，且〃T)<〃2)<2,請(qǐng)寫出符合上述條件

的一個(gè)函數(shù)〃x)=.

2

【答案】J(答案不唯一)

2

【分析】取再驗(yàn)證奇偶性和函數(shù)值即可.

22

【詳解】取/(x)=Q,則定乂域?yàn)镽,且/(—%)=(―2=聲=/(%),

2

〃一1)=1，〃2)=2)=血，滿足H—l)<〃2)<2.

2

故答案為：

12.已知函數(shù)=無4”若函數(shù)"X)在R上不是增函數(shù)，則。的一個(gè)取值為.

【答案】-2(答案不唯一，滿足。<-1或0<°<1即可)

【分析】作出y=x和y=/的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得a的范圍，從而得到a的可能取值.

【詳解】y=x和y=V的圖象如圖所示:

...當(dāng)a<-1或0<“<1時(shí)，y=x3有部分函數(shù)值比y=x的函數(shù)值小,

故當(dāng)"-1或0<”1時(shí),函數(shù)“可在R上不是增函數(shù).

故答案為：-2.

題型二是函數(shù)的性質(zhì)和綜合應(yīng)用

策略方法

(1)緊扣募函數(shù)y=j的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注

意a為奇數(shù)時(shí)，x"為奇函數(shù)，夕為偶數(shù)時(shí),X。為偶函數(shù).

(2)若募函數(shù)y=d在(0,+oo)上單調(diào)遞增，則a>0；若在(0,十⑹上單調(diào)遞減，則a<0.

⑶在比較嘉值的大小時(shí)，必須結(jié)合嘉值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

【典例1】函數(shù)/(尤)=(>-根+1)無'/37(04加43,meZ)同時(shí)滿足①對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)X,都有

/(-%)=/(x);②在(0,—)上是減函數(shù)，則/』的值為()

k27

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】由加的值依次求出療-2〃-3的值，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定加，得函數(shù)解析式，計(jì)算函數(shù)值.

【詳解】mqZ,0<m<3,m=0,1,2,3,代入蘇一2利-3分別是一3,-4,-3,0,

在定義域內(nèi)/(-%)=/(%),即〃%)是偶函數(shù)，因此2機(jī)-3取值T或0,

4-2m-3=0時(shí)，f(x)在(。,+8)上不是減函數(shù),

只有用2-2加一3=-4滿足，此時(shí)機(jī)=1,f(x)=x-4,

樗)=(與Y=(0)4=4?

故選：B.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.已知事函數(shù)〃力=(。2-3a+3)x"M為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.3B.2C.1D.1或2

【答案】C

【分析】由題意利用塞函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】???塞函數(shù)/■")=(/-3d+3卜"為偶函數(shù)，

:.a2-3a+3=l,且“+1為偶數(shù)，

則實(shí)數(shù)。=1,

故選：C

2.幕函數(shù)y=/+*2(0WmW3,”?eZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0,+8)上是增函數(shù)，則機(jī)的值為()

A.0B.2C.3D.2和3

【答案】D

【分析】分別代入機(jī)的值，由基函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)增減性即可.

【詳解】因?yàn)?4〃z<3,

所以當(dāng)機(jī)=0時(shí)，y=x2,由嘉函數(shù)性質(zhì)得，在(。,+8)上是減函數(shù)；

所以當(dāng)機(jī)=1時(shí)，y=x°,由基函數(shù)性質(zhì)得，在(0,+S)上是常函數(shù)；

所以當(dāng)機(jī)=2時(shí)，>=/,由塞函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在(。,+⑹上是增函數(shù)；

所以當(dāng)機(jī)=3時(shí)，y=M°,由基函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在(。,+◎上是增函數(shù)；

故選：D.

3.已知。、beR,貝!1"°>人”是“d>*的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用函數(shù)/(X)=/在R上單調(diào)遞增即可判斷出結(jié)論.

【詳解】?."(x)=x3,xeR是奇函數(shù)且為遞增函數(shù)，所以">6,則/(。)>/3),即/>應(yīng)同理，/>凡

貝！!/(“)>/(?,函數(shù)單調(diào)遞增，得。>6；

"“>6”是％3>引,的充要條件.

故選：C.

4.已知暴函數(shù)/(x)=x*aeR)的圖象經(jīng)過點(diǎn)［gj,且/(a+l)</(3),則。的取值范圍為()

A.(f2)B.(2,+oo)

C.(-00,-4)o(2,+00)D.(-4,2)

【答案】C

【分析】首先根據(jù)已知條件求出/“)的解析式，再根據(jù)/(無)的單調(diào)性和奇偶性求解即可.

【詳解】由題意可知，/(1)=(1r=4,解得，?=-2,

故/。)=y2,易知，/*)為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?m+i)</(3),

所以|a+l|>3,解得，。<-4或a>2.

故。的取值范圍為(-*T)。(2,+8).

故選：C.

5.已知a=1=1.2「3,c=1.3"，則()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用中間值I2。比較a,b的大小，再讓b,c與中間值13比較，判斷b,c的大小，即可得解.

【詳解】?=1.112<1,21-2<1,213=/2,又因?yàn)橥ㄟ^計(jì)算知11,〈I?,所以”「〈”廣,即1.尹<1.3。,9,

又1.2°」<1.3°/，所以1.升3<13<13'=。,所以a<b<c.

故選：B

二、多選題

6.已知幕函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則下列命題正確的有().

A.函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽

B.函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)

C.過點(diǎn)尸,，；］且與圖象相切的直線方程為y

D.若…＞。，則/叫

【答案】BC

【分析】先利用待定系數(shù)法求出塞函數(shù)的解析式，寫出函數(shù)的定義域、判定奇偶性，即判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤、

選項(xiàng)B正確；設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和過點(diǎn)尸求出切線方程，進(jìn)而判定選項(xiàng)C正確；平方作

差比較大小，進(jìn)而判定選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【詳解】設(shè)〃“=才，將點(diǎn)（4,2）代入〃”=才，

得2=4。，貝！1。=；，即/（x）=），

對(duì)于A：〃尤）的定義域?yàn)椋?,內(nèi)），即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?,茁）,

所以/（x）不具有奇偶性，即選項(xiàng)B正確;

對(duì)于c：因?yàn)椤皒）=f,所以廣（“=在，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（q,向），則切線斜率為左=/'（無。）=萬友，

切線方程為＞一人=52（尤-毛）,又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)次。，；），

所以;工（°一%），解得％=1，

22網(wǎng)

即切線方程為y-l=g（x-l）,即＞=

即選項(xiàng)c正確;

對(duì)于D：當(dāng)。＜玉＜芍時(shí),

[/&)+/(尤2)]2_,2f占+%]=("+后]

%+%2

2

即"芯）；〃X2）＜/（與迤）成立，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

7.已知函數(shù)〃x）=（加-相-1）/+時(shí)3是募函數(shù)，對(duì)任意巧，x2e（o,^）,且x產(chǎn)/，滿足>0.

若b&R,且的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有（）

A.a+b>0,ab<0B.tz+Z?<0,ab>0

C.a+b<0fab<QD.a+b>0,ab>Q

【答案】BC

【解析】首先根據(jù)函數(shù)是募函數(shù)，求得的兩個(gè)值，然后根據(jù)題意判斷函數(shù)在（0,+8）上是增函數(shù)，確定m

的具體值，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性可判斷得正確選項(xiàng).

【詳解】由于函數(shù)〃x）為嘉函數(shù)，故病-m-1=1,即川-m-2=0,解得m=Tm=2.當(dāng)利=-1時(shí)，〃x）=g,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，”力=立由于，，對(duì)任意為,電?0,口）,，且%NW，滿足"*）一"0）>0，，知,函數(shù)在（0,+助

%一％2

上為增函數(shù)，故"x）=V.

易見/（f）=-〃x）,故函數(shù)〃x）=d是單調(diào)遞增的奇函數(shù).

由于7（。）+/0）<0,即/（。）<一/0）=/（—6），得a<-b,所以。+匕<0,此時(shí)，若當(dāng)a=0時(shí)，b<0,

故"=0；當(dāng)。>0時(shí)，0<a<-b,故b<0,故而<0；當(dāng)時(shí)，由知，b<-a,故b<0或6=0或

b>0,即而>0或o/?=0或a/?<0.

綜上可知，a+b<0,且而>0或出?=0或必<0.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟知募函數(shù)定義和性質(zhì)突破參數(shù)m,再綜合應(yīng)用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)確定

和向的符號(hào)情況.

三、填空題

8.已知累函數(shù)〃x）=x"是偶函數(shù)，在［0,+動(dòng)上遞增的，且滿足了（；".請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的。的值，a=

【答案】：

【分析】結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性及3可得，答案不是唯一的.

【詳解】因?yàn)?（；）>〈，所以￡<1;

因?yàn)榱耍o）在［0,+e）上遞增的，所以夕>0；

因?yàn)槿瘮?shù)〃尤）=/是偶函數(shù)，所以。的值可以為

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查塞函數(shù)的性質(zhì)，塞函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性取決于側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2

9.已知產(chǎn)”）是奇函數(shù)，當(dāng)定0時(shí)，=Q，則4-8）的值是.

【答案】T

【分析】先求48）,再根據(jù)奇函數(shù)求〃-8）

2

【詳解】”8）=83=4,因?yàn)?⑺為奇函數(shù)，所以/（-8）=-/（8）=-4

故答案為：-4

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)〃x）=a，則關(guān)于/的表達(dá)式八產(chǎn)-2。+/（2--1）<（）的解集為.

【答案】卜和

【分析】利用募函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.

【詳解】由題意可知，〃尤）的定義域?yàn)椋‵,y）,

11

所以4-x）=（-%>=-戶=-/（x）J

所以函數(shù)“X）是奇函數(shù)，

1,、

由塞函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)〃元）=爐在函數(shù)（F，”）上單調(diào)遞增，

由/卜2_2。+/（21）<0,得即/），

所以產(chǎn)—2/<1-2/，即3?-2/-1<0,解得一；</<1,

所以關(guān)于/的表達(dá)式/（r-^）+/（2r-l）<0的解集為,1）.

故答案為：（一;,。

四、解答題

H.已知幕函數(shù)"X）=（病-3根-⑺產(chǎn)2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

⑴求“X）的解析式；

⑵求函數(shù)g（x）=〃2x）-謂+3在［T2］上的值域.

【答案】(1)〃。=白

⑵卜43

【分析】(1)根據(jù)塞函數(shù)的定義和性質(zhì)求出m的值即可；

(2)由⑴求出函數(shù)g(x)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】⑴因?yàn)椤▁)=(瘍-3*17卜片2是塞函數(shù)，

所以"一3機(jī)—17=1,解得m=6或根=—3.

又的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以m=6,

故/(x)=4.

(2)由(1)可知，g(x)=16--4x?+3=16,2)~+3=16卜+'.

因?yàn)閤e［—l,2］,所以

又函數(shù)丫=161-』［+口在(-8,3上單調(diào)遞減，在(：,+g)上單調(diào)遞增，

(8J488

所以一口一+1』口,243.

I8j4L4」

故g(x)在［T2］上的值域?yàn)?,243.

12.已知累函數(shù)〃元)=(療一2〃L2*T的定義域?yàn)镽.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

⑵若函數(shù)8(尤)=2仆-："尤)在［,12］上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【答案】(1)m=3；

(2)-log23<a<3.

【分析】(1)由幕函數(shù)定義求得參數(shù)加值；

(2)由二次函數(shù)的單調(diào)性知對(duì)稱軸在開區(qū)間(g,12)上，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對(duì)數(shù)的定義得結(jié)論.

【詳解】(1)由題意，，-2機(jī)-2=1且切-1>0,解得m=3；

(2)由(1)g(x)=-1x2+2ax,g(x)的對(duì)稱軸元=3?2"一，

因?yàn)間(x)在弓,12］上不單調(diào)，所以：<3?2"T<12,

解得-1暇3<。<3.

題型三二次函數(shù)單調(diào)性問題

畬策略方法二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略

⑴對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不

確定，則需要分類討論求解.

⑵利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同

一單調(diào)區(qū)間上比較.

【典例1】“函數(shù)/(%)=產(chǎn)-3儂+18在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)”是“0〈加<2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及充分且必要條件的概念可得答案.

3

【詳解】由函數(shù)/(%)=%02-3加x+18在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，可得即0<加<2；

由0<〃?<2,得0<：相<3,得函數(shù)/(%)=/-3加X+18在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，

所以“函數(shù)/(%)=#_3舊+18在區(qū)間(。,3)上不單調(diào)”是“0〈加<2”的充分且必要條件.

故選：C

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.若二次函數(shù)/。)=依2+版+9<0),滿足"1)=/(3),則下列不等式成立的是()

A.f(l)</(4)</(2)B./(4)</(1)</(2)

C./(4)</(2)</(1)D.〃2)</(4)</■⑴

【答案】B

【分析】首先根據(jù)/'(1)=/(3),判斷出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】因?yàn)椤?)=/(3),所以二次函數(shù)/。)=0^+云+。的對(duì)稱軸為x=2,

又因?yàn)閍<0,所以為4)<片3)<〃2),

又f(D=/⑶，所以7(4)<〃1)<”2).

故選：B.

2.已知/（力=9+2%+3在（一9,。）為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（）

A.（一8,-1）B.C.（-9,-1）D.（-9,-1]

【答案】D

【分析】求出〃x）=f+2x+3的單調(diào)性，從而得到-9<aV-l.

【詳解】/（力=公+2彳+3在（9,-1）上單調(diào)遞減，在（-1,"）上單調(diào)遞增，故要想在（-9,a）為單調(diào)函數(shù),

需滿足—9<a<—l>

故選：D

3.已知二次函數(shù)y=Y-4x+a的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間（1,+⑹內(nèi)，則a的取值范圍是（）

A.(-a>,4)B.(3,+a>)C.(3,4)D.S，3)

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知可得到關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求解.

【詳解】二次函數(shù)y=/_4x+a,對(duì)稱軸為尤=2,開口向上，

在（f,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增，

要使二次函數(shù)/（%）=1-4x+a的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間（L+8）內(nèi),

f/（l）=l-4+a>0

需:二,0八，解得3<a<4

[/（2）=4-8+a<0

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3,4）

故選：C

4.已知函數(shù)〃司=卜「（"+1）'+2,無<1,若函數(shù)/⑺在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

a,x>l

一1八「11]11「1八

A4.-JB.-C.0,—D.—,1

L3）[32」I3J[2）

【答案】B

【分析】利用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)單調(diào)性的定義，建立關(guān)于a的不等式組，解不等式組

即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(》)=卜無+2,尤<1在R上為減函數(shù)，

［a,x>l

2

所以0<a<l,解得;WaW.

12-(30+1)+22"

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為,

故選：B.

二、填空題

5.若函數(shù)/(x)=/+(2a-l)x+l在區(qū)間(F,2］單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】］凡一|

2/7-1

【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合條件，可知然后求出。的取值范圍即可.

【詳解】易知二次函數(shù)/(外=/+(2-1"+1的單調(diào)遞減區(qū)間為1巴-甘,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(刈=尤2+(2°-1勿+1在區(qū)間(y),2］單調(diào)遞減，

所以(一叫2仁,巴一丹二，

即2W-智，解得於一看

故答案為：1G0「T-

6.若函數(shù)/(x)滿足下列性質(zhì)：

(1)定義域?yàn)镽,值域?yàn)椤??);

(2)圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱；

(3)對(duì)任意的看,%e(一℃,l),且占片%，都有“%)/(%)<0.

xt-x2

寫出函數(shù)〃尤)的一個(gè)解析式：.

【答案】/(x)=x2-2x+l(不唯一)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性、值域及單調(diào)性可得一個(gè)符合條件的函數(shù)式.

【詳解】由二次函數(shù)的對(duì)稱性、值域及單調(diào)性可得解析式/(x)=(x-l)2,

此時(shí)/(X)對(duì)稱軸為x=l,開口向上，滿足(2),

因?yàn)閷?duì)任意巧，x,e(ro,0),且無產(chǎn)%,‘都有'("2)<0,

xl-x2

等價(jià)于f(x)在(f,。)上單調(diào)減，

.-.f(x)=(x-D2,滿足(3),

X/(x)=(x-l)2>0,滿足(1),

故答案為：f(x)=x2-2x+l(不唯一).

7.若定義在R上的二次函數(shù)?x)=ax2_4ax+6在區(qū)間［0⑵上是增函數(shù)，且?！?30),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【答案】［0,4］

【分析】可先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=?=2,再根據(jù)函數(shù)的增減性及對(duì)稱性可求得m的取值范圍.

-2a

【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=W=2,?.?尤e(0,2)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，.“<0,二次函數(shù)開口向下，，xe(2,4)

-2a

函數(shù)單調(diào)遞減，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，f(0)=f(4),f(m)>f(0),.-.mG［0,4］

【點(diǎn)睛】二次函數(shù)是對(duì)稱函數(shù)，解題時(shí)，一定要根據(jù)對(duì)稱性來解題，防止漏解錯(cuò)解.

題型四二次函數(shù)最值問題

畬策略方法二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路

(1)類型：

①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；

②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；

③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng).

(2)解決這類問題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點(diǎn)”是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，“一軸

指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題.

【典例1］若函數(shù)式x)=aN+2ax+l在［-1,2］上有最大值4,則。的值為()

A.-B.-3C.巳或一3D.4

88

【答案】C

【分析】按。=0，。>0，。<0分類討論求/⑺的最大值，然后由最大值為4得參數(shù)值.

【詳解】由題意得f(x)=a(x+l)2+l-a.①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的值為常數(shù)1,不符合

題意，舍去；

3

②當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)=8a+l=4,解得。=；；

O

③當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(—1)=1-a=4,解得a=-3.

綜上可知，a的值為(或一3.

O

故選：C.

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.已知函數(shù)〃力=一尤2+4了+。，XG[0,1],若/(X)的最小值為—2,則/(X)的最大值為()

A.1B.0C.-1D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得最小值，由最小值得“值，從而再求得最大值.

【詳解】?."(力=-/+4了+。在[0』上單調(diào)遞增，，其最小值為〃0)=4=-2,

,其最大值為〃1)=3+。=1.

故選:A.

2.已知函數(shù)“力=尤3-3〃￡+9恤+1在(1,內(nèi))上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,3]

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，由單調(diào)性得到3/-6m+9m20在(1,+s)上恒成立，由二次函數(shù)數(shù)形結(jié)合得到不等關(guān)系,

求出m的取值范圍.

【詳解】_f(x)=3x2-6〃zx+M

因?yàn)?(x)在(1，+s)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以3x?0在。,+°0)上恒成立,

令g(x)=3x2-6mx+9m,

X=-----1X=----->1

要滿足6①，或6②，

f(l)>01/(^)>0

由①得：由②得：me(l,3］,

綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍是［T,3］.

故選：D

3.若函數(shù)=-2辦+1-。在［0,2］上的最小值為-1,則。=()

A.2或9B.1或C.2D.1

55

【答案】D

【分析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后討論對(duì)稱軸與區(qū)間［0,2］的關(guān)系，求出其最小值，列方程可求出。的

值

【詳解】函數(shù)〃尤)=/-2QX+1-Q圖象的對(duì)稱軸為％，圖象開口向上，

(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(九)在［0,2］上單調(diào)遞增.貝?。?(%)加〃=/(0)=1-。，由1一々二一1,得［=2,不符合〃《0；

(2)當(dāng)0<〃<2時(shí).貝！|/(%).=/(〃)=/一2片+1—。=一/一〃+1,由一片―。+1=—1,得〃=一2或々=1,又

0<a<29/.々=1符合；

(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(%)=4_2儂+1-々在［0,2］上單調(diào)遞減,

?"(%)欣〃=/⑵=4—4a+l—a=5—5a,由5—5a=—1,得〃二g,

又422,a不符合，

綜上可得1=1.

故選：D

4.已知二次函數(shù)〃x)=ox2+2x+c(xeR)的值域?yàn)椋?,+8),則:+g的最小值為()

A.一3B.3C.-4D.4

【答案】B

【分析】由二次函數(shù)的值域可得出。=；1>0,可得出c>l,則有1上4+?=。+4--1,利用基本不等式可求

c-1acc

得結(jié)果.

【詳解】若。=0,則函數(shù)〃x)的值域?yàn)镽,不合乎題意，

因?yàn)槎魏瘮?shù)〃尤）=加+2尤+c（尤eR）的值域?yàn)椋?,內(nèi)），則a>0,

且“尤*=^^=7=1，所以，ac-l^a,可得°=工>0,貝!|c>l,

'/nun4aac-1

所以，l+f=c+l-i>2,O-l=3,當(dāng)且僅當(dāng)c=2時(shí)，等號(hào)成立，

accVc

14

因此，工+?的最小值為3.

ac

故選：B.

5.設(shè)二次函數(shù)/（x）=（o-2）x2+3a%+2在R上有最大值，最大值為加⑷，當(dāng)心㈤取最小值時(shí)，”=（）

A.0B.1C.1D.72

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出帆（a）,然后利用基本不等式即得.

［詳解］-.-/（%）=（a-2）x2+3ar+2在R上有最大值m（a）,

.，2<。且當(dāng)—已時(shí)，/⑴的最大值為途答，

即2-a>0且〃標(biāo)）=2-疝%為=京2-0）+722*子中二-7=2,

'/4（。-2）42-aV42-a

當(dāng)且僅當(dāng)若時(shí)，即a=o時(shí)，利⑺）有最小值2,

42-a

故選：A.

二、填空題

6.若函數(shù)〃力=/—（〃?+1卜+3在區(qū)間（3,5）內(nèi)存在最小值，則加的取值范圍是.

【答案】（5,9）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定在開區(qū)間（3,5）內(nèi)存在最小值的情況列不等式，即可得加的取值范圍是.

【詳解】解：二次函數(shù)“xLY-m+iA+s的對(duì)稱軸為x=亭，且二次函數(shù)開口向上

若函數(shù)在開區(qū)間（3,5）內(nèi)存在最小值,貝！］x=”?e（3,5）,即祖e（5,9）,此時(shí)函數(shù)在x=中處能取到最小值,

故機(jī)的取值范圍是（5,9）.

故答案為：（5,9）.

7.若函數(shù)〃x)=d—2x+a的定義域和值域均為則的值為.

【答案】0

【分析】由二次函數(shù)的解析式，可知二次函數(shù)關(guān)于龍=1成軸對(duì)稱，即可得到從而得到方程組,

解得即可.

【詳解】解：因?yàn)?(%)=%2一2%+〃=(%—1)2+。一1,對(duì)稱軸為九=1,開口向上，

所以函數(shù)在［1回S>1)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)槎x域和值域均為［1,切他>1),

［b2-2b+a=b

f(b)=bra=2ra=2

所以「即。-1=1，解得八(舍去)或人.

1b>l也=11也=2

所以〃-/?=0.

故答案為：。

8.函數(shù)〃%)=m+/+1(〃>0,且awl)在［-1,1］上的最大值為13,則實(shí)數(shù)〃的值為.

【答案】3或g

【分析】令優(yōu)=f,討論a>l或0<“<1,求出/的取值范圍，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】V/(x)=a2r+aI+l

令用=t,則/>0,

131

則］y=y+f+i=(r+5)2+*,其對(duì)稱軸為/=-］.

該二次函數(shù)在,+8)上是增函數(shù).

①若a>l,由得=/￡—,a,

a_

故當(dāng)￡=〃,即x=l時(shí)，

Nmax=。2+4+1=13,解得々=3(4=-4舍去).

②若Ovavl,由％可得/=優(yōu)￡a,—,

_a_

故當(dāng)/=工，即尸-1時(shí)，

a

+-+1-13.

a

,a=§或一[（舍去）.

綜上可得"=3或1.

故答案為：3或$

9.設(shè)外力=加-（a+l）x+l,若函數(shù)y=〃x）在定義域上滿足：①是非奇非偶函數(shù)；②既不

是增函數(shù)也不是減函數(shù)；③有最大值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

【分析】對(duì)①：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得aw-1;對(duì)②：分類討論可得二次項(xiàng)系數(shù)小于零，且對(duì)稱軸為

x=￡±leCl求出a的取值范圍；對(duì)③：結(jié)合②中所求的范圍驗(yàn)證即可.

2〃I22J

【詳解】對(duì)①：,?*/（x）+/（―x）=[ax?—（a+l）x+1]+[a（—x）—（a+1）（—尤）+1]=2（?2+1）w0,即

故〃尤）不是奇函數(shù)；

若/（X）是偶函數(shù)，貝!|/（可-/（-司=[依2-（0+1）X+1]-[“-司2-（4+1）（-;（;:）+1]=一2（0+1）苫=0,

可得a+l=0,即a=—1；

故若/（x）是非奇非偶函數(shù)，則。工-1；

對(duì)③：若〃x）在（J，g）上有最大值，則有：

當(dāng)。=0時(shí)，則〃x）=f+l在上單調(diào)遞減，無最值，不合題意;

當(dāng).力0時(shí)，則/（尤）=加-（。+1）%+1為二次函數(shù)且對(duì)稱軸為人弋,

a<0

由題意可得,1a+11，解得。<-不

[22Q2

故若/（X）在上有最大值，貝普<-；；

對(duì)②：若a<_g,貝!|〃尤）=加一（a+1）尤+1開口向下，且對(duì)稱軸為》=今，€

故〃尤)在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-1)

故答案為：

題型五二次函數(shù)恒成立問題

畬策略方法由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵

(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).

⑵兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這

兩個(gè)思路的依據(jù)是：