二項式定理十一大題型-2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考）

重難點專題50二項式定理十一大題型匯總

dan

題型1通項公式的運用...............................................................1

題型2含參二項式....................................................................3

題型3含有三項的二項式.............................................................5

題型4兩個二項式乘積問題...........................................................8

題型5二項式系數(shù)和問題............................................................10

題型6所有項系數(shù)和問題............................................................12

題型7含有絕對值的求和問題.......................................................16

題型8系數(shù)和相關(guān)拓展一............................................................18

題型9系數(shù)和相關(guān)拓展二............................................................21

題型10二項式系數(shù)最大.............................................................23

題型11系數(shù)最值....................................................................26

題型1通項公式的運用

【例題1】（2022下?陜西西安?高三?？茧A段練習(xí)）二項式（五-京丫°的展開式中含x的正

整數(shù)指幕的項數(shù)是

【答案】5

【分析】利用二項式（代-券）”的展開式的通項公式求解.

【詳解】解：二項式（y―福丫°的展開式的通項公式為T『+i=Go（a）g（—=

（-1>5T,

當(dāng)r=0,1,2,3,4時，X次數(shù)是正整數(shù)指幕，

所以二項式（正-仁丫°的展開式中含x的正整數(shù)指幕的項數(shù)是5,

故答案為：5

【變式1-1】1.（2022上?遼寧鐵嶺?高三校聯(lián)考期末）已知（1+2》尸的二項式系數(shù)和為

256,則展開式中含/項的系數(shù)為.

【答案】112

【分析】根據(jù)題意，由條件可得"=8,再由二項式展開式的通項公式，代入計算，即可得

到結(jié)果.

【詳解】因為二項式系數(shù)和為256,所以2n=256,即兀=8,

所以G+1=Q（2%）.=2『?以?"，

令r=2,則73=22<>/=112刀2,

所以展開式中含/項的系數(shù)為112.

故答案為：112

【變式1-1】2.（2022上?江蘇揚州?高三邵伯高級中學(xué)?？计谀┰冢ㄕ?2）6的展開式中,

/的系數(shù)為.

【答案】60

【分析】利用二項式展開式通項可求得好的系數(shù).

【詳解】（五+2）6的展開式通項為九+1=&?（偽6f.2k=d,.k2\k=0,1,2,-,6）,

令等=2,可得k=2,因此，展開式中好的系數(shù)為22=15X4=60.

故答案為：60.

【變式1-1】3.（2022上?四川內(nèi)江?高三四川省內(nèi)江市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在

的展開式中，久4的系數(shù)為.

【答案】28

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求得答案.

【詳解】由題意得（％+￡）8的展開式的通項為=C舐8-2r,r=0,1,2,-,8,

令8—2廠=4,?.?丁=2,

則-的系數(shù)為以=28,

故答案為：28

【變式1-114.(2022下?北京?高三北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí))二項式(正-《)的展

yjx

開式中常數(shù)項為

【答案】40

【分析】根據(jù)二項式定理，寫出通向，由題意，建立方程，可得答案.

【詳解】展開式的通項公式為九+1=7甑)S-k,(-A)=技.(—2)k.

令?一2=°，解得卜=2,即常數(shù)項為73=(—2)2.(^=4x10=40,

故答案為：40.

題型2含參二項式

'1'5^^:

即匕期重點

利用二項展開式通項公式，待定系數(shù)法可求得.注意n值為正整數(shù)，可能存在分類討論的情

況.

【例題2](2022上?山東青島?高三統(tǒng)考期末)若。+%)3+(a-幻4的展開式中含有久2項的

系數(shù)為18,貝必=()

A.2B.|C.|或-2D.-1或-2

【答案】C

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，可列出方程，即可求得a,即得答案.

【詳解】由題意(a+%)3+(a—工尸的展開式中含有/項的系數(shù)為18,

即品。+*。2(—=18,即a+2a2=6,

解彳導(dǎo)a=-2或a=

故選：C

【變式2-1】1.（2022上?福建泉州?高三?？计谥校ň?a/的展開式中爐的系數(shù)為560,

則實數(shù)a的值為

【答案】±2

【分析】利用二項展開式的通項即可得出答案.

【詳解】解：G+i=C我—

令7-r=3,得r=4,

故n=C?a4x3,

由題意知（2非4=560,即35a4=560,

解得a=±2.

故答案為：±2.

【變式2-1]2.（2022下?上海閔行?高三閔行中學(xué)校考開學(xué)考試）已知二項式（1+“6的展

開式中萬一3的系數(shù)為20,則實數(shù)a=

【答案】1

【分析】利用所給的二項式寫出展開式的通項即可求解.

【詳解】（1+?6的展開式的通項公式為：G+1==C3r

當(dāng)-r=-3,解得：r=3;

所以由展開式中含廣3的項的系數(shù)為20可得：cla3=20,得a3=l,解得a=l

故答案為:1.

【變式2-1】3.（2022?安徽黃山?統(tǒng)考一模）在6+專）6的展開式中，常數(shù)項為15,則實

數(shù)a的值為

【答案】±1

【分析】運用二項式定理求解.

【詳解】由二項式定理知：Tr+i=C，T（》r=C"6-3s,...r=2,

即C看小=15za=+1;

故答案為：±1.

【變式2-1】4.（2022?四川德陽統(tǒng)考一模）已知二項式（爪+打%6|\|*）的展開式中最

后三項的二項式系數(shù)和為79廁n=

【答案】12

【分析】根據(jù)后三項二項式系數(shù)和為79,建立等式，解出即可.

【詳解】解:由題知二項式的展開式中最后三項的二項式系數(shù)和為79,

所以C12+（：=1+（：1=79,

rr九！九！一-

即（n-2）!x2!+（n-l）!xl!+】=79,

化簡可得yF+九+1=79,

解得:n=—13（舍）或71=12.

故答案為：12

題型3含有三項的二項式

【例題3】（2022上?福建福州?高三福建師大附中?？茧A段練習(xí)）（1+!-無）5展開式中，%3

項的系數(shù)為（）

A.10B.5C.—5D.—10

【答案】C

【分析】利用二項式定理分類討論即可得答案

【詳解】(1+9J表示5個因式(1+AX)的乘積,

在這5個因式中，有3個因式都選-x,其余2個都選1,或者有4個因式都選-久，剩下

的一個因式選相乘可得爐項，

所以爐項的系數(shù)為C秋-I)3+C式一=-5,

故選：C

【變式3-1】1.(2022?全國?高三專題練習(xí))(久+y+z)4的展開式共()

A.10項B.15項C.20項D.21項

【答案】B

【分析】根據(jù)二項式定理的展開式項數(shù)即可得出結(jié)論.

【詳解】--'(x+y+z)4=[(x+y)+z]4=C°(x+y)4+C|(x+y)3z+鬣(x+y)2z2+

(x+y)z3+C4Z4,

由二項式定理可知，(%+y)n展示式中共有n+1項，

.-.(%+y+z)4的展開式共有5+4+3+2+1=15項.

故選：B.

【變式3-1】2.(2022上?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))(久-9-I?展開式中常數(shù)項為

vVX7

()

A.-479B.-239C.1D.481

【答案】C

【分析】根據(jù)二項式定理直接求解即可.

【詳解】解：根據(jù)二項式定理，(X—京—1)6表示6個(X—2―1)相乘，

所以，展開式中常數(shù)項的情況有以下三種情況：

①6個(%-套-1)中全部選-1項展開；

②6個（x—?！?）中有1個選擇%項，2個選擇-京項，3個選擇-1項展開；

③6個（％-亳-1）中有2個選擇x項，4個選擇-2項展開.

所以，其常數(shù)項為：（一IT+C甕-2）2（-I）3+Cl-C：（—2/=1—240+240=1.

故選：C.

【變式3-1】3.（2022上?湖南長沙?高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（％+1-薩的展開式中,

律系數(shù)為（）

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【分析】設(shè)G+1—；）6的通項為rr+]=cKx—；）6一二設(shè)（X—：）6T■的通項為人+1=（-2/

cLrX6-r-ky-k,即得解.

【詳解】解：設(shè)（x+l—；）6的通項為G+LCB—36-1

設(shè)（X—；）6f的通項為Sk+1=CLrX6-r-fe（-1）k=（-2y簽_k2尸,

令k=2,6—丫一k=4,：.k=2,r=0.

所以W的系數(shù)為&（—2）2驍=60.

故選：A

【變式3-1]4.（2022上?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（2/+y+琛的

展開式中/外項的系數(shù)為（）

A.120B.160C.180D.210

【答案】A

【分析】將（2/+y+以看作5個因式2d+y+1相乘，根據(jù)/y2的指數(shù)可認為5個因式

中有兩個選2/項，其余兩個選y,最后一個因式選1,進行相乘，可得答案.

【詳解】由題意（2/+y+1）5的展開式中%4y2項的系數(shù)為髭X22X盤=120,

故選：A

題型4兩個二項式乘積問題

A.5B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到2x(x+y)5與9(x+y)5的展開式通項，列出方程即可得到結(jié)果.

【詳解】因為(2%-9)(x+y)5=2x(%+y)5-9(x+y)5,

2x(x+y)5的展開式通項為加+i=2%Cs-x5-k-yk=2d-x6-k-yk,

+y)5的展開式通項為Sr+1=9點?％5-r.V=篤.%4-r,yr+2,

由《二心力可得#=i因此(2%—?)(%+獷的展開式中，

%3y3的系數(shù)為2點—二=15.

故選:B.

【變式4-1】1.(2022上?廣東中山?高三華南師范大學(xué)中山附屬中學(xué)校考開學(xué)考試)

(爐一；)(久—I》的展開式中的常數(shù)項為

【答案】40

【分析】先求出(無—的展開式通項為「+]=(—2)工舐5一2『，分析(爐一弓口―展開

式中的常數(shù)項的構(gòu)成，即可求解.

【詳解】(X—1)5的展開式通項為G+1=Cgx5T(—：)「=(_2)『C"5-2r

要求（爐―?（x—1）5展開式中的常數(shù)項，分別令5—2r=—3和5—2r=l,

分別解得：r=4和r=2.

因此所求常數(shù)項為（—2尸程-（-2/族=80-40=40.

故答案為：40.

【變式4-1】2.（2022上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末）以藍―y+2）6的展開式中的常

數(shù)項為

【答案】96

【分析】G-。（喜—y+2）6的展開式的常數(shù)項由為（藍—y+2）6的展開式中的爐項的乘

積，和-1與（藍-y+2）6的展開式中的常數(shù)項的乘積組成，分別求出即可.

【詳解】由題，（11乂喜一y+2）6的展開式中得常數(shù)項，貝職―y+2）6的展開式中的y

的指數(shù)應(yīng)為0,

:與（必一y+2）的展開式中的萬1項的乘積為:xclx（xs）X（-y）°X23=160,

-1與（1—y+2）6的展開式中的常數(shù)項的乘積為—1x或X（藍）°x（—y）。X26=-64,

所以。（喜—y+2）6的展開式的常數(shù)項為160—64=96,

故答案為：96.

【變式4-1】3.（2022上?廣東惠州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）x（x—I》的展開式中的常數(shù)項

為

【答案】-80

【分析】求得二項式（X-1『的展開式的通項為Tr+l=（-2）r戛爐-2.，令5—2「=—1,求

得r=3,代入即可求解.

【詳解】由二項式（X—1『的展開式的通項為Tr+l=C45T.（_|）r=（_2）（小5-2r,

令5—2r=—1,可得7=3,

所以x（x—1）5的展開式的常數(shù)項為（—2）3廉=-80.

故答案為：—80.

【變式4-1]4.（2022上?貴州貴陽?高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知（久+1）（%-=a6

65432

x+a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,則CI5的值為.

【答案】-4

【分析】利用二項式展開式的通項進行求解即可.

【詳解】（％-1）5的展開式通項為G+1=C“5T（-iy,

所以=1XdX（-1）1+1XegX（—1）0=—5+1=—4,

故答案為：-4

題型5二項式系數(shù)和問題

【例題5】（2022上?四川巴中?高三南江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知@一久）”的展開式中二項式

系數(shù)的和是1024,則它的展開式中的常數(shù)項是（）

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】B

【分析】求解先求出n,在利用通項公式求解

【詳解】由&—%）"的展開式中二項式系數(shù)的和是1024,故2n=1024,所以九=10.

由二項式定理得展開通項為六+1=COG）"T（-%）r,

當(dāng)r=5時為常數(shù)項，T6=-do=-252

故選：B

【變式5-1]1.（2022下?四川內(nèi)江?高三威遠中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知（％-：）”展開式中

各項的二項式系數(shù)和是64,則展開式中的常數(shù)項為

【答案】-160

【分析】先通過2"=64得到凡再寫出(x-|)”的展開式的通項，令x的次數(shù)為0即可得到常

數(shù)項.

【詳解】由(％-|)”的展開式中，二項式系數(shù)之和為64得2n=64,.-.n=6,

則(x-I)”的展開式的通式為Tr+l=(:△6T■(—|),=(—2)("6-2『，

令6—2r=0,得r=3

所以展開式中常數(shù)項為74=(—2戶以=-160.

故答案為：-160.

【變式5-1】2.(2022下?上海普陀?高三上海市晉元高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))在(1-2萬產(chǎn)

的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和為256,則正整數(shù)九=.

【答案】8

【分析】由2n=256得出n的值.

【詳解】由題意得2n=256,所以n=8.

故答案為：8

【變式5-1]3.(2022上?湖北?高三武鋼三中校聯(lián)考階段練習(xí))已知(2-%產(chǎn)展開式中所有

偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為32,則展開式中不含久3的各項系數(shù)之和為

【答案】161

【分析】由題可得n=6,再利用二項展開式的通項公式及賦值法即可求解.

【詳解】因為(2-萬產(chǎn)展開式中所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為32,

所以231=32,解得n=6,

n

所以(2-%)=(2-x)6展開式的通項公式為Tr+i=C]26T(-xy,

所以令r=3,可得展開式中含爐項的系數(shù)為G+i=C123(-l)3=-160,

所以展開式中不含爐的各項系數(shù)之和為(2-1)6-(-160)=161.

故答案為：161.

【變式5-1]4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知(久+2尸的二項展開式中，第三項與第九_2

項的二項式系數(shù)和為84,則第四項的系數(shù)為()

A.280B.448C.692D.960

【答案】B

【分析】根據(jù)第三項與第九-2項的二項式系數(shù)和為84,可求得“利用通項公式求解即

可.

【詳解】由題，幾+1=盛*1-歸*2匕

因為第三項與第九-2項的二項式系數(shù)和為84,所以比+cr3=84,即比+d=84,

所以引2+如;詈-2)=84,解得n=8,

所以第四項的系數(shù)為樂xI8-3x23=448,

故選：B

題型6所有項系數(shù)和問題

二項展開式中系數(shù)和的求法:

/.對形如佃x+b尸佃x2+.+0加佃，b,cER,m,〃€人乃的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,

常用賦值法，只需令即可；^!(ax+by)n(a,bER,吒N)的式子求其展開式各項系數(shù)之

和，只需令x二產(chǎn)/即可;

2

2一般地，若的二劭+的x+a2x+...+aM則力切展開式中各項系數(shù)之和為“〃

奇數(shù)項系數(shù)之和為劭++???=**(F

偶數(shù)項系數(shù)之和為國++-='⑴YE

【例題6】（2022?山東德州統(tǒng)考二模）已知a>0,二項式（％+專了的展開式中所有項的系

數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項為（）

A.36B.30C.15D.10

【答案】C

【分析】先根據(jù)"所有項的系數(shù)和“求得?然后利用二項式展開式的通項公式求得正確答

案.

【詳解】令x=L則可得所有項的系數(shù)和為（1+a）6=64且a>0,解得a=1,

???（X+專）6的展開式中的通項%+1==ckx6-3kk=0,1…,6,

:當(dāng)k=2時，展開式中的常數(shù)項為以=15.

故選：C

【變式6-1]1.（2022上?遼寧大連?高三統(tǒng)考期末）若二項式（ax+>0）的展開式中

所有項的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項為（）

A.10B.15C.25D.30

【答案】B

【分析】根據(jù)賦值法可得系數(shù)和，進而求解a=1,由二項式展開式的通項公式即可求解常

數(shù)項.

【詳解】令x=1,則所有的項的系數(shù)和為（a+I）6=64,由于a>0,所以a=1,

（力+專了展開式的通項為了升廣仁力一4一?以加自，故當(dāng)6—3r=0時，即r=2,此時

展開式中的常數(shù)項為凌=15,

故選：B

【變式6-1】2.（多選）（2022上?重慶?高三重慶市長壽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知二項式

（版-|）”的展開式中各項系數(shù)的和為-128,則下列結(jié)論正確的是（）

A.n=8

B.展開式中二項式系數(shù)和為128

C.展開式中%項的系數(shù)為21

D.展開式中有3項有理項

【答案】BD

【分析】根據(jù)各項系數(shù)的和為-128,令乂=1即可得n=7,可得選項A錯誤，二項式系數(shù)和即

GG+.?-+d=27=128,即可判斷選項B的正誤，根據(jù)二項式定理寫出通項，使x的幕次

為1,解得項數(shù)，即可得選項C的正誤，使通項中x的幕次為有理數(shù)即可判斷選項D的正誤.

【詳解】解:由題可得，不妨令x=L

得(1-3)n=-128,

所以n=7,

故選項A錯誤；

展開式中二項式系數(shù)和為C9+G+...+&=27=128,

故選項B正確；

r

展開式的通項公式為2+1=G(近)7-.(-|)=(-iyCr.3r.萬寧。=0)1)2/-,7),

令甘=L解得r=1,

展開式中X項的系數(shù)為—G?31=-21,

故選項C錯誤；

展開式的通項公式為幾+1=G(近)7-.(_|)'=(—1)03r?x亨,(r=0,1,2,…,7),

當(dāng)r=1,4,7時，

Tr+i為有理項，

故選項D正確.

故選BD

【變式6-1】3.(2022?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？家荒?在(久+號的展開式中，各項

系數(shù)和與二項式系數(shù)和的比值為詈，則二項展開式中的常數(shù)項為

【答案】240

【分析】由已知求得n=6,再根據(jù)二項式通項公式的展開式求出常數(shù)項即可.

【詳解】(％+2)”的展開式中，二項式系數(shù)和為2%

令"1,得(x+的展開式中，各項系數(shù)和為3%

由題意可得￡=詈，即?"=詈，解得n=6,

所以(x+/6的展開式的通項為「Hi=d—r=屐=n2*管，

令6—|r=0,解得r=4,故展開式的常數(shù)項為=15x16=240,

故答案為：240

【變式6-1]4.(2022上?四川成都?高三校考階段練習(xí))(5-3x+2y)”展開式中不含y的

項的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項為

【答案】15625/56

【分析】根據(jù)題意，令y的指數(shù)為0,得(5—3x)n,再令x=1,得(5-3x+2y產(chǎn)的展開式

中不含y的項的系數(shù)和為(5-3)，解得n,再求展開式中的常數(shù)項.

【詳解】(5—3%+2丫產(chǎn)展開式中不含y的項，即展開式中y的指數(shù)為0,即(5-3久)幾的展

開式，

再令x=1,得(5-3x+2丫尸展開式中不含y的項的系數(shù)和為(5-3)*64,

所以n=6,

因為(5-3x+2y)6=[5-(3%-2y)]6,

所以展開式中的常數(shù)項為或x56=15625.

故答案為：15625.

題型7含有絕對值的求和問題

5234

【例題7](2022?四川成都?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若(2%-I)=劭+a1X+a2x+a3x+a4x+a5

%s,則+口2|+小|+口浦+%|=()

A.244B.243

C.242D.241

【答案】C

【分析】對偶法，結(jié)合二項式展開式的特征，各系數(shù)絕對值之和，將二項式中的勿-1改成

2x+l,然后令x=l即可解出結(jié)果.

5x2345

【詳解】顯然(2%+I)=|a0|+\a-i\+|a2|x+|a3|x+|a4|x+|a5|x,|a0|=L

令x=1得|a()|+|ail+|a2|+ai+l^l+|cts|=243,

故a/+\a2\+|a3|+同+痣1=242.

故選：C.

【變式7-1]1.(2022上?湖南衡陽?高三衡陽市一中?？计谥?若(/—2x+2戶=的+的

X+久2++的0%1°,則|ai|+\(l2\+|tt31T+I^91=.

【答案】3092

【分析】由多項式分析知：k為奇數(shù),項系數(shù)為負；k為偶數(shù),項系數(shù)為正，可得|即|+向|

+…+|<2iol=—即+。2—。3…—。9+a10i再應(yīng)用賦值法求。0、—C11+—。3…一

+。10,然后計算出的0即可.

【詳解】由題設(shè)，含/的項中，當(dāng)k為奇數(shù)，項系數(shù)為負，而當(dāng)k為偶數(shù)，項系數(shù)為正，

所以|由|+|a2|++l0iol=—a1+a2—a3---—ag+a10,

令x=0,則的=25=32;

—"1,彳導(dǎo)—a1+a2—。3…―口9+^io55=3125,

所以|%|+㈤+…+|a10|=3125-32=3093.

由(——2%+2)5=(%2—2x+2)(x2—2x+2)(/—2x+2)(/—2%+2)(%2—2久+2)

可知久1°的系數(shù)的0為5項中久2的系數(shù)相乘，故儂=1

3093

所以|即|+|a2|+…+|ag|=|即|+|a2|+…+|aiol-l^iol=-1=3092

故答案為：3092.

【變式7-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知(2—久)6=劭+久+￡12%2+???+久6,

則|的1+kil+\a2\+???+|a6|=(用數(shù)字作答)

【答案】729

【分析】由二項式定理確定各項的符號，則原式可化為的-%+C12-。3+。4-。5+=

[2-(-1)]6,即可求值

【詳解】由二項式定理可知，的、口2、。4、(16均為正數(shù)，。1、。3、均為負數(shù)，

可得|劭|+|即|+出|+…+|&6|=%一+。2—+。6=[2—(-1)]6=36

=729.

故答案為：729

【變式7-1】3.(2022?全國?高三專題練習(xí))若(1—x)7=劭+。1久+。2久2+.??+尤7,則

|的|+㈤+悶+…+㈤=?(用數(shù)字作答)

【答案】127

【分析】根據(jù)題意判斷各項系數(shù)正負，化簡含絕對值的等式，運用賦值法即可得到答案.

727

【詳解】因為(1—x)=a。+arx+a2x+???+a7x,

所以尤奇次方系數(shù)為負，X偶次方系數(shù)為正，

所以|由|+|?2|+|?3|---+\a7\=-—CI3+￡{4—。5+。6—。7,

727

對于(1—x)=的+a1x+a2x+…+a7x,

—1,彳導(dǎo)a。一a1+d2—。3+。4—口5+即一a?=27,

令X=0,得ao=1,

兩式相減,得—C11+<12—。3+。4—。5+。6—0.7=2^—1-127,

即同+|a2|+|a3|+…+\a7\=127.

故答案為：127

【變式7-1]4.(2022上?黑龍江大慶?高三大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知(1-2x)5=的+

的3++…+。5K5,則|的|+|。2|+|。3|+|。41=.(用數(shù)字作答)

【答案】210

【分析】根據(jù)二項展開式的通項可知展開式中奇次項的系數(shù)為負，偶次項的系數(shù)為正，可得

|%|+|。2|+|。3|+|。4|=~'的+C12-。3+。4,令X=-1,即可求解.

25

【詳解】解：因為(1一2x)5=a0+arx+a2x+…+a5x,

所以展開式中奇次項的系數(shù)為負，偶次項的系數(shù)為正，

a+a=—aa—aa

所以|即|+|a2|+l3ll4]l+23+41

(1-2x)5展開式的通項公式為T『+1=cr(_2%)r=C(-2)Y,

所以ao=Las=-32,

在二項展開式中，令x=—1,

彳導(dǎo)a。一+敢一—口5=35—243,

|ajJ+|。21+|。3|+1。4|=—ai+。2—a3+。4=243-1—32=210,

故答案為:210.

題型8系數(shù)和相關(guān)拓展一

A.-2B.2C.4D.12

【答案】C

【分析】令x+1=t,直接根據(jù)二項式定理求解即可.

【詳解】令X+1=t,則X=t-1,

故(X—1)4+2x，=(t—2尸+2(t—1)5=CLQ++a2t之4—+a5t5,

(t-2)4中脛得系數(shù)為c表一2)2=24,(t-1)5中/得系數(shù)為C前-I)3=-10,

所以。2=24-20=4,

故選:C.

【變式8-1】1.(2022上?湖南長沙?高三長沙一中校聯(lián)考階段練習(xí))已知d=設(shè)

nn

(2%—3)—CLQ+<2|(X—1)+Cl.2(X—1)^+…+CLn(X—l),則+。2+…+=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)可求得n的值，再利用賦值法可求得劭和劭+由+。2+-+%

的值，作差可得出所求代數(shù)式的值.

【詳解】因為潑=d，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得n=3+6=9,

所以(2x—3)9=a。+Q1(X—1)+0.2(X—I)2+…+Qg(x—I)9,

令久=2,得(2X2—3)9=CLQ+CZ]+0,2+…+Ug,即a0+<21+0.2+…+。9=1-

令尤=1,得(2X1—3)9=a。=—1,

所以的+a2++a9=(a0+?1+a2+…+a.—a。=1—(—1)=2,

故選：D.

【變式8-1】2.(2022上?四川眉山?高三?？茧A段練習(xí))已知(2%-3)4=劭+。(久一2)+

Ct2(久―2)2+a3(X—2)3+04(久一2)3則(12=.

【答案】24

【分析】將3-3)4寫成[1+2(x-2)]4,寫出其二項展開式,即可得。2=演■22.

【詳解】(2X-3)4=[1+2(%-2)/=吠+以?2(x-2)+Ci-22(x-2)2

+C4-23(X-2)3+C4-24(X-2)4,

'/(2.x—3)4=CLQ+a1(x—2)+a2(x—2)2+u^x—2尸+—2)3

.1.a2=C4-22=6X4=24.

故答案為：24.

【變式8-1】3.(2022上?山東濟南?高三山東省濟南市萊蕪第一中學(xué)校考階段練習(xí))若

828

(1—%)=a0+?1(1+%)+?2(1+^)+,,,+?8(1+^),則口6=

【答案】112

【分析】令t=x+l,則久=t—l,則原題變?yōu)椋喝?2-t)8=的+ait+a2t2+.??+。8盧,

求。6直接用二項式的通項公式解決.

【詳解】令t=X+1,則久=t一1

則原題變?yōu)?若(2-t)8=劭+的￡+a2t2+…+巴則。6=

二項式(2—t)8的通項公式為苒+1=c628T(—t)『(o<r<8)且reZ

當(dāng)r=6時,即T7=C§22(T)6=112t6,所以。6=112

故答案為:112

5

【變式8-1】4.(2022上?山東濰坊?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知(1+%)=的+劭(2+久)+a2

2345

(2+x)+a3(2+x)+a4(2+x)+a5(2+x),則(13=.

【答案】10

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.

【詳解】由于(1+x)5=[-1+(2+初5,

所以=C5,(-I)2=10.

故答案為：10

題型9系數(shù)和相關(guān)拓展二

2

【例題9】(2022?全國?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知(x-1)4(3%+2尸=a0+a1X+a2x

+…+a7久7,貝[ja2+U3+…+.

【答案】-39

【分析】賦值法，令％=0、%=1,結(jié)合二項式定理展開式求國即可求解.

327

【詳解】因為(％—1)4(3%+2)=Oo++a2x+???+a7x,

令x=0,可得的=23,

■$,%=1,CIQ++0,2+...+=0,

33412

a1X=d%(-1)C3(3X)℃2)+C狂°(-1)C3(3%)(2)=4x,

77

a7x=C*x,Cg(3x)3-27x,

以a2+...+—0—2，—4—27---39.

故答案為：-39.

【變式9-1]1.(2022上?云南?高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)若(x-2>=a0+?i

2345

x+a2x+a3x+a4x+a5x,貝?。輆（）+a2+a4=

【答案】-122

【分析】根據(jù)賦值法即可求解奇數(shù)項的系數(shù)和.

【詳解】令X=1得，+。2+。3+。4+。5=—1,

令X二—1彳導(dǎo)，CLQ—向+做—。3+04—。5=—243,兩式相加得。0+02+=—122.

故答案為：—122

【變式9-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)(％-1)(2+%)3=的+口1久+02%2+(13久3+

。414,貝！,2a2+3。3+4。4-.

【答案】-431

【分析】即為(％-1)(2+爐中%系數(shù)，

又Q-1)(2+%)3=%(2+%)3-(2+%尸，分別求%(2+無>與(2+工產(chǎn)一次項即可.注意到

334

[(%—1)(2+x)]=(a0+即％+做好+a3x+a4xy

=臼+2a2久+3的％2+4。4%3=(%+2)2(4%—1),令％=1,結(jié)合可得答案.

【詳解】因(%-1)(2+%)3=%(2+%廠_(2+%)3,

則的=C〉23—C>22=-4.

注意到[(%—1)(2+X)3]=(。0+a1X+。2%2+?3%3+。4%4)'

32

=%+2。2久+3a3/+4a4%=(x+2)(4x—1),令％=lz

彳導(dǎo)+2。2+3。3+4。4=27,又=—4,彳導(dǎo)2。2+3。3+4。4=31.

故答案為：—4；31.

【變式9-1】3.(2022上?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí))設(shè)多項式。+1尸+

101094+6+8+a

(%—I)=a10%+a9x4---Fa1x+a0,貝!+做+。。。io=.

【答案】544

【分析】分別賦值％=L%=-1,得到兩個等式，兩式相加即得偶數(shù)項系數(shù)的2倍.

【詳解】依題意，令％=1,得到:。10++???++劭=26=64,令X=-1,得到：

。10—。9+。8—。7+…一+。0=2"=1024,兩5^相力口可■彳導(dǎo)：2(Qo+。2+@4+。6+。8+

。10)=1088,故a。+做+。4+%+。8+。10=544.

故答案為：544

【變式9-1】4.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知(1-2%)5=劭+%%+做工2+???+的好,

則Go—+。2—。3+。4—。5的值為.

【答案】243

【分析】根據(jù)題意，利用賦值法，令％=-1即可得到答案

【詳解】解：因為(1一2%)5=的+01久+取/+-?+。5%5,

所以令％=—1,則(1+2)5=?0+?(—1)+。2,(—1)24+。5,(—1)5=Q0-Q]+口2-

。3+。4—。5,

—0]+0.2-的+04—=243,

故答案為：243

題型10二項式系數(shù)最大

【例題10】(2022上?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱七十三中?？茧A段練習(xí))已知(y+9”的

展開式中，第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為表，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為

第（）項.

A.3B.4C.5D,6

【答案】C

【分析】先求出二項式展開的通項公式，分別求出第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)，由

題意得到關(guān)于"的方程，即可確定其展開式二項式系數(shù)最大項.

【詳解】（五+9n的展開式通項公式為T『+l=G（與I&，=&.2丁.擰，

則第3項的系數(shù)為出■22,倒數(shù)第3項的系數(shù)為C=2.2*2,

因為第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為表，

所以第三=2=2-4,所以品22=以-22-6,解得n=8,

所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項，

故選：c

【變式10-111.（2022上?河南安陽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知（?-3”的展開式中只有

第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（）

A.-448B.-1024C,-1792D,-5376

【答案】C

【分析】先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得幾=8,再結(jié)合二項展開式的通項求各項系數(shù)

0，分析列式求系數(shù)最小項時「的值，代入求系數(shù)的最小值.

【詳解】1?展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，貝舊=8

二展開式的通項為G+1=Q（五，…,8

則該展開式中各項系數(shù)J=（-2）0=0,1，…,8

若求系數(shù)的最小值，貝懺為奇數(shù)且卜i+2?即卜解得r=5

rr2

[ar-ar,2<0I（-2）Cs-（-2）-C8<0

.?.系數(shù)的最小值為。5=（-2）5Ci=-1792

故選：c.

【變式10-U2.(2022上?安徽?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知⑺%+l)n(neN*,mER)的

展開式只有第5項的二項式系數(shù)最大，設(shè)(nix+l)n=&)+即尤+&2尤2+“.+即久、若ai

=8,則+…+斯=()

A.63B.64C.247D.255

【答案】C

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求出“根據(jù)%=8求出小，再由賦值法求解即可.

【詳解】因為展開式只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共9項，所以n=8,?,■a1

=Qs-m=8,:.m=1,

828

:.(x+l)=a0+a1x+a2x+,?,+a8x,令x=1,彳導(dǎo)劭+即+a2+CI3+,??+ag=2'=256,

令x=0,得％=1,

「.。2+。3+…+。九—256—8—1=247.

故選：C.

【變式10-1]3.(2022上?四川廣安?高三四川省岳池中學(xué)校考階段練習(xí))已知2夜)”

的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為.

【答案】2

【分析】先算出心再寫出通項公式，確定光的次數(shù)為整數(shù)即可

【詳解】(e-2五)”的展開式有n+1項，因為僅有第5項的二項式系數(shù)最大，所以幾=8

/1\8—rz1\r516

Tr+1=CS(x-3)-(-2%2)=Q.(—2)r/F

當(dāng)r=2時卷r_葛=T當(dāng)r=8時怖r-費=4,符合題意

所以展開式中有理項的個數(shù)為2

故答案為：2

【變式10-1】4.(2022上?上海浦東新?高三上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知二項式

(爐—2)6,在其展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為

【答案】-160

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可知第4項二項式系數(shù)最大，寫出展開式的第4項即可

得至!1.

【詳解】由題意知，九=6.根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可得，第4項二項式系數(shù)最大.

363一所以展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為

T4=cl-(%)-x(2>=—1603,-160.

故答案為：-160.

題型11系數(shù)最值

駟溺1占

二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項不同，二項式系數(shù)最大的項即中間一項或兩項；

展開始終系數(shù)最大的項的求法用解不等式組｛「：:虛爵:品Z屣%來確定r

【例題11】(2022?全國?高三專題練習(xí))Q-l)9按x降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是

()

A.第4項和第5項B.第5項

C.第5項和第6項D.第6項

【答案】B

【分析】利用二項展開式通項結(jié)合二項式系數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.

【詳解】因為0—I/的展開式通項為九+1=瑤-x9-k-(—1)3

其中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大，但第5項的系數(shù)為正，第6項的系數(shù)為負，

故(x-按X降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是第5項.

故選：B.

【變式11-1】1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在—久）”的展開式中，所有奇數(shù)項的二

項式系數(shù)和為32,則展開式中系數(shù)最大的項為（）

r9-1rr7-ic

A.B.%c.萍D.失4

Z4ZZ

【答案】B

【分析】根據(jù)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為求得九，寫出二項展開式，從而可得出答案.

【詳解】解：因為在（代-3久）”的展開式中，所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32,

所以2Al=32,解得n=6,

則（五-梟）=Ce（Vx）6+C^（Vx）5（-ix）+C|（Vx）4（-|x）+C^（Vx）3（-|x）

+Cg（Vx）2^-+盛代（一,久）+C^—~x^

=%3—3x2+~x4—1%2+^|x5—得療+~^x6,

所以展開式中系數(shù)最大的項為凈支

故選：B.

【變式11-1】2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在（x—“5的展開式中，爐的系數(shù)等于-5,

則該展開式的各項的系數(shù)中最大值為（）

A.5B.10

C.15D.20

【答案】B

【分析】求出二項式的通項公式，根據(jù)題意求出a,再根據(jù)二項式展開式的特征判斷系數(shù)最

大項.

r

【詳解】（》—“5的展開式的通項7r+]=C"5T■（_y=（_a）rCrxS-2ri

令5-2r=3,則r=1,所以-ax5=-5,即a=1,

展開式中第2,4,6項的系數(shù)為負數(shù)，第1,3,5項的系數(shù)為正數(shù),

故各項的系數(shù)中最大值為此=10,

故選：B.

【變式11-U3.（2022上?陜西西安?高三陜西師大附中?？计谥校┮阎╝2+1）叩勺展開式

中各項系數(shù)之和等于（雪妙+!『的展開式的常數(shù)項，而招+1）叩勺展開式中系數(shù)最大的項

等于54,則正數(shù)a的值為

【答案】V3

【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令X的幕指數(shù)等