黑龍江哈爾濱市香坊區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題

黑龍江哈爾濱市香坊區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題

姓名：班級：考號：

題號——總分

評分

一、選擇題(每題3分，共計30分)

1.若點4(1,3)是反比例函數(shù)y=[(kH0)圖象上一點，則常數(shù)k的值為()

A.3B.-3C.1D.

2.下列圖形中，只是中心對稱圖形的是()

3.將拋物線y=/向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是()

A.y=(x—3)2+4B.y=(x+3)2+4

C.y=(%+3)2—4D.y=(%—3)2—4

4.如圖是用5個相同的立方體搭成的幾何體，其俯視圖是()

從正面看

A.5B.V5C.4D.V7

6.在一個不透明的袋子中有2個紅球，3個綠球和4個藍球，它們只有顏色上的區(qū)別，若從袋子里隨機取出一

球，則取出這個球是綠球的概率為()

1

A.|B.|C.1D.5

7.如圖，ZXABC為鈍角三角形，將4ABC繞點A按逆時針方向旋轉120。得到△ABC,連接BB，，若AC〃BBT

則NCAB，的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.70°D.90°

8.如圖，四邊形ZBCD內(nèi)接于。0,AC,BD為對角線，BD經(jīng)過圓心。.若ZB4C=4O。，則ZDBC的度數(shù)為

)

A.40°B.50°C.60°D.70°

9.如圖,已知DEIIBC,EF||AB,則下列比例中錯誤的是（)

AEF_CE口CE_CFDE_AEnAD_BF

rU=

AB~CACA=CBBC-EC-ABBC

10.如圖，拋物線y=a/+bx+c（aA0）與％軸交于點（4,0）,其對稱軸為直線x=l,結合圖象給出下列結

論：@abc<0；@b2—4ac>0；③2a+b=0；④4a—2b+c=0,其中正確的結論有（）

C.3個D.4個

2

二'填空題(每題3分，共計30分)

11.在平面直角坐標系中，點力(2,-3)關于原點對稱的點B的坐標為.

12.已知二次函數(shù)y=(%-2)2+4的頂點坐標為.

13.若點A(—1,a),B(2,b)在反比例函數(shù)y=：(k<0)的圖象上，則a，b的大小關系用連接的結果

為.

14.如圖，設在小孔口。前24cm處有一支長21sH的蠟燭/B,經(jīng)小孔。形成的像/'B',恰好照在距小孔

0后面16cm處的屏幕上，則像4B'的長cm.

15.如圖，P4是。。的切線，切點為4,P。的延長線交。。于點B,若NP=40。，則的度數(shù)為.

16.如圖，AC是操場上直立的一個旗桿，旗桿AC上有一點B,用測角儀(測角儀的高度忽略不計)測得地面

上的。點到B點的仰角4BDC=45。，到4點的仰角乙4/5C=60。，若BC=3米，則旗桿的高度AC=

米.

17.某學習小組由1名男生和3名女生組成，在一次合作學習中，若隨機抽取2保同學匯報展示，則抽到1名

男生和1名女生的概率為.

18.一個扇形的圓心角為120。，弧長為4兀cm,則此扇形的面積是.

19.在矩形力BCD中，點E在直線BC上，BE=2CE,若AB=2,AC=3,則的正切值為.

20.如圖1,在RtAZBC中，乙4BC=90。，。是AB上一點，過點。作DE||BC交4C于E,將△4DE繞4

點順時針旋轉到圖2的位置，若5BD=4CE,4B=8,則線段BC的長為.

3

三'解答題(共計60分)

21.先化簡，再求代數(shù)式攀+(%—41)的值，其中x=tan6(T+2tan45。.

22.如圖所示，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，△4BC的各頂點坐標分別為4一1,1),5(-2,3),C(一

3,2).

(1)畫出△力BC關于原點中心對稱的圖形AABiCi；

(2)將AZBC繞點C順時針旋轉90。得到△&B2C，請畫出

(3)連接B24并直接寫出線段B24的長.

23.如圖，某座山的主峰觀景平臺高450米，登山者需由山底4處先步行300米到達B處，再由B處乘坐登山

纜車到達觀景平臺。處.已知點4B,C,D,E,F在同一平面內(nèi)，ADFA=90°,BELDF于E,山坡2B的

坡角為30。，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53。（換乘登山纜車的時間忽略不計）.

（1）求登山纜車上升的高度DE;

（2）若小明步行速度為30m/min,登山纜車的速度為60m/min,求小明從山底4處到達山頂。處大約需

要多少分鐘（結果精確到O.lmin）.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33）

24.如圖，。4、OB、0C都是。。的半徑，^ACB=2ABAC.

(1)求證：^AOB=2乙BOC；

(2)若AB=8,BC=2V5,求。。的半徑.

25.把邊長為44cm的正方形硬紙板（如圖1）,在四個頂點處分別剪掉一個小正方形，折成一個長方體形的無

蓋盒子（如圖2）,折紙厚度忽略不計.

5

圖1圖2

(1)要使折成的盒子的底面積為576cm2,剪掉的正方形邊長應是多少厘米？

(2)折成的長方體盒子側面積(四個側面的面積之和)有沒有最大值？如果沒有，說明理由：如果有，求

出這個最大值，并求出此時剪掉的正方形邊長.

26.菱形ZBCC中，對角線AC、B￡＞相交于點。，乙4BC=60。，點尸為B0上一點，點E為4。上一點，連接

EF,將線段FE繞點F順時針旋轉60。得到對應線段FG,連接DG.

圖3圖4

(1)當點4與點E重合時：

①如圖1,點G落在對角線BD上，則線段GF、GD之間的數(shù)量關系為—▲_；

②如圖2,點G不落在對角線BD上，則①問中結論是否成立，為什么？

(2)當點4與點E不重合時：

①如圖3,點G不落在對角線BO上，貝I](1)問中結論，_▲_；(填“成立”或“不成立”)

6

②如圖4,在①的條件下，延長FG交CD于點M,交0C于點N,若DF=2BF,ON=1,CM：DE=5：8,

求線段MN的長.

27.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y=a/+b￡-3交支軸負半軸于點4交支軸正

半軸于點B(3,0),交y軸于點C,直線y=±%+l經(jīng)過點4并拋物線于點D.

(1)如圖1,求拋物線解析式；

(2)如圖2,P為拋物線第四象限上一點，連接P4PB,設點P的橫坐標為，APZB的面積為S,求S與

之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點P作PH14D交y軸于點F,垂足為點H,G為拋物線第二象限上一

點，連接FG,NP4B+NGF0=135。，過點尸作PE1無軸交4。于點E,若HE：DE=4：5,求S的值及G

點坐標.

7

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】因為A(1.3)是反比例函數(shù)y=(上的點，所以k=xy="3=3.

故答案為：A。

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點符合反比例函數(shù)關系是，直接代入關系式，求得k的值即可。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：對于A選項，圖形為非中心對稱圖形，故A選項不符合題意，

對于B選項，為軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故B選項不符合題意，

對于C選項，圖形為非中心對稱圖形，C選項不符合題意，

對于D選項，為中心對稱圖形，符合題意.

故答案為：D.

【分析】把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形；把

一個平面圖形，繞著某一點旋轉180。后，能與自身重合的圖形就是中心對稱圖形，根據(jù)定義即可逐個判斷得出

答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：將拋物線y=/向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線的函數(shù)表達式

為：y=(%—3)2+4.

故答案為：A.

【分析】二次函數(shù)y=ax2+bx+c向左平移m(m>0)個單位長度，得到的新二次函數(shù)的解析式為y=a(x+m)2+b(x+m)+c；

二次函數(shù)產(chǎn)ax?+bx+c向右平移m(m>0)個單位長度，得到的新二次函數(shù)的解析式為產(chǎn)a(x-m)2+b(x-m)+c；二

次函數(shù)y=ax?+bx+c向上平移m(m>0)個單位長度，得到的新二次函數(shù)的解析式為尸ax2+bx+c+m；二次函數(shù)

y=ax?+bx+c向下平移m(m>0)個單位長度，得到的新二次函數(shù)的解析式為kax2+bx+c-m.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：其俯視圖如下：

故答案為：B.

【分析】根據(jù)三視圖的定義求解即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】解:如下圖所示:在RtAACB中，4。=90°,sinZ=骼=*,又因為BC=3,,所以可得：48=4,

8

則由勾股定理可得：AC=7AB2一BC2=V42-32=V7,

故答案為：D.

【分析】本題主要考查正弦三角函數(shù)的定義及勾股定理，根據(jù)已知條件及正弦三角函數(shù)的定義可解得：AB=4,

在根據(jù)勾股定理即可求解.

6.【答案】C

【解析】【解答】根據(jù)題意從一個不透明的袋子中有2個紅球，3個綠球和4個藍球的袋子中隨機取出一球共

有9種結果，取出這個球是綠球的結果有3種結果，故取出這個球是綠球的概率為P=1=

故答案為：C.

【分析】根據(jù)概率公式繼續(xù)計算即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：??,將AABC繞點A按逆時針方向旋轉120。得到△ABC，，

.?./BAB，=NCAC=120。，AB=AB\

/.(180°-120°)=30°,

.?.NC'AB'=/AB'B=30°,

ZCAB^ZCAC1-NC'AB，=120。-30°=90°.

故選D.

【分析】先根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到NBAB，=NCAC=120。，AB=AB\根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得NABB=30。，再

根據(jù)平行線的性質(zhì)由AC〃BB，得NCAB，=/AB，B=30。，然后利用NCAB，=NCAC-NCAB，進行計算.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：：BD為直徑，

ZBAD=90°,

VZBAC=40°,

ZCAD=ZBAD-ZBAC=90°-40°=50°,

9

，ZDBC=ZCAD=50°.

故答案為：B.

【分析】由直徑所對的圓周角是直角，可得/BAD=90。，從而得出NCAD=NBAD-NBAC=50。，利用同弧所

對的圓周角相等即可求解.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：對于人選項：：￡1尸||48,；山（^92小心48,則笳=晉，故A選項正確，對于B選項：

由A選項知：ACEF2ACAB,,則普=嘉，故B選項正確，對于C選項：..?DE||BC,

：^ADE^LABC,則需=需，故C選項錯誤，對于D選項：由C選項知：AADEzRABC,則

黑=嚼,XVDF||BC,EFII4B,.?.四邊形BFDE為平行四邊形，則DE=BF,.,累=蓋=需，故D選項

正確.

故答案為：C.

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)，根據(jù)已知條件判定三角

形相似，根據(jù)對應邊成比例即可判定ABC三項，D選項利用三角形相似及平行四邊形的性質(zhì)即可判定.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：???拋物線開口向上，...a〉0,又???拋物線的稱軸為直線％=1夕=1即8=一

2a

2a<0,根據(jù)拋物線的圖像可知拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，則c<0,故abc>0,即①錯誤，

根據(jù)拋物線的圖像知拋物線與x軸存在兩個交點，.?./—4ac>0,故②正確，由上知b=—2a,則2a+b=0,

故③正確，?..拋物線丫=a/+bx+c（a00）與％軸交于點（4,0）,其對稱軸為直線X=1,.,.拋物線與x

軸的另外一個交點為：（—2,0）將其代入拋物線的解析式可得：4a—2b+c=0,

故④正確，綜上所述正確的結論共有3個.

故答案為：C.

【分析】本題主要考查拋物圖像的拋物線系數(shù)的關系，根據(jù)拋物的開口方向、對稱軸、與y軸的交點即可得到：

a〉0,b=-2a<0,c<0,從而可以判定出①③，再根據(jù)拋物線與x軸交點的個數(shù)可以判定②，結合已知

條件及利用拋物線的對稱性可得拋物線與x軸的另外一個交點為：（-2,0）將其點入解析式即可判定④.

11.【答案】（-2,3）

【解析】【解答】解：根據(jù)在平面直角坐標系中，某點關于原點對稱點只需將其坐標都變?yōu)橄喾磾?shù)即可，，點

A（2,—3）關于原點對稱的點B的坐標為（—2,3）.

故答案為：（—2,3）.

10

【分析】本題主要考查點的對稱性，根據(jù)在平面直角坐標系中，某點關于原點對稱點只需將其坐標都變?yōu)橄喾?/p>

數(shù)即可求解.

12.【答案】(2,4)

【解析】【解答】解：二次函數(shù)y=(%—2>+4的頂點坐標為(2,4).

故答案為：(2,4).

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)二次函數(shù)y=a(x-八)2+鼠的頂點坐標為(心。進行求解即

可.

13.【答案】b<a

【解析】【解答】解：’.,點4(—1,a),B(2,b)在反比例函數(shù)y=[(k<0),，a=等=—k〉0,b=與<0,

故b<a.

故答案為：b<a.

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)題意將點A、B代入反比函數(shù)的解析可得:a=與=-k〉0,b=

等<0,即可求解.

14.【答案】14

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得：且AOAB、1^0AB,的高分另U為BE、EF,故碧=囂，

又力B=21cm,BE=24cm,EF=16cm,則槃=等，解得4B'=14an,

故答案為：14.

【分析】本題主要考查三角形相似的判定及性質(zhì)，根據(jù)題意可得：XOAB2XOAB',且AOAB、AOA'B',的

高分別為BE、EF,從而得到嘿=第，然后代入數(shù)值進行計算即可求解.

ADDD

15.【答案】25

【解析】【解答】解：如下圖所示：連結OA,PA是。。的切線，...zOAPu90。，又.."P=40。，

."AOP=180°-ZP-AOAP=180°-90°-40°=50%貝吐B=ROAP=25。.

故答案為：25.

11

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)及圓心角與圓周角的關系，連結OA根據(jù)題意可得NOAP=90。，再根據(jù)三角

形內(nèi)角和可得：乙40P=50。，最后根據(jù)圓心角與圓周角的關系即可求解.

16.【答案】3V3

【解析】【解答】解：:在RtABCD中，NBCC=45。，BC=3,CD=BC=3,又...在RtAACD中，乙4DC=60°,

Atanz/IDC=tan60°=需，即4C=tan60℃D=3V3.

故答案為：3百.

【分析】本題主要考查正切三角函數(shù)定義及運用，根據(jù)題意可得：CD=BC=3,然后在RtAACD中，^ADC=

60°,tanz4DC=tan60o=鋁，代入數(shù)值即可求解.

17.【答案】1

【解析】【解答】解：將某學習小組由1名男生和3名女分別編號為a、b、c、d,則隨機抽取2保同學匯報展

示的結果為(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d),共有6種結果，其中為1名男生和1

名女生的結果有3種，則抽到1名男生和1名女生的概率尸=10.

6z

故答案為:

【分析】本題主要考查列舉法或者樹狀圖法求概率，根據(jù)題意列出隨機抽取2保同學匯報展示的結果共有6

種結果，其中為1名男生和1名女生的結果有3種，則抽到1名男生和1名女生的概率P=焉=*.

18.【答案】12兀

【解析】【解答】解：設該扇形的半徑為r,根據(jù)弧長與圓心角的關系可得：紅瑞史=4兀，解得：r=6cm,

根據(jù)扇形的面積公式可得：S=122于=120：驊36=12.

DOUDOI)7r

故答案為:127T.

【分析】本題主要考查弧長公式、扇形的面積公式，根據(jù)弧長與圓心角的關系可得：2><；需?！?4兀,解得：

r=代入扇形的面積公式即可求解.

19.【答案】1或g

【解析】【解答】解：①當點E在BC邊上時，如下圖所示：..?四邊形2BC0為矩形，且4B=2,AD=3,

12

；.CD=AB=2,BC=AD=3,NC=NB=90。，AD//BC,則ND4E=zAEB,又〈BE=2CE,：.BE=

AD

2,CE—1,tanZ-DAE-tanZ-AEB-—1；

②當點E在BC的延長線上時，如下圖所示：?..四邊形ABC。為矩形，且45=2,AD=3,

：.CD=AB=2,BC=AD=3,zC=ZB=90°,AD//BC,則又,：BE=2CE,：.BE=6,

ADn1

AtanzDXE=tanzXFB=第=專=6；

綜上所述：ND4E的正切值為1或全

故答案為：1或。

【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)及正切三角函數(shù)的定義，分①當點E在BC邊上，②當點E在BC的延長

線上兩種情況利用矩形的性質(zhì)及正切三角函數(shù)的定義進行求解即可.

20.【答案】6

【解析】【解答】解：在圖1中???DEIIBC,...△ADE?/MBC,則需=器，即兼=祭，又在圖2中，由旋

轉的性質(zhì)可得：ABAC=Z.DAE,：.^BAC+^CAD=Z-DAE+^CAD,即ZBAD=Z.CAE,故

ABAD-ACAE,又5BD=4CE,則縹=弟=4,又因為“BC=90。,AB=8,=叔x8=10,

由勾股定理可得：BC-y]AC2—AB2=V102—82=V36=6.

故答案為：6.

【分析】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識，由DE||BC可得AACE?△ABC,貝=能

,即兼=釜，由旋轉的性質(zhì)可得：Z.BAC=Z.DAE,推至I得至！UB4D="AE,從而△BAD?△CAE,又

5BD=4CE,則縹=g=得，再利用勾股定理求解即可.

ACCE5

21.【答案】原式=三必+(冬—華)

xv2x2xJ

_%+2%2—4

=%丁2%

_%+22%

x(%+2)(%—2)

13

x=tan600+2tan45°=V3+2xl=V3+2

?2_22_2w

.?原式=再=用二萬=蘇=98

【解析】【分析】本題主要考查因式分解、分式的化簡運算、特殊三角函數(shù)值、分母有理化等知識，根據(jù)分式的

通分和因式分解對分式進行化簡可得：原式==+（槳—鐺）=3，再代入特殊角的三角函數(shù)值可得：

x'2%2xJx—2

x=tan60°+2tan45。=遮+2*1=遮+2,然后代值計算即可求解.

22.【答案】（1）解：見解析；

（2）解:見解析；

（3）解：根據(jù)網(wǎng)格格點知點B2（-2,1）,點①（1,-1）,故根據(jù)兩點間的距離公式可得：

7（-2+I）2+（1+I）2=V13,即B2&=g

【解析】【解答］解：（1）將圖形的對稱變?yōu)辄c的對稱，根據(jù)關于原點對稱橫縱坐標均變?yōu)橄喾磾?shù)，找到AZBC

的頂點A、B、C對應點4i、Bi、J,然后連結成圖形即可；

（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質(zhì)畫出點A、B、C的對應點出、B2、C2,然后連結得到△&B2C；

【分析】本題主要考查關于原點對稱、旋轉、勾股定理，利用網(wǎng)格特點及對稱和旋轉的性質(zhì)即可求解（1）、（2）,

再利用勾股定理及網(wǎng)格特點利用兩點間的距離公式P13，月），P（%2,丫2），則中止21=

J一冷）2+（月一夕2）2求解（3）即可.

23.【答案】（1）解：如圖，過B點作BC12F于C,

14

D

：.^BCF=90°

〈BE工DF,???乙BEF=90。,\^DFA=90°,

???四邊形BEFC是矩形，

在班△ABC中，^ACB=90°,4=30。，AB=300m,

:?EF=BC=^AB=150m,

u：DF=450m

：.DE=DF-EF=450-150=300m

答：登山纜車上升的高度DE=300m；

(2)解：在RtABDE中,乙DEB=90。,Z-DBE=53°,DE=300,

DE300

BD=sin53o=W375m

???從山底A處到達山頂D處大約需要:

300375

前十而=16.25?16.3min

答：從山底/處到達山頂。處大約需要16.3min

【解析】【分析】本題主要考查矩形的判定及性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)、正弦三角函數(shù)的運用.

(1)過B點作BC14F于C,根據(jù)題意可證得四邊形BEFC是矩形，在RtA/BC中，AACB=90°,24=30。,

AB=300m,可得￡1尸=3。=*43=150血，進而即可求解；

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的定義可得：在RtABDE中，ZDFB=90°,乙DBE=53。，DE=300,BD==猾

sin53°0.8

375m,再根據(jù)路程時間速度三者的關系即可求出答案.

24.【答案】(1)證明：???協(xié)=協(xié)，

:.乙AOB=2乙ACB

9：BC=BC,

:?乙BOC=2乙BAC,

.:(ACB=2乙BAC

：.^BOC=^ACB

：./-AOB=2乙BOC

15

(2)解：?.NB=8,作半徑。Ml2B于。，交圓。于點M,連接BM,

AM=BM，AD=BD-4,

J.^AOM=乙BOM,

：.^AOB=2^B0M,,:乙AOB=2乙BOC,

:.乙BOM=乙BOC,

"：BC=2V5,/?BM=BC=2V5,

Rt△BDM中，=VFM2-BD2=J(2V5)2-42=2

設圓。的半徑OM=OB=r,：.0D=OM-DM=r-2,

.?.RtABOD中，OB2=OD2+BD2,：.r2=(r-2)2+42,

解得r=5,二。。的半徑為5

【解析】【分析】本題主要考查圓周角、圓心角、圓弧三者之間的關系、垂徑定理、勾股定理得運用，(1)根據(jù)

等弧對等角及圓心角與圓周角的關系可得：4WB=2乙4CB/BOC=2ZBAC,再根據(jù)已知條件：乙4cB=2NBAC,

得至此BOC=乙ACB進而證明結論；

(2)作半徑0Ml力B于D,交圓。于點M,連接BM,根據(jù)垂徑定理可得：茄=BM，AD=BD=4,乙40M=

乙B0M,再根據(jù)圓心角與圓周的關系可得：乙BOM=ABOC,再利用勾股定理可得：DM=<BM2-BD2=

J(2與2—42=2,設圓。的半徑0M=0B=r,OD=0M-DM=T-2,再利用勾股定理建立方程解出r

即可求解.

25?【答案】(1)解：設剪掉的正方形的邊長為久cm.

則(44-2x)2=576,

即22一％=±12,

解得5=34(不合題意，舍去)，

久2=10

.?.剪掉的正方形的邊長為10cm；

(2)解：側面積有最大值.

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設剪掉的小正方形的邊長為tcm,盒子的側面積為ycm2,

則y與的函數(shù)關系為：y=4(44—2。3即y=—8/+1763

即y=—8(-11)2+968,

?.?二次項系數(shù)為一8<0,自變量的取值范圍為：0<￡<22

.?.當t=ll時，y有最大值，丫最大=968

即當剪掉的正方形的邊長為11cm時，長方形盒子的側面積最大為968bH2

【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的實際運用、二次函數(shù)的實際運用，(1)根據(jù)把邊長為44cM的正

方形硬紙板，在四個頂點處分別剪掉一個小正方形后底面為邊長為(44-2x)cm的正方形，再根據(jù)底面正方形

的面積為576cm2建立一元二次方程，解出x即可求解；

(2)設剪掉的小正方形的邊長為ten,盒子的側面積為ycm2,根據(jù)每一個側面的側面為(44-2。3即可得到

y與x的關系式，然后利用二次函數(shù)的增減性即可求得最大值.

26.【答案】(1)解：①GF=GD,證明如下：?.?在菱形2BCD中，^ABC=60°,：.^ABC=AADC=60°,

乙4DB=*乙4。。=30。，又：將線段FE繞點F順時針旋轉60。得到對應線段FG,:.EF=FG,Z.EFD=60°,

貝I」ZFED=9O。，且N4DB=30。，故ZZF=2EF,：.EFGF+GD2FG,則GF=GD,故答案：GF=GD.

②GF=G。仍成立，理由如下：

如圖連接CG、4G,?.NBCD為菱形，

：.AB=BC=AD=CD,^ABC=60°,

.?.△ABC為等邊三角形，

：.AB=AC,：.AC=CD,ABAC=60°,

'：AF=FG,AAFG=60°,；.△4FG為等邊三角形,

Z.FAG=60°,AF=AG=FG,

：.^BAF=ACAG,

△ABF=△ACGj

C./-ABO=LACG=30°,

??,/BCD為菱形，：.AB||CD,4c平分/BCD,

：.^ACD=^BAC=60°,

:?(GCD=^ACD一乙ACG=60°-30°=30°,

，乙ACG=LDCG,

又???/(?=CD,CG=CG,

△ACG=△DCG9

：.GD=GA,

17

又=GF,

：.GF=GD

（2）解：①成立，證明如下：

:GT10D,過點M作MHJ.AC,：.^FTG=90°,NMHC=ZOHM=90。，

；EF=FG,/.EFG=60°,二△EFG為等邊三角形，

?.?菱形4BCD,OB=OD,OA=OC,"B。="B。=30。，AADO=^CDO=30°,AC1BD,

:.乙BOC=ABOA=90°

設BF=2a,DF=2BF=4a,BD=6a,OB=OD=3a,OF=a,

在△力B。中，tan3（T=需，

?*-710=OBXtan30°=Wa,

在^AOF中，tanzXFO=奈=

C./LAFO=60°,

:?乙EFG=匕AFO,

J.^AFE=Z.DFG,乙FAD=180°-Z.AFD-^ADF=90°,

：.Z.FAD=/LFTG=90°,FE=FG,

：.△FAE=△FTG,

：.FA=FT,AE=TG,LPAO=90°-Z,AFO=30°,

：.AF=2FO=2a,

：.FT=2a,

：.DT=DF-FT=2a=FT,

VGT1OD,

：.GF=GD.

②連接ZP,EG,過點G作GT1。。于點T,過M做MH_LOC于點兒

.\ZFTG=90°,乙MHC=COHM=9。。,

U：AF=FG,^AFG=60°,

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：.AAFG為等邊三角形，

二,菱形/BCD,OB=OD,OA=OC,L.ABO=ZCFO=30°,^.ADO=Z-CDO=30°,ACLBD,

：.^LBOC=^BOA=90°,

設BF=2a,DF=2BF=4a,BD=6a,OB=OD=3a,OF=a,

在△ZB。中，tan300=器?，

?'?AO=OBxtan30°=V3a,

在△40F中,tan乙4/。=黑==百，

：.2LAFO=60°,

：ZEFG=匕AFO,

：./-AFE=乙DFG,Z.FAD=180°-Z.AFD-ZADF=90°,

：.^FAD=^LFTG=90°,FE=FG,

：./^FAE=AFTG,

：.FA=FT,AE=TG,LFAO=90°-Z,AFO=30°,

：.AF=2FO=2a,

：.FT=2a,

：.OF=OT=a,LBOC=乙BTG=90°,

：.OC||GT,

：.△FON?△FTG,

.FO_ON_1

UUTT=TG=2,

：.TG=2,

：.AE=TG=2,

設CM=5k,貝l]DE=8鼠AD=Sk+2,A0=4k+l=C0,

：.CN=4k,尸。=字（鈍+1）,CH=|cM=|fc,HN=|k,MH=牛匕

在小NMH中，tanNHNM=基=醇，4HNM=乙FNO,

部3

在△FN。中，tan乙FNO=需,...苧=宇（二+D,；.k=1

在^NMH中，MN=y/MH2+NH2=同k，

'.MN=V21

【解析】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)及選擇的性質(zhì)，（1）①根據(jù)菱形的的性質(zhì)可得乙4DB=30o.EF=

FG,^EFD=60%再根據(jù)NEFD=60。，再根據(jù)30。的直角三角形的性質(zhì)即可求解；②連接CG、AG,根據(jù)菱

19

形的性質(zhì)及旋轉的性質(zhì)可得△ABC為等邊三角形，

進而得到小AFG為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用SAS可證明△2BFACG,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)可以得到乙4B。=乙4CG=30°,再運用菱形的性質(zhì)及角的和差關系得到乙4CG=乙DCG,進而可以根據(jù)SAS

證明△4CGDCG,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等量代換即可求解；

(2)①過點M作MH1AC,根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得NBOC=Z.BOA=90°,設BF=2a,

DF=2BF=4a,BD=6a,OB=OD=3a,OF=a,然后利用解直角三角形運用正切三角函數(shù)及角的和差關

系可證得AFZEWAFTG,運用全等三角形的性質(zhì)可得FT=2a,進而得到。T=DF-FT=2a=FT,根據(jù)垂

直平分線的性質(zhì)即可得證；

②運用①的方法和結論得到OC||GT,進而證明△FON?&FTG,再根據(jù)相似的性質(zhì)得到AE=TG=2,設

CM=5k,則DE=8k,AD=8k+2,AO=4k+l=CO,運用解直角三角形和勾股定理即可求解.

27?【答案】(1)解：?.?直線y=*x+l經(jīng)過點4,

當y=0時，%=-2,二做一2,0)

?.?拋物線丫=a/+bx—3經(jīng)過點4(一2,0)、B(3,0)兩點

.(0=4a—2b—3

*eto=9a+3b-3

:?拋物線解析式為y=1%2-1%-3

(2)解：過點P作PKJ.久軸，垂足為點K

,.*5(3,0),:?BO=3,>\AB=2+3=5

???點P在P為拋物線第四象限上，

??設P(t,2t2—2t—3),??PK——彳產(chǎn)+?「+3

20

1111

??S='TIB,PK=《X5x(-2產(chǎn)+]1+3)

即：S=-1t2+|t+^(0<t<3)

(3)解：在拋物線y=I'd—|.汽—3上，設D(m,^-m2——3)

■:D在直線y=1-x+1上