與圓有關(guān)的位置關(guān)系?？碱}型（8大熱考題型）原卷版-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

難點(diǎn)08與圓有關(guān)的位置關(guān)系?？碱}型

（8大熱考題型）

題型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

題型二：確定圓的條件

題型三：三角形的外接圓問題

題型四：直線與圓的位置關(guān)系

題型五：切線的證明

題型六：切線的性質(zhì)

題型七：三角形內(nèi)切圓問題

題型八：切線長定理

精淮理分

題型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，。。中，弦A8的長為4?，點(diǎn)C在。。上，OC_LM,

=30°.。。所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)尸，若OP=5,則點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系是（）

C

A.點(diǎn)P在。。上B.點(diǎn)P在。。內(nèi)C.點(diǎn)尸在。。外D.無法確定

【變式1-1］（2022?吉林?中考真題）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=4.以點(diǎn)A為圓心，「

為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在。A內(nèi)且點(diǎn)B在。A外時(shí)，「的值可能是（）

【變式1-2］（2021.上海?中考真題）如圖，已知長方形ABCZ）中，AB=4,A￡>=3,圓B的半徑為1,圓A

與圓8內(nèi)切，則點(diǎn)CD與圓A的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)。在圓A內(nèi)B.點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)。在圓A外

C.點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)。在圓A內(nèi)D.點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外

【變式1-3］（2021.青海?中考真題）點(diǎn)尸是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)尸到0。上的點(diǎn)的最小距離是4cm,最大距離

是9。〃，則0。的半徑是.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023九年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）已知。。的半徑是4,OP=3,則點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)尸在圓上B.點(diǎn)尸在圓內(nèi)C.點(diǎn)P在圓外D.不能確定

2.（2024?云南怒江?一模）平面內(nèi)，0。的半徑為10cm,若點(diǎn)尸在內(nèi)，則。尸的長可以是（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

3.（2024?江蘇宿遷模擬預(yù)測(cè)）已知。。的半徑為1,點(diǎn)A到圓心。的距離為。，若關(guān)于無的方程f-2x+a=0

不存在實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)A與。。的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在。。外B.點(diǎn)A在。。上

C.點(diǎn)A在0。內(nèi)D.無法確定

4.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板.從

中選擇兩個(gè)各拼成如圖所示的圖形，則關(guān)于兩圖中四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,。的說法，正確的是（）

甲乙

A.甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)共圓B.甲圖四點(diǎn)共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓

C.甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)共圓D,甲圖四點(diǎn)不共圓，乙圖四點(diǎn)不共圓

5.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，X,Y,Z是某社區(qū)的三棟樓，XK=40m,}Z=30m,XZ=50m.若在XZ

中點(diǎn)M處建一個(gè)5G網(wǎng)絡(luò)基站，該基站的覆蓋半徑為26m,則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.X,Y,ZB.X,ZC.Y,ZD.Y

6.（2024?河北邯鄲.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長均為/）中選取9個(gè)格點(diǎn)（格線的交點(diǎn)稱

為格點(diǎn)），如果以A為圓心，廠為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則，?的取值范圍為（）

T-7--r

A\

--?

A.V17<r<3V2B.2點(diǎn)<"歷

C.Vi7<r<5D.5<r<>/29

7.（2024.浙江紹興.二模）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，點(diǎn)0,A,B,C在格

點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

（1）過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心”坐標(biāo)為；

⑵請(qǐng)通過計(jì)算判斷點(diǎn)火-3,-2）與QM的位置關(guān)系.

題型二：確定圓的條件

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?江西?中考真題）如圖，點(diǎn)A,B,C,。均在直線/上，點(diǎn)尸在直線/外，則經(jīng)過其中任意

三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（）

P.

ABCD

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【變式2-1］（2023?江蘇徐州?中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；

玉璧，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；

肉好若一，調(diào)之環(huán).”如圖1,“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩

種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系.

圖1圖2圖3

（1）若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為」

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若

一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫出內(nèi)孔.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?山東青島?二模）已知：如圖，點(diǎn)P是—ABC的邊8C上的一點(diǎn).

求作：00,使點(diǎn)。在，ABC的角平分線上，且。。經(jīng)過2、尸兩點(diǎn).

2.（2024?江西上饒?一模）平面上有4個(gè)點(diǎn)，它們不在同一直線上，過其中3個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出不重復(fù)的

圓”個(gè)，則〃的值不可能為（）

A.4B.3C.2D.1

圖1

3.（2023?貴州貴陽?二模）下列四個(gè)命題，正確的是（）

①經(jīng)過三點(diǎn)一定可以畫一個(gè)圓；

②三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.

A.①②B.①④C.②④D.③④

4.（2024?吉林長春?三模）將邊長為2的小正方形ABC。和邊長為4的大正方形所G8如圖擺放，使得C、

E兩點(diǎn)剛好重合，且8、C、”三點(diǎn)共線，此時(shí)經(jīng)過A、F、G三點(diǎn)作一個(gè)圓，則該圓的半徑為.

5.（2024?上海奉賢?二模）上海之魚是奉賢區(qū)的核心景觀湖，湖面成魚型.如圖，魚身外圍有一條圓弧形水

道，在圓弧形水道外側(cè)有一條圓弧形道路，它們的圓心相同.某學(xué)習(xí)小組想要借助所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)探索上

海之魚的大小.

（1）利用圓規(guī)和直尺，在圖上作出圓弧形水道的圓心。（保留作圖痕跡）

（2）如圖，學(xué)習(xí)小組來到了圓弧形道路內(nèi)側(cè)A處，將所攜帶的200米繩子拉直至圓弧道路內(nèi)側(cè)另一點(diǎn)B處，

并測(cè)得繩子中點(diǎn)C與圓弧形道路內(nèi)側(cè)中點(diǎn)D的距離為10米，圓弧形水道外側(cè)到道路內(nèi)側(cè)的距離DE為22

米（點(diǎn)。、C、E在同一直線上），請(qǐng)計(jì)算圓弧形水道外側(cè)的半徑.

6.（2024?吉林長春?三模）圖①、圖②、圖③中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，圖中點(diǎn)A、B、C、。、E、F、

G分別是圓上的格點(diǎn)，僅用無刻度直尺，分別確定圖①、圖②、圖③中的圓心。（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）

題型三：三角形的外接圓問題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2020?河北?中考真題）有一題目：“已知；點(diǎn)。為2L4BC的外心，ZBOC=130°,求/A.”嘉嘉的

解答為：畫44BC以及它的外接圓0,連接08,OC,如圖.由/BOC=2NA=130。，得NA=65。.而淇淇

說：“嘉嘉考慮的不周全，NA還應(yīng)有另一個(gè)不同的值.”，下列判斷正確的是（）

A.淇淇說的對(duì)，且NA的另一個(gè)值是115。

B.淇淇說的不對(duì)，/A就得65。

C.嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，-A應(yīng)得50°

D.兩人都不對(duì)，NA應(yīng)有3個(gè)不同值

【變式3-1］（2022.江蘇常州?中考真題）如圖，VABC是00的內(nèi)接三角形.若/ABC=45。，AC=0，則

00的半徑是.

【變式3-2］（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，0。是銳角三角形ABC的外接圓，OD，AB,OE_L3C,。尸_LAC,

垂足分別為￡），瓦尸，連接DE,EF,FD.若。E+DF=6.5,4A3C的周長為21,則EP的長為（

A.8B.4C.3.5D.3

【變式3-3］（2023?湖南湘西?中考真題）如圖，。。是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)8作

旗，4。于點(diǎn)￡,點(diǎn)P為線段8E上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與8,E重合），則尸的最小值為

2

A

【變式3-4］（2022?廣西玉林?中考真題）如圖，在5x7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點(diǎn)。，A,B,C,

D,E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。是VA3C的外心，在不添加其他字母的情況下，則除VA3C外把你認(rèn)為外心也是O

的三角形都寫出來.

【變式3-5］（2023?山東日照?中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出：

在平面內(nèi)，一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.請(qǐng)應(yīng)用此結(jié)論.解決以下問題：

如圖1,VABC中，AB=AC,ABAC=a（60。<0<180。）.點(diǎn)。是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與8,C重

合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到線段AE,連接8E.

-----

E___J

BDC

MDC

圖1

備用圖

（1）求證：A,E,B,。四點(diǎn)共圓；

（2）如圖2,當(dāng)AD=CD時(shí)，0。是四邊形AE3O的外接圓，求證：AC是0。的切線；

（3）已知a=120。，8C=6,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，此時(shí)。尸是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)

M距離的最小值.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2023?河北秦皇島?一模）在VABC中，22=45。，AB=6.甲、乙、丙分別給出了一個(gè)條件，想使BC

的長唯一，其中正確的是（）

甲：AC=4；

乙：AC=8；

丙：VABC的外接圓半徑為4

A.只有甲B.只有乙C.只有丙D.乙和丙

2.（2024?寧夏固原?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在已知的VABC中，按以下步驟作圖：①分別以B,C為圓心，以大于

長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M,N；②作直線交48于點(diǎn)。，美￡接?！?gt;.若CD=AD,ZB=25°,

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.ZACD=65°B.ZAC?=90。

C.ZCAD=50°D.點(diǎn)。是VABC的外心

3.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VABC中，已知8c=4&,cosA=3

:,。是2C的中點(diǎn)，點(diǎn)。是VABC

的外接圓圓心，則OD=（）

A

C.1D.交

A.2B.72

工2

4.（2024?河北邯鄲3三模）如圖,正方形紙片ABCD的中心。剛好是的外心，貝（）

D______________C

A.135°B.125°C.115°D.105°

5.（2024.山東淄博.二模）如圖，在VABC中，ZS4C=60°,ADI3c于點(diǎn)。，且45=4,則VABC面積的

最小值為.

6.（2023?廣東湛江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知VABC.

（1）用直尺和圓規(guī)作VABC的外接圓Q。；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵若ZACB=45°,求。。的半徑.

7.（2024.陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1,已知點(diǎn)A為線段BC外一點(diǎn)，連接A8,AC,且/54C=45。，

BC=6,求VABC面積的最大值；

（2）如圖2,某城市有一個(gè)廢舊機(jī)車工廠，現(xiàn)在想利用這個(gè)廢舊機(jī)車工廠改造為機(jī)車主題公園，其中AP為

原有機(jī)車的鐵軌，長500m,計(jì)劃保留放置各種年代的機(jī)車頭作為網(wǎng)紅留念打卡地標(biāo).AP兩側(cè)為面積相等

的現(xiàn)代與未來兩個(gè)主題活動(dòng)區(qū),要求NBAC=120°，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),按照設(shè)計(jì)要求,求出符合條件的NABC

的最大面積.

題型四：直線與圓的位置關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2022?四川涼山?中考真題）如圖，已知半徑為5的。M經(jīng)過x軸上一點(diǎn)C,與y軸交于A、2兩

點(diǎn)，連接AM、AC,AC平分NOAM,AO+CO=6

⑴判斷0M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求A2的長；

⑶連接8M并延長交圓M于點(diǎn)，連接C。，求直線C。的解析式.

【變式5-1］（2022?貴州六盤水?中考真題）如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓

的位置關(guān)系是（）

誓

文

桌

明

新

好

風(fēng)

習(xí)

尚

慣

A.相切B.相交C.相離D.平行

【變式5-2］（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）已知一次函數(shù)、=履+2的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)

。為圓心、r為半徑作。。.若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)左，一次函數(shù)>=丘+2的圖像與。?？傆袃蓚€(gè)公共

點(diǎn)，則廠的最小值為

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024.江蘇南京.二模）如圖，一輛汽車的輪胎因?yàn)槁獍T掉了，將輪胎外輪廓看作一個(gè)圓，則這個(gè)圓和

與它在同一平面內(nèi)的地面（看作一條直線）的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.包含

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）VABC的三邊AB,AC,8C的長度分別是3,4,5,以頂點(diǎn)A為圓心，24為

半徑作圓，則該圓與直線2C的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.相切D.以上都不是

3.（2023?湖北孝感?一模）已知。。的半徑是一元二次方程爐-3》-4=0的一個(gè)根，圓心。到直線/的距離

d=6,則直線/與。。的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相離C.相交D.相切或相交

4.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)>=工（彳>0）的圖象上的一點(diǎn)，的半徑為友,當(dāng)。尸與

X

直線y=x有公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)x的取值范圍是（）

A.I<x<yf2B.V2-1<X<A/2

C.V2-l<x<lD.>/2-1<X<A/2+1

5.（2024.上海嘉定.三模）設(shè)以3,4,5為邊長構(gòu)成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多

為個(gè).

6.（2024?上海黃浦?三模）如圖，半徑為5的。。經(jīng)過VABC的頂點(diǎn)4B,與邊BC相交于點(diǎn)。，BD=8,

AB^AD.

（1）求A8的長；

4

（2）如果tanC=1,判斷直線A5與以點(diǎn)。為圓心、9為半徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

題型五：切線的證明

【中考母題學(xué)方法】

【典例1］（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，將VABC沿過點(diǎn)A的直線翻折并展開，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在邊

48上，折痕為A。，點(diǎn)。在邊上，。。經(jīng)過點(diǎn)A、D.若ZACB=90。，判斷與。。的位置關(guān)系，并

說明理由.

【變式5-1］（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于。O,。是上一點(diǎn)，AD=AC.E是。。外

一點(diǎn)，ZBAE^ZCAD,ZADE=ZACB,連接BE.

（1）若AB=8,求AE的長；

（2）求證：￡8是。。的切線.

【變式5-2］（2024.山東濟(jì)南?中考真題）如圖，4氏8為0。的直徑，點(diǎn)E在80上，連接AEQE,點(diǎn)G在

8。的延長線上，AB=AG,ZEAD+ZEDB=45°.

⑴求證：AG與。。相切；

（2）若BG=46,sinZDAE=1,求DE的長.

【變式5-3］（2024?西藏?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，連接AC,BC,CO平

分ZACD,CELDB,交￡）8延長線于點(diǎn)E.

c

,E

'B

AO

'D

（1）求證：CE是。。的切線;

3

（2）若。。的半徑為5,sinD=-,求的長.

【變式5-4］（2024?山東東營?中考真題）如圖，VABC內(nèi)接于。。，A8是。。的直徑，點(diǎn)E在0。上，點(diǎn)C

DC的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F.

⑴求證：CD是。。的切線；

⑵若CD=6，ZABC=60°,求線段AF的長.

D

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2025?廣西柳州?一模）如圖，是。。的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,連接BO,AD=CD）過點(diǎn)

。作DE3c交3c的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：DE是。。的切線；

⑵若3。=8,。。的半徑為5,求DE的長.

2.(2024?江蘇南京.模擬預(yù)測(cè))如圖，在半徑為10cm的。。中，是。。的直徑，CD是過。。上一點(diǎn)C的

直線，且AT)_LDC于點(diǎn)O,AC平分1540,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE=6cm.

⑴求證：C。是。。的切線；

⑵求AD的長.

3.(23-24九年級(jí)上?陜西西安.期末)如圖，是。。的直徑，4。是。。的弦，C是A5延長線上一點(diǎn)，過

點(diǎn)、B作BE_LCD交CD于E,交。。于凡NEBC=2NDAC.

(1)求證：。是。。的切線；

3

(2)若cos/A2F=y,。。的半徑為5,求BC的長.

4.(2023?北京東城?模擬預(yù)測(cè))已知：如圖，在AABC中，。是4B邊上一點(diǎn)，圓。過。、B、C三點(diǎn),

NDOC=2NACD.

(1)求證：直線AC是圓。的切線；

(2)若OD_LOC,NAC3=75。，圓。的半徑為4,求3C的長.

5.(2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))如圖，A8是。。的直徑，半徑為2,。。交3c于點(diǎn)。，且。是BC的中點(diǎn),

DEIAC于點(diǎn)￡,連接AD.

(1)求證：￡也是。。的切線.

(2)若NC=30。，求BC的長.

6.(2023?四川樂山?模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)。在對(duì)角線AC上，且NACB=NOCE.

(1)判斷直線CE與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若tan/ACB=】2,BC=2,求。。的半徑.

2

7.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))如圖，為0。的直徑，點(diǎn)E,E是。。上異于A,8的兩點(diǎn)，延長AF,BE

相交于點(diǎn)。，在AD的延長線上取點(diǎn)C,連接BC,已知=NCBD=：NCAB,

⑴求證：BC是。。的切線；

⑵若。。的半徑為2,CD=6,求AF的長.

8.(2023?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形ABCZ)中，AB=4,BC=6.E為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為

直徑的。。交4。于點(diǎn)尸，過點(diǎn)歹作FGLAE于點(diǎn)G.

(1)若E為BC的中點(diǎn)，求證：PG為。。的切線.

(2)若CE=in,請(qǐng)直接寫出。。與線段AB的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的機(jī)的取值范圍.

9.(2024.四川眉山.二模)如圖，。尸與0。相交于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過圓心。，點(diǎn)C是OP的優(yōu)弧AB上

任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,8重合).連結(jié)A8,AC,BC,OC；

⑴證明：ZACO=/BCO；

(2)請(qǐng)說明當(dāng)點(diǎn)C在。尸什么位置時(shí)，直線C4與。。相切；

(3)請(qǐng)說明當(dāng)—ACB的度數(shù)為何值時(shí)，與。。的半徑相等.

題型六：切線的性質(zhì)

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】(2024.廣東深圳?中考真題)如圖，在中，AB=BD,。。為△ABD的外接圓，BE為。。的

切線，AC為。。的直徑，連接。C并延長交3E于點(diǎn)E.

D

⑴求證：DE工BE；

（2）若48=5痣，BE=5,求0。的半徑.

【變式6-1］（2024?山西?中考真題）如圖，已知VA3C,以A3為直徑的。。交2C于點(diǎn)。，與AC相切于點(diǎn)

A,連接OD.若NAOD=80。，則/C的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

【變式6-2］（2024?福建?中考真題）如圖，已知點(diǎn)A,B在。。上，ZAOB=12°,直線跖V與相切，切點(diǎn)

為C,且C為A8的中點(diǎn)，則NAC0等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

【變式6-3］（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C在48的延長線上，CD與。。相切

于點(diǎn)。，若NC=20。，則/C4O=°.

【變式6-4］（2024.浙江?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，AC與。。相切，4為切點(diǎn)，連接BC.已知

ZACB=50°,則N3的度數(shù)為

【變式6-5］（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，VABC中，NACB=90。，點(diǎn)。為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為

圓心，OC為半徑作圓與A8相切于點(diǎn)。，連接CD.

（2）若AC=8,BC=6,求。。的半徑.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0A的圓心在x軸上，點(diǎn)3（4,3）在。A上，若G）A

與y軸相切，則OA的半徑為.

2.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AC是0。的直徑，BC與。。相切于點(diǎn)C,4B交0。于點(diǎn)。，連接。D,

若NCOD=84。，則/ABC的度數(shù)為（）

A.46°B.48°C.50°D.52°

3.（2024?廣東.模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD,C。為的兩條弦，過點(diǎn)C的切線交Q4延長線于點(diǎn)8,若"=27。,

則13的度數(shù)為（）

c

A.32°B.36°C.39°D.42°

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是我國明末《崇禎歷書》之《割圓勾股八線表》中所繪的割圓八線圖.如

圖2,根據(jù)割圓八線圖，在扇形AO3中，ZAOB=90°,AC和BE都是0。的切線，點(diǎn)A和點(diǎn)8是切點(diǎn)，BE

交OC于點(diǎn)E,OC交。。于點(diǎn)D若AC3E=12,則。。的半徑長為（

戊

A.2百米B.2米C.幾米D.3米

56.（2023?四川樂山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為8,。。的半徑為2,圓心在正方形

的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使加恰好與0。相切于點(diǎn)A（△*'與0。除切點(diǎn)外無重疊部分），

延長E4,交C。邊于點(diǎn)G,則AG的長是.

6.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A3為。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，連接AC,BC,過點(diǎn)B作。。的切線BD,

連接AD交BC于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，連接正，且AD平分NA4c.

D

⑴求證：ZD￡B=ZD；

⑵若DE=2,BD=#,求。。的半徑.

7.(2024.陜西.模擬預(yù)測(cè))如圖，在VABC中，。為邊BC上一點(diǎn)，0。過點(diǎn)C,且與A8相切于點(diǎn)。，連接

CD,OD,AD=AC.

(1)求證：VABC為直角三角形.

(2)延長。。與。O交于點(diǎn)E,連接CE,若M=DE=6,求CE的長.

8.(2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè))已知四邊形ABC。是的內(nèi)接四邊形，AC是。。的直徑，NOCE是四邊形

ABCD的一個(gè)外角，0c平分/ACE.

圖1圖2

(1)如圖1,ZBAD^56°,求—54C的度數(shù)；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作的切線。b交BC的延長線于點(diǎn)FAB=8,BC=6,求CP的長.

題型七：三角形內(nèi)切圓問題

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?四川攀枝花?中考真題）己知VABC的周長為/,其內(nèi)切圓的面積為萬戶，則VA2C的面積

為（）

A.—rlB.—TtrlC.rlD.nrl

22

71.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一^h五步.問勾中容圓，徑幾何？”

譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步.問這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的

直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長.用直

角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直

角三角形內(nèi)切圓的直徑.根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步.（注：“步”為長度單位）

股15

勾8

【典例2】（2023?山東聊城?中考真題）如圖，點(diǎn)。是VABC外接圓的圓心，點(diǎn)/是VA3C的內(nèi)心，連接08,

D.25°

【變式7-1］（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，VABC的內(nèi)切圓。/與BC,CA,48分別相切于點(diǎn)。，E,

F,若。/的半徑為r,/A=a,則（3尸+CE-3C）的值和/9E的大小分別為（）

aci

A.2r,9Q0-aB.0,90。一aC.2r,90°——D.0,90°——

22

【變式7-2］（2023?山東?中考真題）在VABC中，5C=3,AC=4,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.1<AB<7B.S4ABe%

C.VABC內(nèi)切圓的半徑r<lD.當(dāng)=時(shí)，VABC是直角三角形

【變式7-3].（2024?湖南永州?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以B為圓心，任意長為半徑畫

弧，分別交A3,8c于點(diǎn)N,再分別以N為圓心，大于的定長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，

作射線3尸交AC于點(diǎn)。，作DE1AB,垂足為則下列結(jié)論不正硬的是（）

【變式7-4].（2024.湖北.中考真題）如圖，在VABC中，ZACB=70°,△ABC的內(nèi)切圓。。與AB,BC分

別相切于點(diǎn)。，E,連接DE,49的延長線交OE于點(diǎn)F，則NA/Z>=.

【中考模擬即學(xué)即練】

4

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一張Rt^ABC紙片中，ZACB=90°,AC=8,tanZABC=-,QO

是它的內(nèi)切圓.小明用剪刀沿著0。的切線。E剪下一塊三角形ADE,則VAQE的周長為（）

2.（2024?四川瀘州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VABC中，NC=90。，點(diǎn)。為VABC的外心，BC=6,AC=8,QP

是AABC的內(nèi)切圓.則OP的長為（）

12

A.2B.3C.45D.—

5

3.（2023?河北邢臺(tái)?二模）如圖，將AABC折疊，使AC邊落在48邊上，展開后得到折痕4D,再將AABC折

疊，使BC邊落在邊上，展開后得到折痕3E,若4。與3E的交點(diǎn)為。，則點(diǎn)。是（）

B.△ABC的內(nèi)心

D.△ABC的中心

4.（2024?寧夏銀川?二模）如圖，把VABC剪成三部分，邊AB,BC,AC放在同一直線/上，點(diǎn)。都落在

直線上，直線MN〃I.在VABC中，若ZBOC=130。，則/BAC的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.75°D.80°

5.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在中，?B90?,AB=6,AC=10,點(diǎn)尸是Rt^ABC

的內(nèi)心.點(diǎn)尸到邊A8的距離為；

6.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?一模）如圖，等腰三角形ABC內(nèi)接于O。，AB=AC,點(diǎn)/是VABC的內(nèi)心，連接8/并

延長交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)E在8。的延長線上，滿足/E4D=NC4D.試證明:

（1）04所在的直線經(jīng)過點(diǎn)/；

⑵點(diǎn)。是花的中點(diǎn).

7.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是VA3C的外心，/是VABC的內(nèi)心，連接可并延長交8c和。。于

D,E.

(1)求證：EB=EI；

(2)若AB=8,AC=6,BE=4,求4的長.

題型八：切線長定理