中考數(shù)學難點突破與訓練：以幾何為背景的直角三角形的存在性問題（含答案及解析）

專題46以幾何為背景的直角三角形的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.正方形ABCD中，點E是AD的中點，EF//CD,EF交對角線AC于點?

（1）如圖1,點G為CF的中點，連結(jié)DG,EG,求證：DG=EG；

（2汝口圖2,△4月月是由△AEF沿射線C4平移得到的，點可與點A重合，點M為AC的中點，連結(jié)耳加交

AD于點”.

①若AB=2,求￡歸的長；

②連結(jié)OM，DE1,求證：是等腰直角三角形.

2.已知：AABC和AADE均為等腰直角三角形，ZABC=ZADE^90°,AB=BC,AD=DE,按圖1放置，

使點E在AB上，取CE的中點尸，連接。尸，BF.我們現(xiàn)給出如下結(jié)論：“直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半”.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中￡）F，訪的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是;

（2）探究證明：將圖1中的AADE繞點A順時針轉(zhuǎn)動45。，再連接CE,取CE的中點/（如圖2）,問（1）中

的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；

⑶拓展延伸：將圖1中的AADE繞點A轉(zhuǎn)動任意角度（轉(zhuǎn)動角度在0。至U90。之間），再連接CE,取CE的中

點尸（如圖3）,問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論.

3.（1）如圖1,/肱叁=120。,4。平分/跖加,。，41公（73，河，若AC=4,求AB+AD的長；

(2)如圖2,其他條件不變，將圖1中的NDC3繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，。交改1的延長線于點。，CB交射

線AN于點8,寫出線段心AC之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由；

(3)如圖3,AABC為等邊三角形，AB=8,尸為BC邊的中點，ZMPN=120°,將—MPN繞點尸轉(zhuǎn)動使射

線尸加交直線AC于點射線PN交直線AB于點N,當40=5時，求AN的長.

4.如圖，AASC是邊長是12cm的等邊三角形，動點尸，。同時從A,8兩點出發(fā)，分別沿AB,8c方向勻

速移動，其中點尸運動的速度是lcm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當點。到達點C時，P、。兩點都停止

運動，設運動時間為f(s),解答下列問題：

⑴當點。到達點C時，PQ與A3的位置關(guān)系如何？請說明理由.

(2)在點P與點。的運動過程中，VBP。是否能成為等邊三角形？若能，請求出f,若不能，請說明理由.

(3)則當f為何值時，V8PQ是直角三角形？

5.等腰AABC,AB=AC=4,^BAC=120°,尸為8c的中點，小慧拿著含30。角的透明三角板，使30。角

(1)如圖。，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、尸時，求證：ABPESACFP；

(2)操作：將三角板繞點尸旋轉(zhuǎn)到圖匕情形時，三角板的兩邊分別交班的延長線、邊AC于點E、F,

①探究1：ABPE與ACEP還相似嗎？(只需寫出結(jié)論)

②探究2：連接所，與dFE是否相似？請說明理由；

2

③設所=機，的面積為S,試用機的代數(shù)式表示S(直接寫出答案即可)

6.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，過AD中點E作正△￡>1/,過點尸的直線分別交邊AB、QC于點

G、H、已知點M、N分別是線段FH、48的動點，且4￡2耽是等邊三角形.

(1)判斷所與GH的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)當點N在線段GB上時

①求證：AG=FG

②試判斷“〃+GN的結(jié)果是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個值.

(3)設=點A關(guān)于EN的對稱點為A,若點A，落在的內(nèi)部，請直接寫出a的范圍.

7.已知“BC為等邊三角形，點。、E分別是BC、AC上一點.

(1)如圖1,BD=CE,連接AZKBE,AD交BE1于點尸，在BE的延長線上取點G,使得PG=AF,連接

AG,若AF=4,求AAFG的面積；

(2)如圖2,AD、旗相交于點G,點、F為AD延長線上一點,連接BF、CF、CG,已知BD=CE,ZBFG=60°,

ZAEB=ZBGC,探究3尸、GE、CP之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(3)如圖3,已知AB=12,過點A作AD13C于點。，點M是直線上一點，以CM為邊，在CM的下方

作等邊ACMN,連DN,當ON取最小值時請直接寫出CM的長.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點2、C在無軸上，ZABO=30°,AB=2,OB=OC.

3

(1)如圖1,求點A、B、C的坐標；

(2)如圖2,若點。在第一象限且滿足AC,ZDAC=90°,線段交y軸于點G,求線段3G的長；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若在第四象限有一點E,滿足=請?zhí)骄緽E、CE、AE之間的

數(shù)量關(guān)系.

9.點尸為等邊三角形AABC所在平面內(nèi)一點，且N"C=120。.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點尸在AABC外部，若3尸=4,CP=6,則AP的長為；

(2)尸點在AABC內(nèi)部，連接AP.

①如圖2,若APLBP,求證8P=2CP；

②如圖3,。為8C邊中點，連接PD,求證：ZAPC+ZBPD=180°.

10.如圖，AABC為等腰三角形，AB=AC.點。、點E分別在射線助、射線8C上，連接DE,將線段DE

繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至。尸，使得點P恰好在射線3C上，旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)當點C、點E重合時，如圖1,若a=30。，ZB=60°,AD=4,求線段8C的長度;

4

(2)當點C、點歹重合時，如圖2,AC與DE交于點G,若DG=EG,求證：BE=CE；

(3)當BE=CE=CF,NB=30。時，如圖3,點尸是射線54上的動點，連接CP,將線段CP繞點C順時針

旋轉(zhuǎn)60。至線段CP',連接FP1.將△CFP'沿直線五P翻折至ACFP所在平面內(nèi)得到AC'FP,直線CP與

P'Q

射線8C交于點Q.在點P運動過程中，當FP最小時，請直接寫出奇的值.

11.已知：在“IBC中，AB=AC,NBAC=120。，點尸是邊BC上一點，連接AP,AP^CP.

A

Q

D

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：AP±AB-,

⑵如圖2,將AABC沿3C翻折得到延長AP交8于點。，求證：AP=2PQ.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BQ,在CP上取一點E,連接AE,^ZCAE=ZDBQ,若AQ=6,求PE

的長.

12.將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中/DCE=NACF90。，ZD=ZA=30°.

圖1圖2圖3

(1)將圖1中的ADEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45。得圖2,點P是。C與A3的交點，點。是。E與BC的交點，求

證：CP=CQ.

(2)在圖2中，若止之，則CQ等于多少？

⑶將圖1中的ADEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到如圖3,點P是。C與A3的交點，在EC上取一點F,連接BF、PF,

設8c=1,當即'_LEB時，求△尸1面積的最大值.

13.如圖，在等邊“1BC中，點。是邊AC上一定點，點E是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊〃)￡尸,

連接CF.

備用圖

5

⑴如圖1,若點E在邊8c上，且DEL3C,垂足為￡,求證：CD=2CE；

(2)如圖1,若點E在邊BC上，且DELBC,垂足為E,求證：CE+CF=CD-,

⑶如圖2,若點E在射線CB上，請?zhí)骄烤€段CE,C/與C。之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

14.如圖1,點E是四邊形ABCD的邊BC上一點，分別連接E4,ED,把四邊形ABCD分成三個三角形,

如果其中有兩個三角形相似，那么我們把點E叫做四邊形ABCD的邊BC上的“相似點”；如果這三個三角形

都相似，那么我們把點E叫做四邊形ABCD的邊3C上的“強相似點”.

圖1圖2圖3

(1)任務一：如圖1,NB=NC=ZAED=a0,試判斷點E是否是四邊形ABC。的邊上的“相似點”，并說

明理由;

(2)任務二：如圖2,矩形ABCD的四個頂點A,B,C,。均在正方形網(wǎng)格的格點上，試在圖中畫出矩形A8CD

的邊BC上的“強相似點”；

(3)任務三：如圖3,矩形ABCD中，AB=6,將矩形ABCD沿CE折疊，點。落在A3邊上的點F處，若點

尸是四邊形ABCE的邊A2上“強相似點”，求BC.

15.如圖1,在建BC中，C2BE分別是AB,AC邊上的高線，M,N分別是線段的中點.

(1)求證：MN±DE.

(2)連接猜想NA與"ME之間的關(guān)系，并說明理由.

(3)若將銳角三角形A3C變?yōu)殁g角三角形ABC,其余條件不變，如圖2,直接寫出NBAC與NOME之間的

關(guān)系.

16.已知，AABC和ADEC都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點，如圖1,D,E分別在8C,AC

邊上，尸是郎的中點，連接CF.

6

(1)求證：NACD^IBCE.

(2)請猜想AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖2,將"RC固定不動，AOEC由圖1位置繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角/及笫=夕(0°<&<90。)，旋

轉(zhuǎn)過程中，其他條件不變.試判斷，AD與C尸的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請說明理由；若改變，請求

出相關(guān)正確結(jié)論.

17.等腰Rt^ACB,ZACfi=90°,AC^BC,點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上.

(1)如圖1,求證：NBCO=NCAO；

(2)如圖2,若OA=5,OC=2,求8點的坐標；

(3)如圖3,點C(0,3),Q,A兩點均在x軸上，且也皿=18.分別以AC、CQ為腰在第一、第二象限作等

腰RSCW、等腰REQCM,AC=CN,CM=CQ,連接MV交y軸于尸點，。尸的長度是否發(fā)生改變？

若不變，求出。尸的值；若變化，求。尸的取值范圍.

18.在AABC中，AB=AC,。是邊AC上一點，尸是邊AB上一點,連接3。、CF交于點￡,連接A片,

且AE_LCF.

D1

圖3

圖

圖12

7

(1)如圖1,若/BAC=90。，AF=1,AC=6,求B到AE的距離；

(2)如圖2,若E為中點，連接ED,FD平分ZAEC,G為CF上一點,RZGDC=ZGCD,求證：

DG+AF=FC；

(3)如圖3,若ABAC=120°,8C=12,將△ABD沿著AB翻折得，點H為3。的中點，連接HA、HC,

求△曲C周長的最小值.

19.［問題情境］如圖①，在四邊形ABC。中，ZB=ZD=90°,求證：AB、C、。四點共圓.

圖①

小吉同學的作法如下：連接AC,取AC的中點。，連接。8、OD,請你幫助小吉補全余下的證明過程；

［問題解決］如圖②，在正方形ABCD中，AB=2,點E是邊。的中點，點歹是邊8C上的一個動點，連接

4￡,4尸，作￡?_1飄于點兒

(1)如圖②，當點尸恰好落在正方形ABCD對角線BO上時，線段AP的長度為；

(2)如圖③，過點尸分別作PMLAB于點M,PN,3c于點N,連接腦V,則肱V的最小值為.

圖③

20.如圖直角坐標系中直線A2與x軸正半軸、y軸正半軸交于A,B兩點，已知3(0,4),ZBAO^30°,P,

。分別是線段。5AB上的兩個動點，尸從。出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向終點8運動，。從8出發(fā)以

每秒8個單位長度的速度向終點A運動，兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時整個運動結(jié)束，設運動時

間為r(秒).

8

(1)求線段A3的長，及點A的坐標；

(2)/為何值時，VBPQ的面積為2月;

(3)若C為Q4的中點，連接QCQP,以QC,QP為鄰邊作平行四邊形PQCO,

①f為何值時，點。恰好落在坐標軸上；

②是否存在時間r使尤軸恰好將平行四邊形尸的面積分成1:3的兩部分，若存在，直接寫出r的值.

9

專題46以幾何為背景的直角三角形的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.正方形ABC。中，點E是AD的中點，EF//CD,EF交對角線AC于點凡

⑴如圖1,點G為的中點，連結(jié)DGEG,求證：DG=EG；

⑵如圖2,是由△AEF沿射線C4平移得到的，點耳與點A重合，點M為AC的中

點，連結(jié)交4）于點H.

①若AB=2,求斯的長；

②連結(jié)。M,DE1,求證：是等腰直角三角形.

【答案】（1）見解析

（2）?|；②見解析

【分析】（1）延長EGDC交于點證明△GCM=△GEE（AAS）,推出GE=GM,利用

直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①延長耳加交8c于點N.證明△A￡；MgZiOVM（ASA）,求得CN=A&=1,證明

△&HAs△gNB,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

②延長片加交3C于點N,連接ZW,由2△CMW,推出旦M=MN,E&=NC.證

明△/必耳/△DCW（SAS）,據(jù)此即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）證明：延長EG,DC交于點M.

:四邊形ABC。正方形，

CDLAD.

EF//CD,

：.ZM=ZGEF,ZGCM=ZGFE.

10

:點G為CF的中點，

:.GC=GF,

：.AGCM/△GFE（AA^）,

/.GE=GM,

：.GO是RUDEN斜邊上的中線，

GD=GE；

（2）①解：VAB=2,

：.A4=AE[=|AB=|X2=1,E1B=E|A+A8=l+2=3.

延長E也交8C于點N.

NA=NNCM=45°,NEM=NCMN,=CM,

/.A41KM/△CW（ASA）,

：.CN=A&=1,

BN=BC-CN=2-1=1.

又：AD//BC,

：.AE[HAsAE^NB,

?更=里即用」

BNg2'即I一3'

DH=AD-AH=2--=-.

33

②證明：延長E陽交3C于點N,連接DN,

11

由①得會△CNM,

：.ElM=MN,E&=NC.

又?.?EW=&A,

E[A=NC.

■：DA=DC,NDAE[=NDCN=90°,

ADAEt部△DCN（SAS）,

：.DEX=DN,ZEtDA=ZNDC.

,：ZNDA+ZNDC=90°,

EQ±DN,

：.ZE,DA+ZNDA=90°,

：.DM1,

；.DM=%M=*△,

LDE'M是等腰直角三角形.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形

的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，知識點較多，難度較大，解題時要充分利用已

知條件進行推理，得到全等和相似三角形，從而推出角的關(guān)系以及邊的關(guān)系.

2.已知：AABC和AADE均為等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,AB=BC,AD=DE,

按圖1放置，使點E在AB上，取CE的中點尸，連接￡）尸，BF.我們現(xiàn)給出如下結(jié)論：“直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.

AEBB

圖1E圖3

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中。尸，所的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

⑵探究證明：將圖1中的AADE繞點A順時針轉(zhuǎn)動45。，再連接CE,取CE的中點F（如圖

2）,問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；

⑶拓展延伸:將圖1中的A4DE繞點A轉(zhuǎn)動任意角度（轉(zhuǎn)動角度在0。至IJ90。之間），再連接CE,

取CE的中點/（如圖3）,問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論.

【答案】（1）DF=8R，相互垂直

（2）仍然成立，證明見解析

（3）仍然成立，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知A尸=2尸，根據(jù)

12

ZDFE=2ZDCF,NBFE=2NBCF,得到NEFD+/EFB=2/DCB=90°,DF±BF.

(2)延長。尸交BC于點G,先證明AZ)EF絲AGCF,得到OE=CG,DF=FG,根據(jù)

AD=DE,AB=BC,得到BD=3G,又因為NABC=90°,所以DF=BE且DF_LBF.

(3)延長即至點G,使=連接03,DG,GE,可證明\EFG-CFB，得到EG=CB,

NEGF=NCBF,繼而求得AZMB絲ADEG,得到OG=￡>3,ZADB=ZEDG,所以

NBDG=ZADE=90。,可得D尸=B尸且小_L3產(chǎn).

【詳解】(1)解：ZABC=ZADE=90°,AB=BC,AD=DE,

\?CDE90?,ZAED=ZACB=45°,

???F為CE的中點，

：.DF=EF=CF=BF,

:.DF=BF,

:.ZDFE=2ZDCF,ZBFE=2ZBCF,

ZEFD+ZEFB=2NDCB=90°,

即：ZDFB=90°,

.-.DF±BF.

故答案為：DF=BF,相互垂直；

(2)解：仍然成立.

證明：如圖2,延長。尸交BC于點G,

ZABC=ZADE=90°,

:.DE//BC,

:.ZDEF=ZGCF,

又,；EF=CF,ZDFE=ZGFC,

:.\DEF^\GCF,

:.DE=CG,DF=FG,

?;AD=DE,AB=BC,

:.AD=CG,

:.BD=BG,

又?.?ZABC=90°,

.?.￡)尸=3尸且￡>尸_1_3產(chǎn).

(3)解：仍然成立.證明：如圖3,延長所至點G,使產(chǎn)G=3尸，連接￡>3、DG、GE,

13

C

G.

^---****"\]7-*———

B

E圖3

在AEFG與AGRB中，

FG=BF

?.=ZEFG=NCFB,

EF=CF

..■FG%ACFB〈SAS）,

:.EG=CB,NEGF=NCBF,

:.EGHCB,

AB=BC,AB±CB,

：.EG=AB,EGLAB,

?；ZADE=90。,EG±AB,

又,；ZAED=ZDAE,

:.NDAB=NDEG,

在ADAB和ADEG中,

AD=DE

,.?<ZDAB=ZDEG

AB=EG

:.^DAB^ADEG（SAS）,

;.DG=DB,ZADB^ZEDG,

:.ZBDG=ZADE=90。,

；.ABGD為等腰直角三角形，

.?.￡）尸=3尸且￡）尸_1_3匹.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定.要掌握等腰三角形

和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會靈活應用是解題的關(guān)鍵.

3.（1）如圖1,/心W=120。,4c平分NMAN,CD，AM,C3,4V,若AC=4,求

的長；

14

點。，8交射線AN于點8,寫出線段隹＞,AB,AC之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明

理由；

(3)如圖3,44BC為等邊三角形，AB=8,P為邊的中點，ZMPN=120。，將NMPN繞

點P轉(zhuǎn)動使射線交直線AC于點M,射線PN交直線AB于點N,當AM=5時，求AN的

長.

【答案】(1)4；(2)見解析；(3)5或15

【分析】(1)利用直角三角形30度角的性質(zhì)證明即可；

(2)過點C分別作AM,3的垂線，垂足分別為E、F,證明△CED四△CEB,即可解決問

題；

(3)連接上4,在上取點G,使得3G=PB,連接PG,通過ASA證明絲△尸GN,

得AM=GM,則AN-A4=AG,求出AG的長度即可.當點M在射線AC上時，同理可

得4V=5.

【詳解】(1)證明：如圖1中，

圖I

；AC平分/MAN,

ACAD=ZCAB=-AMAN=60°,

2

CD±AM,CBrAN,

：.ZADC=ZABC=90°,

：.ZACD=ZACB=30°,

：.AC=2AD=2AB,

：.AD+AB=AC=4-,

(2)解：結(jié)論：AB-AD=AC,理由如下：

過點C分別作4/4V的垂線，垂足分別為E、F,

15

圖2

??,/MAN=120°,AC平分NMAN,

：.ZEAC=ZFAC=60°,

???AC=2AF=2AE,

?:ZECF=ZDCB=6U。,

：./ECD=/FCB,

?.?ZCED=ZCFB=90°,CE=CF,

ACED^ACFBCASA),

:.ED=FB,

：.AB-AD=AF+FB-AD

=AF+ED-AD

=AF^AE+AD-AD

=2AF

=AC；

(3)解：如圖，連接B4,在5N取點G,使得BG=PB,連接PG,

???"IBC是等邊三角形，點尸是的中點,

ZABP=60°,AP±BC,

PB=BG,

：.ZBGP=ZBPG=ZPAG=30°,

ZAPG=120°,PA=PG,

ZMPN=120°,

???ZAPG=ZMPN9

：.AAPM=ZNPG,

,：ZCAP=ZPGA,

：.ZPAM=ZPGN,

16

在和VPGN中,

ZPAM=NPGN

<PA=PG,

ZAPM=NGPN

：.^PAM^PGN(ASA),

：.AM=GN=5,

：.AN-AM=AG,

過點尸作PHJ_AG于"，

NBPH=30°,

：.BH=-PB=2,

2

HG=HB+BG=2+4=6,

：.AG=24/=2x5=10,

yW=AG+(3V=10+5=15.

如圖，當點M在射線AC上時,

同理可得AN=5.

故答案為：5或15.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊

三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，AABC是邊長是12cm的等邊三角形，動點P,。同時從4,8兩點出發(fā)，分別沿AB,

8c方向勻速移動，其中點尸運動的速度是lcm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當點。到達

點C時，P、。兩點都停止運動，設運動時間為f(s),解答下列問題：

⑴當點。到達點C時，PQ與的位置關(guān)系如何？請說明理由.

(2)在點尸與點。的運動過程中，VBPQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出f,若不能,

17

請說明理由.

⑶則當f為何值時，VBPQ是直角三角形？

【答案】（l）PQSAB,見解析；

⑵能，當"4時，VBPQ是等邊三角形.

12

⑶";或r=6,V8PQ是直角三角形.

【分析】（1）先求出AP的長，可得點尸是的中點，由等邊三角形的性質(zhì)可求解；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得方程，即可求解；

（3）在VBPQ中，當ZPQ3=90。和=90。時，利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一

半建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：點。到達點C時，PQ與A3垂直，理由如下：

AB=BC=AC=12cm,

12

當點。到達點C時，/=y=6s,

AP=6x1=6cm,

，點P為AB的中點，

???△ABC是等邊三角形，

??.PQJ.AB.

（2）假設點尸與點。的運動過程中，VBPQ是等邊三角形，

：.BP=PQ=BQ,

*.*AP=/cm,BQ=2tcm,

族=（12-，）cm,

:.n-t=2t.

解得：t=4f

???當力=4時，VBPQ是等邊三角形.

（3）假設點尸與點。的運動過程中，V5P。是直角三角形，

AP=ton,BQ=2tcm,

B尸=（12-f）cm,

①如圖1,在V5PQ中，當/尸金=90。時，

???NPBQ=60。,

,\ZBPQ=30°

:.BP=2BQ

12—/=2x2，

解得：.=?12,

18

p

p/\\

/\Q\

BC

圖1

②如圖2,在V8PQ中，當/QP8=90。時,

ZPBQ=6Q°,

:.ZBQP=30°

BQ=2BP

:.2（12-t）=2t

解得：t=6,

圖2

故'或'=6

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何

動點問題，熟練掌握直角三角形含30。度角的性質(zhì)是關(guān)鍵.

5.等腰AMC,AB=AC=4,ZB4c=120。，P為BC的中點，小慧拿著含30。角的透明

三角板，使30。角的頂點落在尸，三角板繞尸點旋轉(zhuǎn).

(1)如圖。，當三角板的兩邊分別交A3、AC于點E、/時，求證：ABPESKFP；

(2)操作：將三角板繞點尸旋轉(zhuǎn)到圖6情形時，三角板的兩邊分別交54的延長線、邊AC于

點E、F,

①探究1：ABPE與ACFP還相似嗎？(只需寫出結(jié)論)

②探究2：連接石尸，ABPE與APEE是否相似？請說明理由；

19

③設EF=m,A￡P(guān)F的面積為S,試用加的代數(shù)式表示S（直接寫出答案即可）

【答案】⑴見解析

⑵①ABPES^CFP,②相似，見解析，③S=2m

2

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=利用三角形內(nèi)角和及平角得到

/BPE+/BEP=150°,NBPE+NCPF=150°,得出NBEP=NCPF,由相似三角形的判

定定理即可得到結(jié)論；

（2）①同（1）,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到-3=-C,利用三角形內(nèi)角和及平角證得

NBEP=/CPF,從而得到結(jié)論；

PFpcPFBP

②根據(jù)久尸尸得到二由尸為中點得到加二汴，再利用相似三角形的

PEBEPEBE

判定定理即可得到結(jié)論.

③求出ABPE中BE上的高，求出跖中跖上的高，得出關(guān)系式代入即可.

【詳解】（1）證明：???在△ABC中，^BAC=120°fAB=AC,

"5=4=30。.

???NB+NBPE+/BEP=180。,

，NBPE+NBEP=150。,

又NEPF=3。。,且NBPE+NEPF+NCPF=180°,

ZBPE+ZCPF=150°,

:.NBEP=NCPF,

:ABPESKFP（兩角對應相等的兩個三角形相似）.

（2）①結(jié)論：&BPEs衛(wèi)FP.

理由：???在△ABC中，3840=120。，AB=ACf

.?./3=/C=30。.

?/ZB+NBPE+NBEP=180°,

ZBPE+ZBEP=150°,

又NEPF=30。,且N3PE+NEPF+NCPF=180°,

ZBPE^ZCPF=150°,

.?.NBEP=NCPF,

:ABPES衛(wèi)FP,

②結(jié)論：ABPE與APFE相似.

理由：入BPES&CFP,

.CP_PF

而CP=3P,

20

BPBE

--------

PFPE'

又：NEBP=NEPF,

:.ABPESAPFE(兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似).

③由②得ABPES好FE，

:.^BEP=^PEF.

圖6

在R/AABP中，由—3=30。，AB=4,可得AP=2.

:.PM=6則PN=VL

設EF=m,△EPE的面積為S,

S=-PNxEF=—m.

22

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，過AD中點E作正過點歹的直線分別交

邊AB、DC于點G、H、已知點M、N分別是線段切、A3的動點，且AEMN是等邊三

⑴判斷跖與GH的位置關(guān)系，并說明理由.

⑵當點N在線段G3上時

①求證：AG^FG

②試判斷必7+GN的結(jié)果是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個值.

(3)設=點A關(guān)于EN的對稱點為A,若點A落在AEMN的內(nèi)部，請直接寫出&的

范圍.

21

【答案】(DEFJLGH,理由見解析

(2)①見解析；②不變，MH+GN=26;

(3)當30°＜。＜60°時，點A落在AEM/V的內(nèi)部

【分析】(1)證明AA￡N/AEEM,即可得出結(jié)論；

(2)①證明Rt^AEG/RtAFEG(HL),即可得出結(jié)論；

@MH+GH=2y/3,理由如下，如圖所示，過點尸作FK_LAB于點K,得出四邊形“K3C

是矩形，則〃K=CB=6,在RtMfGK中，ZGHK=30°,勾股定理得出HG=，在

以△AEG中，勾股定理得出AG=g,則尸G=AG=A/L根據(jù)

MH+GN=4y/3-MF-FG+MF-FG,即可求解；

(3)分當A，落在上時，當A落在上時，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)

即可求解.

【詳解】(1)EF1GH,理由如下：

???四邊形ABCD是正方形，

?/AEAF,AEMN是等邊三角形,

：.AE=FE,NE=ME,ZAEF=ZNEM^60°,

：.ZAEN=60°-ZNEF=Z.FEM,

/.AAEN%AFEM(SAS),

：.NEFM=NEAN=90°,

即EFLGH；

(2)①如圖，連接EG,

EF±FG,BA±AE,

：.ZEAG=ZEFG=90°,

在RtziA￡G,RtAFEG中，

[EG=EG

[AE=FE"

：.RsAEG式RtAFEG(HL),

：.AG=FG-,

22

@MH+GH=2y5,理由如下，

如圖所示，過點H作于點K,

:四邊形ABCD是正方形，且邊長為6,

"=々=90°,

又HK，AB,

...四邊形印8c是矩形，

：.HK=CB=6,

?：ZDAB=90°,ZFAG=90-ZEAF=30°,

又GA=GF,

：.ZAFG=ZFAG=30°,

：.NHGK=60。，

在RtA”GK中，NGHK=30。,

：,GK=-HG,

2

GK~+HK-=HG1,

二+62=HG2,

解得：HG=4A/3,

是AD的中點，貝UAE=3,

在Rt^AEG中，ZAGE=-ZAGF=60°,

2

ZAEG=30°,

：.AG=V3,則FG=AG=A/L

'：MF=AN,

：.GN=AN—AG=MF—FG,

又MH=HG—MF—FG,

MH+GN=-MF-FG+MF-FG=^-^-43=2-^3；

SPMH+GH=2A/3,

(3)當A落在MN上時，如圖所示，

23

:點A關(guān)于EN的對稱點為A,

/.ZNKE=ZNAE=90。，

又：/MEN=60。，

ZENA1=60°,

：.ZNEA=30°,

即c=30。；

當A落在EM上時，如圖所示,

1/點A關(guān)于EN的對稱點為A,

,ZNAE=ZNAE=90°,

又：/MEN=60。，

ZAE4=60°,

即(z=60。，

綜上所述，當30。<2<60。時，點A落在AEMN的內(nèi)部.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱

的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

7.已知"LBC為等邊三角形，點D、￡分別是BC、AC上一點.

24

A

(1)如圖1,BD=CE,連接AD、BE,AD交BE于點、F,在BE■的延長線上取點G,使得

FG=AF,連接AG,若”=4,求AAFG的面積；

(2)如圖2,AD,應相交于點G,點尸為延長線上一點，連接8歹、CF、CG,已知

BD=CE,ZBFG=60°,ZAEB=ZBGC,探究3尸、GE、C尸之間的數(shù)量關(guān)系并說明理

由；

(3)如圖3,已知筋=12,過點A作AD23C于點。，點"是直線AD上一點，以CM為邊，

在CM的下方作等邊ACMN,連DN,當。N取最小值時請直接寫出CN的長.

【答案】(1)45

⑵BF+GE=2CF,理由見解析;

(3)3.

［分析］(1)先證明AABLRBCE得/BAD=/CBE,再證AAFG是等邊三角形，過點G作

GHLAD于點H,解直角三角形求得GH=2百，即可求解；

(2)作DH〃CG交BE于H,作OT〃AC交3E于T,依次推出咨,

△ABG/WBF,ABDH%AGCD和AAEG冬ADTG,進一步得出結(jié)論；

(3)連接BN,證明ABOV絲AACN,得到/CBN=/C4M=30。，根據(jù)直角三角形

的性質(zhì)，垂線段最短解答.

【詳解】(1)解：???"sc為等邊三角形，

:.AB=BC,/ABD=/BCE=60。,

?/BD=CE,

：.AAB的ABCE,

:.NBAD=NCBE,

：.ZAFG=/BAD+/ABF=NCBE+/ABF=60°,

,?FG=AF=4,

，AAFG是等邊三角形，

如下圖，過點G作Ga_LAD于點〃，則

sinZAFG=sin60°,

FG4

GH=273,

25

圖1

(2)解：BF+GE=2CF,理由如下：如圖4,

A

作DH〃CG交BE千H,作DT〃AC交BE于T,

：.^THD=NEGC,NDTH=NCEG,NBDH=NGCD,

VZAEB=ZBGC,NAEB+NCEG=NBGE+NCGE=180。,

：?NCGE=NCEG,

：?^THD=NDTH,CE=CG=BD,

???DH=DT,

?:△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=ZBAC=60°,

,:BD=CE,

；.AE=CE,

在和△C4D中，

AB=AC

<ZBAC=ZACB

AE=CD

：.△ABE^CW(SAS),

/.ZCAD=ZABE,AD=BE,

9：NCAD+NBAD=NBAC=60。,

：.ZABE+ZBAD=6G0,

???ZBGF=ZABE+ZBAD=60°,

26

???NBFG=60。，

???△GM是等邊三角形，

：.BF=BG,NGBF=60。,

:?NABC=NGBF,

：,/ABC—NEBC=NGBF—NEBC即:NABG=NCBF,

???△ABG^ACBF(SAS),

???AG=CF,

9：ZBGF=NACB=60°,

???ZEGD+ZBGF=180°,

???在四邊形EG。。中，NCEG+/CDG=180。，

VZBHD+ZDHT=180°,NDHT=NCGE=NCEG,

:?NBHD=NCDG,

在△6。“和△GCD中，

ZBHD=ZCDG

<ZBDH=ZGCD,

BD=CG

：.△BZ)H^AGCD(AAS),

：.DH=CD,

：.DT=DH=CD=AE,

,/DT//AC,

：.ZEAG=ZTDG,/AEG=NDTG

：.AAEG均DTG(ASA),

：.AG=DG,

：.AD=2AG,

：.BE=AD=2AG=2CF,

：.BG+GE=2CF,

:?BF+GE=2CF；

(3)解：如下圖，連接5N,

???△ABC是等邊三角形，AD1BC,

27

BD=-AC=6,ZCAD=-ZCAB=3Q°,

22

VAABC,ACMN是等邊三角形，

ZACB=ZMCN=60°,CA=CB,CM=CN,

在ABCN和AACM中，

BC=AC

<NBCN=ZACM,

CN=CM

：.△fiCZV^AACM（SAS）

/CBN=ZCAM=30°,

當DNJL3N時，DN最小,最小值為:BD=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形判定和性

質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

8.如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點2、C在x軸上，ZABO=30°,AB=2,

OB=OC.

⑵如圖2,若點。在第一象限且滿足4）=AC,ZZMC=90°,線段3D交y軸于點G,求線

段8G的長；

（3）如圖3,在（2）的條件下，若在第四象限有一點E,滿足=請?zhí)骄緽E、

CE、AE之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴A（0』），B卜亞昨C（73,0）

Q）屈

⑶BE+CE=6AE,理由見詳解

【分析】（1）根據(jù)ZA8O=30。，AB=2,在RtAABO中，有：AO=1AB=1,進而有

BO=\lAB2-AO2=V22-I2=V3，問題隨之得解；

28

(2)求出AC=涔1?C萬=2，即AB=AC，可得NASD=NADB,接著求出NR4G=120。，

證明△BAOgZ\C4O,即有440=60。=/。!。，可得/<24￡>=180。-44。一/。4。=30。,

得出/BA￡>=44G+NG4￡>=150。，進而有NAB￡)=NAD3=15。，可得

ZGBO=ZABD+ZABO=45°,即有NG8O=/3GO=45。，問題隨之得解；

(3)由(2)可知：NAZ汨=15。，可得N3￡>C=NAZ)3+NA￡>C=60。，進而有

ZBEC=ZBDC=60°,延長￡B至尸，使班'=CE,連接AF,過A點作川0，防于M點，

根據(jù)Na4B=NOAC=60。，即有ZBAC=120。，進一步有NBAC+NBEC=180。，即可證明

ZABF=ZACE,接著證明VW/VACE(SAS),問題隨之得解.

【詳解】(1)VZABO=30°,AB=2,

...在Rt^ABO中，有：A0=1AB=1,

,,BO=VAB2—AO2=V22—I2=A/3，

?/OB=OC,

OB=OC=y/3,

AA(0,l),叫-后0),C(60)；

(2),?<9C=V3,AO=\,

.,.在RbACO中，AC=yjAO2+OC2=2>即AB=AC,

AD=AC,

***AD=2，

***AD=2=AB,

ZABD;ZADB,

VZABO=30°,Z