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文檔簡介

將軍飲馬模型

-知識導航

考情分析::通過全國中考試題分析來看,將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二

問中出現(xiàn),難度不大,但需要注意對稱點的選擇,動點通常在對稱軸上,而且已

知定點中往往有一個與X軸的交點.

考法主要有以下幾種:1.求取最小值時動點坐標2.求最小值3求三角形或四邊形

周長最小值.

模型一:兩定點一動點

如圖,AB為定點,P為/上動點,求AP+BP最小值

解析:作點A關于直線的對稱點4,連接B4',則府'=①,PA+PB=PA+PB

當4、P、3三點共線的時候,PA'+PB=A'B,此時為最小值(兩點之間線段最短)

B

/

A端點/

:、、、/

____I_____________

1/0折點

I/

A

模型二:一定點兩動點

如圖,P為定點,M、N分別為。4和08上的動點,求△尸跖V周長最小值

解析:分別作點P關于04、。8的對稱點,魁LPMN的周長為PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

當尸'、M、N、P”共線時,△尸周長最小.

模型三:兩定點兩動點

如圖,P、。為兩定點,M、N分別為04、。8上的動點,求四邊形PQMN的最小值.

解析:;PQ是條定線段,

...只需考慮PM+MN+NQ最小值即可,

分別作點尸、。關于。4、08對稱,

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ',

當P'、M,N、Q'共線時,四邊形PMNQ的周長最小。

2

模型四:一定點兩動點

如圖,P為定點,M、N分別為。4、OB上的動點、,求尸最小值。

解析:作點P關于對稱的點尸',

PM+MN^P'M+MN,

過點P作0B垂線分別交04、0B于點M,N,

得PM+MN最小值(點到直線的連線中,垂線段最短)

模型五:將軍飲馬有距離

例一、如圖,4。為定點,B、C為直線/上兩動點,3C為定值,求A3+BC+C。最小值?

*

D

A

BCI

解析:8c為定值,只需求AB+C。最小即可;

平移AB至CE,則變成求CE+CO的最小值,基本將軍飲馬的模型

例二、如圖,4。為定點,B、C為直線A、/2上兩動點,BCLlx,求A3+3C+CD最小值?

A

B

11

C12

D

解析:3C為定值,只需求AB+C。最小即可;

平移C。至BE,則變成求A3+3E最小,基本將軍飲馬.

3

二、典例精析

例一:如圖1(注:與圖2完全相同),在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三點.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;

(2)P是拋物線對稱軸上的一點,求滿足R4+PC的值為最小的點P坐標(請在圖1中探索);

【分析】(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得:y=?(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)連接3、C交對稱軸于點尸,此時上4+尸。的值為最小,即可求解;

【解答】解:(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得:y=a(x-V)(x-5')=a(x2-6x+5),

4

貝!)5々=4,解得:a=-f

拋物線的表達式為:y=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函數(shù)的對稱軸為:x=3,頂點坐標為(3,-1);

(2)連接3、C交對稱軸于點P,此時PA+PC的值為最小,

將點3、C的坐標代入一次函數(shù)表達式:>=區(qū)+6得:

k—__

解得:5,

8=4

直線BC的表達式為:y=--x+49

5

當尤=3時,y=->

5

4

故點尸(3,1);

例二:如圖,直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點,拋物線y=-犬+灰+。經(jīng)過點3、c,與

x軸另一交點為A,頂點為O.

(1)求拋物線的解析式;

(2)在無軸上找一點E,使EC+£D的值最小,求EC+ED的最小值;

【分析】(D直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點,則點3、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

將點3、C的坐標代入二次函數(shù)表達式,即可求解;

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點C,連接C。交x軸于點E,則此時EC+ED為最小,即可求解;

【解答】解:(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點,則點3、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

C_Q3/7+r—f)(h=?

將點3、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得:,一,解得:一。,

[c=3[c=3

故函數(shù)的表達式為:y=-x2+2x+3,令y=0,則彳=一1或3,故點4-1,0);

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點CI連接CO交x軸于點E,則此時EC+ED為最小,

函數(shù)頂點。坐標為(1,4),點C(0,-3),

將C\。的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得:

直線。。的表達式為:y=7尤-3,

當y=0時,x=—,

7

5

圖1

故點E(—,0),

貝!IEC+ED的最小值為DC

三、中考真題演練

1.(2023?寧夏?中考真題)如圖,拋物線>=辦2+版+3(。W0)與》軸交于人,8兩點,與,軸交于點C.已

知點A的坐標是(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=l.

(1)直接寫出點B的坐標;

(2)在對稱軸上找一點P,使R4+PC的值最小.求點尸的坐標和24+PC的最小值;

(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點過點M作軸,垂足為N,連接3c交于點Q.依題意

補全圖形,當MQ+應CQ的值最大時,求點M的坐標.

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖,拋物線y=f2+bx+c上的點A,C坐標分別為(0,2),(4,0),拋物線與x軸負半軸交于點8,點、M

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式;

(4)將拋物線沿無軸的負方向平移得到新拋物線,點A的對應點為點A,點C的對應點為點C',在拋物線平

移過程中,當M4'+MC'的值最小時,新拋物線的頂點坐標為,M4'+MC的最小值為.

3.(2023?湖南張家界?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中,已知二次函數(shù)>=內(nèi)2+版+。的圖象與x軸交

于點A(-2,0)和點3(6,0)兩點,與y軸交于點C(0,6).點。為線段BC上的一動點.

(2)如圖1,求△AOZ)周長的最小值;

4.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖,拋物線w-f+bx+c經(jīng)過A(T,0),C(0,3)兩點,并交x軸于另一點2,

點M是拋物線的頂點,直線4M與軸交于點D

備用圖

(1)求該拋物線的表達式;

(2)若點H是x軸上一動點,分別連接MH,DH,求+的最小值;

5.如圖,已知拋物線y=-6與x軸的交點A(-3,0),B(1,0),與y軸的交點是點C.

7

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P是拋物線對稱軸上一點,當PB+PC的值最小時,求點P的坐標;

(3)點/在拋物線上運動,點N在y軸上運動,是否存在點N,使得NCMN=90。且以點C,M,N為頂

點的三角形與“MC相似?若存在,求出點M和點N的坐標;若不存在,說明理由.

6.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-N+6x+c經(jīng)過點A(4,。)、B(0,4)、C.其對稱軸/交x

軸于點。,交直線于點尸,交拋物線于點£.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點尸為直線/上的動點,求仆P8C周長的最小值;

(3)點N為直線A8上的一點(點N不與點尸重合),在拋物線上是否存在一點使以點E、F、N、/為頂

點的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點M的坐標,若不存在,說明理由.

7.已知,拋物線y=/+2x-3,與無軸交于A、B兩點、(點A在點B的左側),交y軸于點C,拋物線的頂

點為點D.

8

(1)求A3的長度和點。的坐標;

(2)在該拋物線的對稱軸上找一點P,求出尸3+PC的值最小時尸點的坐標;

(3)點M是第三象限拋物線上一點,當S-MAC最大時,求點〃的坐標,并求出S’”.的最大值.

9

將軍飲馬模型

一、知識導航

考情分析::通過全國中考試題分析來看,將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二

問中出現(xiàn),難度不大,但需要注意對稱點的選擇,動點通常在對稱軸上,而且已

知定點中往往有一個與X軸的交點.

考法主要有以下幾種:1.求取最小值時動點坐標2.求最小值3求三角形或四邊形

周長最小值.

模型一:兩定點一動點

如圖,為定點,P為/上動點,求AP+BP最小值

解析:作點A關于直線的對稱點A連接PA',則PA'=PA,所以PA+PB=PA+PB

當A'、P、8三點共線的時候,PA'+PB=A'B,此時為最小值(兩點之間線段最短)

B

/

A端點/

\~*——

1/'尸折點

A

10

模型二:一定點兩動點

如圖,P為定點,M,N分別為。4和08上的動點,求周長最小值

解析:分別作點尸關于。4、08的對稱點,時APMN的局長為PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

當P、M.N、P”共線時,周長最小.

模型三:兩定點兩動點

如圖,尸、。為兩定點,M、N分別為。4、。8上的動點,求四邊形尸QMN的最小值.

解析::PQ是條定線段,

,只需考慮PM+MN+NQ最小值即可,

分別作點P、Q關于。4、08對稱,

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ,

當尸、M,N、Q'共線時,四邊形PMN。的周長最小。

模型四:一定點兩動點

如圖,P為定點,M.N分別為0A、08上的動點,求PM+MV最小值。

解析:作點P關于0A對稱的點P',

PM+MN^P'M+MN,

過點尸作0B垂線分別交。4、0B于點M、N,

得PM+MV最小值(點到直線的連線中,垂線段最短)

模型五:將軍飲馬有距離

例一、如圖,4。為定點,B、C為直線/上兩動點,BC為定值,求A3+BC+C。最小值?

*

D

A

BCI

解析:3C為定值,只需求AB+C。最小即可;

平移A3至CE,則變成求CE+CD的最小值,基本將軍飲馬的模型

例二、如圖,4。為定點,B、C為直線6、,2上兩動點,BCl/i,求A3+BC+CD最小值?

A

B

11

C12

*

D

解析:8c為定值,只需求AB+C。最小即可;

平移至BE,則變成求A3+3E最小,基本將軍飲馬.

二、典例精析

12

例一:如圖1(注:與圖2完全相同),在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三點.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸;

(2)P是拋物線對稱軸上的一點,求滿足R1+PC的值為最小的點P坐標(請在圖1中探索);

【分析】(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得:y=a(x-lXx-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)連接3、C交對稱軸于點尸,此時R4+PC的值為最小,即可求解;

【解答】解:(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得:y=a(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),

4

貝!)5a=4,解得:a=—f

5

拋物線的表達式為:j=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函數(shù)的對稱軸為:x=3,頂點坐標為(3,-1);

(2)連接3、C交對稱軸于點尸,此時R4+PC的值為最小,

將點3、C的坐標代入一次函數(shù)表達式:y=fcr+b得:

解得:5,

b=4

直線3c的表達式為:y=--x+4,

5

當x=3時,y=->

5

故點P(3,|);

13

例二:如圖,直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點,拋物線>=-/+云+。經(jīng)過點3、c,與

x軸另一交點為A,頂點為£).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在x軸上找一點E,使EC+ED的值最小,求EC+RD的最小值;

【分析】(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點,則點3、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

將點3、C的坐標代入二次函數(shù)表達式,即可求解;

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點CI連接CO交x軸于點E,則此時EC+田為最小,即可求解;

【解答】解:(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點,則點8、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

[—Q「一

將點5、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得:一,解得:

故函數(shù)的表達式為:y=-x2+2x+3,令y=0,則x=—1或3,故點A(-l,0);

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點C,,連接交x軸于點E,則此時EC+ED為最小,

函數(shù)頂點。坐標為(1,4),點C(0,-3),

將C、。的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得:

直線CD的表達式為:y=7x-3,

當)=0時,A:=—,

故點石弓,0),

圖1

14

則EC+ED的最小值為DC=Jl+(4+3)2=50;

三、中考真題演練

1.(2023?寧夏?中考真題)如圖,拋物線丁=0?+法+3(。工0)與》軸交于人,6兩點,與,軸交于點C.已

知點A的坐標是(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=l.

備用圖

(1)直接寫出點3的坐標;

⑵在對稱軸上找一點尸,使B4+PC的值最小.求點尸的坐標和B4+PC的最小值;

(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點過點M作軸,垂足為N,連接BC交MN于點Q.依題意

補全圖形,當MQ+后。的值最大時,求點M的坐標.

【答案】(1)(3,0)

(2)點P(l,2),PA+PC的最小值為3也

【分析】(1)根據(jù)拋物線的對稱性,進行求解即可;

(2)根據(jù)拋物線的對稱性,得到=得到當尸,3,C三點共線時,Bl+PC的值最小,

為3c的長,求出直線8C的解析式,解析式與對稱軸的交點即為點尸的坐標,兩點間的距離公式求出3C的

長,即為R4+PC的最小值;

【詳解】(1)解::點A(-l,0)關于對稱軸的對稱點為點3,對稱軸為直線x=l,

六點6為(3,0);

(2)當x=0時,>=3,

???C(0,3),

連接3C,

15

VB(3,0),

?>-BC=^32+32=372-

:點A關于對稱軸的對稱點為點B,

:.PA+PC=PB+PC>BC,

.?.當P,2,C三點共線時,9+PC的值最小,為8C的長,

設直線BC的解析式為:y=kx+n,

n=3n=3

則:。'解得:

3"k=一1'

y—~x+3,

??,點尸在拋物線的對稱軸上,

??/(1,2);

點尸(1,2),24+PC的最小值為3拒;

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖,拋物線y=-f+bx+c上的點A,C坐標分別為(0,2),(4.0),拋物線與x軸負半軸交于點8,點、M

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式;

(4)將拋物線沿無軸的負方向平移得到新拋物線,點A的對應點為點A,點C的對應點為點C',在拋物線平

移過程中,當M4'+MC的值最小時,新拋物線的頂點坐標為,M4'+MC的最小值為.

16

【分析】(1)根據(jù)點M在y軸負半軸且OM=2可得點M的坐標為加(0,-2),利用待定系數(shù)法可得拋物線

7

的解析式為y=-x1+—x+2;

(4)設拋物線沿x軸的負方向平移機個單位長度得到新拋物線,將點M右平移機個單位長度得到點

由平移的性質(zhì)可知,MA^M'A,MC'=M'C,的值最小就是MA+MC最小值,作出點C關于直

線產(chǎn)-2對稱的對稱點C",連接AC"交直線尸-2于點連接M'C則此時"A+M'C取得最小值,即為

AC"的長度,利用兩點間的距離公式求這個長度,用待定系數(shù)法求出直線AC"的解析式,從而確定〃'的坐

標,繼而確定平移距離,將原拋物線的解析式化為頂點式,從而得到其頂點,繼而確定新拋物線的頂點.

【詳解】(1)解::點M在y軸負半軸且31=2,

M(0,-2)

將4(0,2),C(4,0)代入y=_Y+灰+c,得

Jc=2

[-16+4b+c=0

\=l

解得<b2

c=2

7

.??拋物線的解析式為y=-x2+-x+2

(4)Hl為,2岳,

補充求解過程如下:

設拋物線沿X軸的負方向平移機個單位長度得到新拋物線,

將點M向右平移機個單位長度得到點AT,作出圖形如下:

由平移的性質(zhì)可知,MA=M'A,MC'=M'C,

:.MA+MC的值最小就是MA+M'C最小值,

顯然點在直線產(chǎn)-2上運用,

17

作出點C關于直線廠-2對稱的對稱點c",連接AC〃交直線產(chǎn)-2于點,連接M'c則此時MA+M'C取

得最小值,即為AC"的長度,

:點C關于直線產(chǎn)-2對稱的對稱的點是點C〃,C(4,0)

22

{MA!+=(M'A+M'C)mm=AC"=^(4-0)+(-4-2)=2屈,

設直線AC"的解析式是:y=kxx+b,

仿=2

將點A(0,2),C"(4,T)代入得:'

I/v|I

k=--

解得:1x2

b\=2

3

直線AC〃的解析式是:y=-|x+2

令丁=-5%+2=-2,解得:x=-,

??.“[IT,

平移的距離是機=|

▽27(7丫,81

?y=—xH-x+2=—x—H---->

214)16

???平移前的拋物線的坐標是倍,整〕

[416;

(QQQ1A(1181、

.?.新拋物線的頂點坐標為gp

(4316yI1216J

上……(1181)「

故答案是:|-R,/|,2A/13.

I"167

【點睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),二次函數(shù)與幾何變換綜合,二次函數(shù)與

相似三角形綜合,最短路徑問題,三角形面積公式等知識,難度較大,綜合性大,作出輔助線和掌握轉(zhuǎn)換

18

思想是解題的關鍵,第二問的解題技巧是使用鉛錘公式計算面積,第三問的技巧是轉(zhuǎn)化成直角三角形的討

論問題,如果直接按相似討論,則有四種情況,可以降低分類討論的種類,第四問的技巧,是將點M向反

方向移動,從而將兩個動點轉(zhuǎn)化成一個動點來解決.

3.(2023?湖南張家界?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中,己知二次函數(shù)yuaY+bx+c的圖象與無軸交

于點4(-2,0)和點3(6,0)兩點,與y軸交于點C(0,6).點。為線段上的一動點.

(1)求二次函數(shù)的表達式;

(2)如圖1,求△AOD周長的最小值;

【分析】(1)根據(jù)題意設拋物線的表達式為y=a(x+2)(x-6),將(0,6)代入求解即可;

(2)作點。關于直線的對稱點E,連接EC、EB,根據(jù)點坐特點及正方形的判定得出四邊形O3EC為

正方形,E(6,6),連接AE,交BC于點D,由對稱性,國,此時口。+|必有最小值為AE的長,再

由勾股定理求解即可;

【詳解】(1)解:由題意可知,設拋物線的表達式為y=a(尤+2)(尤-6),

將(0,6)代入上式得:6=?(0+2)(0-6),

a=—1

2

所以拋物線的表達式為y=-?2+2x+6;

(2)作點。關于直線的對稱點E,連接EC、EB,

???3(6,0),C(0,6),ZBOC=90°,

:.OB=OC=6,

:O、E關于直線BC對稱,

.,?四邊形O3EC為正方形,

19

E(6,6),

連接AE,交BC于點D,由對稱性|DE|=|DO|,

此時QO|+|「闡有最小值為AE的長,

AE=yjAB2+BE2=V82+62=10

,?△AOD的周長為D4+DO+AO,

AO=2,D4+DO的最小值為10,

△AOZ)的周長的最小值為10+2=12;

4.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖,拋物線>=-尤2+云+,經(jīng)過4—1℃(0,3)兩點,并交x軸于另一點8,

直線AM與軸交于點D

(1)求該拋物線的表達式;

⑵若點反是x軸上一動點,分別連接MH,DH,求+的最小值;

【分析】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;

(2)作點。關于x軸的對稱點連接DM,DM與無軸的交點即為點進而得到MW+O〃的最小值

為。的長,利用兩點間距離公式進行求解即可;

【詳解】(1)解::?拋物線產(chǎn)-爐+帆+c經(jīng)過A(T0),C(0,3)兩點,

20

-l-b+c=Ob=2

0,解得:

c=3c=3

?9y=—無2+2x+3;

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

AM(1,4),

設直線AAf:y=kx+m(k^O),

-k+m=Qk=2

則:,解得:

k+m=4m=2

/.AM:y=2x+2,

當x=0時,y=2,

/.D(0,2);

作點D關于x軸的對稱點£(我連接DM,

則:。(0,-2),MH+DH^MH+UH>iyM,

.?.當三點共線時,MH+DH有最小值為。”的長,

2),“(1,4),

/.D'M=JF+(4+2)2=屈,

即:+的最小值為:而';

5.如圖,已知拋物線>=以2+法-6與x軸的交點A(-3,0),B(1,0),與y軸的交點是點C.

21

(1)求拋物線的解析式;

⑵點P是拋物線對稱軸上一點,當PB+PC的值最小時,求點P的坐標;

(3)點/在拋物線上運動,點N在y軸上運動,是否存在點N,使得NCMN=90。且以點C,M,N為頂

點的三角形與“MC相似?若存在,求出點M和點N的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)>=2一+叔-6

(2)P(-1,-4)

17)或MTV-?)?

(3)M(-1,-8),N(0,--,N(0,

【分析】(1)將A(-3,0),B(1,0)代入y="2+6無一6,求出a和b即可;

(2)根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知足4=尸3,即尸8+尸。=%+「。24。,即AC與對稱軸的交點即為點尸,根據(jù)

拋物線求出C點坐標,從而可求出AC的直線解析式,從而即可求出點尸的坐標;

(3)設M點的坐標為(t,2t2+4t-6),分f>0和r<0討論,當K0時,分^CMN^/XAOC

進行討論,當>0時,不存在符合的點.

【詳解】(1)解:將A(-3,0),B(1,0)代入y=a%2+6x-6,得:

J0=<IX(-3)2+Z?X(-3)-6

?0-axl2+bxl-6'

:?拋物線的解析式為y=2f+4x-6;

(2)解:?..點P是拋物線對稱軸上一點,

/.PA=PB,

22

???PB+PC=PA+PC>AC,

???連接AC,AC與對稱軸的交點即為點尸,如圖.

AC(O,-6),

設直線AC的解析式為y=kx+b{kw0),

Q=-3k+b

—6=b

\k=—2

解得:

b=-69

?,?直線AC的解析式為y=-2x-6.

4

???拋物線對稱軸為x=---=-1

zxz

???對于y=_2x_6,

令產(chǎn)一1,貝!Jy=-2X(-1)-6=-4,

???P(-1,-4);

(3)解:設M點的坐標為(32/+4/-6),

當點"在點。下方時,過M點作軸于點。,

當時,ZMCD=ZOCAf

?.?NCMN=NMDN=9U。,

:.ZCMD+ZNMD=ZCMD+ZMCD=90°,

???ZNMD=ZMCD,

:?4CMNS4MDN,

23

AO1

tanZMCD=tanZOCA二tanZDMN=-----=—,

OC2

MDDN1

即nn---=----=-,

CDMD2

CD=2\t\,DN=^\t\,

貝I]OD=OC+CD=|2-+4f-6|,

即6+21|=|2/+取_6|

即6—2/=—2產(chǎn)―4f+6,

解得r=-l,

點M和點N的坐標分別為M(-1,-8),N(0,-5)

當△CMNs/vlOC時,可得co=-;f,

則一一t+6=-2t-4t+6,

2

7

解得,

4

83

點M和點N的坐標分別為N(0,

24

當>0時,沒有符合的點,

)或叫55、

存在點M,N,使得NCMN=90。,點M和點N的坐標分別為M(-l,-8),N(0,T

83

N(0,

8

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題,涉及最短路徑問題,相似三角形問題,整體難度較大.

6.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-/+版+。經(jīng)過點A(4,0)、B(0,4)、C.其對稱軸/交x

軸于點。,交直線AB于點尸,交拋物線于點£.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點尸為直線/上的動點,求仆P8C周長的最小值;

(3)點N為直線AB上的一點(點N不與點尸重合),在拋物線上是否存在一點使以點E、F、N、M為頂

點的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點M的坐標,若不存在,說明理由.

【答案】⑴尸T+3X+4

(2)717+472

⑶存在,(2,0)或(山工一Z±坦)或(上叵,_*1)

242424

25

【分析】(1)把點A(4,0)、B(0,4)代入拋物線y=-N+6x+c中,求得6和c即可;

(2)作點2關于直線/的對稱軸",連接交/于一點尸,點尸即為使APBC周長最小的點,由對稱可

知,PB'=PB,即△P8C周長的最小值為:BC+CB';

(3)設M(如-/+3機+4),①當口為邊時,則EF//MN,則N(m,-m+4),所以NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-

4

(-7/2+4)|=1今5,求出機的值,代入即可;②當為對角線時,EF的中點為3(;,3U5),由中點坐標公式

428

19

可求得點N的坐標,再由點N是直線AB上一點,可知-3+〃2+4=;層-3優(yōu)+不,解得加的值即可.

4

【詳解】(1)解:把點A(4,0)、B(0,4)代入拋物線y=-N+bx+c中,

「一16+4b+c=0(b—3

得,“,解得小

[c=4[c=4

拋物線的解析式為:y=-x?+3x+4;

3

(2)解:由拋物線解析式可知,對稱軸直線/:x=|,

;點A(4,0),

.?.點C(-1,0),

如圖,作點B關于直線/的對稱軸〃,連接B'C交/于一點尸,點尸即為使APBC周長最小的點,

此時夕(3,4),

設直線B'C的解析式為y=kx+bi,

[3k+b1=4

jd+4=0

k=l

解得:

4=1

直線9C的解析式為:y=x+l,

把尸|■代入得:y=|+l=j,

:.P

22

;B(0,4),C(-1,0),B'(3,4),

26

BC=衽+42=舊,CB'=43+1)2+不=4V2,

...△PBC周長的最小值為:而'+40;

(3)解:存在,以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點〃的坐標為(:,之)或(1±恒,

242

-2±坦)或(上畫,一1).理由如下:

424

由拋物線解析式可知,E(43,325),

24

VA(4,0)、B(0,4),

直線A8的解析式為:產(chǎn)“+4,

:.F

22

._15

??EF——.

4

設M(m,-m2+3m+4),

①當所為邊時,則EF〃MN,

:?N(m,-m+4),

NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-(-m+4)|=—,

4

3

解得m=1(舍)或|■或4+731^4-731

4+用7+2用)或4-7317-2用

A/(一,(

2

335

②當政為對角線時'"的中點為(5,

???點N的坐標為(3-m,m2-3m+一),

m=—,

綜上,滿足以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為(g,斗)或(出包,「+2庖)

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