中考數(shù)學壓軸題專項突破：將軍飲馬模型（含答案及解析）

將軍飲馬模型

-知識導航

考情分析：:通過全國中考試題分析來看，將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二

問中出現(xiàn)，難度不大，但需要注意對稱點的選擇，動點通常在對稱軸上，而且已

知定點中往往有一個與X軸的交點.

考法主要有以下幾種：1.求取最小值時動點坐標2.求最小值3求三角形或四邊形

周長最小值.

模型一：兩定點一動點

如圖，AB為定點，P為/上動點，求AP+BP最小值

解析：作點A關于直線的對稱點4,連接B4',則府'=①，PA+PB=PA+PB

當4、P、3三點共線的時候，PA'+PB=A'B,此時為最小值（兩點之間線段最短）

B

/

A端點/

:、、、/

____I_____________

1/0折點

I/

A

模型二：一定點兩動點

如圖，P為定點，M、N分別為。4和08上的動點，求△尸跖V周長最小值

解析：分別作點P關于04、。8的對稱點，魁LPMN的周長為PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

當尸'、M、N、P”共線時，△尸周長最小.

模型三：兩定點兩動點

如圖，P、。為兩定點，M、N分別為04、。8上的動點，求四邊形PQMN的最小值.

解析：；PQ是條定線段，

...只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，

分別作點尸、。關于。4、08對稱，

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ',

當P'、M,N、Q'共線時，四邊形PMNQ的周長最小。

2

模型四：一定點兩動點

如圖，P為定點，M、N分別為。4、OB上的動點、,求尸最小值。

解析：作點P關于對稱的點尸'，

PM+MN^P'M+MN,

過點P作0B垂線分別交04、0B于點M,N,

得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）

模型五：將軍飲馬有距離

例一、如圖，4。為定點，B、C為直線/上兩動點，3C為定值，求A3+BC+C。最小值？

*

D

A

BCI

解析：8c為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移AB至CE,則變成求CE+CO的最小值，基本將軍飲馬的模型

例二、如圖，4。為定點，B、C為直線A、/2上兩動點，BCLlx,求A3+3C+CD最小值?

A

B

11

C12

D

解析：3C為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移C。至BE,則變成求A3+3E最小，基本將軍飲馬.

3

二、典例精析

例一：如圖1(注：與圖2完全相同)，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三點.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)P是拋物線對稱軸上的一點，求滿足R4+PC的值為最小的點P坐標(請在圖1中探索)；

【分析】(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得：y=?(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)連接3、C交對稱軸于點尸，此時上4+尸。的值為最小，即可求解；

【解答】解：(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得：y=a(x-V)(x-5')=a(x2-6x+5),

4

貝！)5々=4,解得：a=-f

拋物線的表達式為：y=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函數(shù)的對稱軸為：x=3,頂點坐標為(3,-1)；

(2)連接3、C交對稱軸于點P,此時PA+PC的值為最小，

將點3、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：>=區(qū)+6得：

k—__

解得：5，

8=4

直線BC的表達式為：y=--x+49

5

當尤=3時，y=->

5

4

故點尸(3,1)；

例二：如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點，拋物線y=-犬+灰+。經(jīng)過點3、c,與

x軸另一交點為A,頂點為O.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在無軸上找一點E,使EC+￡D的值最小，求EC+ED的最小值；

【分析】(D直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點，則點3、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

將點3、C的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點C,連接C。交x軸于點E,則此時EC+ED為最小，即可求解;

【解答】解：(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點，則點3、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

C_Q3/7+r—f)(h=?

將點3、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：，一，解得：一。，

[c=3[c=3

故函數(shù)的表達式為：y=-x2+2x+3,令y=0,則彳=一1或3,故點4-1,0)；

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點CI連接CO交x軸于點E,則此時EC+ED為最小，

函數(shù)頂點。坐標為(1,4),點C(0,-3),

將C\。的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得:

直線。。的表達式為：y=7尤-3,

當y=0時，x=—,

7

5

圖1

故點E(—,0),

貝!IEC+ED的最小值為DC

三、中考真題演練

1.(2023?寧夏?中考真題)如圖，拋物線>=辦2+版+3(。W0)與》軸交于人，8兩點，與，軸交于點C.已

知點A的坐標是(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=l.

(1)直接寫出點B的坐標；

(2)在對稱軸上找一點P,使R4+PC的值最小.求點尸的坐標和24+PC的最小值；

(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點過點M作軸，垂足為N,連接3c交于點Q.依題意

補全圖形，當MQ+應CQ的值最大時，求點M的坐標.

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖，拋物線y=f2+bx+c上的點A,C坐標分別為(0,2),(4,0),拋物線與x軸負半軸交于點8,點、M

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；

(4)將拋物線沿無軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點A,點C的對應點為點C',在拋物線平

移過程中，當M4'+MC'的值最小時，新拋物線的頂點坐標為，M4'+MC的最小值為.

3.(2023?湖南張家界?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)>=內(nèi)2+版+。的圖象與x軸交

于點A(-2,0)和點3(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,6).點。為線段BC上的一動點.

(2)如圖1,求△AOZ)周長的最小值;

4.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線w-f+bx+c經(jīng)過A(T,0),C(0,3)兩點，并交x軸于另一點2,

點M是拋物線的頂點，直線4M與軸交于點D

備用圖

(1)求該拋物線的表達式;

(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH,DH,求+的最小值；

5.如圖，已知拋物線y=-6與x軸的交點A(-3,0),B(1,0),與y軸的交點是點C.

7

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是拋物線對稱軸上一點，當PB+PC的值最小時，求點P的坐標；

(3)點/在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點N,使得NCMN=90。且以點C，M,N為頂

點的三角形與“MC相似？若存在，求出點M和點N的坐標；若不存在，說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-N+6x+c經(jīng)過點A(4,。)、B(0,4)、C.其對稱軸/交x

軸于點。，交直線于點尸，交拋物線于點￡.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點尸為直線/上的動點，求仆P8C周長的最小值；

(3)點N為直線A8上的一點(點N不與點尸重合)，在拋物線上是否存在一點使以點E、F、N、/為頂

點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由.

7.已知，拋物線y=/+2x-3,與無軸交于A、B兩點、(點A在點B的左側)，交y軸于點C,拋物線的頂

點為點D.

8

(1)求A3的長度和點。的坐標；

(2)在該拋物線的對稱軸上找一點P,求出尸3+PC的值最小時尸點的坐標；

(3)點M是第三象限拋物線上一點，當S-MAC最大時，求點〃的坐標，并求出S’”.的最大值.

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將軍飲馬模型

一、知識導航

考情分析：:通過全國中考試題分析來看，將軍飲馬的模型多出現(xiàn)在中考二次函數(shù)壓軸題第二

問中出現(xiàn)，難度不大，但需要注意對稱點的選擇，動點通常在對稱軸上，而且已

知定點中往往有一個與X軸的交點.

考法主要有以下幾種：1.求取最小值時動點坐標2.求最小值3求三角形或四邊形

周長最小值.

模型一：兩定點一動點

如圖，為定點，P為/上動點，求AP+BP最小值

解析：作點A關于直線的對稱點A連接PA',則PA'=PA,所以PA+PB=PA+PB

當A'、P、8三點共線的時候，PA'+PB=A'B,此時為最小值（兩點之間線段最短）

B

/

A端點/

\~*——

1/'尸折點

A

10

模型二：一定點兩動點

如圖，P為定點，M,N分別為。4和08上的動點，求周長最小值

解析：分別作點尸關于。4、08的對稱點，時APMN的局長為PM+MN+NP=P'M+MN+NP”,

當P、M.N、P”共線時，周長最小.

模型三：兩定點兩動點

如圖，尸、。為兩定點，M、N分別為。4、。8上的動點，求四邊形尸QMN的最小值.

解析：:PQ是條定線段，

,只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，

分別作點P、Q關于。4、08對稱，

PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ,

當尸、M,N、Q'共線時，四邊形PMN。的周長最小。

模型四：一定點兩動點

如圖，P為定點，M.N分別為0A、08上的動點，求PM+MV最小值。

解析：作點P關于0A對稱的點P',

PM+MN^P'M+MN,

過點尸作0B垂線分別交。4、0B于點M、N,

得PM+MV最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）

模型五：將軍飲馬有距離

例一、如圖，4。為定點，B、C為直線/上兩動點，BC為定值，求A3+BC+C。最小值？

*

D

A

BCI

解析：3C為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移A3至CE,則變成求CE+CD的最小值，基本將軍飲馬的模型

例二、如圖，4。為定點，B、C為直線6、，2上兩動點，BCl/i,求A3+BC+CD最小值?

A

B

11

C12

*

D

解析：8c為定值，只需求AB+C。最小即可；

平移至BE,則變成求A3+3E最小，基本將軍飲馬.

二、典例精析

12

例一：如圖1(注：與圖2完全相同)，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點4(1,0)、3(5,0)、CQ4)三點.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)P是拋物線對稱軸上的一點，求滿足R1+PC的值為最小的點P坐標(請在圖1中探索);

【分析】(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得：y=a(x-lXx-5)=a(x2-6x+5),即可求解;

(2)連接3、C交對稱軸于點尸，此時R4+PC的值為最小，即可求解；

【解答】解：(1)將點A、3的坐標代入二次函數(shù)表達式得：y=a(x-l)(x-5)=a(x2-6x+5),

4

貝!)5a=4,解得：a=—f

5

拋物線的表達式為：j=|(x2-6x+5)=|x2-yx+4,函數(shù)的對稱軸為：x=3,頂點坐標為(3,-1)；

(2)連接3、C交對稱軸于點尸，此時R4+PC的值為最小,

將點3、C的坐標代入一次函數(shù)表達式:y=fcr+b得:

解得：5，

b=4

直線3c的表達式為：y=--x+4,

5

當x=3時，y=->

5

故點P(3,|)；

13

例二：如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點，拋物線＞=-/+云+。經(jīng)過點3、c,與

x軸另一交點為A,頂點為￡).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上找一點E,使EC+ED的值最小，求EC+RD的最小值;

【分析】(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點，則點3、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

將點3、C的坐標代入二次函數(shù)表達式，即可求解；

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點CI連接CO交x軸于點E,則此時EC+田為最小，即可求解;

【解答】解：(1)直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于3、C兩點，則點8、C的坐標分別為(3,0)、(0,3),

[—Q「一

將點5、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：一,解得:

故函數(shù)的表達式為：y=-x2+2x+3,令y=0,則x=—1或3,故點A(-l,0)；

(2)如圖1,作點C關于x軸的對稱點C，，連接交x軸于點E,則此時EC+ED為最小,

函數(shù)頂點。坐標為(1,4),點C(0,-3),

將C、。的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得:

直線CD的表達式為：y=7x-3,

當)=0時，A：=—,

故點石弓，0),

圖1

14

則EC+ED的最小值為DC=Jl+(4+3)2=50；

三、中考真題演練

1.（2023?寧夏?中考真題）如圖，拋物線丁=0?+法+3（。工0）與》軸交于人，6兩點，與,軸交于點C.已

知點A的坐標是（-1,0）,拋物線的對稱軸是直線x=l.

備用圖

（1）直接寫出點3的坐標;

⑵在對稱軸上找一點尸，使B4+PC的值最小.求點尸的坐標和B4+PC的最小值;

（3）第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點過點M作軸，垂足為N,連接BC交MN于點Q.依題意

補全圖形，當MQ+后。的值最大時，求點M的坐標.

【答案】（1）（3,0）

（2）點P（l,2）,PA+PC的最小值為3也

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱性，進行求解即可；

（2）根據(jù)拋物線的對稱性，得到=得到當尸,3,C三點共線時，Bl+PC的值最小，

為3c的長，求出直線8C的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點尸的坐標，兩點間的距離公式求出3C的

長，即為R4+PC的最小值；

【詳解】（1）解：：點A（-l,0）關于對稱軸的對稱點為點3,對稱軸為直線x=l,

六點6為（3,0）；

（2）當x=0時，＞=3,

???C（0,3）,

連接3C,

15

VB(3,0),

?>-BC=^32+32=372-

:點A關于對稱軸的對稱點為點B，

：.PA+PC=PB+PC>BC,

.?.當P,2,C三點共線時，9+PC的值最小，為8C的長,

設直線BC的解析式為：y=kx+n,

n=3n=3

則:。'解得:

3"k=一1'

y—~x+3,

??,點尸在拋物線的對稱軸上,

??/(1,2)；

點尸(1,2),24+PC的最小值為3拒;

2.(2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與探究

如圖，拋物線y=-f+bx+c上的點A,C坐標分別為(0,2),(4.0),拋物線與x軸負半軸交于點8,點、M

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；

(4)將拋物線沿無軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點A,點C的對應點為點C',在拋物線平

移過程中，當M4'+MC的值最小時，新拋物線的頂點坐標為,M4'+MC的最小值為.

16

【分析】（1）根據(jù)點M在y軸負半軸且OM=2可得點M的坐標為加（0,-2）,利用待定系數(shù)法可得拋物線

7

的解析式為y=-x1+—x+2；

（4）設拋物線沿x軸的負方向平移機個單位長度得到新拋物線，將點M右平移機個單位長度得到點

由平移的性質(zhì)可知，MA^M'A,MC'=M'C,的值最小就是MA+MC最小值，作出點C關于直

線產(chǎn)-2對稱的對稱點C",連接AC"交直線尸-2于點連接M'C則此時"A+M'C取得最小值，即為

AC"的長度，利用兩點間的距離公式求這個長度，用待定系數(shù)法求出直線AC"的解析式，從而確定〃'的坐

標，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點式，從而得到其頂點，繼而確定新拋物線的頂點.

【詳解】（1）解：：點M在y軸負半軸且31=2,

M（0,-2）

將4（0,2）,C（4,0）代入y=_Y+灰+c,得

Jc=2

[-16+4b+c=0

\=l

解得＜b2

c=2

7

.??拋物線的解析式為y=-x2+-x+2

（4）Hl為，2岳,

補充求解過程如下：

設拋物線沿X軸的負方向平移機個單位長度得到新拋物線,

將點M向右平移機個單位長度得到點AT,作出圖形如下:

由平移的性質(zhì)可知，MA=M'A,MC'=M'C,

：.MA+MC的值最小就是MA+M'C最小值,

顯然點在直線產(chǎn)-2上運用,

17

作出點C關于直線廠-2對稱的對稱點c",連接AC〃交直線產(chǎn)-2于點,連接M'c則此時MA+M'C取

得最小值，即為AC"的長度，

:點C關于直線產(chǎn)-2對稱的對稱的點是點C〃，C(4,0)

22

{MA!+=(M'A+M'C)mm=AC"=^(4-0)+(-4-2)=2屈,

設直線AC"的解析式是：y=kxx+b,

仿=2

將點A(0,2)，C"(4,T)代入得：'

I/v|I

k=--

解得：1x2

b\=2

3

直線AC〃的解析式是：y=-|x+2

令丁=-5%+2=-2,解得：x=-,

??.“[IT，

平移的距離是機=|

▽27(7丫，81

?y=—xH-x+2=—x—H---->

214)16

???平移前的拋物線的坐標是倍，整〕

[416；

(QQQ1A(1181、

.?.新拋物線的頂點坐標為gp

(4316yI1216J

上……(1181)「

故答案是：|-R，/|,2A/13.

I"167

【點睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何變換綜合，二次函數(shù)與

相似三角形綜合，最短路徑問題，三角形面積公式等知識，難度較大，綜合性大，作出輔助線和掌握轉(zhuǎn)換

18

思想是解題的關鍵，第二問的解題技巧是使用鉛錘公式計算面積，第三問的技巧是轉(zhuǎn)化成直角三角形的討

論問題，如果直接按相似討論，則有四種情況，可以降低分類討論的種類，第四問的技巧，是將點M向反

方向移動，從而將兩個動點轉(zhuǎn)化成一個動點來解決.

3.（2023?湖南張家界?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，己知二次函數(shù)yuaY+bx+c的圖象與無軸交

于點4（-2,0）和點3（6,0）兩點，與y軸交于點C（0,6）.點。為線段上的一動點.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1,求△AOD周長的最小值；

【分析】（1）根據(jù)題意設拋物線的表達式為y=a（x+2）（x-6）,將（0,6）代入求解即可；

（2）作點。關于直線的對稱點E,連接EC、EB,根據(jù)點坐特點及正方形的判定得出四邊形O3EC為

正方形，E（6,6）,連接AE,交BC于點D,由對稱性，國,此時口。+|必有最小值為AE的長，再

由勾股定理求解即可；

【詳解】（1）解：由題意可知，設拋物線的表達式為y=a（尤+2）（尤-6）,

將（0,6）代入上式得：6=?（0+2）（0-6）,

a=—1

2

所以拋物線的表達式為y=-?2+2x+6；

（2）作點。關于直線的對稱點E,連接EC、EB,

???3（6,0）,C（0,6）,ZBOC=90°,

：.OB=OC=6,

：O、E關于直線BC對稱，

.,?四邊形O3EC為正方形，

19

E(6,6),

連接AE,交BC于點D,由對稱性|DE|=|DO|,

此時QO|+|「闡有最小值為AE的長，

AE=yjAB2+BE2=V82+62=10

,?△AOD的周長為D4+DO+AO,

AO=2,D4+DO的最小值為10,

△AOZ)的周長的最小值為10+2=12；

4.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線>=-尤2+云+，經(jīng)過4—1℃(0,3)兩點，并交x軸于另一點8,

直線AM與軸交于點D

(1)求該拋物線的表達式;

⑵若點反是x軸上一動點，分別連接MH,DH,求+的最小值;

【分析】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)作點。關于x軸的對稱點連接DM,DM與無軸的交點即為點進而得到MW+O〃的最小值

為。的長，利用兩點間距離公式進行求解即可；

【詳解】(1)解：:?拋物線產(chǎn)-爐+帆+c經(jīng)過A(T0),C(0,3)兩點,

20

-l-b+c=Ob=2

0,解得:

c=3c=3

?9y=—無2+2x+3；

(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

AM(1,4),

設直線AAf:y=kx+m(k^O),

-k+m=Qk=2

則:，解得:

k+m=4m=2

/.AM:y=2x+2,

當x=0時，y=2,

/.D(0,2)；

作點D關于x軸的對稱點￡(我連接DM,

則：。(0,-2),MH+DH^MH+UH>iyM,

.?.當三點共線時，MH+DH有最小值為。”的長,

2),“(1,4),

/.D'M=JF+(4+2)2=屈,

即：+的最小值為：而'；

5.如圖，已知拋物線>=以2+法-6與x軸的交點A(-3,0),B(1,0),與y軸的交點是點C.

21

(1)求拋物線的解析式;

⑵點P是拋物線對稱軸上一點，當PB+PC的值最小時，求點P的坐標;

(3)點/在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點N,使得NCMN=90。且以點C，M,N為頂

點的三角形與“MC相似？若存在，求出點M和點N的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】(1)>=2一+叔-6

(2)P(-1,-4)

17)或MTV-?)?

(3)M(-1,-8),N(0,--,N(0,

【分析】(1)將A(-3,0),B(1,0)代入y="2+6無一6,求出a和b即可；

(2)根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知足4=尸3,即尸8+尸。=%+「。24。，即AC與對稱軸的交點即為點尸，根據(jù)

拋物線求出C點坐標，從而可求出AC的直線解析式，從而即可求出點尸的坐標；

(3)設M點的坐標為(t,2t2+4t-6)，分f>0和r<0討論，當K0時，分^CMN^/XAOC

進行討論，當>0時，不存在符合的點.

【詳解】(1)解：將A(-3,0),B(1,0)代入y=a%2+6x-6,得：

J0=<IX(-3)2+Z?X(-3)-6

?0-axl2+bxl-6'

:?拋物線的解析式為y=2f+4x-6；

(2)解：?..點P是拋物線對稱軸上一點,

/.PA=PB,

22

???PB+PC=PA+PC>AC,

???連接AC,AC與對稱軸的交點即為點尸，如圖.

AC(O,-6),

設直線AC的解析式為y=kx+b{kw0),

Q=-3k+b

—6=b

\k=—2

解得:

b=-69

?,?直線AC的解析式為y=-2x-6.

4

???拋物線對稱軸為x=---=-1

zxz

???對于y=_2x_6,

令產(chǎn)一1,貝!Jy=-2X(-1)-6=-4,

???P(-1,-4)；

(3)解：設M點的坐標為(32/+4/-6),

當點"在點。下方時，過M點作軸于點。,

當時，ZMCD=ZOCAf

?.?NCMN=NMDN=9U。,

：.ZCMD+ZNMD=ZCMD+ZMCD=90°,

???ZNMD=ZMCD,

：?4CMNS4MDN,

23

AO1

tanZMCD=tanZOCA二tanZDMN=-----=—,

OC2

MDDN1

即nn---=----=-，

CDMD2

CD=2\t\,DN=^\t\,

貝I]OD=OC+CD=|2-+4f-6|,

即6+21|=|2/+取_6|

即6—2/=—2產(chǎn)―4f+6,

解得r=-l,

點M和點N的坐標分別為M(-1,-8),N(0,-5)

當△CMNs/vlOC時，可得co=-；f,

1°

則一一t+6=-2t-4t+6,

2

7

解得,

4

83

點M和點N的坐標分別為N(0,

24

當＞0時，沒有符合的點,

)或叫55、

存在點M,N,使得NCMN=90。，點M和點N的坐標分別為M(-l,-8),N(0,T

83

N(0,

8

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及最短路徑問題，相似三角形問題，整體難度較大.

6.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+版+。經(jīng)過點A(4,0)、B(0,4)、C.其對稱軸/交x

軸于點。，交直線AB于點尸，交拋物線于點￡.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為直線/上的動點，求仆P8C周長的最小值；

(3)點N為直線AB上的一點(點N不與點尸重合)，在拋物線上是否存在一點使以點E、F、N、M為頂

點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由.

【答案】⑴尸T+3X+4

(2)717+472

⑶存在，(2,0)或(山工一Z±坦)或(上叵，_*1)

242424

25

【分析】(1)把點A(4,0)、B(0,4)代入拋物線y=-N+6x+c中，求得6和c即可；

(2)作點2關于直線/的對稱軸"，連接交/于一點尸，點尸即為使APBC周長最小的點，由對稱可

知，PB'=PB,即△P8C周長的最小值為：BC+CB'；

(3)設M(如-/+3機+4),①當口為邊時，則EF//MN,則N(m,-m+4),所以NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-

4

(-7/2+4)|=1今5，求出機的值，代入即可；②當為對角線時，EF的中點為3(;，3U5),由中點坐標公式

428

19

可求得點N的坐標，再由點N是直線AB上一點，可知-3+〃2+4=;層-3優(yōu)+不，解得加的值即可.

4

【詳解】(1)解：把點A(4,0)、B(0,4)代入拋物線y=-N+bx+c中，

「一16+4b+c=0(b—3

得，“，解得小

[c=4[c=4

拋物線的解析式為：y=-x?+3x+4；

3

(2)解：由拋物線解析式可知，對稱軸直線/：x=|,

;點A(4,0),

.?.點C(-1,0),

如圖，作點B關于直線/的對稱軸〃，連接B'C交/于一點尸，點尸即為使APBC周長最小的點,

此時夕(3,4),

設直線B'C的解析式為y=kx+bi,

[3k+b1=4

jd+4=0

k=l

解得:

4=1

直線9C的解析式為：y=x+l,

把尸|■代入得：y=|+l=j,

：.P

22

；B(0,4),C(-1,0),B'(3,4),

26

BC=衽+42=舊，CB'=43+1）2+不=4V2，

...△PBC周長的最小值為：而'+40;

（3）解：存在，以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點〃的坐標為（：，之）或（1±恒,

242

-2±坦）或（上畫，一1）.理由如下：

424

由拋物線解析式可知，E（43，325），

24

VA（4,0）、B（0,4）,

直線A8的解析式為：產(chǎn)“+4,

：.F

22

._15

??EF——.

4

設M（m,-m2+3m+4）,

①當所為邊時，則EF〃MN,

:?N（m,-m+4）,

NM=EF=—,BP|-m2+3m+4-（-m+4）|=—,

4

3

解得m=1（舍）或|■或4+731^4-731

4+用7+2用）或4-7317-2用

A/（一,（

2

335

②當政為對角線時'"的中點為（5,

???點N的坐標為（3-m,m2-3m+一）,

m=—，

綜上，滿足以點E、F、N、M為頂點的四邊形為平行四邊形的點M的坐標為（g，斗）或（出包,「+2庖）