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文檔簡(jiǎn)介
題型十二一線三等角模型
【要點(diǎn)提煉】
一、【認(rèn)識(shí)一線三等角模型】
一線三等角模型顧名思義,即在一條直線上有三個(gè)相等的角,就可稱為一線三等角模型,按角的大
小可分為:銳角型、直角型、鈍角型
二、【一線三等角模型的重要結(jié)論】如上圖1
①ABDE?ACEF
證明::/I+/4=180°-ZD
Zl+Z2=180°-ZDEF
ZD=ZDEF
?-■Zl+Z4=Zl+Z2
.-?Z4=Z2
???ZB=ZC
ABDE-ACEF
…BDBEDE
②法—CF-FF
VABDE-ACEF
.BD_BE_DE
,,EC-CF-FE
三、【特殊情況下的一線三等角模型】
①全等型一線三等角
注意:一線三等角模型只有在對(duì)應(yīng)邊相等的情況下才能全等,不能隨意理解為只要兩個(gè)邊相等就能
全等
②中點(diǎn)型一線三等角模型
當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí),圖形除了原本的結(jié)論還有新的結(jié)論可以得到,而該情況較??嫉?,因此可以作為
模型記下來(lái),證明過(guò)程如下
由ABDE?ACFD
,EDEB
得------
FDDC
為BC中點(diǎn)
BD=CD
.ED_EB
"FD~BD
又:/EBD=NEDF
.?.△BDE?ACFD?ADFE
;./4=Z5
即ED為N為F的平分線
③不在同一側(cè)的一線三等角模型
下圖中,直線AP上也有三個(gè)等角,但三個(gè)角不在直線AP的同一側(cè),此時(shí)是比較特殊的一線三等角
模型,也可證明兩三角形相似
證明::N1+N2=NDBA
Z2+Z3=ZDPC
ZDBA=ZDPC
.*.Z1+Z2=Z2+Z3
.-.Z1=Z3
???ZDBA=ZCAQ
JNDBP=NCAP
???△DBP?APAC
四、【構(gòu)造一線三等角模型】
①已知一線二等角-補(bǔ)一等角-構(gòu)成一線三等角
②已知一線特殊角-補(bǔ)二等角-構(gòu)成一線三等角
(如下圖)
135°
BC
【專題訓(xùn)練】
一.選擇題(共1小題)
1.已知△ABC,AC=BC,ZC=120°,邊長(zhǎng)AC=10,點(diǎn)。在AC上,且A£>=6,點(diǎn)E是AB上一
動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)。E,將線段。E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段。R要使點(diǎn)尸恰好落在8c上,則
AE的長(zhǎng)是()
A.4+4遮B.6V3C.4V3D.4+2V3
【答案】A
【解析】解:如圖,延長(zhǎng)OC到G,使。G=AE,連接FG,
G
':AC=BC,NC=120°,
/.ZA=30°,ZFCG=60",
?:ZA+Z1=ZEDF+Z2,
又30°,
.\Z1=Z2,
在和△。/G中,
AE=GD
z.1=z.2,
ED=DF
:.AEDA^ADFG(SAS),
:.AD=GF=6,NA=NG=30°
VZG+ZFCG=90°,
:.ZCFG=90°,
設(shè)CF=x,則CG=2x,由CF2+FG2=CG2^:
X2+62=(2X)2,
解得了1=2必,X2=-2V3(不合題意舍去),
CG=4V3,
.,.AE=£)G=4+4同
故選:A.
二.填空題(共3小題)
2.(2020?牡丹江)如圖,在Rt^ABC中,CA=CB,M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)。在上,AE±CD,
BFLCD,垂足分別為E,F,連接EM.則下列結(jié)論中:
①BF=CE;
②/AEM=/DEM;
(3)AE-CE=&ME;
@DE1+DF2=2DM2;
⑤若AE平分/8AC,貝UEF:BF=V2:1;
⑥CF-DM=BM?DE,
正確的有①②⑶⑷⑸⑹.(只填序號(hào))
【答案】①②③④⑤⑥
【解析】解:;/ACB=90°,
:.ZBCF+ZACE^90°,
":ZBCF+ZCBF=90°,
:.ZACE=ZCBF,
又:/8尸。=90°=NAEC,AC=BC,
:./\BCF^/\CAEG4AS),
:.BF=CE,故①正確;
由全等可得:AE=CF,BF=CE,
:.AE-CE=CF-CE=EF,
連接F7W,CM,
丁點(diǎn)M是AB中點(diǎn),
:.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,
在△BDF和△COM中,ZBFD=ZCMD,/BDF=/CDM,
:.ZDBF=ZDCM,
又BM=CM,BF=CE,
:.ABFM^ACEM(SAS),
/.FM—EM,ZBMF=ZCME,
VZBMC=90°,
:.ZEMF=90°,即△£〃方為等腰直角三角形,
:.EF=V2EM=AE-CE,故③正確,ZMEF=ZMFE=45°,
VZAEC=90°,
:.ZMEF=ZAEM=45°,故②正確,
設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N,連接。N,
VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45
:.叢DFM%ANEM(.ASA),
:.DF=EN,DM=MN,
...△OWN為等腰直角三角形,
:.DN=y/2DM,而/DEA=90°,
DE^+DF2=DN2=2DM2,故④正確;
?:AC=BC,ZACB=9Q°,
.,.ZCAB=45°,
平分/3AC,
:.ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,
■:ZDEM=45°,
:.ZEMD=6T.5°,BPDE=EM,
':AE=AE,ZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,
△ADE^AACE(ASA),
DE=CE,
△MEF為等腰直角三角形,
EF=y[2EM,
EFEFEFy/2EM、一?“
而=H=耘=b=Wr'故⑤正確;
ZCDM=ZADE,ZCMD=ZAED=9Q°,
LCDMS^ADE,
CDCMDM
AD~AE~DE'
BM=CM,AE=CF,
BMDM
CF-DE'
CF,DM=BM,DE,故⑥正確;
故答案為:①②③④⑤⑥.
3.(2020?咸寧)如圖,四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C
重合),ZAEF=90°,且跖交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)R交C。于點(diǎn)G,連接AF,有下
列結(jié)論:
①△ABEs^ECG;
②AE=EF;
(3)ZDAF=ZCFE;
④的面積的最大值為1.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②⑶.(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
【答案】①②③
【解析】解:①???四邊形A5CD是正方形,
:?NB=NECG=90°,
VZAEF=90°,
:./AEB+NCEG=AAEB+ABAE,
:?/BAE=/CEG,
:.AABE^AECG,
故①正確;
②在BA上截取BM=BE,如圖1,
圖1
???四邊形A5CO為正方形,
:.ZB=90°,BA=BC,
???ABEM為等腰直角三角形,
:.ZBME=45°,
AZAME=135°,
■:BA-BM=BC-BE,
:.AM=CE,
???c/為正方形外角平分線,
.-.Z£>CF=45°,
?'?NEC尸=135°,
VZAEF=90°,
AZAEB+ZFEC=90°,
而NAE8+N3AE=90°,
:?/BAE=/FEC,
在和尸中
Z.MAE=乙CEF
AM=EC,
^AME=乙ECF
:.△AM%AECF(ASA),
:.AE=EF,
故②正確;
@U:AE=EF,ZAEF=90°,
:.ZEAF=45°,
:.ZBAE+ZDAF=45°,
ZBAE+ZCFE=ZCEF+ZCFE=45°,
:?NDAF=NCFE,
故③正確;
④設(shè)3£*=羽則AM=AB-BM=2-x,
1i2i
S^ECF=S^AME=^=一)(X-1)+彳
1
當(dāng)X=1時(shí),Sz^ECF有最大值5,
故④錯(cuò)誤.
故答案為:①②③.
4.(2019?臺(tái)州)如圖,直線人〃/2〃/3,A,B,C分別為直線/1,/2,/3上的動(dòng)點(diǎn),連接AB,BC,
AC,線段AC交直線/2于點(diǎn)D設(shè)直線A,/2之間的距離為〃3直線/2,/3之間的距離為“,若/
【答案】y
【解析】解:延長(zhǎng)AB交/3于月
m2
n3,
口心DBm
易知—=----,
CEm+n
VBD=4,
:.CE=10f
VZABC=90°,
:.ZCBE=90°,
設(shè)m~2jCiw=3x.
構(gòu)造以CE為直徑的半圓,則點(diǎn)8在其弧上運(yùn)動(dòng),易知BGW"G'=5,
即3xW5,
525
?'?x<m+n—5x<-5-,
25
m+n的最大值為三.
故答案為:V
三.解答題(共6小題)
5.(2020?宿遷)【感知】如圖①,在四邊形ABC。中,/C=NZ)=90°,點(diǎn)E在邊C。上,ZAEB
」、一AEDE
=90°,求證:—=--
EBCB
【探究】如圖②,在四邊形A8C。中,NC=/A£>C=90°,點(diǎn)E在邊C。上,點(diǎn)尸在邊A。的
EFAE
延長(zhǎng)線上,ZFEG=ZAEB=90°,且一=一,連接BG交CD于點(diǎn)
EGEB
求證:BH=GH.
4EDE
【拓展】如圖③,點(diǎn)E在四邊形ABC。內(nèi),ZAEB+ZDEC=1SO°,且一=—,過(guò)E作所交
EBEC
AO于點(diǎn)尸,若/EFA=NAEB,延長(zhǎng)在交5C于點(diǎn)G,求證:BG=CG
圖①圖②圖③
【解析】【感知】證明:,??NC=NO=NAEB=90°,
???ZBEC+ZAED=ZAED+ZEAD=90°,
JZBEC=ZEAD,
:.RtAAED^RtAEBC,
.AEDE
??EB-CB'
EFDE
【探究】證明:如圖1,過(guò)點(diǎn)G作GMLCO于點(diǎn)由(1)可知一=—,
EGGM
?EG-EB'EB-CB'
.DE_DE
?'GM~CB'
:?BC=GM,
又?..NC=NGM〃=90°,ZCHB=ZMHG,
:?△BCHQAGMH(A4S),
:?BH=GH,
【拓展】證明:如圖2,在EG上取點(diǎn)M,使NBME=NAFE,
過(guò)點(diǎn)。作CN〃BM,交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則NN=NBMG,
VZEAF+ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZAEB+ZBEM=180°,/EFA=NAEB,
:.ZEAF=/BEM,
:.MAEFsMEBM,
.AEEF
"BE-BM1
VZAEB+ZZ)EC=180°,/EFA+/DEE=180°,
而NEM=/AEB,
:?NCED=NEFD,
VZBMG+ZBME=1SO°,
:./N=/EFD,
':/EFD+/EDF+/FED=NFED+/DEC+NCEN=180°,
???ZEDF=/CEN,
:.△DEFs/\ECN,
?DEEF
??—,
ECCN
「AEDE
又■:--=---,
EBEC
.EF_EF
?,BM-CN'
:?BM=CN,
又,:NN=/BMG,ZBGM=ZCGN,
:,ABGMm叢CGN(AAS),
:.BG=CG.
6.(2020?雅安)如圖,已知邊長(zhǎng)為10的正方形A3CO,E是邊上一動(dòng)點(diǎn)(與8、。不重合),
連接AE,G是延長(zhǎng)線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交NOCG的角平分線于點(diǎn)F,若FG1BG.
(1)求證:XABEsMEGF:
(2)若EC=2,求△CEF的面積;
(3)請(qǐng)直接寫出EC為何值時(shí),ACE尸的面積最大.
【解析】解:(1)???四邊形A8CO是正方形,EF±AE,
:.ZB=ZG=ZAEF=90°,
AZBAE+ZAEB=90°,NAEB+/FEG=90°,
:?NBAE=/FEG,
???NB=NG=90°,
:.△BAES^GEF;
(2)VAB=BC=10,CE=2,
:.BE=8f
:?FG=CG,
:?EG=CE+CG=2+FG,
由(1)知,ABAEsAGEF,
?_ABBE
??—,
EGFG
■I。8
"2+FG-FG"
:.FG=S,
11
:.SAECF=2CE*FG=2x2X8=8;
(3)設(shè)CE=x,JOE=10-x,
:.EG=CE+CG=x+FG,
由(1)知,ABAEsAGEF,
ABBE
?t?—,
EGFG
1010-x
x+FGFG
:.FG=W-X9
IIi-102s
:.S^ECF=xCEXFG=1Xx<10-x)=-^(x2-10%)=(x-5)2+芋
26
當(dāng)X=5時(shí),SAECF最大=-y.
7.(2020?長(zhǎng)沙)在矩形ABC。中,E為OC邊上一點(diǎn),把△AOE沿AE翻折,使點(diǎn)。恰好落在3C
邊上的點(diǎn)F.
(1)求證:AABFs4FCE;
(2)若45=2b,AO=4,求EC的長(zhǎng);
(3)若AE-DE=2EC,記N3AF=a,ZME=P,求tana+tan0的值.
________________、D
【解析】(1)證明:??,四邊形ABC。是矩形,
:.ZB=ZC=ZD=90°,
由翻折可知,ZD=ZAFE=90°,
ZAFB+ZEFC=90°,ZEFC+ZCEF=90°,
J/AFB=/FEC,
:.AABF^AFCE.
(2)設(shè)EC=x,
由翻折可知,AD=AF=4,
:.BF=yjAF2-AB2="6-12=2,
:.CF=BC-BF=2f
':AABFsAFCE,
ABBF
2V32
2%
-_2V3
??Fr—3.
(3),:△ABFS/\FCE,
.AFAB
"EF~CF'
.°BF、EFBF.CFBF+CFBC
..tana+tanp=亞+而=而+通=AB=麗’
設(shè)A8=C£)=〃,BC=AD=b,DE=x,
?\AE=DE+2CE=x+2Ca-x)—la-x,
':AD=AF=b,DE=EF=x,NB=NC=ND=90°,
\BF=7b2—十,CF=-yjx2—(a—x)2=V2ax—a2,
:AD1+DE1=AE1,
??廿+/=(2d!-x)2,
*.a2-ax="if2,
??△ABFs^FCE,
?ABBF
*CF~EC
.ay/b2-a2
J%2_(q_%)2a-%,
a2-ax=y/b2—a2>V2ax—a2,
整理得,161-24/。2+9。4=o,
J(4a2-3b2)2=0,
b2V3
a3
8.(2020?懷化)如圖,在。。中,A8為直徑,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),延長(zhǎng)A8到點(diǎn)。,使CO=CA,
且ND=30°.
(1)求證:C。是。。的切線.
(2)分別過(guò)A、8兩點(diǎn)作直線C。的垂線,垂足分別為E、P兩點(diǎn),過(guò)C點(diǎn)作A3的垂線,垂足
為點(diǎn)G.求證:?
【解析】(1)證明:連接0C,如圖所示,
':CA=CD,且/0=30°,
:.ZCAD=ZD=30°,
:OA=OC,
...NCAD=NACO=30°,
AZCOD=ZCAD+ZACO=300+30°=60°,
:.ZOCD=1SO°-ZD-ZC0D=180°-30°-60°=90°,
OC±CD,
.,.CD是。。的切線;
(2)':ZCOB=60°,MOC=OB,
...△OCB為等邊三角形,
AZCBG=60°,
XVCG1AD,
AZCGB=90°,
:.ZGCB=ZCGB-ZCBG=30°,
又?.?/GCZ)=60°,
CB是/GCD的角平分線,
VBF1CD,BGYCG,
:.BF=BG,
又,:BC=BC,
ARtABCG^RtABCF(HL),
:.CF=CG.
VZD=30°,AE±ED,ZAEZ)=90°,
AZEAD=60°,
又:/CAD=30°,
;.AC是/及1G的角平分線,
VCELAE,CG±AB,
:.CE=CG,
VZAEC=ZBFC=90°,ZEAC=30°=/BCF,
:.LAECsACFB,
AECE
:.—=—,即AE-BF=CF'CE,
CFBF
又CE=CG,CF=CG,
:.AE'BF=CG1.
9.(2020?達(dá)州)如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,ZB=90°,AB=6cm,CD=2cm.P為線段
BC上的一動(dòng)點(diǎn),且和2、C不重合,連接力,過(guò)點(diǎn)P作PELE4交射線CD于點(diǎn)E.聰聰根據(jù)學(xué)
習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究:
(1)通過(guò)推理,他發(fā)現(xiàn)請(qǐng)你幫他完成證明.
(2)利用幾何畫(huà)板,他改變BC的長(zhǎng)度,運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P,得到不同位置時(shí),CE、8尸的長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)值:
當(dāng)BC—6cm時(shí),得表1:
BP/cm???12345???
CE/cm???0.831.331.501.330.83???
當(dāng)BC=8c機(jī)時(shí),得表2:
BP/cm???1234567???
CE/cm??.1.172.002.502.672.502.001.17…
這說(shuō)明,點(diǎn)P在線段2C上運(yùn)動(dòng)時(shí),要保證點(diǎn)E總在線段CD上,BC的長(zhǎng)度應(yīng)有一定的限制.
①填空:根據(jù)函數(shù)的定義,我們可以確定,在8P和CE的長(zhǎng)度這兩個(gè)變量中,BP的長(zhǎng)度為
自變量,EC的長(zhǎng)度為因變量:
②設(shè)mcm,當(dāng)點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E總在線段CD上,求機(jī)的取值范圍.
【解析】(1)證明:???A8〃CD,
.\ZB+ZC
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