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文檔簡(jiǎn)介

題型十二一線三等角模型

【要點(diǎn)提煉】

一、【認(rèn)識(shí)一線三等角模型】

一線三等角模型顧名思義,即在一條直線上有三個(gè)相等的角,就可稱為一線三等角模型,按角的大

小可分為:銳角型、直角型、鈍角型

二、【一線三等角模型的重要結(jié)論】如上圖1

①ABDE?ACEF

證明::/I+/4=180°-ZD

Zl+Z2=180°-ZDEF

ZD=ZDEF

?-■Zl+Z4=Zl+Z2

.-?Z4=Z2

???ZB=ZC

ABDE-ACEF

…BDBEDE

②法—CF-FF

VABDE-ACEF

.BD_BE_DE

,,EC-CF-FE

三、【特殊情況下的一線三等角模型】

①全等型一線三等角

注意:一線三等角模型只有在對(duì)應(yīng)邊相等的情況下才能全等,不能隨意理解為只要兩個(gè)邊相等就能

全等

②中點(diǎn)型一線三等角模型

當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí),圖形除了原本的結(jié)論還有新的結(jié)論可以得到,而該情況較??嫉?,因此可以作為

模型記下來(lái),證明過(guò)程如下

由ABDE?ACFD

,EDEB

得------

FDDC

為BC中點(diǎn)

BD=CD

.ED_EB

"FD~BD

又:/EBD=NEDF

.?.△BDE?ACFD?ADFE

;./4=Z5

即ED為N為F的平分線

③不在同一側(cè)的一線三等角模型

下圖中,直線AP上也有三個(gè)等角,但三個(gè)角不在直線AP的同一側(cè),此時(shí)是比較特殊的一線三等角

模型,也可證明兩三角形相似

證明::N1+N2=NDBA

Z2+Z3=ZDPC

ZDBA=ZDPC

.*.Z1+Z2=Z2+Z3

.-.Z1=Z3

???ZDBA=ZCAQ

JNDBP=NCAP

???△DBP?APAC

四、【構(gòu)造一線三等角模型】

①已知一線二等角-補(bǔ)一等角-構(gòu)成一線三等角

②已知一線特殊角-補(bǔ)二等角-構(gòu)成一線三等角

(如下圖)

135°

BC

【專題訓(xùn)練】

一.選擇題(共1小題)

1.已知△ABC,AC=BC,ZC=120°,邊長(zhǎng)AC=10,點(diǎn)。在AC上,且A£>=6,點(diǎn)E是AB上一

動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)。E,將線段。E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段。R要使點(diǎn)尸恰好落在8c上,則

AE的長(zhǎng)是()

A.4+4遮B.6V3C.4V3D.4+2V3

【答案】A

【解析】解:如圖,延長(zhǎng)OC到G,使。G=AE,連接FG,

G

':AC=BC,NC=120°,

/.ZA=30°,ZFCG=60",

?:ZA+Z1=ZEDF+Z2,

又30°,

.\Z1=Z2,

在和△。/G中,

AE=GD

z.1=z.2,

ED=DF

:.AEDA^ADFG(SAS),

:.AD=GF=6,NA=NG=30°

VZG+ZFCG=90°,

:.ZCFG=90°,

設(shè)CF=x,則CG=2x,由CF2+FG2=CG2^:

X2+62=(2X)2,

解得了1=2必,X2=-2V3(不合題意舍去),

CG=4V3,

.,.AE=£)G=4+4同

故選:A.

二.填空題(共3小題)

2.(2020?牡丹江)如圖,在Rt^ABC中,CA=CB,M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)。在上,AE±CD,

BFLCD,垂足分別為E,F,連接EM.則下列結(jié)論中:

①BF=CE;

②/AEM=/DEM;

(3)AE-CE=&ME;

@DE1+DF2=2DM2;

⑤若AE平分/8AC,貝UEF:BF=V2:1;

⑥CF-DM=BM?DE,

正確的有①②⑶⑷⑸⑹.(只填序號(hào))

【答案】①②③④⑤⑥

【解析】解:;/ACB=90°,

:.ZBCF+ZACE^90°,

":ZBCF+ZCBF=90°,

:.ZACE=ZCBF,

又:/8尸。=90°=NAEC,AC=BC,

:./\BCF^/\CAEG4AS),

:.BF=CE,故①正確;

由全等可得:AE=CF,BF=CE,

:.AE-CE=CF-CE=EF,

連接F7W,CM,

丁點(diǎn)M是AB中點(diǎn),

:.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△BDF和△COM中,ZBFD=ZCMD,/BDF=/CDM,

:.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

:.ABFM^ACEM(SAS),

/.FM—EM,ZBMF=ZCME,

VZBMC=90°,

:.ZEMF=90°,即△£〃方為等腰直角三角形,

:.EF=V2EM=AE-CE,故③正確,ZMEF=ZMFE=45°,

VZAEC=90°,

:.ZMEF=ZAEM=45°,故②正確,

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N,連接。N,

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45

:.叢DFM%ANEM(.ASA),

:.DF=EN,DM=MN,

...△OWN為等腰直角三角形,

:.DN=y/2DM,而/DEA=90°,

DE^+DF2=DN2=2DM2,故④正確;

?:AC=BC,ZACB=9Q°,

.,.ZCAB=45°,

平分/3AC,

:.ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

■:ZDEM=45°,

:.ZEMD=6T.5°,BPDE=EM,

':AE=AE,ZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,

△ADE^AACE(ASA),

DE=CE,

△MEF為等腰直角三角形,

EF=y[2EM,

EFEFEFy/2EM、一?“

而=H=耘=b=Wr'故⑤正確;

ZCDM=ZADE,ZCMD=ZAED=9Q°,

LCDMS^ADE,

CDCMDM

AD~AE~DE'

BM=CM,AE=CF,

BMDM

CF-DE'

CF,DM=BM,DE,故⑥正確;

故答案為:①②③④⑤⑥.

3.(2020?咸寧)如圖,四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C

重合),ZAEF=90°,且跖交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)R交C。于點(diǎn)G,連接AF,有下

列結(jié)論:

①△ABEs^ECG;

②AE=EF;

(3)ZDAF=ZCFE;

④的面積的最大值為1.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②⑶.(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

【答案】①②③

【解析】解:①???四邊形A5CD是正方形,

:?NB=NECG=90°,

VZAEF=90°,

:./AEB+NCEG=AAEB+ABAE,

:?/BAE=/CEG,

:.AABE^AECG,

故①正確;

②在BA上截取BM=BE,如圖1,

圖1

???四邊形A5CO為正方形,

:.ZB=90°,BA=BC,

???ABEM為等腰直角三角形,

:.ZBME=45°,

AZAME=135°,

■:BA-BM=BC-BE,

:.AM=CE,

???c/為正方形外角平分線,

.-.Z£>CF=45°,

?'?NEC尸=135°,

VZAEF=90°,

AZAEB+ZFEC=90°,

而NAE8+N3AE=90°,

:?/BAE=/FEC,

在和尸中

Z.MAE=乙CEF

AM=EC,

^AME=乙ECF

:.△AM%AECF(ASA),

:.AE=EF,

故②正確;

@U:AE=EF,ZAEF=90°,

:.ZEAF=45°,

:.ZBAE+ZDAF=45°,

ZBAE+ZCFE=ZCEF+ZCFE=45°,

:?NDAF=NCFE,

故③正確;

④設(shè)3£*=羽則AM=AB-BM=2-x,

1i2i

S^ECF=S^AME=^=一)(X-1)+彳

1

當(dāng)X=1時(shí),Sz^ECF有最大值5,

故④錯(cuò)誤.

故答案為:①②③.

4.(2019?臺(tái)州)如圖,直線人〃/2〃/3,A,B,C分別為直線/1,/2,/3上的動(dòng)點(diǎn),連接AB,BC,

AC,線段AC交直線/2于點(diǎn)D設(shè)直線A,/2之間的距離為〃3直線/2,/3之間的距離為“,若/

【答案】y

【解析】解:延長(zhǎng)AB交/3于月

m2

n3,

口心DBm

易知—=----,

CEm+n

VBD=4,

:.CE=10f

VZABC=90°,

:.ZCBE=90°,

設(shè)m~2jCiw=3x.

構(gòu)造以CE為直徑的半圓,則點(diǎn)8在其弧上運(yùn)動(dòng),易知BGW"G'=5,

即3xW5,

525

?'?x<m+n—5x<-5-,

25

m+n的最大值為三.

故答案為:V

三.解答題(共6小題)

5.(2020?宿遷)【感知】如圖①,在四邊形ABC。中,/C=NZ)=90°,點(diǎn)E在邊C。上,ZAEB

」、一AEDE

=90°,求證:—=--

EBCB

【探究】如圖②,在四邊形A8C。中,NC=/A£>C=90°,點(diǎn)E在邊C。上,點(diǎn)尸在邊A。的

EFAE

延長(zhǎng)線上,ZFEG=ZAEB=90°,且一=一,連接BG交CD于點(diǎn)

EGEB

求證:BH=GH.

4EDE

【拓展】如圖③,點(diǎn)E在四邊形ABC。內(nèi),ZAEB+ZDEC=1SO°,且一=—,過(guò)E作所交

EBEC

AO于點(diǎn)尸,若/EFA=NAEB,延長(zhǎng)在交5C于點(diǎn)G,求證:BG=CG

圖①圖②圖③

【解析】【感知】證明:,??NC=NO=NAEB=90°,

???ZBEC+ZAED=ZAED+ZEAD=90°,

JZBEC=ZEAD,

:.RtAAED^RtAEBC,

.AEDE

??EB-CB'

EFDE

【探究】證明:如圖1,過(guò)點(diǎn)G作GMLCO于點(diǎn)由(1)可知一=—,

EGGM

?EG-EB'EB-CB'

.DE_DE

?'GM~CB'

:?BC=GM,

又?..NC=NGM〃=90°,ZCHB=ZMHG,

:?△BCHQAGMH(A4S),

:?BH=GH,

【拓展】證明:如圖2,在EG上取點(diǎn)M,使NBME=NAFE,

過(guò)點(diǎn)。作CN〃BM,交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則NN=NBMG,

VZEAF+ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZAEB+ZBEM=180°,/EFA=NAEB,

:.ZEAF=/BEM,

:.MAEFsMEBM,

.AEEF

"BE-BM1

VZAEB+ZZ)EC=180°,/EFA+/DEE=180°,

而NEM=/AEB,

:?NCED=NEFD,

VZBMG+ZBME=1SO°,

:./N=/EFD,

':/EFD+/EDF+/FED=NFED+/DEC+NCEN=180°,

???ZEDF=/CEN,

:.△DEFs/\ECN,

?DEEF

??—,

ECCN

「AEDE

又■:--=---,

EBEC

.EF_EF

?,BM-CN'

:?BM=CN,

又,:NN=/BMG,ZBGM=ZCGN,

:,ABGMm叢CGN(AAS),

:.BG=CG.

6.(2020?雅安)如圖,已知邊長(zhǎng)為10的正方形A3CO,E是邊上一動(dòng)點(diǎn)(與8、。不重合),

連接AE,G是延長(zhǎng)線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交NOCG的角平分線于點(diǎn)F,若FG1BG.

(1)求證:XABEsMEGF:

(2)若EC=2,求△CEF的面積;

(3)請(qǐng)直接寫出EC為何值時(shí),ACE尸的面積最大.

【解析】解:(1)???四邊形A8CO是正方形,EF±AE,

:.ZB=ZG=ZAEF=90°,

AZBAE+ZAEB=90°,NAEB+/FEG=90°,

:?NBAE=/FEG,

???NB=NG=90°,

:.△BAES^GEF;

(2)VAB=BC=10,CE=2,

:.BE=8f

:?FG=CG,

:?EG=CE+CG=2+FG,

由(1)知,ABAEsAGEF,

?_ABBE

??—,

EGFG

■I。8

"2+FG-FG"

:.FG=S,

11

:.SAECF=2CE*FG=2x2X8=8;

(3)設(shè)CE=x,JOE=10-x,

:.EG=CE+CG=x+FG,

由(1)知,ABAEsAGEF,

ABBE

?t?—,

EGFG

1010-x

x+FGFG

:.FG=W-X9

IIi-102s

:.S^ECF=xCEXFG=1Xx<10-x)=-^(x2-10%)=(x-5)2+芋

26

當(dāng)X=5時(shí),SAECF最大=-y.

7.(2020?長(zhǎng)沙)在矩形ABC。中,E為OC邊上一點(diǎn),把△AOE沿AE翻折,使點(diǎn)。恰好落在3C

邊上的點(diǎn)F.

(1)求證:AABFs4FCE;

(2)若45=2b,AO=4,求EC的長(zhǎng);

(3)若AE-DE=2EC,記N3AF=a,ZME=P,求tana+tan0的值.

________________、D

【解析】(1)證明:??,四邊形ABC。是矩形,

:.ZB=ZC=ZD=90°,

由翻折可知,ZD=ZAFE=90°,

ZAFB+ZEFC=90°,ZEFC+ZCEF=90°,

J/AFB=/FEC,

:.AABF^AFCE.

(2)設(shè)EC=x,

由翻折可知,AD=AF=4,

:.BF=yjAF2-AB2="6-12=2,

:.CF=BC-BF=2f

':AABFsAFCE,

ABBF

2V32

2%

-_2V3

??Fr—3.

(3),:△ABFS/\FCE,

.AFAB

"EF~CF'

.°BF、EFBF.CFBF+CFBC

..tana+tanp=亞+而=而+通=AB=麗’

設(shè)A8=C£)=〃,BC=AD=b,DE=x,

?\AE=DE+2CE=x+2Ca-x)—la-x,

':AD=AF=b,DE=EF=x,NB=NC=ND=90°,

\BF=7b2—十,CF=-yjx2—(a—x)2=V2ax—a2,

:AD1+DE1=AE1,

??廿+/=(2d!-x)2,

*.a2-ax="if2,

??△ABFs^FCE,

?ABBF

*CF~EC

.ay/b2-a2

J%2_(q_%)2a-%,

a2-ax=y/b2—a2>V2ax—a2,

整理得,161-24/。2+9。4=o,

J(4a2-3b2)2=0,

b2V3

a3

8.(2020?懷化)如圖,在。。中,A8為直徑,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),延長(zhǎng)A8到點(diǎn)。,使CO=CA,

且ND=30°.

(1)求證:C。是。。的切線.

(2)分別過(guò)A、8兩點(diǎn)作直線C。的垂線,垂足分別為E、P兩點(diǎn),過(guò)C點(diǎn)作A3的垂線,垂足

為點(diǎn)G.求證:?

【解析】(1)證明:連接0C,如圖所示,

':CA=CD,且/0=30°,

:.ZCAD=ZD=30°,

:OA=OC,

...NCAD=NACO=30°,

AZCOD=ZCAD+ZACO=300+30°=60°,

:.ZOCD=1SO°-ZD-ZC0D=180°-30°-60°=90°,

OC±CD,

.,.CD是。。的切線;

(2)':ZCOB=60°,MOC=OB,

...△OCB為等邊三角形,

AZCBG=60°,

XVCG1AD,

AZCGB=90°,

:.ZGCB=ZCGB-ZCBG=30°,

又?.?/GCZ)=60°,

CB是/GCD的角平分線,

VBF1CD,BGYCG,

:.BF=BG,

又,:BC=BC,

ARtABCG^RtABCF(HL),

:.CF=CG.

VZD=30°,AE±ED,ZAEZ)=90°,

AZEAD=60°,

又:/CAD=30°,

;.AC是/及1G的角平分線,

VCELAE,CG±AB,

:.CE=CG,

VZAEC=ZBFC=90°,ZEAC=30°=/BCF,

:.LAECsACFB,

AECE

:.—=—,即AE-BF=CF'CE,

CFBF

又CE=CG,CF=CG,

:.AE'BF=CG1.

9.(2020?達(dá)州)如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,ZB=90°,AB=6cm,CD=2cm.P為線段

BC上的一動(dòng)點(diǎn),且和2、C不重合,連接力,過(guò)點(diǎn)P作PELE4交射線CD于點(diǎn)E.聰聰根據(jù)學(xué)

習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究:

(1)通過(guò)推理,他發(fā)現(xiàn)請(qǐng)你幫他完成證明.

(2)利用幾何畫(huà)板,他改變BC的長(zhǎng)度,運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P,得到不同位置時(shí),CE、8尸的長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)值:

當(dāng)BC—6cm時(shí),得表1:

BP/cm???12345???

CE/cm???0.831.331.501.330.83???

當(dāng)BC=8c機(jī)時(shí),得表2:

BP/cm???1234567???

CE/cm??.1.172.002.502.672.502.001.17…

這說(shuō)明,點(diǎn)P在線段2C上運(yùn)動(dòng)時(shí),要保證點(diǎn)E總在線段CD上,BC的長(zhǎng)度應(yīng)有一定的限制.

①填空:根據(jù)函數(shù)的定義,我們可以確定,在8P和CE的長(zhǎng)度這兩個(gè)變量中,BP的長(zhǎng)度為

自變量,EC的長(zhǎng)度為因變量:

②設(shè)mcm,當(dāng)點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E總在線段CD上,求機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)證明:???A8〃CD,

.\ZB+ZC

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