中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點強(qiáng)化訓(xùn)練：實數(shù)及其運(yùn)算（知識串講+10大考點）原卷版

專題01實數(shù)及其運(yùn)算

廠考點類型

考點1：實數(shù)的分類

模塊一數(shù)與式

01講實數(shù)

匚下7知識一遍過

（一）實數(shù)的分類

（1）實數(shù)分類

r“理數(shù)

無理數(shù)

（2）無理數(shù)的幾種常見類型

①開方開不盡的數(shù)，如G，工巧等;

②有特定意義的數(shù)，如圓周率口，或化簡后含有”的數(shù)，如生7T+2等；

3

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等無限不循環(huán)小數(shù)；

（二）實數(shù)的相關(guān)概念

（1）絕對值：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|.a|N0。零的絕對值是它本身，也可看

成它的相反數(shù)，成屈=a一則@蕓。;_若|且|=二旦1_則,胳0：o

（2）相反數(shù)：實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零）.叢數(shù)

軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,a=-b,反之

亦成立。

(3)倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

(4)數(shù)軸：①數(shù)軸的三要素為原點、正方向和單位長度,數(shù)軸上的點與實數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng).

②數(shù)軸上a,b兩點之間的距離=|a—b]

(三)科學(xué)計數(shù)法

(1)形式：aX10n,其中1W|a|<10,n為整數(shù)

(2)確定n的方法：對于數(shù)位較多的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)為減去1；對于小數(shù)，寫成axl°一“，

lW|a|<10,n等于原數(shù)中左起至第一個非零數(shù)字前所有零的個數(shù)(含小數(shù)點前面的一個)

(四)實數(shù)的大小比較

有理數(shù)的比較大小的法則在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

a-b>boa>b,

a—b=Ooa=b,

a—b<Q^a<b

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，g>loa>Z?；q=loa=b；q<loa<A;

bbb

(4)絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù),則同>網(wǎng)0。<泉

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則〃，/.。(人。

備注：遇到有理數(shù)和帶根號的無理數(shù)比較大小時，讓“數(shù)全部回到根號下”，再比較大小。

(五)開方運(yùn)算

(1)平方根、算數(shù)平方根：

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根(或二次方根)。一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相

反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的平方根記做“±后

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“&

正數(shù)和零的算術(shù)女方根都只有一個,.―零的算術(shù)里方根是雯一

a(a>0)

■\[a^=同=<

-a(a<0)

(2)立方根:

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根(或a的三次方根)。.一個正數(shù)有一個正的立方根；

一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根;零的立方根是零。.

注意：力工=-VZ,這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

(六)實數(shù)運(yùn)算

?？嫉倪\(yùn)算法則：

(1)乘方：(-2)3=-8

(2)T的奇偶次幕：(偶次為1,奇次為T)

(3)零次基：a°=l(aWO)

(4)負(fù)指數(shù)幕：2』=二(按正指數(shù)，再倒數(shù))

a

(5)絕對值運(yùn)算：r____q一(〃>0)

|a|J0(a=0)

L(tz<0)

(6)特殊角的三角函數(shù)：sin30°=,等

2

實數(shù)的運(yùn)算順序：

實數(shù)的運(yùn)算順序是先算乘方和開方,再算乘除,最后算加減.如果有括號，一般先算小括號里面的，再算

中括號里面的，最后算大括號里面的,同級運(yùn)算應(yīng)從左到右依次進(jìn)行.

運(yùn)算律：

(1)加法交換律：a+b=b+a.

(2)加法結(jié)合律：合+。)+c=〃+(b+c).

(3)乘法交換律：ab=ba.

(4)乘法結(jié)合律：合律c=a(be).

(5)分酉己律：a(5+c)=ab+ac.

考點一遍過

考點1:實數(shù)的分類

典例1:(2223下?長沙?模擬預(yù)測)在實數(shù)-5,0,1,國中，為負(fù)數(shù)的是()

A.-5B.0C.1D.V3

【變式1](2223下溫州?三模)小赫制作了如圖所示的實數(shù)分類導(dǎo)圖，下列選項能按序正確填入兩個空格

的是()

L正整數(shù)一例：5

廠整數(shù)----零

有理數(shù)一一負(fù)整數(shù)一例:

一分?jǐn)?shù)

L正無理數(shù)

無理數(shù)一

L-負(fù)無理數(shù)一例：▲

A.—2；—TiB.9；-V17C.-9；-V8D.2；—5

【變式2］（2223下?金華?三模）在實數(shù)-2,y,V5,0.1122中，無理數(shù)的是（）

A.-2B謂C.V5D.0.1122

【變式3］（2223下?長沙?模擬預(yù)測）實數(shù)-2023.2023,夕，0,怖，一"，去0?狂中，有理數(shù)的個數(shù)為

。，無理數(shù)的個數(shù)為4則。-力的值是（）

A.1B.3C.5D.7

考點2:數(shù)軸的相關(guān)計算

典例2：（2223下?朔州?模擬預(yù)測）m匕是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列數(shù)量關(guān)

系中正確的是（）

ba

???■i???

-4-3-2-1012

A.ab<0B.a—b<0C.a+b<0D.\a\>\b\

【變式1］（2223下?安徽?二模）數(shù)軸上表示數(shù)機(jī)+2和36-10的點到原點的距離相等，則機(jī)為（）

A.2B.-2C.6D.6或2

【變式2］（2223下?西城?二模）實數(shù)。在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a,-a,a2,工中最大的是（）

a

,,、q、,、

-1o"~1'~

91

A.aB.-CLC.ciD.—

a

【變式3】（22?23上?昆明?期中）已知數(shù)a,仇c的大小關(guān)系如圖，下列說法:①ab+ac>0；@-a-b+c<0；

③言+5+三=一1;④若無為數(shù)軸上任意一點，則1%-b|+|%-a|的最小值為a-b.其中正確結(jié)論的個

1。11。1

數(shù)是（）

b0a

A.1B.2C.3D.4

考點3:相反數(shù)

典例3：（2223下?廣州?模擬預(yù)測）下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.—(+5)和一5B.+(—5)和一5

C.+(-8)和一(+8)D.+（—8）和一（一8）

【變式1］（2223下?西安?二模）下列各組數(shù)中,互為相反數(shù)的組是（）

2023

A.1—20231和一2023B.和短

C.|一2023|和2023D.—2023和康

【變式2］（2223下?包頭?三模）若a,b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是2,貝U3a+3b-4c的值為（）

A.-8B.-5C.-2D.16

【變式3］（2223上?江蘇?專題練習(xí)）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.|+1|與|—1|B.—（―1）與1C.|—（―3）|與—|一引D.-1+2|與+（—2）

考點4:絕對值

典例4：（22?23上?成都?期末）若=5,|n|=2,且n異號，則的值為（）

A.7B.3或一3C.3D.7或3

【變式1］（2223下?呼倫貝爾?三模）已知x,y兩個實數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，則化簡|y—2+J（久一丫尸

的結(jié)果是（）

_i-------------1---------1---------->

xy0

A.2xB.2yC.2y—2xD.2x—2y

【變式2】（2324上?包頭?期末）若卜+m+（6-3）2=0,則（時產(chǎn)】的值為（）

A.1B.-1C.0D.2

【變式3］（2223下?濟(jì)南?三模）如圖，在數(shù)軸上，點A、8分別表示a、b,且a+b=0,若|a-6|=8,

則點A表示的數(shù)為（）

---------1----------------

AB

A.-4B.0C.4D.-8

考點5：科學(xué)計數(shù)法

典例5：（2223下?深圳?模擬預(yù)測）國家統(tǒng)計局2022年12月12日發(fā)布公告，2022年全國糧食總產(chǎn)量13731

億斤，糧食產(chǎn)量連續(xù)8年穩(wěn)定在1.3萬億斤以上，其中1.3萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.3X1012B.13x1011C.1.3X1011D.0.13X1012

【變式1］（2324下?深圳?模擬預(yù)測）2023年4月4日，從南方電網(wǎng)深圳供電局了解到，今年一季度，深圳

市全社會用電量205.4億千瓦時，同比增長2.1%,反映出深圳經(jīng)濟(jì)活力正全面恢復(fù).將205.4億用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.205.4X108B.2.054X102C.2.054XIO10D.0.2054X1011

【變式2］（2223?滁州?一模）中央財政給某市投入“全面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)?；巨k學(xué)條件”專項

補(bǔ)助資金1692億元，將169200000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X1011D.16.92X1O10

【變式3］（22-23下?河北?模擬預(yù)測）據(jù)央廣網(wǎng)2023年5月19日報道：山東萊州市西嶺村金礦勘查項目通

過專家評審，初步認(rèn)定西嶺金礦新增金金屬量近200噸，累計金金屬量達(dá)580噸，按照5月18日國內(nèi)黃金價

格448.1元/克，以此計算，西嶺金礦的潛在經(jīng)濟(jì)價值為（）元.

A.2598.4X107B.2598.4X108C.2598.4X109D.2598.4X1O10

考點6：近似數(shù)

典例6：（2223下?長沙?二模）湘雅路過江通道工程是長沙市區(qū)"十八橫十六縱”三十四條主干路之一，位于

三一大道與營盤路之間，總投資53.278億元.其中數(shù)據(jù)53.278億元精確到哪位？（）

A.萬位B.十萬位C.百萬位D.億位

【變式1］（2223?青島?中考真題）由四舍五入法得到的近似數(shù)8.8x103,下列說法中正確的是（）.

A.精確到十分位，有2個有效數(shù)字B.精確到個位，有2個有效數(shù)字

C.精確到百位，有2個有效數(shù)字D.精確到千位，有4個有效數(shù)字

【變式2］（21.22下?滄州?一模）網(wǎng)聚正能量，構(gòu)建同心圓.以“奮斗的人民奮進(jìn)的中國”為主題的2021中

國正能量"五個一百"網(wǎng)絡(luò)精品征集評選展播活動進(jìn)入火熱的展播投票階段.截至2021年11月26日18點，

“五個一百"活動投票量累計13909615次，數(shù)據(jù)13909615用科學(xué)記數(shù)法表示并精確到百萬位為（）

A.0.139X108B.1.39X107C.0.14X108D.1.4X107

【變式3】（22?23上?十堰?期中）下列結(jié)論:①一24的底數(shù)是-2；②若有理數(shù)°,6互為相反數(shù),那么a+b=0；

③把1.804精確到0.01約等于1.80；@-2xy2+2xy2=0；⑤式子|a+2|+6的最大值是6,其中正確的

個數(shù)有（）

A.3個B.2個C.5個D.4個

典例7：（2”22下?煙臺?一模）下列各數(shù)：—（—2）,|-5|,0,-V8,V=64,其中比一3小的數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1］（2223?深圳?二模）數(shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問題的重要思想，在比較近+1與花的大小時，可以

通過如圖所示幾何圖形解決問題：若要比較夜+3與VT7的大小，以下數(shù)形結(jié)合正確的是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3］（2223下?中山?一模）在百，0,—2這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A?用B-1C.。D.-2

考點8:平方根、算術(shù)平方根、立方根

典例8：（2223下?深圳?模擬預(yù)測）生活中，我們常用到長方形樣、不同型號的打印紙.基于滿足影?。ǚ?/p>

大或縮小后，需保持形狀不變）及制作各型號紙張時，既方便又省料等方面的需要，對于紙張規(guī)格，存有

一些通用的國際標(biāo)準(zhǔn).其中，把力。紙定義為面積為1平方米，長與寬的比為迎:1的紙張；沿2。紙兩條長邊

中點的連線裁切，就得到兩張&紙；再沿紙兩條長邊中點的連線裁切得紙…依此類推，得等

44&，A4,4

等的紙張（如圖所示）.若設(shè)4紙張的寬為第米，貝h應(yīng)為（）

V2的算術(shù)平方根噂宏的算術(shù)平方根

A.B.1C.D.

161632

【變式11（2223下?省直轄縣級單位?階段練習(xí)）若庖的整數(shù)部分為小，則小的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)

()

A.2B.3C.4D.5

【變式2］（2122下?涼山?階段練習(xí)）已知點Q+2,0-16）在x軸上，則迎的平方根等于（）

A.2B.-4C.±4D.±2

【變式3］（2L22下?閔行?期中）下列說法正確的是（）

A.1的平方根是1B.3次方根是本身的數(shù)有0和1

C.一6的3次方根是一標(biāo)D.a<0時，-a的平方根為土歷

考點9:無理數(shù)的估算

典例9：（2223?巴南?一模）估算2?+3的值在（）

A.8和9之間B.7和8之間C.6和7之間D.5和6之間

【變式1】（2223下?沙坪壩?二模）估