上海市閔行第三中學2024-2025學年高二下學期3月月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

閔行三中2024學年第二學期3月月考高二年級數(shù)學學科試卷滿分分值：150分完卷時間：120分鐘命題人：王定一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應位置直接填寫結果1.已知拋物線方程為，則其準線方程為______．2.曲線在點處的切線斜率為_____________.3.已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，焦距是6，橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和等于10，則該橢圓的標準方程為______．4.雙曲線漸近線方程是____________．5.已知，則______．6.從甲、乙、丙、丁四位家長中選三人對某小學附近的三個路口維護交通，每個路口安排一人，則不同的安排方法有__________種.7若圓和圓外切，則______.8.若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為______．9.采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，它的值是固定的．當炸藥包埋的深度為_______可使爆破體積最大．10.設P是曲線上任意一點，則曲線在點P處的切線的傾斜角α的取值范圍是__．11.已知函數(shù)對有則實數(shù)a的取值范圍為________12.定義在R上奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為_______.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.下列選項中，不屬于排列問題的是（）A.從六名學生中選三名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，共有多少種選法B.有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C.從3，5，7，9中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D.從中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個不同的點14.如果且，那么直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限15.如果函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關于判斷正確的是（）A.在區(qū)間上是嚴格減函數(shù) B.在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)C.是極小值點 D.是極小值點16.已知函數(shù)在上的導函數(shù)為，若對任意恒成立，關于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）命題①：方程至多只有一個實數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對任意，都有．A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.已知圓的圓心為，且與直線相切.（1）求圓標準方程；（2）設直線與圓M交于A，B兩點，求.18.設，已知函數(shù)．（1）若函數(shù)曲線在點處的切線斜率為－1，求實數(shù)a的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，求實數(shù)a的取值范圍．19.為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場調研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時，，在年產(chǎn)量不小于4萬件時，.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當年能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本.）（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？20.在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率是，短軸長為2，若點分別是橢圓的左右頂點，動點，，直線交橢圓于點.（1）求橢圓的方程；（2）（i）求證：是定值；（ii）設的面積為，四邊形的面積為，求的最大值.21.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）已知有兩個極值點，且，（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）求的最小值．

閔行三中2024學年第二學期3月月考高二年級數(shù)學學科試卷滿分分值：150分完卷時間：120分鐘命題人：王定一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應位置直接填寫結果1.已知拋物線的方程為，則其準線方程為______．【答案】【解析】【分析】由題意可知，且焦點在x軸的正半軸上，即可得準線方程.【詳解】由題意可知，且焦點在x軸的正半軸上，所以其準線方程為.故答案為：.2.曲線在點處的切線斜率為_____________.【答案】【解析】【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義運算求解.【詳解】因為，則，可知曲線在點處的切線斜率.故答案為：.3.已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，焦距是6，橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和等于10，則該橢圓的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求，即可得橢圓方程.【詳解】由題意可知：，即，則，且焦點在軸上，所以該橢圓的標準方程為.故答案為：.4.雙曲線的漸近線方程是____________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的方程可知，，即可直接寫出其漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的方程為，可知，；則雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.5.已知，則______．【答案】1【解析】【分析】直接求導，再根據(jù)導數(shù)含義即可得到答案.【詳解】,，則.故答案為：1.6.從甲、乙、丙、丁四位家長中選三人對某小學附近的三個路口維護交通，每個路口安排一人，則不同的安排方法有__________種.【答案】【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理即可，第一步從四個不同元素中選三個元素，第二步對所選元素進行排列.【詳解】首先從四位家長中選三人有種方法，然后將選出的三位家長分別安排到三個路口有種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的安排方法數(shù)為種.故答案為：7.若圓和圓外切，則______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)兩圓外切則圓心距等于半徑之和即可求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓圓心為，所以圓心距，因為兩圓外切，所以,所以.故答案為：4.8.若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線方程可得出的表達式，再結合并利用對勾函數(shù)性質可求得的最大值為.【詳解】由橢圓可得，由雙曲線可得，所以，又，由對勾函數(shù)性質可得，當且僅當時，等號成立；所以，即的最大值為，當且僅當時，等號成立；故答案為：9.采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R，它的值是固定的．當炸藥包埋的深度為_______可使爆破體積最大．【答案】【解析】【分析】先將圓錐的體積轉化為關于深處的關系式，再利用導數(shù)與函數(shù)性質的關系求得的最大值點，從而得解.【詳解】結合圖形，可知圓錐的體積為，又因為，即，所以，，則，令，得；令，得；所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得最大值，所以炸藥包要埋在深處.故答案為：.10.設P是曲線上任意一點，則曲線在點P處的切線的傾斜角α的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】求出導函數(shù)的值域，再結合正切函數(shù)的單調性求解．【詳解】由已知得，由得．故答案為：．11.已知函數(shù)對有則實數(shù)a的取值范圍為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設，不妨設，由已知化簡可得即在上遞增,進而判斷可得結果.【詳解】根據(jù)題意設，不妨設，，任意有可得即可得在上遞增,因為，，當時，恒成立，即在上遞增.當時，不能恒成立，即在不符合單調遞增.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：12.定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，且當x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，則函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為_______.【答案】3【解析】【分析】要求函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)，可構造函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的個數(shù)．根據(jù)已知條件可判斷函數(shù)的單調性和奇偶性，進而畫函數(shù)的圖象，觀察兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)即可．【詳解】令，因為當x＞0時，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，所以當x＞0時，．所以函數(shù)在上為增函數(shù)．因為y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以．所以函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)在上為減函數(shù)．因為定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足f（3）=0，所以．所以．做函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示．由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點．所以函數(shù)g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零點的個數(shù)為3個．【點睛】本題考查函數(shù)零點的個數(shù)問題，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，方法一，零點存在性定理的運用；方法二，函數(shù)與方程的關系，零點個數(shù)可轉化為方程根的個數(shù)的判斷；方法三，可轉化為兩個函數(shù)的圖象交點問題．本題由條件“不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，”應想到構造函數(shù)．二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.下列選項中，不屬于排列問題的是（）A.從六名學生中選三名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，共有多少種選法B.有十二名學生參加植樹活動，要求三人一組，共有多少種分組方案C.從3，5，7，9中任選兩個數(shù)做指數(shù)運算，可以得到多少個冪D.從中任取兩個數(shù)作為點的坐標，可以得到多少個不同的點【答案】B【解析】【分析】排列是要求有順序的，故而只需看每個選項中的是否和順序有關即可.【詳解】A.選出3名學生后，哪位同學參加哪門競賽需再排序，故屬于排列問題，故A錯誤；B.分組無順序，故不屬于排列問題，B正確；C.如和是不同的，即哪個數(shù)作指數(shù)和底數(shù)是不同的，故屬于排列問題，故C錯誤；D.如和是不同的點，故屬于排列問題，故D錯誤.故選：B.14.如果且，那么直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橫截距和縱截距的范圍求得正確答案.【詳解】由且，可得同號，異號，所以也是異號；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C15.如果函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則以下關于判斷正確的是（）A.在區(qū)間上是嚴格減函數(shù) B.在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)C.是極小值點 D.是極小值點【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象分析在不同區(qū)間上取值的正負，然后判斷相應的單調性，即可判斷每個選項.【詳解】對于A，由圖象知在上取正值，所以在上遞增，A錯誤；對于B，由圖象知在上取正值，所以在上遞增，B正確；對于C，由圖象知在某個上取負值，這里，所以在上遞減，從而不可能是的極值點，C錯誤；對于D，由圖象知在上取正值，在某個上取負值，這里，所以在上遞增，在上遞減，從而是的極大值點，D錯誤.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于使用圖象判斷導數(shù)的正負，再由此確定函數(shù)的單調性.16.已知函數(shù)在上的導函數(shù)為，若對任意恒成立，關于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）命題①：方程至多只有一個實數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對任意，都有．A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】C【解析】【分析】對于命題①：構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調性，結合單調性分析其零點即可；對于命題②：利用函數(shù)是定義域為的周期函數(shù)，知函數(shù)在一個周期上必有最大值和最小值，再利用條件，得到，再對與1的大小關系進行分類討論，即可得出結論.【詳解】因為，即，對于命題①：令，故，可知函數(shù)在上單調遞增，則至多有一個零點，所以方程至多只有一個實數(shù)根，故命題①為真命題；對于命題②：因為函數(shù)是周期為2，取一個周期，由題意可知在內連續(xù)不斷，則在內必有最大值和最小值，設在內的最大值為，最小值為，設，，且，對任意，顯然時，恒成立，下面考慮的情況，由導數(shù)定義可知，即，若，則成立；若，設，即，則，且，可得，所以成立；綜上所述：對任意實數(shù)，都成立，故命題②為真命題；故選：C.【點睛】關鍵點點睛：對于命題②：設的最大值為，最小值為，在一個周期上，，當時，結論顯然成立，當時，利用不等式的性質可證明.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.已知圓的圓心為，且與直線相切.（1）求圓的標準方程；（2）設直線與圓M交于A，B兩點，求.【答案】（1）+（2）【解析】【分析】（1）由圓心到切線的距離等于半徑求得半徑后可得圓的標準方程；（2）求出圓心到弦所在直線的距離，由勾股定理求得弦長．【小問1詳解】因為圓心為，所以圓心M到切線的距離=，所以半徑，所以圓M的標準方程為：+；小問2詳解】由題可知圓心M到直線的距離=，又由（1）知半徑，所以=，所以=．18.設，已知函數(shù)．（1）若函數(shù)曲線在點處的切線斜率為－1，求實數(shù)a的值及函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；減區(qū)間是，增區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的單調性討論a的范圍即得.【小問1詳解】由得，由曲線在處切線斜率為-1，可得，.,當單調遞增；單調遞減.減區(qū)間是，增區(qū)間是.【小問2詳解】由得：①時，，∴在遞增，滿足函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，②時，時，，在遞增，若函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，綜上可得19.為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過市場調研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本萬元.已知在年產(chǎn)量不足4萬件時，，在年產(chǎn)量不小于4萬件時，.每件產(chǎn)品售價6元.通過市場分析，小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當年能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤=年銷售收入-年固定成本-流動成本.）（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？【答案】（1）；（2）當年產(chǎn)量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.【解析】【分析】（1）分以及，分別求解得出表達式，寫成分段函數(shù)即可；（2）當時，求導得出.然后根據(jù)基本不等式求出時，的最值，比較即可得出答案.【小問1詳解】由題意，當時，；當時，.所以【小問2詳解】當時，，令，解得.易得在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，.當時，，當且僅當，即時取等號.綜上，當年產(chǎn)量為8萬件時，所獲年利潤最大，為9萬元.20.在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率是，短軸長為2，若點分別是橢圓的左右頂點，動點，，直線交橢圓于點.（1）求橢圓的方程；（2）（i）求證：是定值；（ii）設面積為，四邊形的面積為，求的最大值.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②1.【解析】【分析】（1）由已知得的值，再由離心率求出關系，即可求出橢圓方程.（2）①由（1）得，求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點坐標，進而得出坐標，即可證明結論；②，將表示為關于的函數(shù)，進而得出關于的函數(shù)，整