河北省邯鄲市峰峰礦區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月期末試卷數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

2024--2025學(xué)年第一學(xué)期期末督測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)試題（人教版）說明:1．本試卷共6頁(yè)，滿分120分．2．請(qǐng)將所有答案填寫在答題卡上，答在試卷上無(wú)效．一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A. B.1 C.3 D.52.在中，，設(shè)所對(duì)的邊分別為，．若◆，則“◆”表示（）A. B. C. D.3.如圖，學(xué)?？赡芪挥谛∶骷遥ǎ〢.南偏西方向上 B.南偏西方向上C.南偏東方向上 D.南偏東方向上4.下列4個(gè)袋子中，裝有除顏色外都相同的10個(gè)小球，分別從每個(gè)袋子中任意摸出一個(gè)球，摸到的球是紅球這一事件屬于必然事件，則應(yīng)選擇的袋子是（）A. B. C. D.5.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)相似圖形，不是位似圖形的是（）A. B. C. D.6.如圖，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.7.是邊長(zhǎng)為4的正六邊形的外接圓，點(diǎn)在上，連接，則的長(zhǎng)可以是（）A.5 B.6 C.7 D.98.如圖，四邊形頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（）A. B. C. D.9.如圖，正方形紙片的中心剛好是的外心，則（）A B. C. D.10.如圖，其小區(qū)在一塊長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上新修三條寬度相同的小路，其中一條和矩形的一邊平行．另外兩條和矩形的另一邊平行，空地剩下的部分種植花草，使得小路占地面積為，求小路的寬度．設(shè)小路的寬度為，甲、乙兩位同學(xué)分別得到如下方程：甲：；乙：其中正確的是（）A.甲對(duì)、乙不對(duì) B.甲不對(duì)、乙對(duì)C.甲、乙均對(duì) D.甲、乙均不對(duì)11.如圖所示為某新款茶吧機(jī)，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫與通電時(shí)間成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至?xí)r，飲水機(jī)再自動(dòng)加熱，若水溫在時(shí)接通電源，水溫與通電時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.水溫從加熱到，需要4minB.水溫下降過程中，與函數(shù)關(guān)系式是C.在一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于的時(shí)間為D.上午10點(diǎn)接通電源，可以保證當(dāng)天能喝到不低于的水12.如圖，拋物線（常數(shù)），雙曲線.設(shè)與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿足，在位置隨變化的過程中，的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13.如圖是反比例函數(shù)的圖象．整數(shù)的值是________．14.已知點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，則長(zhǎng)為_________．15.若a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為______．16.如圖，點(diǎn)C為扇形的弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，若，，則陰影部分面積的最小值為______．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分72分，解答題應(yīng)寫出必要的解題步驟或文字說明、證明過程）17.已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限．（1）求k的取值范圍；（2）若點(diǎn)是該反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，試比較函數(shù)值的大?。?8.若一元二次方程的右邊被墨水污染▊．（1）若方程的一個(gè)解為時(shí)，求“▊”的值；（2）若“▊”表示，求．19.如圖，三根同樣的繩子，，穿過一塊木板，姐妹兩人分別站在木板的左、右兩側(cè)，每次各自選取本側(cè)的一根繩子，每根繩子被選中的機(jī)會(huì)相等．（1）姐姐從這三根繩子中隨機(jī)選一根，恰好選中繩子的概率為；（2）用畫樹狀圖（或列表）的方法，求姐姐和妹妹選中的兩個(gè)繩頭恰好是同一根繩子的概率．20.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．21.探究：用一條直線將一個(gè)中心對(duì)稱圖形分成面積相等的兩部分．我們知道圓和平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形，由圖1可總結(jié)規(guī)律：一個(gè)中心對(duì)稱圖形，的直線將它分成面積相等的兩部分．應(yīng)用1：如圖2，若矩形是老林家的一塊田地，P為水井，現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子，為了用水方便，要求分給兩個(gè)兒子的田地都與水井P相鄰．請(qǐng)你幫老林家設(shè)計(jì)一下，畫出圖形，并說明理由．應(yīng)用2：圖3是一個(gè)由正方形和圓構(gòu)成的“組合圖形”，用一條直線將圖3的陰影部分分成面積相等的兩部分．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）22.圖1是我國(guó)古代提水的器具桔槔（jiégāo），創(chuàng)造于春秋時(shí)期．它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點(diǎn)架在作為杠桿的竹梯上．大竹竿末端懸掛一個(gè)重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水桶．其原理是通過對(duì)架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井．當(dāng)放松大竹竿時(shí)，小竹竿下降，水桶就會(huì)回到井里．如圖2是桔槔的示意圖，大竹竿米，O為的中點(diǎn)，支架垂直地面，此時(shí)水桶在井里時(shí)，．（1）如圖2，求支點(diǎn)O到小竹竿的距離（結(jié)果精確到0.1米）；（2）如圖3，當(dāng)水桶提到井口時(shí)，大竹竿旋轉(zhuǎn)至的位置，小竹竿至的位置，此時(shí)，求點(diǎn)A上升的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）23.圖1是木馬玩具底座水平放置的示意圖．點(diǎn)O是所在圓的圓心，的半徑為，已知點(diǎn)A，B之間的水平距離為，且兩點(diǎn)距離地面的豎直高度一樣高．計(jì)算（1）求點(diǎn)A的豎直高度；操作（2）將圖1木馬玩具沿地面向右作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)與相切于點(diǎn)B時(shí)，如圖2，點(diǎn)A的豎直高度升高了多少？探究（3）在上述操作過程中，直接寫出圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：）24.平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)值的取值范圍是．①求和的值；②拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為6．求點(diǎn)的坐標(biāo)；③將該拋物線在間的部分記為，將在直線下方的部分沿翻折，其余部分保持不變．得到的新圖象記為．設(shè)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，若，求的取值范圍．

2024--2025學(xué)年第一學(xué)期期末督測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)試題（人教版）說明:1．本試卷共6頁(yè)，滿分120分．2．請(qǐng)將所有答案填寫在答題卡上，答在試卷上無(wú)效．一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A. B.1 C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中分別為二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．據(jù)此分析，即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)是故選：A．2.在中，，設(shè)所對(duì)的邊分別為，．若◆，則“◆”表示（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)的定義．根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題．【詳解】解：∵中，，、、所對(duì)的邊分別為，，∴，即，，即，，即，，即，觀察四個(gè)選項(xiàng)，B選項(xiàng)符合題意，故選：B．3.如圖，學(xué)?？赡芪挥谛∶骷遥ǎ〢.南偏西方向上 B.南偏西方向上C.南偏東方向上 D.南偏東方向上【答案】B【解析】【分析】本題考查了方向角的定義，根據(jù)題意畫出圖形，即可求解；理解方向角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，由圖得，學(xué)校可能位于小明家南偏西方向上，故選：B．4.下列4個(gè)袋子中，裝有除顏色外都相同的10個(gè)小球，分別從每個(gè)袋子中任意摸出一個(gè)球，摸到的球是紅球這一事件屬于必然事件，則應(yīng)選擇的袋子是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、里面知有10個(gè)白球，從里面摸出紅球是不可能事件，不符合題意；B、里面只有10個(gè)紅球，從里面摸出紅球是必然事件，符合題意；C、里面有2個(gè)紅球，8個(gè)白球，從里面摸出紅球是隨機(jī)事件，不符合題意；D、里面有9個(gè)紅球，1個(gè)白球，從里面摸出紅球是隨機(jī)事件，不符合題意；故選：B．5.下列選項(xiàng)中的兩個(gè)相似圖形，不是位似圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是位似變換，掌握兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的定義解答即可．【詳解】解：根據(jù)位似圖圖形的定義可知選項(xiàng)A、B、D中的兩個(gè)圖形都是位似圖形，C中的兩個(gè)圖形不是位似圖形，故選：C．6.如圖，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可推出結(jié)果．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，，又∵，，故選：C．7.是邊長(zhǎng)為4的正六邊形的外接圓，點(diǎn)在上，連接，則的長(zhǎng)可以是（）A.5 B.6 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】本題考查了正多邊形，以及勾股定理等知識(shí)．連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則的長(zhǎng)介于和之間，分別求出和的長(zhǎng)，再結(jié)合選項(xiàng)即可得到問題答案．【詳解】解：連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，∵多邊形是正六邊形，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，故選：C．8.如圖，四邊形的頂點(diǎn)在方格紙的格點(diǎn)上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，如果兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)成比例，且四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)四邊形相似，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則已知四邊形的四條邊分別為1，，2，．選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為，2，2，，兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)不成比例，不符合題意；選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成比例，故選項(xiàng)中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個(gè)四邊形的四條邊不是對(duì)應(yīng)成比例，故選項(xiàng)中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項(xiàng)中的四邊形的四條邊分別為2，，4，，兩個(gè)四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)成比例．將已知四邊形表示為四邊形，將選項(xiàng)中的四邊形表示為．如圖，連接、，則，．在與中，，，，，．在與中，，，，，，，，，，又，四邊形四邊形．故選：D．9.如圖，正方形紙片的中心剛好是的外心，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得是四點(diǎn)共圓，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解【詳解】解：如圖所示，連接，

∵正方形紙片的中心剛好是的外心，且是的外心，∴是四點(diǎn)共圓，∴∴，故選：A．10.如圖，其小區(qū)在一塊長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上新修三條寬度相同的小路，其中一條和矩形的一邊平行．另外兩條和矩形的另一邊平行，空地剩下的部分種植花草，使得小路占地面積為，求小路的寬度．設(shè)小路的寬度為，甲、乙兩位同學(xué)分別得到如下方程：甲：；乙：其中正確的是（）A.甲對(duì)、乙不對(duì) B.甲不對(duì)、乙對(duì)C.甲、乙均對(duì) D.甲、乙均不對(duì)【答案】A【解析】【分析】本題考查了列一元二次方程解決實(shí)際問題，解決本題的關(guān)鍵是找出圖形中面積之間的相等關(guān)系，把各部分的面積用含的代數(shù)式表示出來(lái)，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程．【詳解】解：矩形的長(zhǎng)為，寬為，則矩形的面積為，小路占地面積為，種植花草的面積為，從平移的角度考慮，把種植花草的區(qū)域拼成一個(gè)矩形，矩形的長(zhǎng)為，寬為，矩形的面積為，可列方程，甲列的方程正確；兩條豎著的小路的長(zhǎng)為，寬為，兩條豎著的小路的面積為，橫著的小路的長(zhǎng)度為，寬為，橫著的小路的面積為，三條小路有兩個(gè)重疊的區(qū)域，重疊區(qū)域是邊長(zhǎng)為的正方形，重疊部分的面積為，小路的面積可表示為，可列方程為，乙列的方程錯(cuò)誤；綜上所述，甲對(duì)、乙不對(duì)．故選：

A．11.如圖所示為某新款茶吧機(jī)，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫與通電時(shí)間成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至?xí)r，飲水機(jī)再自動(dòng)加熱，若水溫在時(shí)接通電源，水溫與通電時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.水溫從加熱到，需要4minB.水溫下降過程中，與的函數(shù)關(guān)系式是C.在一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于的時(shí)間為D.上午10點(diǎn)接通電源，可以保證當(dāng)天能喝到不低于的水【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意和圖象，先求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而反比例函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、∵開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升，∴水溫從加熱到，所需時(shí)間為：，故A選項(xiàng)說法正確，不合題意；B、由題可得，在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)反比例函數(shù)解析式為，代入點(diǎn)可得，，∴水溫下降過程中，y與x函數(shù)關(guān)系式是，故B選項(xiàng)說法正確，不合題意；C、當(dāng)水溫升至?xí)r，用時(shí)，當(dāng)水溫降至?xí)r，，解得：，∴在一個(gè)加熱周期內(nèi)水溫不低于的時(shí)間為，故C選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；D、在中，令，則，即：每20分鐘，飲水機(jī)重新加熱，∴上午10點(diǎn)接通電源，當(dāng)天時(shí)飲水機(jī)是第二次加熱，把代入，得：，即：時(shí)的水溫為，不低于，故D選項(xiàng)說法正確，不合題意；故選：C．12.如圖，拋物線（常數(shù)），雙曲線.設(shè)與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿足，在位置隨變化的過程中，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線求出L與雙曲線在（4，），（3，2）之間的一段有個(gè)交點(diǎn)，利用方程即可解決問題．【詳解】對(duì)雙曲線，當(dāng)3＜x0＜4時(shí)，＜y0＜2，即L與雙曲線在（4，），（3，2）之間的一段有個(gè)交點(diǎn)．①由＝?（4-t）（4-t+4）解得t=5或7．②由2=-（3-t）（3-t+4）解得t=5．滿足條件的t的值為5＜t＜7．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、平移等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖形信息解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，考慮問題要全面二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13.如圖是反比例函數(shù)的圖象．整數(shù)的值是________．【答案】1【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)得，由圖得，即可求解；理解反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，解得：，圖象在第一象限，，是整數(shù)，，故答案為：．14.已知點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，則長(zhǎng)為_________．【答案】10【解析】【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用距離公式計(jì)算長(zhǎng)度．先根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算的長(zhǎng)度．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫，縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得，即．根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，其中，則：，所以長(zhǎng)為10．故答案為：10．15.若a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，求代數(shù)式的值，熟練掌握的兩根滿足是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．16.如圖，點(diǎn)C為扇形的弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，若，，則陰影部分面積的最小值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)弧的中點(diǎn)為，連接，，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，根據(jù)扇形面積公式，三角形的面積公式計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)弧的中點(diǎn)為，連接，，，要使陰影部分的面積最小，需要滿足四邊形的面積最大，只需滿足的面積最大即可，從而可得當(dāng)點(diǎn)位于弧的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，連接，則于，且垂直平分，∵，，∴為等邊三角形，∴，∴，在中，，∴，∴，∵扇形的面積，∴陰影部分面積的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積計(jì)算，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分72分，解答題應(yīng)寫出必要的解題步驟或文字說明、證明過程）17.已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限．（1）求k的取值范圍；（2）若點(diǎn)是該反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，試比較函數(shù)值的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)增減性與比例系數(shù)的關(guān)系，比較反比例函數(shù)函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵在于熟知反比例函數(shù)圖象增減性以及經(jīng)過的象限與比例系數(shù)的關(guān)系．（1）反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，那么比例系數(shù)小于0，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)題意可得在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而增大，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可知點(diǎn)A和點(diǎn)B都在第二象限，由此可得答案．【小問1詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，∴；【小問2詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而增大，∵點(diǎn)是該反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B都在第二象限，∴．18.若一元二次方程的右邊被墨水污染▊．（1）若方程的一個(gè)解為時(shí)，求“▊”的值；（2）若“▊”表示，求．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解與解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解，解一元二次方程的方法．（1）把代入，解出▊，即可；（2）根據(jù)題意，可得方程為，解出方程，即可．【小問1詳解】解：把代入，∴，∴“▊”的值為．【小問2詳解】解：由題意得，方程為，∴，∵，∴，∴，．19.如圖，三根同樣的繩子，，穿過一塊木板，姐妹兩人分別站在木板的左、右兩側(cè)，每次各自選取本側(cè)的一根繩子，每根繩子被選中的機(jī)會(huì)相等．（1）姐姐從這三根繩子中隨機(jī)選一根，恰好選中繩子的概率為；（2）用畫樹狀圖（或列表）的方法，求姐姐和妹妹選中的兩個(gè)繩頭恰好是同一根繩子的概率．【答案】（1）（2）見解析，【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法或樹狀圖法以及概率公式是解答本題關(guān)鍵．（1）直接運(yùn)用概率公式解答即可；（2）列得出所有等可能結(jié)果，從中找出符合條件的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．小問1詳解】解：∵共有三根同樣的繩子，，穿過一塊木板，∴姐姐從這三根繩子中隨機(jī)選一根，恰好選中繩子的概率為：．故答案為：．【小問2詳解】解：畫樹狀圖，如圖所示：，共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩人選到同一條繩子的結(jié)果數(shù)為3，所以兩人選到同一條繩子的概率．20.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（）由得，，進(jìn)而得，由，得，即可求證；（）由得，可得到，進(jìn)而得到，再由線段的和差關(guān)系即可求解；本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】證明：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：由，得，，四邊形是平行四邊形，，．21.探究：用一條直線將一個(gè)中心對(duì)稱圖形分成面積相等的兩部分．我們知道圓和平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形，由圖1可總結(jié)規(guī)律：一個(gè)中心對(duì)稱圖形，的直線將它分成面積相等的兩部分．應(yīng)用1：如圖2，若矩形是老林家的一塊田地，P為水井，現(xiàn)要把這塊田地平均分給兩個(gè)兒子，為了用水方便，要求分給兩個(gè)兒子的田地都與水井P相鄰．請(qǐng)你幫老林家設(shè)計(jì)一下，畫出圖形，并說明理由．應(yīng)用2：圖3是一個(gè)由正方形和圓構(gòu)成的“組合圖形”，用一條直線將圖3的陰影部分分成面積相等的兩部分．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）【答案】探究：經(jīng)過對(duì)稱中心；應(yīng)用1：見詳解；應(yīng)用2：見詳解【解析】【分析】本題考查作圖中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，正方形和矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．探究：根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)解答即可；應(yīng)用1：連接，交于點(diǎn)，作直線即可；應(yīng)用2：連接，交于點(diǎn)，作直線分別交于點(diǎn)即可；【詳解】解：探究：根據(jù)圖1可總結(jié)規(guī)律：一個(gè)中心對(duì)稱圖形，經(jīng)過對(duì)稱中心的直線將它分成面積相等的兩部分．故答案為：經(jīng)過對(duì)稱中心；應(yīng)用1：如圖：理由：矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)O，過O、P的直線滿足把矩形面積等分，且都與水井P相鄰；應(yīng)用2：理由：正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過O、的直線滿足把正方形面積和圓面積等分，直線將圖3的陰影部分分成面積相等的兩部分．22.圖1是我國(guó)古代提水的器具桔槔（jiégāo），創(chuàng)造于春秋時(shí)期．它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點(diǎn)架在作為杠桿的竹梯上．大竹竿末端懸掛一個(gè)重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水桶．其原理是通過對(duì)架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井．當(dāng)放松大竹竿時(shí)，小竹竿下降，水桶就會(huì)回到井里．如圖2是桔槔的示意圖，大竹竿米，O為的中點(diǎn)，支架垂直地面，此時(shí)水桶在井里時(shí)，．（1）如圖2，求支點(diǎn)O到小竹竿的距離（結(jié)果精確到0.1米）；（2）如圖3，當(dāng)水桶提到井口時(shí)，大竹竿旋轉(zhuǎn)至的位置，小竹竿至的位置，此時(shí)，求點(diǎn)A上升的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）支點(diǎn)O到小竹竿的距離（2）點(diǎn)A上升的高度為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）作于點(diǎn)G，由題意可知，，在中，應(yīng)用特殊角三角函數(shù)值求即可；（2）記交于點(diǎn)H，由題意推出，在中，求，在中求，則點(diǎn)A上升的高度可解．小問1詳解】解：作于點(diǎn)G（圖1），∵O為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴∵，∴，在中，∴∴支點(diǎn)O到小竹竿的距離．【小問2詳解】解：記交于點(diǎn)H（圖2），∵，，∴，∴∵，∴，∴在中，，在中，m∴點(diǎn)A上升的高度為．23.圖1是木馬玩具底座水平放置的示意圖．點(diǎn)O是所在圓的圓心，的半徑為，已知點(diǎn)A，B之間的水平距離為，且兩點(diǎn)距離地面的豎直高度一樣高．計(jì)算（1）求點(diǎn)A的豎直高度；操作（2）將圖1的木馬玩具沿地面