軸對(duì)稱中的最值模型問題（將軍飲馬）重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（8大題型+29道拓展培優(yōu)）（解析版）-2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

軸對(duì)稱中的最值模型問題（將軍飲馬等）

重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（8大題型+29道拓展培優(yōu)）

?題型目錄

題型一將軍飲馬之線段和最值

題型二將軍飲馬之線段差最值

題型三將軍飲馬之兩定一動(dòng)最值

題型四三點(diǎn)共線最大值

題型五雙對(duì)稱關(guān)系求周長(zhǎng)最小值

題型六兩定兩動(dòng)型最值

題型七兩動(dòng)一定最值

題型八費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

&知識(shí)梳理

將軍飲馬中最短路徑問題四大模型

一兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)

問題1作法圖形原理

'A

A

連接與直線的交點(diǎn)兩點(diǎn)之間，線段最短，此

.LAB,1------------E------------/

B

P即為所求。時(shí)PA+PB的和最小。

在直線1上找一點(diǎn)P,使得B

PA+PB的和最小。

二兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)

問題2：將軍飲馬作法圖形原理

4

.B作B關(guān)于直線1的對(duì)稱點(diǎn)A化折為直；

B

----------------------------1

C,連AC,與直線1的交------/兩點(diǎn)之間，線段最短，此

在直線1上找一點(diǎn)P,使得

點(diǎn)P即為所求。C時(shí)PA+PB的和AC最小。

PA+PB的和最小。

三兩動(dòng)點(diǎn)一定點(diǎn)問題

問題3：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作法圖形原理

4

/A

作P關(guān)于0A的對(duì)稱PH/

2

o-------?點(diǎn)P1,作P關(guān)于0B兩點(diǎn)之間，線段最短，此

的對(duì)稱點(diǎn)P2,連接/3B時(shí)PC+PD+CD的和最小。

點(diǎn)P在銳角ZAOB的內(nèi)部，在0A

P1P2o

邊上找一點(diǎn)C,在0B0

邊上找一點(diǎn)D,，使得

*P2

PC+PD+CD的和最小。

四造橋選址問題

問題4：造橋選址作法圖形原理

A

Mm

A

將點(diǎn)A鄉(xiāng)向下平移MN的

Mm兩點(diǎn)之間，線段最短，此

n長(zhǎng)度得A1，連&B,交n

NA；時(shí)AM+MN+BN的最小值為

B于點(diǎn)N,過N作NM_Lm

N\口AjB+MNo

直線m〃n,在m,n上分別于M。B

求點(diǎn)M、N,使MN_Lm,MN±

n,且AM+MN+BN的和最小。

注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學(xué)可以學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專題訓(xùn)練.

勾股定理公式：a2+b2=c2

篋經(jīng)典例題

_?！窘?jīng)典例題一將軍飲馬之線段和最值】

【例1】如圖，在中，AB=AC,分別以點(diǎn)48為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于

E、F,畫直線￡尸，。為2C的中點(diǎn)，刊為直線跖上任意一點(diǎn)，若8c=5,A4BC的面積為15,貝U2M+A?

【答案】B

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積，三線合一定理，兩點(diǎn)之間

線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì).如圖，連接㈤/,AD.利用三角形的面積公式求

出再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可.

AD,BC,

S^ABC=5,BC.AD=15,BC=5,

由作圖可知：斯垂直平分線段

：.MA=MB,

:.MB+MD=AM+MD>AD=6,

：.BM+DM的最小值為6,

故選：B.

X變式訓(xùn)練

1.如圖，在RtZ\/3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=\Q,“。平分ZA4C,若P、0分別是4D

和/C上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+P。的最小值是（）

A.1.2B.2.4C.4.8D.9.6

【答案】C

【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.作點(diǎn)。關(guān)于血

的對(duì)稱點(diǎn)E,連接則PE=P。，從而可得PC+PQ=PC+PE,先根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)

點(diǎn)C,P,E共線時(shí)，PC+PE的值最小，最小值為CE,再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得點(diǎn)E在邊48上，然后根據(jù)

垂線段最短可得當(dāng)CE1/8時(shí)，CE的值最小，最后利用三角形的面積公式求解即可得.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于期的對(duì)稱點(diǎn)E,連接CE,尸E,

.-.PC+PQ=PC+PE,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)CRE共線時(shí)，尸C+PE的值最小，最小值為CE,

???3平分N8/C,

???點(diǎn)E在邊43上，

由垂線段最短可知，當(dāng)CE1/2時(shí)，CE的值最小，

則此時(shí)SOM=，4氏?！?j/。2。，BP-xlOC￡=-x6x8,

2222

解得CE=4.8,

即尸C+P。的最小值是4.8,

故選：c.

2.如圖，在△Z8C中，AB=AC=\O,BC=12,AD=8,M是一歷1C的角平分線，若E,尸分別是40

和/C上的動(dòng)點(diǎn)，貝UEC+E尸的最小值是.

,林4▼48

【答案】y

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，三角形的面積，垂線段最短，作產(chǎn)關(guān)

于M的對(duì)稱點(diǎn)尸'，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)尸'在48上，當(dāng)C尸」4B時(shí)-，EC+E尸的最小值為C尸'，再利用面積

法求出CF'的長(zhǎng)即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:作尸關(guān)于ND的對(duì)稱點(diǎn)尸'，

???必是/R4c的平分線，

*點(diǎn)尸'在48上,

???EF=EF',

.?.當(dāng)CF'_LAB時(shí)，EC+EF的最小值為CF',

AB=AC,4D是—A4C的平分線，

ADJ.BC,

.-.S,?=LBCXAD=LABXCF,

AABLR22

.-.12x8=10xCF,

.-.CF'=^,

48

.??七。+斯的最小值為彳，

48

故答案為：—.

3.唐朝著名詩(shī)人李頑的代表作品《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱

含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖1,詩(shī)中將士在觀望烽火之后從山腳下的/點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到8

點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對(duì)稱的方法解決這個(gè)問題.

B

B'

圖I圖3

(1)如圖2,作點(diǎn)8關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)8',連接2二與直線/交于點(diǎn)C,點(diǎn)C就是所求的位置.

理由：如圖3,在直線/上另取不同于點(diǎn)C的任一點(diǎn)C',連接NC',BC,B'C,

因?yàn)辄c(diǎn)8、3,關(guān)于直線/對(duì)稱，點(diǎn)C、C'在直線/上,

所以C8=_,CB

所以4C+CB=4C+C8'=_,

在△4C時(shí)中,依據(jù)

可得AB'<4C'+C'3',

所以NC+C8</C'+C?,

即HC+CB最小.

(2)遷移應(yīng)用：如圖4,ZUBC是等邊三角形，N是N3的中點(diǎn)，40是8C邊上的中線，4D=6,M是40

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接W、MN,則3M+MN的最小值是一

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到CB=CQ,C'B=C'B',然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊求

解即可；

(2)連接MC,NC,根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)N,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，2M+MV有最小值，即NC的長(zhǎng)度，然后

根等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：理由：如圖3,在直線/上另取不同于點(diǎn)C的任一點(diǎn)C',連接NC,B'C,

因?yàn)辄c(diǎn)8、3,關(guān)于直線/對(duì)稱，點(diǎn)C、C'在直線/上，

所以C3=C3',CB=CB',

所以/C+CB=/C+C8'=/B',

在△/CW中，依據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊

可得48'</C'+C'8',

所以4C+C3</U+C?,

即NC+CB最小.

故答案為：CB',CB',AB',三角形的任意兩邊之和大于第三邊；

(2)解：如圖所示，連接MC,NC,

???△4BC是等邊三角形，40是2c邊上的中線，

??.40垂直平分8C,

BM=CM,

：.BM+MN=CM+MN>NC,

二當(dāng)點(diǎn)N,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，5M+MN有最小值，即NC的長(zhǎng)度，

???40=6,N是的中點(diǎn)，△4BC是等邊三角形，

NC=AD=6,

.?.8"+MN的最小值為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，三角形三邊關(guān)系,等邊三角形的性

質(zhì)等知識(shí)，正確掌握兩點(diǎn)之間，線段最短是解題的關(guān)鍵.

_?！窘?jīng)典例題二將軍飲馬之線段差最值】

【例2】如圖，在△4BC中，AB=CB,AB=100°.延長(zhǎng)線段8c至點(diǎn)。，使CD=BC,過點(diǎn)。作射線

DP，點(diǎn)￡為射線。尸上的動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)A,。作直線EC的垂線放，DN.當(dāng)?shù)闹底畲?/p>

時(shí)，//CE的度數(shù)為.

【答案】130。/130度

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì).如圖，過點(diǎn)3

作直線/于點(diǎn)證明=推出W與他重合時(shí)，的值最大，此時(shí)|NX-QN|=43,

畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)8作3"直線/于點(diǎn)

???。"，直線/,直線/,

ZDNC=ZBHC,

ZDCN=ZBCH,BC=CD,

:.ACDN知CBH（ASA）,

BH=DN,

：.\AM-DN\=\AM-BH\,

?.?力〃與奶重合時(shí)，MM-BW的值最大,

.,.當(dāng)DN與QP重合，ZAf與重合時(shí)，叫叫的值

?/Z^BC=100°,

/.4cBM=180°-100°=80°,

vAMLCE,

/.ZAMC=90°f

Z5CM=90°-80°=10°,

又;AB=BC,

ZACB=(180°-100°)4-2=40°,

/ACE=180°-NACB-/BCM=180°-40°-10°=130°,

故答案為：130。.

「變式訓(xùn)練

1.如圖，AB//DP,E為DP上一動(dòng)點(diǎn),23=C5=CZ),過A作/N1EC交直線EC于N,過。作DMJ.EC

交直線EC于點(diǎn)AT,若々=114。，當(dāng)/N-DM的值最大時(shí)，則44CE=.

【分析】當(dāng)DWr與DP重合，4N與重合時(shí)，MN-OM的值最大，此時(shí)MN-Z>M=48，畫出相應(yīng)的圖形,

根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的意義，求出結(jié)果.

【詳解】解：當(dāng)。M與。尸重合，/N與48重合時(shí)，⑷VRM的值最大，此時(shí)⑷

Pi

'A

￡(A/)////

D

N

■■■AABC=1140,

.?ZCDE=18O°-114°=66°,

.-.zMCD=90°-66°=24°,

又?；AB=BC,

.-.AACB=(180°-114°)+2=33°,

山CE=180°ZC3-NDCM=180°-33°-24°=123°,

故答案為：123。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫

出相應(yīng)圖形是解決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).已知△ZBC

的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑴畫出格點(diǎn)三角形ABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的；

(2)AH8'C的面積是

(3)在直線上找出點(diǎn)P,使|P/-PC|最大，并求出最大值為一.(保留作圖痕跡)

【答案】(1)見解析

⑵5

(3)見解析，回

【分析】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，線段最短，勾股定理;

(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可.

(2)利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可.

(3)延長(zhǎng)ZC,交直線DE于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.利用勾股定理求出/C的長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖所示，AHB'C'即為所求；

11133

(2)A/'8'C'的面積是一x(l+3)x4——x3xl——xlx3=8---------=5

2''2222

(3)如圖所示，延長(zhǎng)ZC,交直線QE于點(diǎn)P,

D

E

止匕時(shí)|P/-PC|=/C,為最大值，

則點(diǎn)尸即為所求.

由勾股定理得，AC=V32+l2=Vio>

二最大值為JiU.

故答案為：Vio.

3.如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.

(1)畫出△4月G，使它與△NBC關(guān)于直線"N對(duì)稱;

⑵在直線MN上畫出點(diǎn)。，使ZBDM=ZCDN.

(3)在直線上畫出點(diǎn)尸，使|P4-PC|最大.

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

(3)見詳解

【分析】(1)分別作點(diǎn)/、B、C關(guān)于直線MV的對(duì)稱點(diǎn)4、用、G；順次連接4、4、。所得的三角形

即為所求.

(2)連接3G交直線"N于點(diǎn)。即可作答；

(3)延長(zhǎng)ZC交直線于點(diǎn)P即可作答；

【詳解】(1)如圖，

即用G為所求;

(2)如圖，

證明：根據(jù)對(duì)稱性可知ZC\DN=ZCDN,

根據(jù)對(duì)頂角相等可得：NCQN=NBDM,

即有=

(3)如圖，

點(diǎn)尸即為所求.

證明：如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在耳處時(shí)，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可知：\PA-PC\<AC.

當(dāng)點(diǎn)/、C、P在三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)有：PA-PC=AC；

綜上有：|PN-PC|W/C,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)/、C、尸在三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

即點(diǎn)尸滿足要求.

【點(diǎn)睛】本題考查了作軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，掌握軸對(duì)稱

圖形的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

一?！窘?jīng)典例題三將軍飲馬之兩定一動(dòng)最值】

【例3】小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)/,3提供牛奶，要使4,2兩小區(qū)到送奶站的距

離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）.

居民區(qū)4/

B、〃居民區(qū)8

街^—

居民區(qū)3居民區(qū)/

二D.\號(hào)民區(qū)8

街道-

【答案】c

【分析】本題考查軸對(duì)稱-最短路線的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題.會(huì)作對(duì)稱點(diǎn)

是解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用.另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：

三角形的兩邊之和大于第三邊.先作點(diǎn)A關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)H,再根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，得

出+再進(jìn)行邊的等量代換，即可作答.

【詳解】解：如圖：作點(diǎn)A關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)連接力'3交街道所在直線于點(diǎn)C,

...A,C=AC,

??.AC+BC=A'B,

在街道上任取除點(diǎn)。以外的一點(diǎn)C,連接HC,BC,AC,

/.AC'+BC'=AC+BC,

在△，（區(qū)中，兩邊之和大于第三邊，

A'C'+BC'>AB,

/.AC+BC>AC+BC,

.??點(diǎn)。到兩小區(qū)送奶站距離之和最小.

區(qū)變式訓(xùn)練

【變式4-1］（2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的4處牧馬,

而他正位于他的小屋8的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事

情所走的最短路程是多少？

小河

北

牧童3

I

I十東

I

I

n

?8小屋

【答案】17km

【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線MM由題意先作/關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4B,構(gòu)建直角三

角形，貝U4B就是最短路線；在中，AA'DB=90°,BD=8km,A'D=AD+A'A,利用勾股定理

即可求出4B.

【詳解】如圖，做出點(diǎn)/關(guān)于小河MN的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4B交血W于點(diǎn)尸，則4B就是牧童要完成這件事情

所走的最短路程長(zhǎng)度.

由題意知：4。=4+4+7=15km,BD=8km,ND=90。,

在中，由勾股定理求得4B=>JA'D2+BD2=17km,

則他要完成這件事情所走的最短路程是17km.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正A45C的邊長(zhǎng)為2,過點(diǎn)2的直線/L43,且A42C

與關(guān)于直線1對(duì)稱，D為線段8C上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是.

【答案】4

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)得到乙45。=乙4/0=60。，A'B=AB=BC=2,證明△CAD三

BD,得到CD=4。，推出當(dāng)A、D、4三點(diǎn)共線時(shí)，4D+CD最小，止匕時(shí)4D+CZ>=45+/5=4.

【詳解】解：如圖，連接4D,

??,正A45C的邊長(zhǎng)為2,A45C與關(guān)于直線/對(duì)稱，

：.^ABC=/,A'BC'=60°,AB=AB=BC=2,

.?ZCBC'=6。。,

:.乙CBC=LA'BC,

,：BD=BD,

:MBD合XNBD,

：.CD=A'D,

：-AD+CD=A'D+CD,

???當(dāng)4、D、4三點(diǎn)共線時(shí)，4Q+CD最小,止匕時(shí)4D+CD=45+45=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問題，正確

掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè))如圖，在△4BC中，AB=AC.^BAC=120。,4B邊的垂直平分線DE

交于點(diǎn)D,若力E=3,

⑴求BC的長(zhǎng);

(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為

【答案】⑴9

⑵9

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證△2BE為等腰三角形，由角度可證△2CE為30。直角三角形，再由

線段之間的關(guān)系即可求出BC的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)將軍飲馬原理即可得出P4+PC的最小值為BC的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)解：???4B=aC,ABAC=120°

=NC=1(180°-NB4C)=30°

???4B邊的垂直平分線交力B于點(diǎn)D,

；.BE=AE=3,

：.Z.BAE=2LB=30°

：./.CAE=ABAC-乙BAE=120°-30°=90°

在中，ZC=30°

??.CE=2AE=6

：.BC=BE+CE=3+6=9

(2)解：如圖，

取點(diǎn)4關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)B；連接B,C兩點(diǎn)，與直線DE交于點(diǎn)P(E),

vPA=PB

??.PA+PC=PB+PC

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短

則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的軸對(duì)稱，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對(duì)稱性質(zhì)的充分

利用是解題關(guān)鍵.

_。【經(jīng)典例題四三點(diǎn)共線最大值】

【例5】如圖，在△回(?中，AB=AC,AC的垂直平分線交力C于點(diǎn)N,交4B于點(diǎn)跖AB=12cm,△BMC

的周長(zhǎng)是20cm,若點(diǎn)P在直線MN上，貝iJPA—PB的最大值為.

A

【答案】8cm

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到M4=MC,再利用三角形兩邊之差小于第三邊解答即可.

【詳解】解：；MN垂直平分4C,

???MA=MC,

又,**C&BMC=BM+MC+BC-20cm,BM+MA—AB-12cm,

BC=20-12=8cm,

在MN上取點(diǎn)P,連接尸4、PB、PC,

?-?MN垂直平分AC,

PA=PC,

???PA-PB=PC-PB,

^.APBC^PC-PB<BC,

當(dāng)P、B、C共線時(shí)，即P運(yùn)動(dòng)到與P重合時(shí)，（PC—PB）有最大值，

止匕時(shí)PC—PB=BC=8cm.

故答案為：8cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段之差的最大值，熟練運(yùn)用三角形邊角關(guān)系與垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

區(qū)變式訓(xùn)練

1.如圖，AC,3。在的同側(cè)，AC=2,BD=8,=10,M為48的中點(diǎn)，若/CW=120。，則CD

的最大值為（）

D

【答案】B

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于CM的對(duì)稱點(diǎn)H,點(diǎn)3關(guān)于的/的對(duì)稱點(diǎn)?，連接C4'、MA'、MB'、A'B',B'D,由

對(duì)稱的性質(zhì)得=MB=MB',B'D=BD=8,A'C=AC=2,再由“有一個(gè)角為60。的等腰三角形是

等邊三角形."可判定AHMB'為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得/'C+/2'+3'D=NC+/M+8D,由

CD<CA'+A'B'+B'D,即可求解.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于。W的對(duì)稱點(diǎn)H,點(diǎn)5關(guān)于ZMZ的對(duì)稱點(diǎn)?，連接C4'、MA'、MB'、

B'D=BD=8,

A'C=AC=2,

■■M為4?的中點(diǎn)，

：.MA=MB,

：.MA'=MB',

■：ZCMD=\20°,

ZAMC+NDMB=60°,

NCMA'+NDMB'=60°,

:.ZA'MB'=n00-60°=60°,

為等邊三角形，

:.A'B'=MA

=-AB=5,

2

A'C+A'B'+B'D

=AC+AM+BD

=2+5+8=15

■：CD<CA'+A'B'+B'D,

，8的最大值為15,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱在幾何變換中的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等，根據(jù)題

意構(gòu)建等邊三角形來(lái)轉(zhuǎn)移線段是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，△4BC為等腰直角三角形，44cB=90。也在ZUBC的內(nèi)部，ZACM=4ZBCM,尸為射線CM

上一點(diǎn)，當(dāng)1力-28|最大時(shí)，/C3P的度數(shù)是.

【答案】117。/117度

【分析】作點(diǎn)/關(guān)于直線CM的對(duì)稱點(diǎn)H,連接H8并延長(zhǎng)交C"于點(diǎn)尸，交于點(diǎn)D,則點(diǎn)尸就是使

目的值最大的點(diǎn)，同=/方，連接?C,根據(jù)題意得出/BCN=18o,NNCM=72。，再由等角

的余角相等及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)N關(guān)于直線CW的對(duì)稱點(diǎn)H,連接H8并延長(zhǎng)交CW于點(diǎn)尸，交48于點(diǎn)。，則點(diǎn)

P就是使|尸/-2目的值最大的點(diǎn)，-尸4=42,連接?C,

???△/8C為等腰直角三角形，

:./CAB=ZABC=45°,ZACB=90°,

???/ACM=4/BCM

/BCM+/ACM=5ZBCM=90°,

ABCM=18。,/ACM=72°,

?：AC=AC,

:.AC=BC,NCA'A=NCAA'，

???ACAA!+zS4CM=180°-90°=90°，ZPCB+ZACM=90°

??.NCAA'=ZPCB=18。=ZCArA,

.?.24G4'=180。一18。-18。=144°，

Z5C4r=144°-90°=54°,

?.?A'C=BC,

1800-54°

：.ACBA!=―—―=63°,

2

.?.ZCSP=180o-63o=117°,

故答案為：117。.

【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及等角的余角相等，理解題

意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

3.如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)/、B、C、M、N都在格點(diǎn)上.

⑴畫出關(guān)于直線對(duì)稱的△44G.

⑵若以N點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,5）,則AABC關(guān)于x軸對(duì)稱MB2c2，寫出點(diǎn)4,G

的坐標(biāo).

⑶在直線AW上找點(diǎn)尸使|心-尸4|最大，在圖形上畫出點(diǎn)尸的位置，并直接寫出|必-尸/|的最大值.

【答案】(1)見解析

⑵4(-5,-3),C2(-1,-2)

(3)畫圖見解析，3

【分析】(1)先畫出A、B、c對(duì)應(yīng)點(diǎn)4、4、G的位置，然后順次連接4、耳、G即可；

(2)根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系，然后求出A、C的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐

標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可；

(3)如圖所示，連接《尸，BP,"，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到工尸=4尸，由三角形三邊的關(guān)系可知，

PB-PAX<AXB,故當(dāng)同、B、P三點(diǎn)共線，點(diǎn)尸與點(diǎn)耳重合時(shí)，依-尸4的值最大，最大為4凡據(jù)此求解

即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，△44G即為所求；

(2)解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-5,3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1，2),

???LABC與“BS關(guān)于x軸對(duì)稱，

...點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-5,-3)，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(-1,-2)；

（3）解：如圖所示，連接工尸，BP,A.P,

A與4關(guān)于直線MN對(duì)稱，

AP=4P,

：.\PB-P^\=\PB-PA\,

由三角形三邊的關(guān)系可知，PB-PA^A.B,

二當(dāng)4、B、P三點(diǎn)共線，點(diǎn)尸與點(diǎn)［重合時(shí)，P2-P4的值最大，最大為4B,

??」網(wǎng)一/,最大小=3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫軸對(duì)稱圖形，坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱，寫出坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形三

邊關(guān)系的應(yīng)用等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

_?！窘?jīng)典例題五雙對(duì)稱關(guān)系求周長(zhǎng)最小值】

【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，ZBAE=120°,ZB=ZE=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、DE±

分別找到一點(diǎn)M、N,使得AMW的周長(zhǎng)最小，則乙"W+//NM的度數(shù)為（）

C.120°D.130°

【答案】C

【分析】根據(jù)要使A/兒W的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，/關(guān)于和即

的對(duì)稱點(diǎn)/,A',即可得出4'+Z/=NttM=60。，進(jìn)而得出4ACV+N4Ml/=2（4'+Z/）即可得出答案.

【詳解】解：作/關(guān)于8c和瓦）的對(duì)稱點(diǎn)/,A',連接/,/,交BC千M,交即于N,則/即為

120°,

N/+4=NHAA'=60°,

*.*ZA'=ZMAA,//=ZNAE,

且乙4'+NM44'=ZAMN,Zjf+ANAE=ZANM,

/.//+NMA/+ZNAE+4=ZAMN+ZANM=2(4+4)=2x60。=120。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí),

根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關(guān)鍵.

X變式訓(xùn)練

1.如圖，在四邊形48co中，ZJ=NC=9O。，48=32。，在邊5c上分別找一點(diǎn)E,尸使△DE尸的周

長(zhǎng)最小，此時(shí)㈤)E=()

C.114°D.116°

【答案】D

【分析】如圖，作點(diǎn)。關(guān)于A4的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)。關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)0,連接尸0,交4B于E,交BC于

F',則點(diǎn)方,尸即為所求，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可得出答案.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于A4的對(duì)稱點(diǎn)尸，點(diǎn)。關(guān)于3c的對(duì)稱點(diǎn)0,連接PQ,交4B于E',交BC

于尸，則點(diǎn)尸即為所求.

P、

O

,?,四邊形/BCD中，ZJ=ZC=90°,48=32。，

山DC=180。-32°,

由軸對(duì)稱知，4ADE'=KP,乙CDF'=KQ,

在△P。。中，"+40=180。-乙4。。

=180°-(180°-32°)

=32°,

；.4ADE'+乙CDF'=4尸+40=32°,

:/EDF=UDC-"DE=乙CDF)

=180°-32°-32°

=116°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短線路問題求法以及四邊形的內(nèi)角和定理等

知識(shí)，根據(jù)已知得出￡尸的位置是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△48C中，AB=AC=1Qcm,BC=9cm,48的垂直平分線交于點(diǎn)交AC于點(diǎn)、N,在

直線及W上存在一點(diǎn)P,使P、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的△心(7的周長(zhǎng)最小，則△尸3C的周長(zhǎng)最小值為.

【答案】19cm

【分析】如圖所示，連接的，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到=則當(dāng)4P、C三點(diǎn)共線時(shí)，"+PC

有最小值，最小值為ZC的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接⑷

???/3的垂直平分線交于點(diǎn)交NC于點(diǎn)N,點(diǎn)尸在直線上，

AP=BP,

.?.△尸3。的周長(zhǎng)=尸2+尸。+8。=尸/+2。+8。，

.??當(dāng)融+PC最小時(shí)，尸3+PC最小，即此時(shí)△心（7的周長(zhǎng)最小，

二當(dāng)4P、C三點(diǎn)共線時(shí)，R4+PC有最小值，最小值為ZC的長(zhǎng)，

；.4PBC的周長(zhǎng)最小值=AC+BC=19cm,

故答案為：19cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：線段垂直平

分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.

3.在草原上有兩條交叉且筆直的公路CM、OB,在兩條公路之間的點(diǎn)尸處有一個(gè)草場(chǎng)，如圖，

N/03=30。，。尸=6.5.現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動(dòng)放牧，分別記為M、N,若存在M、N使得APAW

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱——最短路線問題.作出軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)，等邊三角形

的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

作點(diǎn)P關(guān)于直線。/的對(duì)稱點(diǎn)C,作點(diǎn)P關(guān)于直線08的對(duì)稱點(diǎn)。，連接CD,分別交。/、OB于M、N,得

至bPMN,其周長(zhǎng)的最小值等于CD長(zhǎng)，由軸對(duì)稱性質(zhì)證明OC=OD=6.5,ZCOD=60°,得到△COD是

等邊三角形，即得8=6.5.

【詳解】如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于直線。/的對(duì)稱點(diǎn)C,作點(diǎn)P關(guān)于直線02的對(duì)稱點(diǎn)。，連接。，分別交。/、

03于點(diǎn)M、N,

貝！1cM=PM,DN=PN,

：.xPMN的周長(zhǎng)的最小值為PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD,

OC=OP=6.5,OD=OP=6.5,

OC=OD=6.5,

???NAOC=NAOP,ZBOD=ZBOP,ZAOP+ZBOP=ZAOB=30°,

ZCOD=ZCOP+ZDOP=2(ZAOP+/BOP)=60°,

.?.△C。。是等邊三角形，

CD=OC=6.5,

.?.△PAW的周長(zhǎng)的最小值為6.5.

故答案為：6.5.

D

&【經(jīng)典例題六兩定兩動(dòng)型最值】

【例6】幾何模型：條件：如圖1,/、2是直線/同旁的兩個(gè)定點(diǎn).

問題：在直線/上確定一點(diǎn)P,使P2+PB的值最小.

解法：作點(diǎn)/關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4B,貝U4B與直線/的交點(diǎn)即為P,且P4+PB的最小值為線段

4B的長(zhǎng).

BB

（1）根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決問題的圖形；

（2）應(yīng)用：①如圖2,已知乙4OB=30。，其內(nèi)部有一點(diǎn)p,0P=12,在乙40B的兩邊分別有C、。兩點(diǎn)（不

同于點(diǎn)0）,使△PCD的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出草圖，并求出周長(zhǎng)的最小值；

②如圖3,NAOB=20。，點(diǎn)M、N分別在邊04、0B上,且。M=0N=2,點(diǎn)尸，。分別在。B、0A±,則

MP+PQ+QN的最小值是.

【答案】（1）見解析

⑵①⑵②2

【分析】（1）根據(jù)模型作出圖形;

（2）①分別作P關(guān)于。4、0B的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接MN,交。4、。8于C、D,則△PCD的周長(zhǎng)最小，進(jìn)而

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)推出AMON為等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果；②作點(diǎn)M關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)M一點(diǎn)N關(guān)于04

的對(duì)稱點(diǎn)N，，連接MW，交。B于P,交。4于Q,連接PM、NQ,此時(shí)MP+PQ+QN的值最小，最小值為

進(jìn)而推出△為等邊三角形，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖1,

作法：（I）作P關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)M,

(II)作點(diǎn)P關(guān)于。8的對(duì)稱點(diǎn)N,

(III)連接MN,分別交。2于點(diǎn)C,交。B于。，

則△PCD的周長(zhǎng)最小，

連接OM、ON,

?二點(diǎn)M和點(diǎn)P關(guān)于。4對(duì)稱，

???OM=OP=12,ZMOC=ZPOC,

同理可得，ON=OP=12,乙POD=LNOD,

：.OM=ON,

乙MOC+NPOC+乙POD+乙NOD=2乙POC+2乙POD=2gPOC+APOD)=2AAOB=60°,

??.△MON為等邊三角形，

：.MN=12,

PCD的周長(zhǎng)=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；

②如圖3,

作法：(I)作點(diǎn)M關(guān)于。B的對(duì)稱點(diǎn)M一點(diǎn)N關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)N-

(II)連接MM交。B于P,交。4于Q,

(III)連接PM、NQ,

OM=OM'=2ON=ON'=2PM=PM'QN=QN',

MP+PQ+QN=PM'+PQ+QN'=M'N',

此時(shí)MP+PQ+QN的值最小，最小值為MM,

OM=OM',ON=ON',MM'1OB,NN'1OA,

AM'OB=AAOB=20°,4N'OA=AAOB=20°,

???AM'ON'=60°,

??.△MOM為等邊三角形，

M'N'=OM'=2,即MP+PQ+QN的值最小為2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲

馬”等模型.

X變式訓(xùn)練

1、如圖，在四邊形/BCD中，4BAD=4B=LD=90。,40=48=4,E是40中點(diǎn)，M是邊2C上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則NM+MN+EN的最小值是.

【分析】作N點(diǎn)關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)小，連接作E點(diǎn)關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)?,連接?N,因此4M+MN+

EN=A1M+MN+E1N,所以最小值為心電，用勾股定理算出即可.

【詳解】解：如圖，作/點(diǎn)關(guān)于2c的對(duì)稱點(diǎn)小，連接作E點(diǎn)關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)出,連接?N,

SB=乙0=90。，點(diǎn)N和點(diǎn)出關(guān)于8C對(duì)稱，點(diǎn)￡和點(diǎn)?關(guān)于DC對(duì)稱,

.-.AM=AIM,EN=EM

.-.AM+MN+EN=&M+MN+E1N>A1E1,

■.AM+MN+EN的最小值是&Ei,

"AD=AB=4,￡是4D中點(diǎn)，

：.AB=A^B-4,ED=E1D=2,

：.AAx=8,AE^=6,

?"40=90°,

.-.AxE1=V62+82=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段和的最值問題，勾股定理、軸對(duì)稱性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵.

2、如圖，在等邊△ABC中，AC=12,4。是8C邊上的中線，點(diǎn)尸是4。上一點(diǎn)，且4P=5.如果點(diǎn)M、N

分別是力B和力。上的動(dòng)點(diǎn)，那么PM+MN+NB的最小值為.

【答案】13

【分析】作點(diǎn)尸關(guān)于4B的對(duì)稱點(diǎn)P,連接CP,交4D于點(diǎn)N，，交力B于點(diǎn)M，，連接PM,BN',連接力P,根

1

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出4C=4B,Z.BAC=60°,根據(jù)三線合一得出4。1BC,^CAD=^BAD=-

X60°=30°,證明4D垂直平分8C,得出BN，=CN\根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出4P，=2P=5,PM'=P'M',

/-P'AB=/.DAB=30°,證明△ACP，為直角三角形，得出P￡=，4P2+"2=13,根據(jù)「眩+M'N'+BN'=

P'M'+M'N'+CN'=P'C,由兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)點(diǎn)M在此處，點(diǎn)N在N，處時(shí)，PM+MN+NB最小,

且最小值為P'C的長(zhǎng)度，即最小值為5.

【詳解】解：作點(diǎn)尸關(guān)于4B的對(duì)稱點(diǎn)P,連接CP,交4D于點(diǎn)N"交48于點(diǎn)連接PM，，BN',連接4P,

如圖所示：

???△48C為等邊三角形，

:.AC=AB,NB4c=60。，

?MD是BC邊上的中線，

1

:.AD1BC,/.CAD=^BAD=x60。=30°,

.?.4。垂直平分BC,

.-.BN'=CN',

???點(diǎn)尸關(guān)于A8的對(duì)稱點(diǎn)為P,

：.AP'=AP=5,PM'=P'M',/.P'AB=乙DAB=30°,

：.^P'AC=60°+30°=90°,

??.△ACP，為直角三角形，

2

■■P'C=VXP'2+AC=13,

.-.PM'+M'N'+BN'=P'M'+M'N'+CN'=P'C,

???兩點(diǎn)之間線段最短，

.??當(dāng)點(diǎn)〃在M處，點(diǎn)N在M處時(shí)，PM+MN+NB最小,且最小值為PC的長(zhǎng)度，即最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì).

一。【經(jīng)典例題七兩動(dòng)一定最值】

【例7】如圖，在銳角三角形/8C中，AB=6,△ABC的面積為18,BD平分4BC,若￡、尸分別是8。、

BC上的動(dòng)點(diǎn)，貝UCE+EF的最小值為.

【答案】6

【分析】過點(diǎn)C作CP1AB于點(diǎn)尸，交BD于點(diǎn)、E,過點(diǎn)E作EF1BC于尸，則CP即為CE+EF的最小值，再

根據(jù)三角形的面積公式求出CP的長(zhǎng)，即為CE+EF的最小值.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CP1AB于點(diǎn)P,交BD于點(diǎn)、E,過點(diǎn)K作EF1BC于R

???BD平分"BC,PE1AB,EF1BC,

：.PE=EF,

.-.CP=CE+PE=CE+EF的最小值.

?.?△力BC的面積為18,AB=6,

.■,-|x6xCP=18,

.'.CP——6.

即CE+EF的最小值為6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，關(guān)鍵是將CE+EF的最小值為轉(zhuǎn)化為CP,題目具有一定的代表

性，是一道比較好的題目.

區(qū)變式訓(xùn)練

1、如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)。、E、尸分別在邊BC、AB,4c上，則線段DE+DF的最小值是（）

A

B.線段EF的長(zhǎng)度

C.BC邊的長(zhǎng)度D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】作AD1BC于點(diǎn)。，當(dāng)DE14B、DF14C時(shí)，線段OE+DF有最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

DE+DF=AD,進(jìn)而得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作2D18C于點(diǎn)。，當(dāng)DE148、DF12C時(shí)，線段DE+DF有最小值,

.-.ABAC=60°,

?：AD1BC,

.-.^BAD=^CAD=30°,

：..DE=^AD,DF=^AD,

；.DE+DF=AD,

.??線段DE+DF的最小值是BC邊上高的長(zhǎng).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì).

2、如圖，在△ABC中，^ABC=90°,BC=8,AC=10,點(diǎn)尸、0分別是邊BC、4C上的動(dòng)點(diǎn)，則4P+PQ

的最小值等于（）

48

A.4C.5D.T

【答案】D

【分析】由勾股定理可得ZB=6,作N關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)4,過點(diǎn)4作4Q14C,交2C于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)P,

根據(jù)對(duì)稱可得：AP+PQ=A'P+PQ>A'Q，得到當(dāng)4,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，力P+PQ最小，再根據(jù)垂線段最短,

得到4Q14C時(shí)，4Q最小,據(jù)此求解即可.

【詳解】解:在△ABC中，AABC=90°,BC=8,AC=10,

■■.AB=7AC2一BC2=6

作/關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)4,過點(diǎn)4作4Q14C,交4C于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)P,

■：AP+PQ=A'P+PQ>A'Q,

當(dāng)4,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PQ最小,

???垂線段最短，

.?.4Q1AC時(shí)，4Q最小，

連接4C,

關(guān)于BC對(duì)稱,

：.A'B=AB=6,

.-.AA'=12,

■,■A'Q1AC,ABIBC

■■SAACA,=-BC=/c?A'Q,即：|xl2x8=|xl0x^Q