中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：相似三角形幾何模型（20大模型）含答案及解析

相似三角形幾何模型分類專題（20大模型）

【題型目錄】

【題型1】“A字”模型............................................................1;

【題型2】“反A字”模型.........................................................2；

【題型3】“8字”模型............................................................3;

【題型4】“反8字”模型.........................................................4；

【題型5】“雙A字”模型.........................................................5；

【題型6】“雙8字”模型.........................................................5；

【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合..........................................6；

【題型8】“共邊等角”模型.......................................................7；

【題型9】“共頂點(diǎn)等角”模型.....................................................7；

【題型10]“母子”模型..........................................................8；

【題型11]“射影”模型..........................................................9；

【題型12】“一線三直角”模型...................................................10；

【題型13】“一線三等角”模型...................................................11;

【題型14】“對角互補(bǔ)”模型.....................................................12；

【題型15】“十字架”模型.......................................................13；

【題型16】“三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型.........................................14；

【題型17】“雙垂直等角”模型...................................................15；

【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型.....................................................15；

【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型...................................................16；

【題型20】“平行線+角平分線=等腰三角形模型”...................................17.

1

【題型1】“A字”模型；

[1-1]（2024?貴州貴陽?二模）如圖，在R￡4BC中,D,E分別為邊BC,ZC上的點(diǎn)，連接￡）￡,將△4BC

沿。￡折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，若4。=5,4E=4,則48的長為（）

A.4B.6C.8D.10

[1-2]（23-24九年級上?全國?單元測試）如圖，在△48C中，BF平分/4BC,/尸_LAF于點(diǎn)尸，。為

48的中點(diǎn)，連接。廠延長交NC于點(diǎn)區(qū)若/3=10,5C=16,則線段跖的長為（）

[1-3]（24-25九年級上,江蘇南通?開學(xué)考試）如圖，在A48c中，ZC=90°,將A43c沿直線MN翻折

后，頂點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)。處，已知MN〃AB,MC=6,NC=4,則四邊形M48N的面積是.

C

【題型2】“反A字”模型；

[2-1]（2024九年級下?云南?專題練習(xí)）如圖，在三角形/8C中，D,E分別是NC,BC邊兩點(diǎn),

AB=6,AC=1,BC=8,若ZB=NCDE,DE=2,貝！JCE的長度是（）

[2-2]（22-23九年級上?四川內(nèi)江?期中）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板。斯測量樹的高度

2

AB,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊。方保持水平，并且邊與點(diǎn)5在同一直線上.已知紙板的兩條邊

DE=OAm,￡F=0.3m,測得邊。尸離地面的高度力C=L5m,CD=20m,則樹高45為（）

A.16.5mB.13.5mC.15mD.12m

[2-3]（23-24九年級下?貴州黔東南?階段練習(xí)）如圖，A/BC中，AB=AC=4,BC=26,以為直

徑的。。分別交/C,BC于點(diǎn)、D,E,連接E。，貝UCD的長為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

[2-4]（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在△/BC中，AC=AB=U,NCAB=90。,點(diǎn)D在C4

延長線上，40=9,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在8。上，NBFE=45。,貝1」所=.

【題型3】“8字”模型；

AF

[3-1]（23-24九年級上?北京?階段練習(xí)）如圖，在菱形45。中，點(diǎn)后在上，AB=5,BE=3,則隹

EF

為（）

[3-2]（23-24九年級下?山東棗莊,開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)￡是線段NC上一點(diǎn),

3

AE-.CE=V.2,過點(diǎn)。作CD〃/8交BE的延長線于點(diǎn)。，若的面積等于4,則△3。的面積等于

()

A.8B.16C.24D.32

[3-3]（2024,福建泉州,模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，BE平分/ABC,4c交BE于點(diǎn)、F,

若CD:ED=3:2,則8尸：￡尸=.

[3-4]（24-25九年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD邊延長線上一點(diǎn)，BE交CD

【題型4】“反8字”模型；

[4-1].（24-25九年級上?上海奉賢?階段練習(xí)）如圖，已知在四邊形中，NC與2。相交于點(diǎn)

AB1AC,CD1BD.

（1）求證：AAODSABOC；

(2)若AO-.OB=2-.\S△心,=4,求S,BOC的值.

4

DE

【4-2]（2。24?河北秦皇島?一模）如圖所示,”是。。的直徑,弦/G皿相交于二則而可能是

34

A.-B.1C.一D.-

323

[4-3]（24-25九年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，已知乙4=/。，/C=1.5,CE=\,8。=0.8,則

AB

[4-4]（23-24九年級上?安徽?單元測試）已知：如圖，在。。中，弦CQ相交于點(diǎn)尸，尸4=2,

【題型5】“雙A字”模型;

[5-1]（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖1,已知△45C,。是5。上一點(diǎn)，EF〃BC交AB于點(diǎn)

EGGF

E,交4c于點(diǎn)F,連接4D,4D與EF交于G.求證：—

BDDC

5

[5-2]（24-25九年級上?上海虹口?階段練習(xí)）如圖所示，在△4BC中，DE//BC,平分N8/C,交

DE于點(diǎn)、P,如果DE=6,8C=8,/0=12,那么/P的長是.

[5-3]（23-24九年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，已知AB"EF口CD,若48=6cm,CD=9cm,則

EF=.

[5-4]（2024?遼寧?模擬預(yù)測）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了"小孔成

像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理.小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O,物體在幕布上形

成倒立的實(shí)像co（點(diǎn)/、2的對應(yīng)點(diǎn)分別是C、。）.若物體的高為360",實(shí)像的高度為12c加,

則小孔。的高度為cm.

A

BEC

【題型6】“雙8字”模型；

[6-1]（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）如圖，在A/8C中，點(diǎn)。、尸分別在邊8C、4B上,線段40、CF

相交于點(diǎn)E,且切＞:。。=1：2,AE;ED=3:5.若尸的面積為2,則△4BC的面積為（）

BDC

6

A.4B.5C.6D.7

[6-2]（2024?陜西渭南?二模）如圖，平行四邊形/BCD中，AE=^EB,AF^^FD,連￡、尸交NC于

[6-3]（23-24九年級上?上海松江?階段練習(xí)）如圖，平行四邊形/BCD中，AB=28,E,尸是對角線/C

上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)E,尸是線段/C的三等分點(diǎn)，DE交AB于點(diǎn)M,MF交CD干點(diǎn)、N,則CN=_____.

DNC

AMN

【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合；

[7-1]（24-25九年級上?河南南陽?階段練習(xí)）如圖,AB//CD//EF,NC與AD相交于點(diǎn)若

CD

CE=5,。尸=4,AE=BC,則丁值是（）

AB

A

AB

211

A.-B.—C.一D1

3234

[7-2]（23-24九年級下,浙江金華?開學(xué)考試）如圖,在平行四邊形中，￡是邊延長線上的一

點(diǎn)，連結(jié)8E交邊CD于點(diǎn)尸，交對角線NC于點(diǎn)G,彳與DE=1,AD=2,則四y的B=_____.

J&BCF

E

7

【題型8】“共邊等角”模型；

[8-1]（2024?廣東惠州?二模）如圖，四邊形Z3CD是某學(xué)校的一塊種植實(shí)驗(yàn)基地，其中“8C是水果園,

是蔬菜園.已知/8〃C￡）,AB=27m,AC=18m,CD=12m.

（1）求證："BCSACAD；

（2）若蔬菜園ANCD的面積為80m2,求水果園“3C的面積.

【8-2]（2024?江蘇揚(yáng)州?三模）如圖，在中，44c3=90。，AB=3,。為直線NC左側(cè)一點(diǎn).若

"BCSACAD,則BC+CD的最大值為.

[8-3]（22-23九年級下?廣東汕頭?階段練習(xí)）如圖，已知乙4c8=/。=90。，下列條件中不能判斷ZUBC

和△BCD相似的是（）

A.AB//CDB.BC平分NABD

C.NABC+NDBC=90°D.AB:BC=BD:CD

【題型9】“共頂點(diǎn)等角”模型;

[9-1]在和△/￡￡>中，ABAD=AC-AE,/BAD=NCAE,求證：AABCs-ED.

8

[9-2]（23-24九年級上?廣東深圳?期中）在銳角三角形/8C中，點(diǎn)。、E分別在邊/8、AC±.,AF1BC

于點(diǎn)尸，/6，。￡于點(diǎn)6,NBAF=NEAG.

（1）求證：AABC?“ED；

（2）若AB=5,AG=2,EG=1,求井的長.

【題型10]“母子”模型

[10-1]（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C是行的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作射線BD

的垂線，垂足為E.若BE=3,AB=4,則2C的長為.

[10-2]（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，在△/8C中，44=120。，點(diǎn)。在N5邊上,

ZB=ZACD=15°.則率四的值是_____.

,△BDC

[10-3]（2023?四川樂山?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)2（0,3）、5（4,0）），點(diǎn)尸

是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)中.若。P=2,則尸/+口8的最小值為一.

9

y，

A

o

【題型in與“射影”模型;

[11-1]（20-21九年級?江蘇南京咱主招生）點(diǎn)G為。C的中點(diǎn)，CD=12,8c=9,△DEG沿EG翻折

使點(diǎn)尸落在BE上，四邊形ABCD為矩形，求EG=.

[11-2]（22-23九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在RtZ\/8C中，ZACB=90°,CD是邊上的

高，AC=372,48=9，則線段40長為（）

C.3D.72

[11-3]（22-23九年級下?江蘇宿遷咱主招生）如圖，已知為。。的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，。為線

段。2上一點(diǎn)（不是端點(diǎn)），滿足DELCO,E為垂足，若C￡=10,且/。與D5的長均為正

整數(shù)，則線段4D的長為.

10

[11-4]（2024?江蘇徐州?中考真題）在ZUBC中，點(diǎn)。在邊N8上，若CD?=AD-DB,則稱點(diǎn)。是點(diǎn)C

的"關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

ADB

圖⑵

（1）如圖（1）,在△4BC中，若N/C2=90。，CD于點(diǎn)。.試說明：點(diǎn)。是點(diǎn)C的"關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

（2）如圖（2）,已知點(diǎn)。在線段上，用無刻度的直尺和圓規(guī)作一個(gè)△/SC,使其同時(shí)滿足下列條件：①

點(diǎn)。為點(diǎn)C的"關(guān)聯(lián)點(diǎn)"；②//C8是鈍角（保留作圖痕跡，不寫作法）.

⑶若△/BC為銳角三角形，且點(diǎn)。為點(diǎn)C的"關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.設(shè)=DB=n,用含〃?、"的代數(shù)式表示/C

的取值范圍（直接寫出結(jié)果）.

【題型12】“一線三直角”模型；

[12-1]（22-23九年級下?重慶渝中?自主招生）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形043c的邊040C

分別落在X、y軸上，點(diǎn)2坐標(biāo)為（6,4）,反比例函數(shù)了=9的圖象與邊交于點(diǎn)。，與邊交于點(diǎn)E,連接

DE,將△8OE沿DE翻折到處，點(diǎn)"恰好落在正比例函數(shù)＞=依圖象上，則左值為.

[12-2]（2024?遼寧?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形O/8C的邊OC、0/分別在x軸和

y軸上，。4=15,點(diǎn)。是邊N2上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將△04D沿直線0D折疊后得到△O4A,若反

比例函數(shù)》=勺（在片0）的圖象經(jīng)過4點(diǎn)，貝義的值為（）

11

[12-3]（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在矩形/BCD中，AB=6,將矩形折疊，使點(diǎn)8落到CD

邊上的中點(diǎn)E處，折痕為/尸，則CF的長為（）

A.V3B.1C.2D.3

[12-4]（22-23九年級上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?階段練習(xí)）（1）如圖1,點(diǎn)E為正方形/BCD對角線/C上一

動點(diǎn)，過點(diǎn)E作成）交5c于點(diǎn)尸，試判斷線段研）、斯的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖2,點(diǎn)E為矩形/BCD對角線/C上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作交3c于點(diǎn)尸，若48=2,

DFDF

NACB=3Q°,試判斷筆的值是否為定值？若是定值，請求出筆的值;若不是定值，請說明理由.

EFEF

【題型13】“一線三等角”模型；

[13-1]（24-25九年級上?上海虹口?階段練習(xí)）如圖所示，已知等邊△/8C的邊長為4,點(diǎn)。在8c邊上

且2。=1,點(diǎn)￡在/C邊上，ZADE=60°,那么CE的長是.

12

[13-2](24-25九年級上?陜西西安?開學(xué)考試)如圖，已知等腰三角形/8C中，

AB=AC=20cm,8c=30cm,點(diǎn)p從點(diǎn)8出發(fā)沿BA以4cm/s的速度向點(diǎn)/運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿CB

以3cm/s的速度向點(diǎn)2運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，當(dāng)△BP。與相似時(shí)，BP=cm.

[13-3](24-25九年級上?河北承德?階段練習(xí))在等邊三角形48c中，=4,點(diǎn)N分別是8C,AC

上的點(diǎn)，且NNMN=60。.

(1)求證：ZBAM=ZCMN；

3

(2)點(diǎn)/在什么位置時(shí)，CN的長為了.

4

[13-4](2024?河北秦皇島?模擬預(yù)測)如圖，△NBC和戶是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

/BAC=/EDF=90。,9￡尸的頂點(diǎn)￡與AABC的斜邊的中點(diǎn)重合，將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程

中，線段。E與線段N8相交于點(diǎn)P,線段即與射線C4相交于點(diǎn)。.

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)0在線段/C上，且=時(shí)，求證：ABPE/4CQE；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段C4的延長線上時(shí)，求證：ABPESACEQ.

圖①圖②

13

【題型14】“對角互補(bǔ)”模型；

[14-1]（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在Rt448C中，ZC=90°,AC=BC,。是48邊上

一點(diǎn)，且AD=24D,E是/C邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE的垂線交線段2C于點(diǎn)尸，試探究線段工￡,

BF,之間的數(shù)量關(guān)系.

[14-2]（24-25九年級上?河北石家莊?階段練習(xí)）如圖，在Rd/BC中，NACB=90。,NABC=30°,

QA1

直角AMON的頂點(diǎn)。在上，OM、ON分別交C4、CB于點(diǎn)尸、Q,AMON繞點(diǎn)。任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，京=彳

OB2

OPr）A"7OP

時(shí)，7萬的值為_______;當(dāng)匕='時(shí)，7萬的值為________.（用含加，"的式子表示）

UQOBn

【題型15】“十字架”模型;

[15-1]（23-24九年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD^,EF1GH,若AB=3,BC=4,

則EF-GH的值為.

[15-2]（23-24九年級上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）如圖所示，將矩形428分別沿BE,EF,FG翻折,

翻折后點(diǎn)4點(diǎn)。，點(diǎn)C都落在點(diǎn)〃上，若48=4,則GH=

14

[15-3]（23-24九年級下?全國?單元測試）如圖，在正方形中，/8=15,點(diǎn)E,廠分別在邊BC,

上，/￡與B尸相交于點(diǎn)G,若BE=CF=8,則8G的長為

[15-4]（2024?海南?？?三模）如圖，矩形48CD中，4B=12,BC=5,點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)尸在邊CZ）

上，點(diǎn)G、，在對角線/C上，若四邊形EG五H是菱形，則/￡的長是（）

169

A.—B.7C.8D.—

1224

【題型16]“三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型；

[16-1]（24-25九年級上?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，有一塊形狀為直角三角形的余料/BC.已知

N/=90。，AB=6cm,ZC=8cm,要把它加工成個(gè)平行四邊形工件。EFG,使G尸在邊8c上，D,￡兩

點(diǎn)分別在邊48,AC±,且。E=5cm,則平行四邊形DEFG的面積為

[16-2]（24-25九年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，在Rt448C中，ABAC=90°,48=5,斜邊上的高

AH=3,矩形DEFG的邊。E在邊8C上，頂點(diǎn)G、尸分別在邊/3、AC±.,如果G廠恰好經(jīng)過△ABC的

重心，那么8。的長為（）

4

D.2

2

[16-3]（24-25九年級上?上海虹口?階段練習(xí)）A48C表示一塊直角三角形空地，己知N/C5=9（T,邊

15

/C=4米，8c=3米.現(xiàn)在根據(jù)需要在空地內(nèi)畫出一個(gè)正方形區(qū)域建造水池，現(xiàn)有方案一、方案二分別如

圖1、圖2所示，請你分別計(jì)算兩種方案中水池的邊長，并比較哪種方案的正方形水池面積更大.

【答案】方案一：y,方案二：詈，方案一的正方形水池面積更大.

【分析】方案一：設(shè)正方形邊長為x米，利用平行線分線段成比例定理即可求出正方形的邊長；方案二:

根據(jù)題意畫出圖形，作力3交DG于點(diǎn)P.根據(jù)直角三角形的面積得出S的長，利用相似三角形的

判定定理即可得出ACDGSAC/8,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出正方形的邊長；把兩方案中

正方形的邊長進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.

[16-4]（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在△ZSC中，CDL4B于點(diǎn)D,正方形EFGH的四個(gè)頂

16

點(diǎn)都在"C的邊上.求證：

【題型17】“雙垂直等角”模型

[17-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測）如圖，在Rt448C中，NACB=90°,AC=3,BC=4,￡為線

3

段42上一動點(diǎn)，AECF=9Q°^.CF=-CE,當(dāng)點(diǎn)￡從點(diǎn)3運(yùn)動到點(diǎn)/時(shí)，點(diǎn)廠的運(yùn)動路徑長為

4

[17-2]（23-24九年級上?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）如圖，△/SC和△EDC都是等腰直角三角形，

Z4c3=NECD=90。，頂點(diǎn)A在邊ED上，N8與CE相交于點(diǎn)尸，若/E=2,4。=4,則尸。的面積為.

【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型

[18-1]（24-25九年級上,全國,課后作業(yè)）如圖，△NBC和尸均為等腰直角三角形，NABC=NEFC=9?！?

E在MBC內(nèi),ZCAE+ZCBE=90°.若BE=1,AE=2,則C￡=.

[18-2]（2024,安徽合肥?模擬預(yù)測）如圖，在口/BCD中，AC,8。相交于點(diǎn)O,將繞點(diǎn)C旋

17

轉(zhuǎn)至口EOCF的位置，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)。處，B,O,D,E四點(diǎn)共線，請完成下列問題:

（1）已知NCQ8=a,則/"D=（用含々的代數(shù)式表示）；

（2）若80=2,則2C的長為

【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型

[19-1]（23-24九年級上,上海普陀?階段練習(xí)）如圖，已知△43C與ACDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、

。在同一直線上，連結(jié)8E交4c于點(diǎn)尸，連結(jié)分別與BE、CE交于點(diǎn)。、G,下列結(jié)論不一定成立的

是（）

A.AABFSACEFB.AABDSAGCD

C.AAFO^ABAOD.AACDs^BCE

[19-2]（2022?廣東深圳?一模）如圖，AABC,△ECD均為等邊三角形，邊長分別為5cm,3cm,B,

13

C,。三點(diǎn)在同一條直線上，下列結(jié)論：①AD=BE；②△CFG為等邊三角形；③CAC7cm；@CM

平分上BMD.其中正確的有（）

[19-3]（23-24九年級上?山東泰安?開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接NE,

18

CG,/￡與CG相交于點(diǎn)M,NE與。尸相交于點(diǎn)N.下列結(jié)論：?AE=CG,②/EJ_CG,

（3）DM//GE,@OM=OD,⑤DM平分NADG⑥D(zhuǎn)E?=ENxEM.正確結(jié)論的為.（填入序

號），

[19-4]（2021九年級,全國?專題練習(xí)）如圖1,△4BC是等腰直角三角形，ZACB=9Q°,D,￡分別為

AB,NC上的點(diǎn)，且DE〃3C,把繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖2）,則總的值為

圖2

【題型20】“平行線+角平分線=等腰三角形模型”.

[20-1]（24-25九年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BC=4,E、尸分別是48,NC的

中點(diǎn)，動點(diǎn)尸在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D,/C3P的平分線交CE于。，當(dāng)C0=；CE時(shí)，EP+BP（

A.8B.4A/3C.4D.10

19

[20-2]（24-25九年級上?陜西西安.階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，N/=90。，AB=8,AC=6,BD

平分/Z5C,CD平分NACB,過點(diǎn)。作直線尸。，分別交48、/C于點(diǎn)尸、Q,若則線段

尸。的長是（）

3516

A.5B.—C.—D.6

63

20

相似三角形幾何模型分類專題（20大模型）

【題型目錄】

【題型1】“A字”模型............................................................1;

【題型2】“反A字”模型.........................................................4；

【題型3】“8字”模型............................................................7;

【題型4】“反8字”模型........................................................10；

【題型5】“雙A字”模型........................................................13；

【題型6】“雙8字”模型........................................................16；

【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合.........................................19；

【題型8】“共邊等角”模型......................................................20；

【題型9】“共頂點(diǎn)等角”模型....................................................23；

【題型10]“母子”模型.........................................................25；

【題型11]“射影”模型.........................................................28；

【題型12】“一線三直角”模型...................................................34；

【題型13】“一線三等角”模型...................................................41；

【題型14】“對角互補(bǔ)”模型.....................................................45；

【題型15】“十字架”模型.......................................................48；

【題型16】“三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型.........................................52；

【題型17】“雙垂直等角”模型...................................................56；

【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型.....................................................59；

【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型...................................................61；

【題型20】“平行線+角平分線=等腰三角形模型”...................................68.

1

【題型1】“A字”模型；

[1-1]（2024?貴州貴陽?二模）如圖，在R￡4BC中,D,E分別為邊BC,ZC上的點(diǎn)，連接￡）￡,將△4BC

沿。￡折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，若4。=5,4E=4,則48的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，由折疊性質(zhì)得

ZDEC=ZDEA=90°,EC=EA=^AC,求得ED=JAD?-4E?=3,再證明△￡DC“△ABC,得

FDFC1

—則/B=2ED=6,于是得到問題的答案.求得￡。=3,并且證明ZUBC是解題

ABAC2

的關(guān)鍵.

解：由折疊得/?！?。=/。￡4=工'180。=90。，EC=EA=-AC,

22

???40=5,AE=4,

:.ED=ylAD2-AE2=A/52-42=3,

/DEC=ABAC=90°,ZC=ZC,

:AEDCSAABC,

.EDEC_1

,,商一萬一2'

/.AB=2ED=2x3=6,

故選：B.

[1-2]（24-25九年級上?江蘇南通?開學(xué)考試）如圖，在A45c中，ZC=90°,將A45C沿直線MN翻折

后，頂點(diǎn)。恰好落在45邊上的點(diǎn)。處，已知MN〃AB,MC=6，NC=4,則四邊形M4HN的面積是.

【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).首先連接C。，交MN

2

于E,由將A/8C沿直線"N翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)。處，即可得MNLCD,且

CE=DE,又由MN〃/18,易得ACMNSACAB,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三

角形對應(yīng)高的比等于相似比，即可得以四

又由胡。=6NC=4,即可求得四邊形叱BN

S&CAB

的面積.

解：連接C。，交MN于E,

???將△/5C沿直線翻折后，頂點(diǎn)。恰好落在48邊上的點(diǎn)。處,

：.MNICD,且CE=DE,

CD=ICE,

???MN//AB,

/.CDLAB,

:.ACMNSACAB,

3CMN

cCD)4'

°AC4B

???在△GW中，ZC=90°,MC=6,NC=4,

.?'△CMN=|cM.C7V=1x6x4=12,

S^CAB~4s4C=4x12=48,

**-S四邊形M/BN=SACAB-^^CMN-48—12=36

故答案為：36.

[1-3]（23-24九年級上?全國?單元測試）如圖，在△43。中，BF平分NABC,于點(diǎn)尸，D為

48的中點(diǎn)，連接。廠延長交4。于點(diǎn)￡若48=10,5C=16,則線段跖的長為（)

A

BC

3

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，根據(jù)題干的條

件可得出。尸為直角a/B尸的中線，則￡F=A?=5,再由角平分線的定義和等邊對等角得到

ZCBF=ZDFB,則。￡〃BC,再證明,利用相似三角形的性質(zhì)求出的長即可得到答

案.

解：:B尸平分//8C,

NDBF=2CBF,

???/斤，8尸于點(diǎn)尸，。為48的中點(diǎn)，

...。尸=Dg」=工x10=5,

22

ZDBF=NDFB,

ZCBF=ZDFB,

：.DE//BC.

:.△ADEsAABC,

DEAD\

"SC-ZB-2；

.-.L>￡,=-3C=-xl6=8.

22

:.EF=DE-DF=8-5=3.

故選:B.

【題型2】“反A字”模型；

【2-1]（2024九年級下?云南?專題練習(xí)）如圖，在三角形/8C中，D,E分別是4C,2C邊兩點(diǎn),

AB=6,AC=1,BC=8,若NB=NCDE,DE=2,貝l|CE的長度是（）

【答案】B

4

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

DFCF

根據(jù)題意，先證明得出=后，再將數(shù)值代入即可選出正確答案.

ABAC

解：vAB=ZCDE,ZC=ZC,

??.△ABCSAEDC,

DECE

,,萬一就'

DE=2,AC=7,AB=6,

2_CE

??——，

67

7

解得：CE=『

故選B.

[2-2]（22-23九年級上?四川內(nèi)江?期中）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DE廠測量樹的高度

AB,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊。廠保持水平，并且邊與點(diǎn)5在同一直線上.已知紙板的兩條邊

DE=OAm,EF=03m,測得邊止離地面的高度/C=L5m,CD=20m,則樹高45為（）

B

A

A.16.5mB.13.5mC.15mD.12m

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型.

利用RtADEF和RtZSBCZ）相似求得5c的長后加上邊。尸到地面的高度/C,即可求得樹高45.

解：???//）￡尸=/OCB=90。，ND=/D,

???/\DEFS/\DCB,

DEEF

,^C~~CB9

DE=0.4m,EF=0.3m,CD=20m,

0.40.3

,,刀一記’

CB=15m,

.?.45=/C+5C=1.5+15=16.5（m）.

5

故選A.

[2-3]（23-24九年級下?貴州黔東南?階段練習(xí)）如圖，△4BC中，AB=AC=4,BC=2也,以4B為直

徑的。。分別交NC,BC于點(diǎn)D,E,連接￡0,貝UCD的長為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】B

【分析】本題考查圓中求線段長，涉及圓周角定理及其推論、等腰三角形判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，先由直徑所對的圓周角是直角，再由等腰三角形三線合一得到

BE=CE=43＞根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到ZC=ZS=4DC,結(jié)合三角形相似的判定與性質(zhì)即可得到答

案，熟練掌握圓的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)求線段長是解決問題的關(guān)鍵.

解：連接如圖所示：

為。。的直徑，

ZAEB=90°,BPAELBC,

在△N8C中，AB=AC=4,BC=2道,

則BE=CE=43,

四邊形48磯?是。。的內(nèi)接四邊形,

ZEDC=NB,

?.?在△42C中，ZC=ZB,

NC==NEDC,

:AABCSAECD,

6

CDEC

~BC~^4B

即噩T解得

故選：B.