專項突破卷：立體幾何中的軌跡問題（原卷版）

專題突破卷16立體幾何中的軌跡問題

窿題生頸姒

求算在正方體中的軌跡

求算在長方體中的軌跡

求算在棱臺中的軌跡

—題生各個古武

題型一：求算在正方體中的軌跡

1.如圖，在棱長為1的正方體中，M為平面ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）

M?1

B

若M在線段AB上，則RM+MC的最小值為百鼻萬

平面AC2被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為m7T

C.若GM與AB所成的角為9,則點(diǎn)M的軌跡為橢圓

4

D.對于給定的點(diǎn)“，過M有且僅有3條直線與直線RARC所成角為60。

2.在棱長為2的正方體ABCO-ABCQI中，點(diǎn)E為棱。2的中點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形CD2G內(nèi)一動點(diǎn)（包括

邊界），則（）

A.三棱錐2-4耳尸的體積為定值

B.若87//平面ABE,則點(diǎn)尸的軌跡長度是企

c.當(dāng)點(diǎn)Q在直線8G上運(yùn)動時，AQ+QC的最小值是2指

D.若點(diǎn)產(chǎn)是棱G2的中點(diǎn)，則平面45尸截正方體所得截面的周長為2夜+2君+2

3.已知正方體ABC。一A2|GR的棱長為1，點(diǎn)戶滿足4?=九"》+〃44，其中2eR,〃eR,貝l］（）

A.當(dāng)％=〃時，則GP+PD的最小值為出口f

B.過點(diǎn)P在平面內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與CP垂直

C.若G尸與A。所成的角為5,則點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

D.當(dāng)2=1,〃句0』時，正方體經(jīng)過點(diǎn)A、尸、G的截面面積的取值范圍為］乎，血

4.已知正方體AB。-ABC2的棱長為2,點(diǎn)P為平面上一動點(diǎn)，則（）

A.當(dāng)點(diǎn)尸為。2的中點(diǎn)時，直線CP與AP所成角的余弦值為g

B.當(dāng)點(diǎn)尸在棱上時，AP+PG的最小值為遙

C.當(dāng)點(diǎn)P在正方形CD2G內(nèi)時，若烏尸與平面CDDG所成的角為45。，則點(diǎn)P的軌跡長度為兀

D.當(dāng)點(diǎn)尸在棱GQ（不含頂點(diǎn)）上時，平面A/3截此正方體所得的截面為梯形

4D\

BCADC

圖⑴圖⑵

AxDi^1D\

BCBC

圖⑶圖(4)

5.正四棱柱A8C￡>-A4GQ中，AA=2,AB=2,動點(diǎn)?滿足,且a,Z?￡(O,l),則下列說

法正確的是（）

A.當(dāng)■時，直線ACJ■平面8尸瓦

B.當(dāng)a+6=l時，尸3+尸片的最小值為遙

C.若直線5P與BQ所成角為￡,則動點(diǎn)尸的軌跡長為也

42

D.當(dāng)。+26=1時，三棱錐P-A5c外接球半徑的取值范圍是[專，告]

6.在邊長為2的正方體A5C￡）-4與。1。1中，動點(diǎn)M滿足,（%,y,zcR且

x>0,y>0,z>0）,下列說法正確的是（）

A.當(dāng)x=：,z=0,ye[0,l]時，用〃+MZ）的最小值為抗？

B.當(dāng)x=y=l,z=；時，異面直線BM與CQ所成角的余弦值為巫

C.當(dāng)x+y+z=l,且4知=述時，則M的軌跡長度為生旦

33

D.當(dāng)x+y=l,z=0時，3與平面A瓦。所成角的正弦值的最大值為逅

3

7.在正方體中，AB=1,點(diǎn)尸滿足CP=XCD+〃CG,其中2c[0,1],〃e[0,l],則下列結(jié)

論正確的是（）

A.當(dāng)4尸//平面42。時，男尸與C2所成夾角可能為三

B.當(dāng)2=〃時，|DP|+14尸|的最小值為二；二

C.若男尸與平面CCQQ所成角為則點(diǎn)尸的軌跡長度為?

42

D.當(dāng)2=1時，正方體經(jīng)過點(diǎn)4,只右的截面面積的取值范圍為與Q

8.已知正方體的棱長均為2,E為線段A4的中點(diǎn),4尸=442+〃40,其中4〃€[0,1],則下列

選項正確的是（）

A.當(dāng)〃=3時,APLER

B.當(dāng)丸=〃時,A尸+PD的最小值為0+6

C.若直線男尸與平面ABCD所成角為5,則點(diǎn)P的軌跡長度為￡

42

D.當(dāng)彳+〃=1時，正方體被平面尸4,截的圖形最大面積為40

題型二：求算在長方體中的軌跡

9.長方體ABC。-A耳G2中，AB=2AD=2AAl=2,M為棱AB的中點(diǎn)，平面AM。上一動點(diǎn)N滿足

ZANM=90,則下列說法正確的是（）

A.長方體外接球的表面積為6兀B.DM±ACt

C.A到平面距離為漢1D.N的軌跡長度為諉兀

33

10.在長方體ABC。-A4G2中，AB=3,AD=AA,=4,尸是線段8G上的一動點(diǎn)，則下列說法正確的是

（）

BAP與平面BCG與所成角的正切值的最大值是專

A.4尸〃平面ADC

c.AP+PC的最小值為JI7+2夜D.以A為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC4的交線長是2兀

11.如圖所示，在長方體ABCr?-ABiG2中，AB=AD=2,M=1,點(diǎn)E是棱C。上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)是

BC的中點(diǎn)，給出下列命題，其中真命題的（）.

A.當(dāng)E是CZ）的中點(diǎn)時，過EE"的截面是四邊形

B.當(dāng)點(diǎn)E是線段CD的中點(diǎn)時，點(diǎn)P在底面ABCD所在平面內(nèi)，且MP〃平面AEQ,點(diǎn)。是線段MP

的中點(diǎn)，則點(diǎn)。的軌跡是一條直線

C.對于每一確定的E,在線段上存在唯一的一點(diǎn)X,使得2月，平面AEG

D.過點(diǎn)M做長方體ABC￡?-A瓦G2的外接球的截面，則截面面積的最小值為葺

12.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABC。-A笈G2內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊2C于地面上，

再將容器以BC為軸順時針旋轉(zhuǎn)，則（）

A.有水的部分始終是棱柱

B.水面所在四邊形ER3X為矩形且面積不變

C.棱A2始終與水面平行

D.當(dāng)點(diǎn)H在棱C。上且點(diǎn)G在棱CCj上（均不含端點(diǎn)）時，BEZ戶不是定值

13.長方體ABC?！狝4G2中，AB=3,BC—2,BBt=1,則（）

A.A到平面A加的距離為與

4

B.A到平面4田。的距離為,

C.沿長方體的表面從A到G的最短距離為3夜

D.沿長方體的表面從A到G的最短距離為2后

14.如圖所示，在長方體ABC。-A瓦G2中，4B=BC=1,AA=2,尸是AB上的一動點(diǎn)，則下列選項正確

的是

A.。尸的最小值為晉B.。尸的最小值為6

C.AP+PG的最小值為"D.AP+尸C的最小值為粵

15.在長方體ABCD-A8|C|Z）［中，AB=AD=2,AA=1,點(diǎn)P、。在底面內(nèi)，直線AP與該長方

體的每一條棱所成的角都相等，且心，C。，則（）

A.AP=V2

B.點(diǎn)。的軌跡長度為亞

c.三棱錐。-AQB的體積為定值

D.AP與該長方體的每個面所成的角都相等

16.如圖，長方體ABCO-ABIG，中，AB=2,AD=1,例=3,點(diǎn)M是側(cè)面AOR4上的一個動點(diǎn)（含

邊界），P是棱CG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)PM長度最小時，三棱錐皮）尸的體積為5

B.當(dāng)長度最大時，三棱錐M-BDP的體積為:

C.若保持PM=石，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動路徑的長度為萬

D.若M在平面ADR4內(nèi)運(yùn)動，且則點(diǎn)M的軌跡為圓弧

17.如圖，在長方體A8C。一A瓦GR中，AB=4,BC=BBt=2,E、尸分別為棱AB、A"的中點(diǎn)，則下列

說法中正確的有（）

A.DBX1CE

Q

B.三棱錐O-CEF的體積為］

C.若尸是棱GA上一點(diǎn)，且D/=l,則E、C、尸、尸四點(diǎn)共面

D.平面CEF截該長方體所得的截面為五邊形

題型三：求算在棱臺中的軌跡

18.下列說法中，錯誤的為（）

A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；

B.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；

C.底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

D.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐.

19.己知平面a,平面/?=/,A,BetzMA,B",C,Oe尸且C,D隹1,E,Fei,且BF±l,

下列說法正確的有（）

A.若AC_L,,則CE_U

B.若AB//CD,則幾何體ACE-應(yīng)＞尸是柱體

C.若CE_L/,DFLI,則幾何體ACE—雙方是臺體

D.若且AC=AD,則直線AC,與￡所成角的大小相等

20.已知正三棱臺ABC-A4C］中，△AAG的面積為4—,VA3C的面積為94，AAl=2,棱8G的中點(diǎn)

為M,則（）

A.該三棱臺的側(cè)面積為30B.該三棱臺的高為亞

3

C.AM,平面BCC4D.二面角A-AB-C的余弦值為g

21.如圖，在三棱臺中，V表示體積，下列說法正確的是（）

B.匕―，匕一BBQ］，Z「ABC成等比數(shù)列

C.若該三棱臺存在內(nèi)切球，則AA=BB1=CG

D.若該三棱臺存在外接球，貝UAA=3B1=CG

22.在正四棱臺ABCO-ABC2中，AB=2A與，A4.=2g,M為棱8c的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺的體積最

大時，下列說法正確的有（）

A.該正四棱臺的高為2

B.該正四棱臺的體積為224

C.平面截該正四棱臺的截面面積是106

D.該正四棱臺的內(nèi)切球半徑為1

23.已知球。的半徑為R,正四棱臺ABCD—A/2/QQ的兩底面邊長分別為2和4,高為〃，則（）

A.對任意/7>0,都存在R>0,使點(diǎn)。到該棱臺所有面的距離都等于R

B.對任意/2>0,都存在R>0,使該棱臺的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上

C.若點(diǎn)。到該棱臺所有面的距離都等于R,則R=0

D.若該棱臺所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且R=2啦,貝。

24.正四棱臺ABC。一A4G2中，AB=2,4q=1,側(cè)棱網(wǎng)與底面所成角為分別為AZ）,AB,BB、

的中點(diǎn)，〃為線段與，上一動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列說法正確的是（）

A.該四棱臺的體積為2四B.三棱錐E-尸GM的體積為定值

6

C.平面E尸G截該棱臺所得截面為六邊形D.異面直線A片與班所成角的余弦值為述

8

2

25.正三棱臺中，0,。1分別是VABC和△AAG的中心，S.AAl=AlBl=-BC=2,則（）

A.直線AC與。片所成的角為90。

B.平面A用G與平面所成的角為90。

C.正三棱臺ABC-A4G的體積為吆叵

12

D.四棱錐O-AABd與4414g的體積之比為2:3

26.如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示的六面體，其中四邊形ADE"和BC/G為

直角梯形，A,D,C,8為直角頂點(diǎn)，其他四個面均為矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=1,下列說法不

正確的是（）

n?bm<gvM>Bai

火警“119

A.該幾何體是四棱臺

B.該幾何體是棱柱，平面ABC￡＞是底面

C.EGLHC

D.平面EFGH與平面ABCD的夾角為45。

27.如圖，已知正四棱臺-A4GR的上、下底面邊長分別為四，2近,其頂點(diǎn)都在同一球面上,

且該球的表面積為20萬，則側(cè)棱長為（）

C.瓜D.M

1.如圖，正方體ABCO-AAGD的棱長為4,點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)尸是線段

cq上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

兀

A.存在點(diǎn)P,M,使得二面角OC-P大小為5?

6

B.存在點(diǎn)尸,M,使得平面瓦2M與平面P3D平行

C.當(dāng)尸為棱CG的中點(diǎn)且尸加=2指時，則點(diǎn)M的軌跡長度為岳

D.當(dāng)M為4。的中點(diǎn)時，四棱錐M-A3CD外接球的表面積為亍

2.如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABC。-A耳G2的表面上一個動點(diǎn)，則（）

4

A.當(dāng)尸在平面BCG耳上運(yùn)動時，三棱錐尸-44t。的體積為定值g

JTJT

B.當(dāng)尸在線段AC上運(yùn)動時，。丁與aa所成角的取值范圍是y,-

C.若尸是A4的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面ABC。上運(yùn)動，且滿足尸尸，32時，尸產(chǎn)長度的最小值是石

D.使直線AP與平面4BCD所成的角為45。的點(diǎn)尸的軌跡長度為兀+40

3.在棱長為2的正方體ABC。-AqG2中，M為CG中點(diǎn)，N為四邊形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若瑪N〃

平面BMD,則下列結(jié)論正確的是（）

A.NBJNC】B.三棱錐4―N皿的體積為3

C.點(diǎn)N的軌跡長度為20D.tanNAN耳的取值范圍為［1,方］

4.如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形MCE為正方形，CD_LDE,CO=DE=0，/為A8中點(diǎn)，現(xiàn)將ABE

A.平面3cDE_L平面ABE

B.若。為班的中點(diǎn)，則DE〃平面R9C

C.折起過程中，尸點(diǎn)的軌跡長度為￡

D.三棱錐A-CDE的外接球的體積為逐兀

5.在三棱錐P—ABC中，PA±5FffiABC,AB±BC,AB=BC=2,PA=2^/3