專項(xiàng)突破卷：立體幾何中的截面問題（原卷版）

專題突破卷15立體幾何中的截面問題

量題好嵬

判斷正方體截面的形狀

星題好z破

題型一：判斷正方體截面的形狀

I.如圖，在正方體A8CD-aqqq中，E為AB中點(diǎn)，尸為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過。,E,P

的平面截正方體的截面圖形不可能是（）

c.梯形D.菱形

2.已知正方體48aAqQR的棱長為2,點(diǎn)M、N、P分別為棱A3、CC、、Q2的中點(diǎn),

則平面MNP截正方體所得截面的面積為（）

A.BB.3拒C.6應(yīng)D.6

2

3.已知正方體的棱長為6,點(diǎn)E,尸分別在棱AA，2G上，且滿足

D}ED,F1

點(diǎn)。為底面”8的中心，過點(diǎn)石，F(xiàn),。作平面EFO,則平面EFO截

正方體AB。-A瓦G2所得的截面面積為（）

A.8722B.6A/22C.4A/22D.2夜

4.在長方體ABC。-A瓦￡2中，AB=2AO=2AA，點(diǎn)可是線段GQ上靠近2的四等分

點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CG的中點(diǎn)，則平面AMN截該長方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

5.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A瓦GR中，內(nèi)部有一個(gè)底面垂直于A。的圓錐，當(dāng)

該圓錐底面積最大時(shí)，圓錐體積最大為（）

C.4D.手兀

2

6.在正方體ABCO-ABCD中，點(diǎn)及尸分別為棱AB，A。的中點(diǎn)，過點(diǎn)E,￡G三點(diǎn)作該正

方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱BBX的交點(diǎn)是棱BB,的一個(gè)三等分點(diǎn)

c.4cl.平面G所

D.平面4片2〃平面a所

7.在正方體ABCD-ABCQ中，瓦尸,G分別為BC,C￡>,的中點(diǎn)，若AS=4,則平面EFG

截正方體所得截面的面積為（）

A.6也B.6A/3C.1272D.12右

8.已知正方體A8C。-A與GQ的邊長為1,現(xiàn)有一個(gè)動(dòng)平面a,且a〃平面A03,當(dāng)平

面a截此正方體所得截面邊數(shù)最多時(shí)，記此時(shí)的截面的面積為S,周長為/,則（）

A.S不為定值，/為定值B.S為定值，/不為定值

C.S與/均為定值D.S與/均不為定值

9.已知正方體A8CD-的棱長為4,M為棱。C的中點(diǎn)，N為側(cè)面BG的中心，過點(diǎn)

M的平面。垂直于DN,則平面a截正方體AG所得的截面面積為（）

A.4（遙+?B.25/3

C.5-^3D.4#

10.在棱長為1的正方體A8C。-A瓦G2中，E,F,G分別為棱A4,BC,CQ的中點(diǎn),

動(dòng)點(diǎn)"在平面ERG內(nèi)，且。"=1.則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)打，使得直線與直線尸G相交

B.存在點(diǎn)打，使得直線。耳，平面EFG

JT

C.直線用以與平面EFU所成角的大小為g

D.平面/G被正方體所截得的截面面積為空

2

題型二：球的截面性質(zhì)與計(jì)算

11.已知正三棱錐A-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱48=2/，點(diǎn)E在

線段應(yīng)＞上，且BE=DE,過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

9兀

A.2兀B.——C.3兀D.4兀

4

12.已知球。的體積為*，點(diǎn)A到球心。的距離為3,則過點(diǎn)A的平面a被球。所截的

截面面積的最小值是（）

A.9兀B.12JIC.16兀D.2071

13.在正六棱柱ABCDM-44￡〃與耳中，AAl=2AB=6,。為棱441的中點(diǎn)，以。為球心，

6為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）

A.(3+\/3)7tB.(6+A/3)TCC.(3+2A/3)7CD.(6+25/3)71

14.已知S?=2,底面半徑QA=4的圓錐內(nèi)接于球。，則經(jīng)過S和。田中點(diǎn)的平面截球。所

得截面面積的最小值為（）

252525

A.—兀B.—兀C.—7CD.5兀

234

15.已知邊長為6的正方體與一個(gè)球相交，球與正方體的每個(gè)面所在平面的交線都為一個(gè)面

積為16兀的圓，則該球的表面積為（）

A.96TIB.IOOTCC.125兀D.204兀

16.已知三棱錐O-A5c的體積是如，42,C是球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且NACB=60。，

36

AB=6AC+BC=2,則球。的表面積為（）.

A.36兀B.24TIC.1271D.8兀

17.已知球0半徑為4,圓0］與圓O?為球體的兩個(gè)截面圓,它們的公共弦長為4,若|=3,

|OO2|=A/3,則兩截面圓的圓心距|OQ|=（）

A.百B.空C.3+73D.2在

18.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓面叫做球冠的底，垂直于圓面的直徑被

截得的一段叫做球冠的高.球冠也可看作圓弧繞過它的一個(gè)端點(diǎn)的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲

面.假設(shè)球面對(duì)應(yīng)球的半徑是R，球冠的高是人，那么球冠的表面積公式為S=2成鼠據(jù)中

國載人航天工程辦公室消息，北京時(shí)間2023年12月21日21時(shí)35分，經(jīng)過約7.5小時(shí)的

出艙活動(dòng)，航天員湯洪波、唐勝杰已安全返回天和核心艙，神舟十七號(hào)航天員乘組第一次出

艙活動(dòng)取得圓滿成功.若航天員湯洪波出倉后站在機(jī)械臂上，以背后的地球?yàn)楸尘埃鐖D所

示，面向鏡頭招手致意，此時(shí)湯洪波距離地球表面約為400km（圖中的點(diǎn)A處），設(shè)地球半

徑約為Rkm,則此時(shí)湯洪波回望地球時(shí)所能看到的地球的表面積為（）

IOOTIT?220071/?240071H2800兀F

A.km2B.km2C.km2D.km2

R+4007?+4007?+4007?+400

19.若正四面體P-ABC的棱長為26，M為棱上4上的動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)三棱錐ABC的外接

球的體積最小時(shí)，三棱錐M-A3C的體積為（）

4"

B.4A/2C.4A/3D.8出

-I-

20.四棱錐尸-ABCD各頂點(diǎn)都在球心。為的球面上，且24,平面ABCD,底面ABCD為

矩形，PA=AD=2,AB=26,設(shè)M,N分別是PD,C￡＞的中點(diǎn)，則平面AMN截球。所得截

面的面積為（）

A.兀B.3兀C.4兀D.2兀

題型三：求算正方體截面的周長及其它

21.正方體A3。-的棱長為1,E,F,G分別為BC,CG，B⑸的中點(diǎn)，下列結(jié)論中

正確的是（）

A.DD,1AF

B.GG〃平面AEF

3

C.直線GG與直線AE所成角的余弦值為:

D.平面的截正方體所得的截面面積為5

O

22.如圖，正方體A3CD-AQCQI的棱長為2,E,b分別為5C,CG的中點(diǎn)，則平面4卯

39

A.-B.-C.9D.18

22

23.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A4GA中，后為棱3C的中點(diǎn)，用過點(diǎn)A，E,G

的平面截正方體，則截面周長為（）

C.2V2+275D.3V2+2V3

24.如圖，正方體ABCD-的棱長為3,點(diǎn)尸是平面人尊內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),M,N分別為G，,

與C的中點(diǎn)，若直線8尸與所成的角為6,且sin6=倉，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所圍成的圖形

5

的面積為（）

25.如圖，在棱長為1的正方體A8CO-A用G2中，2機(jī)"分別為棱（?，,③,8上的動(dòng)

點(diǎn)（點(diǎn)戶不與點(diǎn)C，G重合）.若CP=CM=CN,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

7T

②直線MN與AD所成角為g；

③BD[//平面PMV；

④用平行于平面麗的平面a去截正方體，得到的截面為六邊形時(shí)，該六邊形周長一定為

3日

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

26.已知正方體A8C。-ABGR的棱長為3,M,N分別為棱A4,CQ的中點(diǎn)，點(diǎn)。是

棱4。上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則平面MAQ截該正方體所得截面的面積為（）

A.5夜B.C.4后D.2夜

27.在直四棱柱ABCD-ABGR中，底面A3CD是邊長為2的正方形，側(cè)棱招=3,E是

8C的中點(diǎn)，尸是棱CG上的點(diǎn)，且CP=gcq,過A作平面a,使得平面a〃平面AER則

平面a截直四棱柱42aA瓦CR,所得截面圖形的面積為（）

A.|B.半C.3D.719

28.在正方體ABCD-4四62中，”,N,P分別為棱AB,CG，CQ的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Qe平面

MNP,DQ=AB=2,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.月-MBC的外接球面積為9萬B.直線P0〃平面A8G

C.正方體被平面MNP截得的截面為正六邊形D.點(diǎn)。的軌跡長度為3萬

29.如圖，在棱長為1的正方體A8CZ）-4瓦G2中，及歹分別為棱AA，AA的中點(diǎn)，G為

線段2。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）

A.存在點(diǎn)G,使直線4C_L平面跳6

B.存在點(diǎn)G,使平面E尸G//平面8DG

C.三棱錐MG的體積為定值

D.平面跳'G截正方體所得截面的最大面積為延

4

30.已知正方體48。-A片G2的棱長為2,點(diǎn)尸為線段AA的中點(diǎn)，若點(diǎn)Pe平面a,且

AG，平面a,則平面a截正方體ABCD-A4GR所得截面的周長為（）

A.75B.3亞C.30D.672

1.如圖，一個(gè)棱長為6的透明的正方體容器（記為正方體ABCD-A瓦G2）放置在水平面

a的上方，點(diǎn)A恰在平面。內(nèi)，點(diǎn)3到平面1的距離為2,若容器中裝有水，靜止時(shí)水面與

表面A412n的交線與4。的夾角為0,記水面到平面a的距離為1,則（）

A.平面ABCQ，平面a

B.點(diǎn)2到平面。的距離為8

C.當(dāng)de（2,8）時(shí)，水面的形狀是四邊形

D.當(dāng)"=7時(shí)，所裝的水的體積為工

2.如圖，正方體ABCO-ABCQI的棱長為3,點(diǎn)E、F,G分別在棱。4，D?,上,

滿足照=&=:，卒，記平面EFG與平面4瓦8的交線為/,貝IJ（）

LJ,/LLziC^iJ

A.V2e(0,l),AC〃平面￡FG

B.平面EFG截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是AG（0,1）

2

C.%=§時(shí)，三棱錐A-反6的外接球表面積為24兀

D.2=羨時(shí)，直線/與平面ABCD所成角的正弦值為逅

36

3.如圖，棱長為2的正方體ABCZ)-481GA的內(nèi)切球?yàn)榍颉?，E,歹分別是棱AD,2月的

中點(diǎn)，G在棱A3上移動(dòng)，貝U()

A.對(duì)于任意點(diǎn)G,平面EFG

B.直線所被球。截得的弦長為&

C.過直線砂的平面截球。所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為1

D.當(dāng)G為A3的中點(diǎn)時(shí)，過瓦EG的平面截該正方體所得截面的面積為2g

4.如圖，棱長為4的正方體A8CD-中，點(diǎn)N為G2中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體內(nèi)(含

表面)運(yùn)動(dòng)，且滿足8MLDN,則點(diǎn)M在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積

為;若在正方體內(nèi)有一圓錐，圓錐底面圓內(nèi)切于正方形ABCD,圓錐頂點(diǎn)S

與正方體上底面中心重合，則點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)所形成的圖形截圓錐表面得到的橢圓的離心率

為.

5.在棱長為6的正方體ABC。-4片G2中，E為棱AA上一動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，F(xiàn),G

分別為R