中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：最值模型之胡不歸與阿氏圓模型（含答案及解析）

最值模型之胡不歸與阿氏圓模型

模型一胡不歸模型

知徐機(jī)理

【模型來源】

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,

雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子

追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸?”

看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一

條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

【模型建立】

如圖1,一動(dòng)點(diǎn)P在直線7WN外的運(yùn)動(dòng)速度為弘,在直線AW上運(yùn)動(dòng)的速度為％,且弘V%,A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C

在直線上,確定點(diǎn)。的位置使平+等的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

CHkAC

圖2圖3

記k=粵，即求BC+ALAC的最小值.

卜2

⑵如圖2,構(gòu)造射線AD使得sin/D4N=R,CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

⑶如圖3,過B點(diǎn)作BH_LAD交MN于點(diǎn)、。，交AD于H點(diǎn),此時(shí)BC+CH取到最小值,即BC+比4。最

小.

例題解析

【題型1】胡不歸模型?已有相關(guān)角直接作垂線

的］如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,交于點(diǎn)O,AB=03=3,點(diǎn)在線段上，且4M=2.點(diǎn)

P為線段05上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+yPB的最小值為.?M

AD

血］2如圖,在矩形ABC。中，48=4,AD=8,點(diǎn)分別在邊AD,BC上，且AE=3,沿直線EF翻折，點(diǎn)

A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好落在對(duì)角線AC上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',點(diǎn)/■為線段AA'上一動(dòng)點(diǎn),則EM+與NM

5

的最小值為.

【題型2】胡不歸模型.構(gòu)造相關(guān)角再作垂線

題1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)"=/2+3/-4的圖象與立軸交于4、。兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)B,若

P是2軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q(0,2)在沙軸上，連接PQ,則PQ+孚PC的最小值是.

題2如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2,AO=2通，點(diǎn)E在反7上，連接DE,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，BE+

V2DE的最小值為.

變式劑株

［題目①如圖，在菱形ABCD中，/ABC=60°,AD=6,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段AC上，且

AE=2,點(diǎn)F為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EF+的最小值為.

?M

AD

題目。如圖，。。是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)B作于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BE

上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B,E重合），則CP+-j-BP的最小值為.

癲目§如圖，在出△ABC中，/ACB=90°,4LBC=30°,AC=4,按下列步驟作圖:①在AC和AB上分別

截取AD.AE,使AD=AE.②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于^DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在ABAC

內(nèi)交于點(diǎn)W③作射線W交BC于點(diǎn)F.若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CF,則CP+卷”的

最小值是.

題目可如圖,在菱形ABCD中，乙4BC=60°,人。=6,對(duì)角線力。、相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段AC上，且

AE=2,點(diǎn)F為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則EF+^-BF的最小值為.

題目可如圖，AACB=90°,=2,=4,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),連接PC,則PC+^PB的最小值為

A

題目⑤如圖，在bABC中，乙4=15°,AB=10,P為力。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與力、。重合）,連接BP,則

孚AP+PB的最小值是（）

A.5V2B.5V3C.D.8

O

題目可如圖，在RtAABC中,NACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)。是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CD+與AD

的最小值為.

、題目刊如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=V^,點(diǎn)”是對(duì)角線47上的動(dòng)點(diǎn)，連接ZW,則。河+右4”

模型二阿氏圓模型

和擁僦理

【模型來源】

所謂阿氏圓,就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓,這個(gè)圓，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)

稱為阿氏圓.其本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似,化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值,難點(diǎn)在于如

何構(gòu)造母子相似.

p

【模型建立】

如圖1所示，OO的半徑為T,點(diǎn)A、B都在。。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=A>OB,連接PA、PB,則當(dāng)

“PA+MP3”的值最小時(shí)，P點(diǎn)、的位置如何確定？

【解題方法】

如圖2,在線段OB上截取OC使OC=上度,則可說明4BPO與APCO相似,即k-PB=PC。

故本題求“P4+bPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“P4+PC”的最小值,

其中與A與。為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、。三點(diǎn)共線時(shí),“PA+PC”值最小，如圖3所示。

例題斛新

【題型1】?jī)啥c(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）

網(wǎng)］1如圖，在放A4B。中,乙4CB=90°,CB=4,CA=6,圓。的半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,

BP.求①AP+三BP；②2Ap+BP；③^-AP+BP；?AP+3BP的最小值.

???

【題型2】?jī)啥c(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）

畫］如圖，在。。中，點(diǎn)4、點(diǎn)8在G）。上，ZAOB=90°,OA=6,點(diǎn)。在。4上，且OC=2AC,點(diǎn)。是OB

的中點(diǎn)，點(diǎn)河是劣弧48上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2ZW的最小值為.

【題型3】?jī)啥c(diǎn)一個(gè)在圓內(nèi)，一個(gè)在圓外（提系數(shù)）

血］1如圖，在AABC中,/ABC=90°,AB=2BC=6,RD=1,P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+

6PD的最小值為.

【題型4】隱圓型阿氏圓

的1如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F分別是QD、。。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=

4,P是HF的中點(diǎn),連接OP、PC、PD,若AC=12,BD=16，則PC+:PD的最小值為.

?M

D

變式利揀

題目UJ如圖，在中，/ACB=90°,。8=7,力。=9,以。為圓心、3為半徑作0。，9為0。上一

動(dòng)點(diǎn)，連接4P、BP,則與4P+BP的最小值為（）

O

B.5V2c.4+VioD.2V13

題目也如圖,正方形的邊長(zhǎng)AB=8,E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4,F為CD上一點(diǎn)，CF=2,連接

則EF+g即的最小值為（）

A.6V2B.4D.6

題目叵如圖，已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD—如。的

最大值為

7

D

［題目目如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,銳角大小為60°,。A與5。相切于點(diǎn)E,在。A上任取一點(diǎn)P,則

題目回如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E為邊AO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上,且線段EF=4,點(diǎn)G

為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG,則BG+gcG的最小值為.

、題目0如圖，在電AABC中，乙4cB=90°,47=6,BC=8,。、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

?！?4,。是。石的中點(diǎn),連接PA,PB,則P4+j-PB的最小值為.

B

題目⑶如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，加■為AB上一點(diǎn)，且BM=2,N為邊BC上一動(dòng)點(diǎn).連接

MN,將4BMN沿翻折得到"MN，點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng),連接PA,PC,貝|PA+2PC的最小值為

???

???

最值模型之胡不歸與阿氏圓模型

模型一胡不歸模型

知徐機(jī)理

【模型來源】

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,

雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子

追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸?”

看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一

條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

【模型建立】

如圖1,一動(dòng)點(diǎn)P在直線7WN外的運(yùn)動(dòng)速度為弘,在直線AW上運(yùn)動(dòng)的速度為％,且弘V%,A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C

在直線上,確定點(diǎn)。的位置使平+等的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

CHkAC

圖2圖3

記k=粵，即求BC+ALAC的最小值.

卜2

⑵如圖2,構(gòu)造射線AD使得sin/D4N=R,CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

⑶如圖3,過B點(diǎn)作BH_LAD交MN于點(diǎn)、。，交AD于H點(diǎn),此時(shí)BC+CH取到最小值,即BC+比4。最

小.

例題解析

【題型1】胡不歸模型?已有相關(guān)角直接作垂線

的］如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,交于點(diǎn)O,AB=03=3,點(diǎn)在線段上，且4M=2.點(diǎn)

P為線段05上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+yPB的最小值為.?M

AD

【分析】過點(diǎn)P作PE_L8。于點(diǎn)E,過點(diǎn)“作詼_L3。于點(diǎn)F,證明TWP++PE>MF,進(jìn)

一求解MR即可得到答案.

【詳解】解：；四邊形ABCD是矩形，,OA=OB^OC^OD,NABC=90°,

?.?AB^OB,：.AB^OB^OA,：./\OAB是等邊三角形，,AABO=60°,

4OBC=AABC-AABO=90°-60°=30°□

過點(diǎn)P作PE_LBC于點(diǎn)、E,過點(diǎn)“作BC于點(diǎn)F,

在用ABFE中，由⑴知：4PBE=30。，；.PE=±PB,；.MP+^PB=MP+PE>MF,

在矩形ABCD中，4。=2OA=2OB=6,VAM=2,CM=AC-AM=6-2=4,

在①△CMF中，/MCF=/OBC=30°,.?.MF=^CM=2,+的最小值為2,故答案為：2.

吼2如圖,在矩形ABCD中，4B=4,AD=8,點(diǎn)分別在邊4D,BC上，且AE=3,沿直線EF翻折，點(diǎn)

A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B',點(diǎn)M為線段AA上一動(dòng)點(diǎn)，則EM+李

5

的最小值為.

【分析】過點(diǎn)刊作MN，HE于點(diǎn)N,作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G,連接7WG.由勾股定理求出4D的長(zhǎng),

根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)可得MN=項(xiàng)A'E,從而可得當(dāng)G,河，N三點(diǎn)共線時(shí)GM+九W取得最小值,

即硒■+項(xiàng)4M■取得最小值，然后利用銳角三角函數(shù)和勾股定理可求出GN的長(zhǎng).

5

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)河作于點(diǎn)N,作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G,連接MG,則EM?=MG?.?

由折疊的性質(zhì)可知，EF_LAC,AE=AE,/AEF=AAEF,

ZDAC=AAAE.?.?四邊形ABCD是矩形，：.CD=AB=^,ZZ?=90°.

AD=y/AD2+CD2=4V5.

?/sinZDAC=卷=艱，，sin/A4'E=跡=MLAMN=迪從初，

AC55AM5

EM+攣AM=GM+MN,

5

當(dāng)G,M,N三點(diǎn)共線時(shí)GM+MN取得最小值，即EM+項(xiàng)4M■取得最小值，

5

???ZDAC+/AEF=90°,AEGN+AAEF=90°,/EGN=ADAC,

si.nZ.EGN=sinZDAC=.

5GE

???sin/ZMC=^=?，AE=3,??.OE=^^,??.GE=^^,?=??.EN=M

XIPJ3ODObV3O

5

???GN=J（陪）y第=3

即EM+艱WM■取得最小值是孕.

55

【題型2】胡不歸模型.構(gòu)造相關(guān)角再作垂線

刖］如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)g=/+3力一4的圖象與力軸交于4、。兩點(diǎn)，與g軸交于點(diǎn)8,若

P是立軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q(0,2)在沙軸上，連接PQ,則PQ+與PC的最小值是.

【答案】32

【分析】過P作PH工8。,過Q作QH'，8。.再由PH=警PC得PQ+浮PC=PQ+PH,根據(jù)垂線

段最短可知，PQ+PH的最小值為Q/T,求出QH'即可.

【詳解】解:連接BC,過P作PH,BC,過Q作QH'±BC,

令g=0,即力旺3/-4=0,解得x=—4或1,，4（1,0）,。（一4,0）,???

；OB=OC=4,/BOC=90°,

ZPCH=45°,/.PH=PCsin45。=孚PC.

APQ+亨PC=PQ+PH,根據(jù)垂線段最短可知，PQ+PH的最小值為

QH',

BQ=OB+OQ=4+2=6,/QBH'=45°,QHf=sin45°?BQ=3V2,

.?.PQ+卑PC的最小值為32.故答案為：32.

血］2如圖，在長(zhǎng)方形中，48=2,40=2四,點(diǎn)后在反7上，連接?！?；,在點(diǎn)￡；的運(yùn)動(dòng)過程中，跳；+

V2DE的最小值為.

【答案】2+2，^/2代+2

【分析】在線段BC下方作/CBM=45°,過點(diǎn)E作石F，于點(diǎn)F,連接。F,求出此時(shí)的。F的長(zhǎng)度便

可.

【詳解】解：：四邊形48。。是矩形，人8=2,4。=2遍，

ADCE=9Q°,CD=AB=2,BC=AD=2V3,

BE—2A/3—CE,

在線段BC下方作/困以=45°,過點(diǎn)后作石尸_16河于點(diǎn)尸,連接。下，

:.EF=^BE,

與BE+DE=EF+DE>DF,

當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，烏BE+DE=EF+DE=DF的4直最小,

此時(shí)ZDEC=ZBEF=45°,

:.CE=CD=2,

BE=2A/3-2,DE^V22+22=272,

EF=華BE=V6-V2,

當(dāng)BE+DE的最小值為:EF+DE=&+V^,

：.BE+V2DE的最小值為BE+V2DE=V2(^^BE+DE)=2+2V3

變式制揀

［題目曰如圖，在菱形ABCD中，乙45。=60°,40=6,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段AC上，且

AE=2,點(diǎn)F為線段B。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EF+^BF的最小值為.?M

AD

BC

【答案】2/

【分析】過F作可_LBC,由菱形ABOD,乙48。=60°,得到BD為/ABC平分線，求出/FW=30°,在

Rt/\FBM中，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得至IFM=-j-F，故EF+^BF=EF+FM,求出

EF+EM'的最小值即為所求最小值，當(dāng)E、F、”三點(diǎn)共線時(shí)最小，求出即可.

【詳解】解:過F作

菱形ABCD,60°,

ZFBM=^AABC=30°,=B。，即△ABC為等邊三角形，AACM=60°,

在Rt/XFBM中，F(xiàn)AC^-BF,AD

：.EF+^-BF=EF+FM,/

.?.當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，/

AE=2,AC=AB=BC=6,上——R

匕bMC

：.EC=AC-AE=6-2=4：f

在Rt^ECM中，EM=EC-sin60°=4x2=2四，

則EF+5BF的最小值為2心

故答案為：2V3.

題目。如圖，0O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)B作BE，AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BE

上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B,E重合），則CP+-j-BP的最小值為.

【答案】6

【分析】過點(diǎn)P作PD，AB,連接CO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F,連接AO,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角

形的性質(zhì)得到OA=OB=4,CF_LAB,然后利用含30°角直角三角形的性質(zhì)得到OE=]<X4=2,進(jìn)而

求出BE=BO+EO=6,然后利用CP+]BP=CP+PD<Cr代入求解即可.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作PD_LAB,連接CO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F,連接AO

AAB。是等邊三角形，BE_LAC

ANABE=ACBE=-j-ZABC=30°

VOO是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4

.?.OA=OB=4,CF±AB,

：.ZOBA=ZOAB=30°

AOAE=AOAB=30°

?：BE±AC

：.OE=^-OA=2

:.BE=BO+EO=6

?：PD±AB,/ABE=30°

PD=±PB

:.CP+卷BP=CP+PDWCF

.?.CP+qBP的最小值為CF的長(zhǎng)度

?.?△ABC是等邊三角形，BE_LAC,CF±AB

:.CF=BE=6

.,.CP+]BP的最小值為6

題目回如圖，在RtAABC中，/ACS=90°,/ABC=30°,AC=4,按下列步驟作圖:①在AC和4B上分別

截取AD.AE,使AD=AE.②分別以點(diǎn)。和點(diǎn)E為圓心，以大于^DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在ABAC

內(nèi)交于點(diǎn)③作射線⑷W■交于點(diǎn)F.若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,則CP+/AP的

最小值是.

【分析】過點(diǎn)P作PQ，AB于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作CH±48于點(diǎn)先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理

求出/BAF=30°,然后利用含30°的直角三角的性質(zhì)得出PQ=〈4P,則CP+^-APCP+PQ>CH,

當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與AB垂直時(shí)，CP+4AP最小，CP+/AP最小值為CH,利用含30°的直角三

角的性質(zhì)和勾股定理求出48,BC,最后利用等面積法求解即可.

【詳解】解:過點(diǎn)P作PQ±于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作8,48于點(diǎn)H,

由題意知：AF平分乙民4。，

?/乙4cB=90°,/LABC=30°,

AZBAC=60°,

ZBAF=-j-ZBAC=30°,/.PQ=yAP,

：.CP+^-AP^CP+PQ>CH,

當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與AB垂直時(shí)，CP+，4P最小，CF+44P最小值為CH,

?：ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,：.AB=2AC=8,：.BC=-JA&-AC2=4V3,

VSMBC=^AC-BC^^-AB?CH,：.CH=AC^C=4=273,

即。最小值為2/.故答案為：2遍.

題目⑷如圖,在菱形ABCD中,NABC=60°,人。=6,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段AC上，且

AE=2,點(diǎn)、F為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則EF+^BF的最小值為.

AD

BC

【答案】2小

【分析】過干作N_LBC,由菱形ABCD,乙4BC=60°,得到為乙4BC平分線，求出/FBA1=3O°,在

RtAFBM中，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得到FM=，故EF+^-BF=EF+EM,求出

EF+FM的最小值即為所求最小值，當(dāng)E、F、河三點(diǎn)共線時(shí)最小，求出即可.

【詳解】解:過F作FN_LBC,菱形ABCD,AABC=6Q°,

：.NFBM=^-AABC=30°,AB=B。，即△ABC為等邊三角形，4ACM=60°,

在RtAFBM中，^BF,AD

：.EF+gBF=EF+FM,//

.?.當(dāng)E、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，/^\\/

?：AE=2,AC=AB=BC=6,由----黑

匕bMC

??.EC=AC-4石=6—2=4,

在RtZXECAf中，助1=夙7,1160°=4*乎=2-,則EF+—BF的最小值為2/.故答案為：2』.

「題目可如圖，AACB=90°,AC=2,AB=4,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),連接PC,則PC+gpB的最小值為

【答案】3

【解答】解:作NABE=30°,過點(diǎn)。作CD_LBE于點(diǎn)D,

則此時(shí)PC+手犯最小，

/ACB=90°,AC=2,AB=4,

7

sin/CBA—dg-,BC=V42-22=2A/3,

A.B42

??.ZGBA=30°,

??.DP=[pB,

??.ZCBE=60°,

—60。=卷CD_V3

2V32

解得：DC=3,

：.PC+^-PB^DC^3.

故答案為：3.

題目回如圖，在AABC中，乙4=15°,AB=10,P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP,則

空AP+PB的最小值是（）

B

A.5V2B.5V3C.D.8

O

【答案】B

【解答】解:如圖，以AP為斜邊在AC下方作等腰R1AADP，過8作BE_LAD于E,

?//PAD=45°,

.??sin/P4D=%=亭

:.DP=與AP,

號(hào)AP+PB=DP+PB>BE,

?：ABAC=15°,

：./BAD=60°,

BE=ABsin60°=5A/3,

.?.WAP+PB的最小值為5g.故選：A

題目］可如圖，在Rt/XABC中，AACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)。是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CD+率AD

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短畫出圖形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)及相似三角形判定可知△BCE?△BAG,最

后利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：過點(diǎn)人做ABAM=45°,過點(diǎn)。作。H_L入河于H,過點(diǎn)。作CE_L4B于點(diǎn)E,

DH=AD-sin^DAH=AD-sin45°=殍皿

.-.CD+^AD^CD+DH,

?.?兩點(diǎn)之間線段最短，

當(dāng)C、D、H共線時(shí)，CD+DH的值最小，

即CD+DH的最小值為CH,

【法一：正切和角公式】詳情見本專輯1—3“12345模型”

tan/G4H=——%=7,故的三邊之比為1:7:52,則答案為衛(wèi)衛(wèi)

I-A5

14

【法二：常規(guī)法】

???ZACB=90°,AC=4,BC=3,

??.AB=A/AC2+BC2=5,

?：CE±AB9

：.26￡石=乙4cB=90°,

???ZB=ZB,

：./\BCE-/\BAC,

.CE=BE=BC=3

**AC-BC-AB--5-,

.?.CE=1_X4=.,BE=1~X3=￡,

5555

ZCDE=4ADH=45°,DE=CE="，

5

：.CD=6CE=^f^,AD=AB-OE-BE=5-孕一？=二，

5555

DH=^-AD=x4=,ACH=CD+DH=衛(wèi)返+22二四2,故答案為辿2

22555555

題目回如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=V^,點(diǎn)兇是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接。河,則。河+；4河

的最小值為.

【答案】等

［分析】直接利用已知得出2CAB=60°,再將原式變形，進(jìn)而得出ZW+^-AM最小值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】過點(diǎn)A作NCAN=30°,過點(diǎn)。作DH_LAN于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)M',

在矩形ABCD中，AB=1,BC=四，.?.tan/CAB=四，：./-CAB=60°,則ADAC=30°,

?：5Ao+M'D=HM'+M'D=DH=AD-sin60°=V3x^=-1,

此時(shí)zw+fw最小，.?.zw+/w的最小值是故答案為：告.

模型二阿氏圓模型

和鶴楹理

【模型來源】

所謂阿氏圓,就是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓,這個(gè)圓，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)

稱為阿氏圓.其本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù),轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在于如

何構(gòu)造母子相似.

【模型建立】

如圖1所示，。。的半徑為了,點(diǎn)4B都在0。外，P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，已知丁=上?？冢B接則當(dāng)

“PA+的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

圖1圖2

【解題方法】

如圖2,在線段OB上截取。。使OC=k-r,則可說明/\BPO與/\PCO相似,即k-PB=PC.

故本題求“PA+的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，

其中與力與。為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、。三點(diǎn)共線時(shí),“P4+PC”值最小，如圖3所示。

例題斛新

【題型1】?jī)啥c(diǎn)在圓外:向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）

血_如圖，在用△ABC中，ZACB=90°,CB=4,=6,圓。的半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接4P,

BP.求①AP+三BP；②2Ap+BP；③^-AP+BP；?AP+3BP的最小值.

【解答】解:①取CE的中點(diǎn)。，連結(jié)PD,AD,4

,:CD=\,CB=4,CP=2,\\

.CD=CP=XV

"CPBC2）\

APCD=ZBCP,^PCD?^BCP,

PDCDI/，

.PB=CP=2_'/\/i

：.PD=^-PB,1D

AP+4PB=AP+PD,當(dāng)P在AD上時(shí)，AP+PD最小，---/

最小值為AF的長(zhǎng)，AF=^AC2+CF2=V37,AP+^BP的最小值為V37,

②^.^2AP+BP=2（4P+。BP）,.^.2AP+BP的最小值為2扃，

③在DC取一點(diǎn)G,使CG=^-DC=-f

oo???

2

CG=3=1CP=2=1

CG=CP

PC~ACf

???AACP=APCG,???ACGF?bCPA,

?gp—CG—x?QP——AP

"AP~PC~39*3，

???三AP+BP=GP+BP>BG,當(dāng)P在BG上B,GP+BP=BG,

o

BG=-JBC\CG2=“|&二等工，.?."AP+RP的最小值為2?

④?/AP+3BP=3（yAF+BP）,??.AP+3BF的最小值為2抵.

【題型2】?jī)啥c(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）

血］1如圖，在。。中，點(diǎn)4、點(diǎn)3在OO上,ZAOB=90°,。4=6,點(diǎn)。在。4上，且OC=2AC,點(diǎn)。是OB

的中點(diǎn)，點(diǎn)乂是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2ZW的最小值為.

【答案】461

【分析】延長(zhǎng)OB到T,使得BT=OB,連接MT,CT,利用相似三角形的性質(zhì)證明AfT=2DM，求CM+

2ZW的最小值問題轉(zhuǎn)化為求C7W+MT的最小值.求出CT即可判斷.

【詳解】解:延長(zhǎng)OB到T,使得BT=OB,連接MT,CT.

■：OM=6,OD=DB=3,OT=12,

：.OM2=OD-OT,

.OM_OT

"OD~OM'

■：AMOD=ATOM,

.-.△won-ATOM,

.DM_OM1

"MT~OT~~2）

：.MT=2DM,

?：CM+2DM=CM+MT>CT,

又?.?在A/OCT中，/COT=90°,OC=4,OT=12,

CT=VOC2+OT2=A/42+122=4V10,

：.CM+2DM>^VW,

：.CM+2DM■的最小值為4V10

【題型3】?jī)啥c(diǎn)一個(gè)在圓內(nèi)，一個(gè)在圓外（提系數(shù)）

而J1如圖，在AABC中,/ABC=90°,AB=2BC=6,RD=1,P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+

6P。的最小值為3抵

???AB=2BC=6,

.BP=BE=1

"BP-T,

???/PBE=/ABP,

???XPBE?XABP,

.PE=BP=1

**FA-AB-T，

：.PE=^-PA,

在BO延長(zhǎng)線上取BF=9,

BD=1,

則理=理=3

PBBD'

又APBD=AFBP,

：.XPBDfFBP,

?PF_PB__

"PD~BD-3o，

:.PF=3PD,

：.PA+6PD=2(-PA+3PD)=2(PE+PF),

當(dāng)P為EF和圓的交點(diǎn)時(shí)PE+PF最小，即P4+6P。最小，且值為2EF,

?：EF=^/BE2+BF2=J傳）:92=,

PA+6PD的最小值為2E尸=3〃方，

故答案為：3府.

【題型4】隱圓型阿氏圓

@]j_如圖,在菱形4BCD中，對(duì)角線A。、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F分別是OD、OC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=

4,P是EF的中點(diǎn),連接OP、PC、PD,若AC=12,BD=16,則PC+^PD的最小值為.

D

【答案】上野

【分析】在OD上取一點(diǎn)G,使得OG=J,連接PG、CG.根據(jù)菱形的性質(zhì)可知00=6,00=8,則黑

=OD=[，結(jié)合2GOP=APOD,可得4POG?△OOP,利用相似三角形的性質(zhì)證得PG+^-PD.根

據(jù)PC+POCG可知CG的長(zhǎng)即為PC+--PD的最小值，利用勾股定理求出CG便可解決問題.

【詳解】解:如圖，在OD上取一點(diǎn)G,使得OG=],連接PG、CG.

?：四邊形ABCD為菱形，AC=12,BZ）=16,

OC=^-AC=Q,OD=^-BD=8,AC±BD,

?.?^^^《，?是后尸的中點(diǎn)，

OP=^-EF=2,

1

.OG=J=1OP=2=1

"OF-T-T,on--8-T*

又???/GOP=/PO。，

???AFOG?ADOP,

罌J,即GP=%D,

■：PC+PG>CG,

：.當(dāng)點(diǎn)G、P、C在同一直線上時(shí)，PC+：PD取得最小值，

此時(shí)PC+~PD=PC+PG=CG=JS+OG?=

42

變式制揀

題目上如圖，在中，乙4cB=90°,CB=7,AC=9,以。為圓心、3為半徑作。C,P為。。上一

動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則:AP+BP的最小值為（）

O

A

B.5V2c.4+VioD.2V13

【答案】B

【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)證

明MP=^-PA,可得^-AP+BP=PM+PB>利用勾股定理求出BM即可解決問題.

OO

答案詳解:如圖，在CA上截取C7W;使得671^=1,連接PA/,PC,A

vFC=3,CM=\,CA=9,N

vZPCM=Z.ACP,NPCM-/\ACP,/

.??^-=^-=4,：.PM=^-PA,：.j-AP+BP=PM+PB,（少午A

JrJT.AC/O00\U/

?:PM+PB>BM,在RtABCM中,

?：ZBCM=9Q°,CM=1,BC=7,

：.BM=A/12+72=5V2,^-AP+BP>5V2,

o

.?.《AP+BP的最小值為52.故選：B.

題目⑨如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)AB=8,H為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4,F為CD上一點(diǎn)，CF=2,連接

則的最小值為（）

AD

B

A.6V2C.4V2

【答案】A

【分析】如圖（見解析），在AD邊上取點(diǎn)H,使得4H=2,連接EH、FH,先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=

CD=AB=8,/ADC=90°,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出黑=萼，從而可得然

EDAD2

后利用三角形的三邊關(guān)系定理、兩點(diǎn)之間線段最短可得EF+片ED取得最小值時(shí)，點(diǎn)E的位置，最后利用

勾股定理求解即可得.

【詳解】如圖，在AD邊上取點(diǎn)玄,使得AH=2,連接EH、FH

?.?四邊形48co是正方形:.AD=CD=AB=8,AADC=90°

??AE=4?人石=2=2=3=2即=""=2

?**AH2JAE4f?AHAE

又?.?NEAH=/DAE：.AAEH-/\ADE：.--=嘴=小，即m=&ED

h/L)AD82

:.EF+三ED=EF+EH由三角形的三邊關(guān)系定理得：EF+EH>FH

由題意得：點(diǎn)E的軌跡是在以點(diǎn)A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓上

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)E位于FH與圓？1的交點(diǎn)E'時(shí)，EF+EH取得最小值，最小值為FH