2017-2018學(xué)年蘭州高二上期末數(shù)學(xué)理科試卷(2)(含答案)-(新課標(biāo)人教版)

2017-2018學(xué)年甘肅省蘭州高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）拋物線y=16x2的準(zhǔn)線方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y= D．y=﹣2．（5分）若雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣4），則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，則水位下降2米后（水足夠深），水面寬（）米．A．2 B．4 C．4 D．25．（5分）橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），當(dāng)||取最小值時(shí)，x的值等于（）A．19 B． C． D．7．（5分）已知命題p：?x∈R，x﹣2＞lgx，命題q：?x∈R，ex＞1，則（）A．命題p∨q是假命題 B．命題p∧q是真命題C．命題p∧（￢q）是真命題 D．命題p∨（￢q）是假命題8．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為曲線C1：的焦點(diǎn)，P是曲線C2：﹣y2=1與C1的一個(gè)交點(diǎn)，則cos∠F1PF2的值是（）A． B． C． D．9．（5分）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為（）A． B． C． D．11．（5分）已知直線l的斜率為k，它與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，=3，則|k|=（）A．2 B． C． D．12．（5分）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=4b，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）給定下列命題：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要條件；②“若sinα≠，則α≠”；③若xy=0，則x=0且y=0”的逆否命題；④命題“?x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”的否定．其中真命題的序號(hào)是．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，則λ=．15．（5分）已知A是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F與y軸平行的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，若△APQ是銳角三角形，則雙曲線C的離心率的范圍．16．（5分）如圖，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2）過點(diǎn)C的直線CA與X軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（10分）給出兩個(gè)命題：命題甲：關(guān)于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集為?，命題乙：函數(shù)y=（2a2﹣a）x為增函數(shù)．分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的范圍．（1）甲、乙至少有一個(gè)是真命題；（2）甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題．18．（12分）已知三棱錐S﹣ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，寫出、的坐標(biāo)；（2）求直線AB與平面SBC所成角的正弦值．19．（12分）如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率e=，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，N（3，1）是線段AB的中點(diǎn)．（1）求直線AB的方程；（2）若以AB為直徑的圓與直線相切，求出該橢圓方程．21．（12分）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（12分）已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn)，若直線P2A與P2B直線的斜率的和為﹣1，證明：l過定點(diǎn)．2017-2018學(xué)年甘肅蘭州高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）拋物線y=16x2的準(zhǔn)線方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y= D．y=﹣【解答】解：拋物線的方程為y=16x2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，其開口向上，且p=，則其準(zhǔn)線方程為：y=﹣；故選：D．2．（5分）若雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣4），則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【解答】解：雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故選：D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若方程+=1表示橢圓，則滿足，即，即1＜m＜3且m≠2，此時(shí)1＜m＜3成立，即必要性成立，當(dāng)m=2時(shí)，滿足1＜m＜3，但此時(shí)方程+=1等價(jià)為為圓，不是橢圓，不滿足條件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示橢圓”的必要不充分條件，故選：B4．（5分）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，則水位下降2米后（水足夠深），水面寬（）米．A．2 B．4 C．4 D．2【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=my，將A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2，故水面寬為4m．故選：B5．（5分）橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)該橢圓的半焦距為c，由題意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此橢圓的離心率為．故選B．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），當(dāng)||取最小值時(shí)，x的值等于（）A．19 B． C． D．【解答】解：=（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），||==求出被開方數(shù)的對(duì)稱軸為x=當(dāng)時(shí)，||取最小值．故選C7．（5分）已知命題p：?x∈R，x﹣2＞lgx，命題q：?x∈R，ex＞1，則（）A．命題p∨q是假命題 B．命題p∧q是真命題C．命題p∧（￢q）是真命題 D．命題p∨（￢q）是假命題【解答】解：對(duì)于命題p：例如當(dāng)x=10時(shí)，8＞1成立，故命題p是真命題；對(duì)于命題q：?x∈R，ex＞1，當(dāng)x=0時(shí)命題不成立，故命題q是假命題；∴命題p∧￢q是真命題．故選：C．8．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為曲線C1：的焦點(diǎn)，P是曲線C2：﹣y2=1與C1的一個(gè)交點(diǎn)，則cos∠F1PF2的值是（）A． B． C． D．【解答】解：依題意，曲線C1：+=1的焦點(diǎn)為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）雙曲線C2：﹣y2=1的焦點(diǎn)也為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）∵P是曲線C2與C1的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其為第一象限的點(diǎn)由橢圓與雙曲線定義可知PF1+PF2=2，PF1﹣PF2=2解得PF1=+，PF2=﹣設(shè)∠F1PF2=θ則cosθ==，故選：C9．（5分）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：橢圓的方程為，∴2a=6，2b=4，c=2，連接AF1，BF1，則由橢圓的中心對(duì)稱性可得△ABF2的周長(zhǎng)l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，|AB|取最小值，最小值為2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．故選：D．10．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為（）A． B． C． D．【解答】解：過O作A1B1的平行線，交B1C1于E，則O到平面ABC1D1的距離即為E到平面ABC1D1的距離．作EF⊥BC1于F，易證EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故選B．11．（5分）已知直線l的斜率為k，它與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，=3，則|k|=（）A．2 B． C． D．【解答】解：設(shè)A在第一象限，如圖，設(shè)A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為M，N，過B作BE⊥AM與E，根據(jù)拋物線定義，可得：AF=AM=3m，BN=BF=m，∴AE=2m，又AB=4m，∴∠BAF=60°，k=，當(dāng)A在第四象限時(shí)，可得k=﹣．故選：B．12．（5分）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=4b，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=4b，若這樣的直線有且僅有兩條，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，可得：e＞或1綜合可得，有2條直線符合條件時(shí)，：e＞或1．故選：D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）給定下列命題：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要條件；②“若sinα≠，則α≠”；③若xy=0，則x=0且y=0”的逆否命題；④命題“?x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”的否定．其中真命題的序號(hào)是②④．【解答】解：對(duì)于①，由x＞1不能得到x＞2，由x＞2能得到x＞1，∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分條件，命題①為假命題；對(duì)于②，∵“若，則sin”為真命題，∴其逆否命題“若sinα≠，則α≠”為真命題，命題②為真命題；對(duì)于③，由xy=0，可得x=0或y=0，∴“若xy=0，則x=0且y=0”為假命題，則其逆否命題為假命題；對(duì)于④，∵x02﹣x0+1=，∴命題“?x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”為假命題，則其否定為真命題．∴真命題的序號(hào)是②④．故答案為：②④．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，則λ=．【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），，，三向量共面三向量共面，∴存在p，q，使得=p+q，∴（7，5，λ）=（2p﹣q，﹣p+4q，3p﹣2q）∴，解得p=，q=，λ=3p﹣2q=．故答案為：．15．（5分）已知A是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F與y軸平行的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，若△APQ是銳角三角形，則雙曲線C的離心率的范圍（1，2）．【解答】解：∵△APQ是銳角三角形，∴∠PAF為銳角，∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB垂直x軸，∴∠PAF=∠QAF＜45°∴PF＜AF∵F為座焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（﹣c，0）所以A（a，0）所以PF=，AF=a+c∴＜a+c即c2﹣ac﹣2a2＜0解得﹣1＜＜2雙曲線的離心率的范圍是（1，2）故答案為：（1，2）16．（5分）如圖，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，2）過點(diǎn)C的直線CA與X軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為x+y﹣2=0．【解答】解：由題意可知：點(diǎn)M既是Rt△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)，又是Rt△OAB的斜邊AB的中點(diǎn)．∴|OM|=|CM|，設(shè)M（x，y），則，化為x+y﹣2=0．故答案為x+y﹣2=0．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（10分）給出兩個(gè)命題：命題甲：關(guān)于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集為?，命題乙：函數(shù)y=（2a2﹣a）x為增函數(shù)．分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的范圍．（1）甲、乙至少有一個(gè)是真命題；（2）甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題．【解答】解：若命題甲：關(guān)于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集為?為真命題則△=（a﹣1）2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1＜0即3a2+2a﹣1＞0，解得A={a|a＜﹣1，或a＞}若命題乙：函數(shù)y=（2a2﹣a）x為增函數(shù)為真命題則2a2﹣a＞1即2a2﹣a﹣1＞0解得B={a|a＜﹣，或a＞1}（1）若甲、乙至少有一個(gè)是真命題則A∪B={a|a＜﹣或a＞}；（2）若甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題（A∩CUB）∪（CUA∩B）={a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．18．（12分）已知三棱錐S﹣ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，寫出、的坐標(biāo)；（2）求直線AB與平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A為原點(diǎn)建系如圖，則S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）．∴=（，1，0），=（，1，﹣3），=（0，2，﹣3）…（6分）（2）設(shè)面SBC的法向量為．則令y=3，則z=2，x=，∴．設(shè)AB與面SBC所成的角為θ，則sinθ=…12分19．（12分）如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)，又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF，因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因?yàn)橹崩庵鵄BC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，設(shè)AB=2，則AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，過D作DF⊥A1C于F，∠DFE為二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率e=，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，N（3，1）是線段AB的中點(diǎn)．（1）求直線AB的方程；（2）若以AB為直徑的圓與直線相切，求出該橢圓方程．【解答】解：（1）離心率e=，設(shè)橢圓C：x2+3y2=a2（a＞0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣3）+1，代入x2+3y2=a2，整理得（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+3（3k﹣1）2﹣a2=0．①△=4[a2（3k2+1）﹣3（3k﹣1）2]＞0，②且x1+x2=，由N（3，1）是線段AB的中點(diǎn)，得．解得k=﹣1，代入②得a2＞12，∴直線AB的方程為y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0..（6分）（2）圓心N（3，1）到直線的距離d=，∴|AB|=2．當(dāng)k=﹣1時(shí)方程①即4x2﹣24x+48﹣a2=0．∴|AB|=|x1﹣x2|==2，解得a2=24．∴橢圓方程為…（12分）21．（12分）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（