2017-2018學(xué)年蘭州高二上期末數(shù)學(xué)理科試卷(2)(含答案)-(新課標(biāo)人教版)_第1頁
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文檔簡介

2017-2018學(xué)年甘肅省蘭州高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分)1.(5分)拋物線y=16x2的準(zhǔn)線方程是()A.x=4 B.x=﹣4 C.y= D.y=﹣2.(5分)若雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,﹣4),則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.(5分)“1<m<3”是“方程+=1表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.(5分)如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l位置時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米,則水位下降2米后(水足夠深),水面寬()米.A.2 B.4 C.4 D.25.(5分)橢圓(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.6.(5分)若A(x,5﹣x,2x﹣1),B(1,x+2,2﹣x),當(dāng)||取最小值時(shí),x的值等于()A.19 B. C. D.7.(5分)已知命題p:?x∈R,x﹣2>lgx,命題q:?x∈R,ex>1,則()A.命題p∨q是假命題 B.命題p∧q是真命題C.命題p∧(¬q)是真命題 D.命題p∨(¬q)是假命題8.(5分)設(shè)F1,F(xiàn)2為曲線C1:的焦點(diǎn),P是曲線C2:﹣y2=1與C1的一個(gè)交點(diǎn),則cos∠F1PF2的值是()A. B. C. D.9.(5分)已知橢圓的方程為,過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn),則△ABF2的周長的最小值為()A.7 B.8 C.9 D.1010.(5分)如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離為()A. B. C. D.11.(5分)已知直線l的斜率為k,它與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),=3,則|k|=()A.2 B. C. D.12.(5分)過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),使得|AB|=4b,若這樣的直線有且僅有兩條,則離心率e的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分13.(5分)給定下列命題:①“x>1”是“x>2”的充分不必要條件;②“若sinα≠,則α≠”;③若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題;④命題“?x0∈R,使x02﹣x0+1≤0”的否定.其中真命題的序號(hào)是.14.(5分)已知=(2,﹣1,3),=(﹣1,4,﹣2),=(7,5,λ),若,,三向量共面,則λ=.15.(5分)已知A是雙曲線C:(a>0,b>0)的右頂點(diǎn),過左焦點(diǎn)F與y軸平行的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn),若△APQ是銳角三角形,則雙曲線C的離心率的范圍.16.(5分)如圖,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2)過點(diǎn)C的直線CA與X軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程為.三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.(10分)給出兩個(gè)命題:命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2≤0的解集為?,命題乙:函數(shù)y=(2a2﹣a)x為增函數(shù).分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的范圍.(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題;(2)甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題.18.(12分)已知三棱錐S﹣ABC中,底面ABC為邊長等于2的等邊三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,寫出、的坐標(biāo);(2)求直線AB與平面SBC所成角的正弦值.19.(12分)如圖,直棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn),AA1=AC=CB=AB.(Ⅰ)證明:BC1∥平面A1CD(Ⅱ)求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.20.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的離心率e=,A,B是橢圓C上兩點(diǎn),N(3,1)是線段AB的中點(diǎn).(1)求直線AB的方程;(2)若以AB為直徑的圓與直線相切,求出該橢圓方程.21.(12分)已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(Ⅰ)求曲線C的方程;(Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(12分)已知橢圓,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn),若直線P2A與P2B直線的斜率的和為﹣1,證明:l過定點(diǎn).2017-2018學(xué)年甘肅蘭州高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分)1.(5分)拋物線y=16x2的準(zhǔn)線方程是()A.x=4 B.x=﹣4 C.y= D.y=﹣【解答】解:拋物線的方程為y=16x2,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y,其開口向上,且p=,則其準(zhǔn)線方程為:y=﹣;故選:D.2.(5分)若雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,﹣4),則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【解答】解:雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3,﹣4),可得3b=4a,即9(c2﹣a2)=16a2,解得=.故選:D.3.(5分)“1<m<3”是“方程+=1表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解答】解:若方程+=1表示橢圓,則滿足,即,即1<m<3且m≠2,此時(shí)1<m<3成立,即必要性成立,當(dāng)m=2時(shí),滿足1<m<3,但此時(shí)方程+=1等價(jià)為為圓,不是橢圓,不滿足條件.即充分性不成立故“1<m<3”是“方程+=1表示橢圓”的必要不充分條件,故選:B4.(5分)如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l位置時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米,則水位下降2米后(水足夠深),水面寬()米.A.2 B.4 C.4 D.2【解答】解:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=my,將A(2,﹣2)代入x2=my,得m=﹣2∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣4)得x0=2,故水面寬為4m.故選:B5.(5分)橢圓(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.【解答】解:設(shè)該橢圓的半焦距為c,由題意可得,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,∵|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,∴(2c)2=(a﹣c)(a+c),∴=,即e2=,∴e=,即此橢圓的離心率為.故選B.6.(5分)若A(x,5﹣x,2x﹣1),B(1,x+2,2﹣x),當(dāng)||取最小值時(shí),x的值等于()A.19 B. C. D.【解答】解:=(1﹣x,2x﹣3,﹣3x+3),||==求出被開方數(shù)的對(duì)稱軸為x=當(dāng)時(shí),||取最小值.故選C7.(5分)已知命題p:?x∈R,x﹣2>lgx,命題q:?x∈R,ex>1,則()A.命題p∨q是假命題 B.命題p∧q是真命題C.命題p∧(¬q)是真命題 D.命題p∨(¬q)是假命題【解答】解:對(duì)于命題p:例如當(dāng)x=10時(shí),8>1成立,故命題p是真命題;對(duì)于命題q:?x∈R,ex>1,當(dāng)x=0時(shí)命題不成立,故命題q是假命題;∴命題p∧¬q是真命題.故選:C.8.(5分)設(shè)F1,F(xiàn)2為曲線C1:的焦點(diǎn),P是曲線C2:﹣y2=1與C1的一個(gè)交點(diǎn),則cos∠F1PF2的值是()A. B. C. D.【解答】解:依題意,曲線C1:+=1的焦點(diǎn)為F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0)雙曲線C2:﹣y2=1的焦點(diǎn)也為F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0)∵P是曲線C2與C1的一個(gè)交點(diǎn),設(shè)其為第一象限的點(diǎn)由橢圓與雙曲線定義可知PF1+PF2=2,PF1﹣PF2=2解得PF1=+,PF2=﹣設(shè)∠F1PF2=θ則cosθ==,故選:C9.(5分)已知橢圓的方程為,過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn),則△ABF2的周長的最小值為()A.7 B.8 C.9 D.10【解答】解:橢圓的方程為,∴2a=6,2b=4,c=2,連接AF1,BF1,則由橢圓的中心對(duì)稱性可得△ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|,當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí),|AB|取最小值,最小值為2b=4,l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10.故選:D.10.(5分)如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則O到平面ABC1D1的距離為()A. B. C. D.【解答】解:過O作A1B1的平行線,交B1C1于E,則O到平面ABC1D1的距離即為E到平面ABC1D1的距離.作EF⊥BC1于F,易證EF⊥平面ABC1D1,可求得EF=B1C=.故選B.11.(5分)已知直線l的斜率為k,它與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),=3,則|k|=()A.2 B. C. D.【解答】解:設(shè)A在第一象限,如圖,設(shè)A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為M,N,過B作BE⊥AM與E,根據(jù)拋物線定義,可得:AF=AM=3m,BN=BF=m,∴AE=2m,又AB=4m,∴∠BAF=60°,k=,當(dāng)A在第四象限時(shí),可得k=﹣.故選:B.12.(5分)過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),使得|AB|=4b,若這樣的直線有且僅有兩條,則離心率e的取值范圍是()A. B. C. D.【解答】解:由題意過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),使得|AB|=4b,若這樣的直線有且僅有兩條,可得<|AB|=4b,并且2a>4b,e>1,可得:e>或1綜合可得,有2條直線符合條件時(shí),:e>或1.故選:D.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分13.(5分)給定下列命題:①“x>1”是“x>2”的充分不必要條件;②“若sinα≠,則α≠”;③若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題;④命題“?x0∈R,使x02﹣x0+1≤0”的否定.其中真命題的序號(hào)是②④.【解答】解:對(duì)于①,由x>1不能得到x>2,由x>2能得到x>1,∴“x>1”是“x>2”的必要不充分條件,命題①為假命題;對(duì)于②,∵“若,則sin”為真命題,∴其逆否命題“若sinα≠,則α≠”為真命題,命題②為真命題;對(duì)于③,由xy=0,可得x=0或y=0,∴“若xy=0,則x=0且y=0”為假命題,則其逆否命題為假命題;對(duì)于④,∵x02﹣x0+1=,∴命題“?x0∈R,使x02﹣x0+1≤0”為假命題,則其否定為真命題.∴真命題的序號(hào)是②④.故答案為:②④.14.(5分)已知=(2,﹣1,3),=(﹣1,4,﹣2),=(7,5,λ),若,,三向量共面,則λ=.【解答】解:∵=(2,﹣1,3),=(﹣1,4,﹣2),=(7,5,λ),,,三向量共面三向量共面,∴存在p,q,使得=p+q,∴(7,5,λ)=(2p﹣q,﹣p+4q,3p﹣2q)∴,解得p=,q=,λ=3p﹣2q=.故答案為:.15.(5分)已知A是雙曲線C:(a>0,b>0)的右頂點(diǎn),過左焦點(diǎn)F與y軸平行的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn),若△APQ是銳角三角形,則雙曲線C的離心率的范圍(1,2).【解答】解:∵△APQ是銳角三角形,∴∠PAF為銳角,∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱,且直線AB垂直x軸,∴∠PAF=∠QAF<45°∴PF<AF∵F為座焦點(diǎn),設(shè)其坐標(biāo)為(﹣c,0)所以A(a,0)所以PF=,AF=a+c∴<a+c即c2﹣ac﹣2a2<0解得﹣1<<2雙曲線的離心率的范圍是(1,2)故答案為:(1,2)16.(5分)如圖,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2)過點(diǎn)C的直線CA與X軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程為x+y﹣2=0.【解答】解:由題意可知:點(diǎn)M既是Rt△ABC的斜邊AB的中點(diǎn),又是Rt△OAB的斜邊AB的中點(diǎn).∴|OM|=|CM|,設(shè)M(x,y),則,化為x+y﹣2=0.故答案為x+y﹣2=0.三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.(10分)給出兩個(gè)命題:命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2≤0的解集為?,命題乙:函數(shù)y=(2a2﹣a)x為增函數(shù).分別求出符合下列條件的實(shí)數(shù)a的范圍.(1)甲、乙至少有一個(gè)是真命題;(2)甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題.【解答】解:若命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2≤0的解集為?為真命題則△=(a﹣1)2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1<0即3a2+2a﹣1>0,解得A={a|a<﹣1,或a>}若命題乙:函數(shù)y=(2a2﹣a)x為增函數(shù)為真命題則2a2﹣a>1即2a2﹣a﹣1>0解得B={a|a<﹣,或a>1}(1)若甲、乙至少有一個(gè)是真命題則A∪B={a|a<﹣或a>};(2)若甲、乙中有且只有一個(gè)是真命題(A∩CUB)∪(CUA∩B)={a|<a≤1或﹣1≤a<﹣}.18.(12分)已知三棱錐S﹣ABC中,底面ABC為邊長等于2的等邊三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,寫出、的坐標(biāo);(2)求直線AB與平面SBC所成角的正弦值.【解答】解:(1)以A為原點(diǎn)建系如圖,則S(0,0,3),A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0).∴=(,1,0),=(,1,﹣3),=(0,2,﹣3)…(6分)(2)設(shè)面SBC的法向量為.則令y=3,則z=2,x=,∴.設(shè)AB與面SBC所成的角為θ,則sinθ=…12分19.(12分)如圖,直棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn),AA1=AC=CB=AB.(Ⅰ)證明:BC1∥平面A1CD(Ⅱ)求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.【解答】解:(Ⅰ)證明:連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1的中點(diǎn),又D是AB中點(diǎn),連結(jié)DF,則BC1∥DF,因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)因?yàn)橹崩庵鵄BC﹣A1B1C1,所以AA1⊥CD,由已知AC=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB,又AA1∩AB=A,于是,CD⊥平面ABB1A1,設(shè)AB=2,則AA1=AC=CB=2,得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D,所以DE⊥平面A1DC,又A1C=2,過D作DF⊥A1C于F,∠DFE為二面角D﹣A1C﹣E的平面角,在△A1DC中,DF==,EF==,所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值.sin∠DFE=.20.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的離心率e=,A,B是橢圓C上兩點(diǎn),N(3,1)是線段AB的中點(diǎn).(1)求直線AB的方程;(2)若以AB為直徑的圓與直線相切,求出該橢圓方程.【解答】解:(1)離心率e=,設(shè)橢圓C:x2+3y2=a2(a>0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意,設(shè)直線AB的方程為y=k(x﹣3)+1,代入x2+3y2=a2,整理得(3k2+1)x2﹣6k(3k﹣1)x+3(3k﹣1)2﹣a2=0.①△=4[a2(3k2+1)﹣3(3k﹣1)2]>0,②且x1+x2=,由N(3,1)是線段AB的中點(diǎn),得.解得k=﹣1,代入②得a2>12,∴直線AB的方程為y﹣1=﹣(x﹣3),即x+y﹣4=0..(6分)(2)圓心N(3,1)到直線的距離d=,∴|AB|=2.當(dāng)k=﹣1時(shí)方程①即4x2﹣24x+48﹣a2=0.∴|AB|=|x1﹣x2|==2,解得a2=24.∴橢圓方程為…(12分)21.(12分)已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(Ⅰ)求曲線C的方程;(Ⅱ)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解答】解:(

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