2017-2018學(xué)年遼寧省本溪高二上期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含答案)_第1頁
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2017-2018學(xué)年遼寧省本溪高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分.)1.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=2﹣i,i為虛數(shù)單位,則z=()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i2.(5分)命題“?x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否命題是()A.?x∈Z,使x2+2x+m>0 B.?x∈Z,都有x2+2x+m>0C.?x∈Z,都有x2+2x+m≤0 D.不存在x∈Z,使x2+2x+m>03.(5分)已知平面向量,滿足()=5,且||=2,||=1,則向量與夾角的正切值為()A. B. C.﹣ D.﹣4.(5分)已知sinα=2cosα,則sin()=()A. B. C. D.5.(5分)已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是()A.21 B.20 C.19 D.186.(5分)若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2,則點(diǎn)P到拋物線的焦F的距離為()A.4 B.5 C.6 D.77.(5分)已知向量,若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最大值是()A. B. C. D.8.(5分)點(diǎn)P在雙曲線:(a>0,b>0)上,F(xiàn)1,F(xiàn)2是這條雙曲線的兩個焦點(diǎn),∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率是()A.2 B.3 C.4 D.59.(5分)已知x0=﹣是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的一個極小值點(diǎn),則f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(,) B.(,) C.(,π) D.(,π)10.(5分)設(shè)a>0,b>0.若是3a與3b的等比中項(xiàng),則的最小值為()A.8 B.4 C.1 D.11.(5分)已知l是雙曲線C:﹣=1的一條漸近線,P是l上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn),若?=0,則P到x軸的距離為()A. B. C.2 D.12.(5分)設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足:對任意x∈R,都有f(x)=f(2﹣x),x∈(0,1]時f(x)=,若a=f(),b=f(),c=f(),則a,b,c三者的大小關(guān)系是()A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a(chǎn)>c>b二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.)13.(5分)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2(1+3sin2θ)=4,則曲線C的普通方程為.14.(5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,,,成等比數(shù)列.15.(5分)F1是橢圓的左焦點(diǎn),P是橢圓上的動點(diǎn)A(1,1)為定點(diǎn),則|PA|+|PF1|的最小值是.16.(5分)在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),已知∠BAD+∠C=90°,則△ABC的形狀是.三、解答題:(本大題共6小題,共70分.)17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足(2b﹣c)cosA=acosC.(1)求角A的大?。唬?)若a=2,b+c=4,求△ABC的面積.18.(12分)某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲,乙兩個“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲,乙兩個班級進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師分別從兩個班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計,作出莖葉圖如下,計成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”.(1)從乙班樣本的20個個體中,從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個,求抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”的概率;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).甲班(A方式)乙班(B方式)總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計附:K2=P((K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.02419.(12分)已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,若函數(shù)y=x2﹣2x在x=an處的切線斜率為Sn,數(shù)列{bn},滿足點(diǎn)(n,bn)(n∈N*)在直線y=x上.(1)分別求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.20.(12分)如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.(1)求B到平面CDE的距離(2)在線段DE上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.21.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的短軸長為2,離心率為(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與(1)中的橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+(2m﹣1)x﹣mlnx.(1)當(dāng)m=1時,求曲線y=f(x)的極值;(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若對任意m∈(2,3)及x∈[1,3]時,恒有mt﹣f(x)<1成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

2017-2018學(xué)年遼寧省本溪高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)參考答案與試題解析一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分.)1.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=2﹣i,i為虛數(shù)單位,則z=()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i【解答】解:由z?i=2﹣i得,,故選A2.(5分)命題“?x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否命題是()A.?x∈Z,使x2+2x+m>0 B.?x∈Z,都有x2+2x+m>0C.?x∈Z,都有x2+2x+m≤0 D.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0【解答】解:特稱命題“?x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是全稱命題:“?x∈Z,都有x2+2x+m>0”.故答案為:?x∈Z,都有x2+2x+m>0.3.(5分)已知平面向量,滿足()=5,且||=2,||=1,則向量與夾角的正切值為()A. B. C.﹣ D.﹣【解答】解:設(shè)、的夾角為θ,則θ∈[0,π],又()=5,||=2,||=1,∴+?=22+2×1×cosθ=5,解得cosθ=,∴θ=,∴tanθ=,即向量與夾角的正切值為.故選:B.4.(5分)已知sinα=2cosα,則sin()=()A. B. C. D.【解答】解:由sinα=2cosα,得tanα=2.∴sin()=cos2α=.故選:A.5.(5分)已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和,則使得Sn達(dá)到最大值的n是()A.21 B.20 C.19 D.18【解答】解:設(shè){an}的公差為d,由題意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105,即a1+2d=35,①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99,即a1+3d=33,②由①②聯(lián)立得a1=39,d=﹣2,∴Sn=39n+×(﹣2)=﹣n2+40n=﹣(n﹣20)2+400,故當(dāng)n=20時,Sn達(dá)到最大值400.故選:B.6.(5分)若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2,則點(diǎn)P到拋物線的焦F的距離為()A.4 B.5 C.6 D.7【解答】解:拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=﹣1∵拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2,則P(3,),∴P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為:4,∴點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.故選:A.7.(5分)已知向量,若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最大值是()A. B. C. D.【解答】解:由約束條件作出可行域如圖,∵,∴,其幾何意義為可行域內(nèi)動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,由圖可知,A到原點(diǎn)距離最大.聯(lián)立,解得A(3,8),∴的最大值是.故選:A.8.(5分)點(diǎn)P在雙曲線:(a>0,b>0)上,F(xiàn)1,F(xiàn)2是這條雙曲線的兩個焦點(diǎn),∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率是()A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解:因?yàn)椤鱂1PF2的三條邊長成等差數(shù)列,不妨設(shè)|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差數(shù)列,分別設(shè)為m﹣d,m,m+d,則由雙曲線定義和勾股定理可知:m﹣(m﹣d)=2a,m+d=2c,(m﹣d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,c=,故離心率e===5,故選D.9.(5分)已知x0=﹣是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的一個極小值點(diǎn),則f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(,) B.(,) C.(,π) D.(,π)【解答】解:x0=﹣是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的一個極小值點(diǎn),∴sin[2×(﹣)+φ]=﹣1,∴﹣+φ=2kπ﹣,解得φ=2kπ﹣,k∈Z,不妨取φ=﹣,此時f(x)=sin(2x﹣),令2kπ+<2x﹣<2kπ+,可得kπ+<x<kπ+,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kπ+,kπ+)k∈Z,結(jié)合選項(xiàng)可知當(dāng)k=0時,函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為(,).故選:A.10.(5分)設(shè)a>0,b>0.若是3a與3b的等比中項(xiàng),則的最小值為()A.8 B.4 C.1 D.【解答】解:因?yàn)?a?3b=3,所以a+b=1,,當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”成立,故選擇B.11.(5分)已知l是雙曲線C:﹣=1的一條漸近線,P是l上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn),若?=0,則P到x軸的距離為()A. B. C.2 D.【解答】解:雙曲線C:﹣=1的a=,b=2,c==,即有F1(﹣,0),F(xiàn)2(,0),設(shè)漸近線l的方程為y=x,且P(m,m),?=(﹣﹣m,﹣m)?(﹣m,﹣m)=(﹣﹣m)(﹣m)+(﹣m)2=0,化為3m2﹣6=0,解得m=±,則P到x軸的距離為|m|=2.故選:C.12.(5分)設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足:對任意x∈R,都有f(x)=f(2﹣x),x∈(0,1]時f(x)=,若a=f(),b=f(),c=f(),則a,b,c三者的大小關(guān)系是()A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a(chǎn)>c>b【解答】解:定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足對任意x∈R,都有f(x)=f(2﹣x),可得f(﹣x)=f(x)=f(2﹣x),即為f(x+2)=f(x),函數(shù)f(x)的最小正周期為2,若a=f()=f(672﹣)=f(﹣)=f(),b=f()=f(404﹣)=f(﹣)=f(),c=f()=f(288+)=f(),x∈(0,1]時f(x)=,導(dǎo)數(shù)為f′(x)=,當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0,f(x)遞增,由<<,可得f()<f()<f(),即為c<a<b,故選B.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.)13.(5分)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2(1+3sin2θ)=4,則曲線C的普通方程為+y2=1.【解答】解:曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2(1+3sin2θ)=4,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為:x2+3y2=4,整理得:.故答案為:.14.(5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,,,成等比數(shù)列.【解答】解:設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,首項(xiàng)為b1,則T4=b14q6,T8=b18q1+2++7=b18q28,T12=b112q1+2++11=b112q66,∴=b14q22,=b14q38,即()2=?T4,故T4,,成等比數(shù)列.故答案為:15.(5分)F1是橢圓的左焦點(diǎn),P是橢圓上的動點(diǎn)A(1,1)為定點(diǎn),則|PA|+|PF1|的最小值是6﹣.【解答】解:橢圓的a=3,b=,c=2,如圖,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2(2,0),則|PF1|+|PF2|=2a=6;∴|PA|+|PF1|=|PA|+6﹣|PF2|=6+|PA|﹣|PF2|;由圖形知,當(dāng)P在直線AF′上時,||PA|﹣|PF2||=|AF2|=,當(dāng)P不在直線AF′上時,根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有,||PA|﹣|PF2||<|AF2|=;∴當(dāng)P在F'A的延長線上時,|PA|﹣|PF2|取得最小值﹣,∴|PA|+|PF1|的最小值為6﹣.故答案為:6﹣.16.(5分)在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),已知∠BAD+∠C=90°,則△ABC的形狀是等腰或直角三角形.【解答】解:根據(jù)題意,∵∠BAD+∠C=90°,∴∠CAD+∠B=180°﹣(∠BAD+∠C)=90°,設(shè)∠BAD=α,∠B=β,則∠C=90°﹣α,∠CAD=90°﹣β,在△ABD和△ACD中,根據(jù)正弦定理得:sinα:sinβ=BD:AD,sin(90°﹣β):sin(90°﹣α)=CD:AD,又D為BC中點(diǎn),∴BD=CD,∴sinα:sinβ=sin(90°﹣β):sin(90°﹣α)=cosβ:cosα,∴sinαcosα=sinβcosβ,即sin2α=sin2β,∴2α=2β或2α+2β=180°,∴α=β或α+β=90°,∴BD=AD=CD或AD⊥CD,∴∠BAC=90°或AB=AC,∴△ABC為直角三角形或等腰三角形.故答案為:等腰或直角三角形三、解答題:(本大題共6小題,共70分.)17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足(2b﹣c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b+c=4,求△ABC的面積.【解答】解:(1)已知等式(2b﹣c)cosA=a?cosC,由正弦定理化簡得(2sinB﹣sinC)cosA=sinA?cosC,整理得:2sinB?cosA=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,在△ABC中,sinB≠0,∴cosA=,∵0<A<π∴A=;(2)∵b+c=4,a=2,∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bcosA,即4=b2+c2﹣bc,∴4=(b+c)2﹣3bc,∵b+c=4,∴bc=4,∴S△ABC=bc?sinA=×4×=18.(12分)某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲,乙兩個“平行班”,每班50人.陳老師采用A,B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲,乙兩個班級進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn).為了解教學(xué)效果,期末考試后,陳老師分別從兩個班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計,作出莖葉圖如下,計成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”.(1)從乙班樣本的20個個體中,從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個,求抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”的概率;(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).甲班(A方式)乙班(B方式)總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計附:K2=P((K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解答】解:(1)設(shè)“抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”“為事件A.從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個的基本事件為(86,93),(86,96),(86,97),(86,99)(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共15個,而事件A包含基本事件:(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共10個.所以所求概率為P(A)==(2)由已知數(shù)據(jù)得:甲班(A方式)乙班(B方式)總計成績優(yōu)秀156成績不優(yōu)秀191534總計202040根據(jù)2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù),K2=≈3.137>2.706所以有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān).19.(12分)已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,若函數(shù)y=x2﹣2x在x=an處的切線斜率為Sn,數(shù)列{bn},滿足點(diǎn)(n,bn)(n∈N*)在直線y=x上.(1)分別求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn.【解答】解:(1)∵y=x2﹣2x,∴y′=2x﹣2,∴2an﹣2=Sn,2an﹣1﹣2=Sn﹣1(n≥2),∴an=2an﹣1(n≥2),當(dāng)n=1時,a1=2,∴{an}是以a1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n(n∈N*),由條件知{bn}是等差數(shù)列,bn=n;(2)令cn=anbn=n2n(利用錯位相減法求和),則Tn=2+2?22+3?23+4?24+…+n?2n,①故2Tn=22+2?23+3?24+…+(n﹣1)2n+n2n+1②,①﹣②得﹣Tn=2+22+23+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n﹣1,∵Tn=(n﹣1)2n+1+2.20.(12分)如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.(1)求B到平面CDE的距離(2)在線段DE上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.【解答】(1)解:∵CD⊥平面ADE,∴CD⊥AE,又AE⊥ED,ED∩CD=D,∴AE⊥平面CDE,又AB∥CD,∴B到平面CDE的距離為AE=3…(6分)(2)解:在線段DE上存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BCE,=.下面給出證明:設(shè)F為線段DE上的一點(diǎn),且=.過F作FM∥CD交CE于點(diǎn)M,則FM=,∵CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,∴CD∥AB.又CD=3AB,∴MFAB,∴四邊形ABMF是平行四邊形,∴AF∥BM,又AF?平面BCE,BM?平面BCE.∴AF∥平面BCE.…(12分)21.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)的短軸長為2,離心率為(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與(1)中的橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為銳角,求直線

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