2017-2018學(xué)年遼寧省本溪高二上期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含答案)

2017-2018學(xué)年遼寧省本溪高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．）1．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=2﹣i，i為虛數(shù)單位，則z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i2．（5分）命題“?x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否命題是（）A．?x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．?x∈Z，都有x2+2x+m＞0C．?x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞03．（5分）已知平面向量，滿足（）=5，且||=2，||=1，則向量與夾角的正切值為（）A． B． C．﹣ D．﹣4．（5分）已知sinα=2cosα，則sin（）=（）A． B． C． D．5．（5分）已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．186．（5分）若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦F的距離為（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）已知向量，若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．8．（5分）點(diǎn)P在雙曲線：（a＞0，b＞0）上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是這條雙曲線的兩個焦點(diǎn)，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）已知x0=﹣是函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的一個極小值點(diǎn)，則f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）10．（5分）設(shè)a＞0，b＞0．若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．8 B．4 C．1 D．11．（5分）已知l是雙曲線C：﹣=1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，若?=0，則P到x軸的距離為（）A． B． C．2 D．12．（5分）設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足：對任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），x∈（0，1]時f（x）=，若a=f（），b=f（），c=f（），則a，b，c三者的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（5分）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（1+3sin2θ）=4，則曲線C的普通方程為．14．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，，，成等比數(shù)列．15．（5分）F1是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)A（1，1）為定點(diǎn)，則|PA|+|PF1|的最小值是．16．（5分）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，已知∠BAD+∠C=90°，則△ABC的形狀是．三、解答題：（本大題共6小題，共70分．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大?。唬?）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積．18．（12分）某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲，乙兩個“平行班”，每班50人．陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲，乙兩個班級進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，作出莖葉圖如下，計成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．（1）從乙班樣本的20個個體中，從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個，求抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”的概率；（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．甲班（A方式）乙班（B方式）總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計附：K2=P（（K2≥k）0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.02419．（12分）已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，若函數(shù)y=x2﹣2x在x=an處的切線斜率為Sn，數(shù)列{bn}，滿足點(diǎn)（n，bn）（n∈N*）在直線y=x上．（1）分別求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．20．（12分）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求B到平面CDE的距離（2）在線段DE上是否存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．21．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過定點(diǎn)T（0，2）的直線l與（1）中的橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．（1）當(dāng)m=1時，求曲線y=f（x）的極值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意m∈（2，3）及x∈[1，3]時，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

2017-2018學(xué)年遼寧省本溪高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．）1．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=2﹣i，i為虛數(shù)單位，則z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i【解答】解：由z?i=2﹣i得，，故選A2．（5分）命題“?x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否命題是（）A．?x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．?x∈Z，都有x2+2x+m＞0C．?x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0【解答】解：特稱命題“?x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是全稱命題：“?x∈Z，都有x2+2x+m＞0”．故答案為：?x∈Z，都有x2+2x+m＞0．3．（5分）已知平面向量，滿足（）=5，且||=2，||=1，則向量與夾角的正切值為（）A． B． C．﹣ D．﹣【解答】解：設(shè)、的夾角為θ，則θ∈[0，π]，又（）=5，||=2，||=1，∴+?=22+2×1×cosθ=5，解得cosθ=，∴θ=，∴tanθ=，即向量與夾角的正切值為．故選：B．4．（5分）已知sinα=2cosα，則sin（）=（）A． B． C． D．【解答】解：由sinα=2cosα，得tanα=2．∴sin（）=cos2α=．故選：A．5．（5分）已知{an}為等差數(shù)列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：設(shè){an}的公差為d，由題意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②聯(lián)立得a1=39，d=﹣2，∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故當(dāng)n=20時，Sn達(dá)到最大值400．故選：B．6．（5分）若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則點(diǎn)P到拋物線的焦F的距離為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=﹣1∵拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2，則P（3，），∴P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：4，∴點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4．故選：A．7．（5分）已知向量，若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是（）A． B． C． D．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，∵，∴，其幾何意義為可行域內(nèi)動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，A到原點(diǎn)距離最大．聯(lián)立，解得A（3，8），∴的最大值是．故選：A．8．（5分）點(diǎn)P在雙曲線：（a＞0，b＞0）上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是這條雙曲線的兩個焦點(diǎn)，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因?yàn)椤鱂1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，不妨設(shè)|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差數(shù)列，分別設(shè)為m﹣d，m，m+d，則由雙曲線定義和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故離心率e===5，故選D．9．（5分）已知x0=﹣是函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的一個極小值點(diǎn)，則f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）【解答】解：x0=﹣是函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的一個極小值點(diǎn)，∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此時f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（kπ+，kπ+）k∈Z，結(jié)合選項(xiàng)可知當(dāng)k=0時，函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（，）．故選：A．10．（5分）設(shè)a＞0，b＞0．若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因?yàn)?a?3b=3，所以a+b=1，，當(dāng)且僅當(dāng)即時“=”成立，故選擇B．11．（5分）已知l是雙曲線C：﹣=1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，若?=0，則P到x軸的距離為（）A． B． C．2 D．【解答】解：雙曲線C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)漸近線l的方程為y=x，且P（m，m），?=（﹣﹣m，﹣m）?（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化為3m2﹣6=0，解得m=±，則P到x軸的距離為|m|=2．故選：C．12．（5分）設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足：對任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），x∈（0，1]時f（x）=，若a=f（），b=f（），c=f（），則a，b，c三者的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b【解答】解：定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）滿足對任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），可得f（﹣x）=f（x）=f（2﹣x），即為f（x+2）=f（x），函數(shù)f（x）的最小正周期為2，若a=f（）=f（672﹣）=f（﹣）=f（），b=f（）=f（404﹣）=f（﹣）=f（），c=f（）=f（288+）=f（），x∈（0，1]時f（x）=，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，由＜＜，可得f（）＜f（）＜f（），即為c＜a＜b，故選B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．（5分）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（1+3sin2θ）=4，則曲線C的普通方程為+y2=1．【解答】解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（1+3sin2θ）=4，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：x2+3y2=4，整理得：．故答案為：．14．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，，，成等比數(shù)列．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，首項(xiàng)為b1，則T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，T12=b112q1+2++11=b112q66，∴=b14q22，=b14q38，即（）2=?T4，故T4，，成等比數(shù)列．故答案為：15．（5分）F1是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的動點(diǎn)A（1，1）為定點(diǎn)，則|PA|+|PF1|的最小值是6﹣．【解答】解：橢圓的a=3，b=，c=2，如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2（2，0），則|PF1|+|PF2|=2a=6；∴|PA|+|PF1|=|PA|+6﹣|PF2|=6+|PA|﹣|PF2|；由圖形知，當(dāng)P在直線AF′上時，||PA|﹣|PF2||=|AF2|=，當(dāng)P不在直線AF′上時，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，||PA|﹣|PF2||＜|AF2|=；∴當(dāng)P在F'A的延長線上時，|PA|﹣|PF2|取得最小值﹣，∴|PA|+|PF1|的最小值為6﹣．故答案為：6﹣．16．（5分）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，已知∠BAD+∠C=90°，則△ABC的形狀是等腰或直角三角形．【解答】解：根據(jù)題意，∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，設(shè)∠BAD=α，∠B=β，則∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根據(jù)正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，又D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC為直角三角形或等腰三角形．故答案為：等腰或直角三角形三、解答題：（本大題共6小題，共70分．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積．【解答】解：（1）已知等式（2b﹣c）cosA=a?cosC，由正弦定理化簡得（2sinB﹣sinC）cosA=sinA?cosC，整理得：2sinB?cosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA=，∵0＜A＜π∴A=；（2）∵b+c=4，a=2，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bcosA，即4=b2+c2﹣bc，∴4=（b+c）2﹣3bc，∵b+c=4，∴bc=4，∴S△ABC=bc?sinA=×4×=18．（12分）某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲，乙兩個“平行班”，每班50人．陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲，乙兩個班級進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，作出莖葉圖如下，計成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．（1）從乙班樣本的20個個體中，從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個，求抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”的概率；（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．甲班（A方式）乙班（B方式）總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計附：K2=P（（K2≥k）0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解答】解：（1）設(shè)“抽出的兩個均“成績優(yōu)秀”“為事件A．從不低于86分的成績中隨機(jī)抽取2個的基本事件為（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15個，而事件A包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10個．所以所求概率為P（A）==（2）由已知數(shù)據(jù)得：甲班（A方式）乙班（B方式）總計成績優(yōu)秀156成績不優(yōu)秀191534總計202040根據(jù)2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K2=≈3.137＞2.706所以有90%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．19．（12分）已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，若函數(shù)y=x2﹣2x在x=an處的切線斜率為Sn，數(shù)列{bn}，滿足點(diǎn)（n，bn）（n∈N*）在直線y=x上．（1）分別求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x，∴y′=2x﹣2，∴2an﹣2=Sn，2an﹣1﹣2=Sn﹣1（n≥2），∴an=2an﹣1（n≥2），當(dāng)n=1時，a1=2，∴{an}是以a1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an=2n（n∈N*），由條件知{bn}是等差數(shù)列，bn=n；（2）令cn=anbn=n2n（利用錯位相減法求和），則Tn=2+2?22+3?23+4?24+…+n?2n，①故2Tn=22+2?23+3?24+…+（n﹣1）2n+n2n+1②，①﹣②得﹣Tn=2+22+23+2n﹣n?2n+1=﹣n?2n﹣1，∵Tn=（n﹣1）2n+1+2．20．（12分）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求B到平面CDE的距離（2）在線段DE上是否存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解答】（1）解：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，又AB∥CD，∴B到平面CDE的距離為AE=3…（6分）（2）解：在線段DE上存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BCE，=．下面給出證明：設(shè)F為線段DE上的一點(diǎn)，且=．過F作FM∥CD交CE于點(diǎn)M，則FM=，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB．又CD=3AB，∴MFAB，∴四邊形ABMF是平行四邊形，∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．∴AF∥平面BCE．…（12分）21．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過定點(diǎn)T（0，2）的直線l與（1）中的橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線