2023年小學(xué)奧數(shù)應(yīng)用題類型歸納30類典型應(yīng)用題分析

小學(xué)數(shù)學(xué)30類經(jīng)典應(yīng)用題分析

小學(xué)數(shù)學(xué)中把具有數(shù)量關(guān)系實(shí)際問(wèn)題用語(yǔ)言或文字論述出來(lái)，這樣所形成

題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩某些構(gòu)成。第一某些是已知條件（簡(jiǎn)

稱條件），第二某些是所求問(wèn)題（簡(jiǎn)稱問(wèn)題）。應(yīng)用題條件和問(wèn)題，構(gòu)成了應(yīng)用

題構(gòu)造。

應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與經(jīng)典應(yīng)用題。沒(méi)有特定解答規(guī)律兩步以上運(yùn)算應(yīng)用

題，叫做一般應(yīng)用題。

題目中有特殊數(shù)量關(guān)系，可以用特定環(huán)節(jié)和措施來(lái)解答應(yīng)用題，叫做經(jīng)典應(yīng)用

題。小學(xué)數(shù)學(xué)重要有如下30類經(jīng)典應(yīng)用題；

1、歸一問(wèn)題11、行船問(wèn)題21、方陣問(wèn)題

2、歸總問(wèn)題12、列車問(wèn)題22、商品利潤(rùn)問(wèn)題

3、和差問(wèn)題13、時(shí)鐘問(wèn)題23、存款利率問(wèn)題

4、和倍問(wèn)題14、盈虧問(wèn)題24、溶液濃度問(wèn)題

5、差倍問(wèn)題15、工程問(wèn)題25、構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題

6、倍比問(wèn)題16、正反比例問(wèn)題26、幻方問(wèn)題

7、相遇問(wèn)題17、按比例分派27、抽屜原則問(wèn)題

8、追及問(wèn)題18、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題28、公約公倍問(wèn)題

9、植樹(shù)問(wèn)題19、“牛吃草”問(wèn)題29、最值問(wèn)題

10、年齡問(wèn)題2（）、雞兔同籠問(wèn)題30、列方程問(wèn)題

一、歸一問(wèn)題

【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為原則,

求出所規(guī)定數(shù)量。此類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量:份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量X所占份數(shù)=所求幾份數(shù)量

另一總量：（總量:份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思緒和措施】先求出單一量，以單一量為原則，求出所規(guī)定數(shù)量。

例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣鉛筆16支，需要多少錢？

解（1）買1支鉛筆多少戰(zhàn)？0.6-5=0.12（元）

（2）買16支鉛筆需要多少錢？（）.12x16=1.92（元）

列成綜合算式0.64-5x16=0.12x16=1.92（元）

答：需要1.927EO

例23臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公

頃？

解（1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？90-3-3=10（公頃）

（2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？10x5x6=300（公頃）

列成綜合算式90:3:3x5x6=10x30=300（公頃）

答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。

例35輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，假如用同樣7輛汽車運(yùn)送105噸鋼

材，需要運(yùn)幾次？

解（1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？100=5:4=5（噸）

（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？5x7=35（噸）

（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)兒次？105-35=3（次）

列成綜合算式105：（100:5:4x7）=3（次）

答：需要運(yùn)3次。

二、歸總問(wèn)題

【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其他條件算出所求問(wèn)題，

叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨品總價(jià)、幾小時(shí)（兒天）總工作量、幾公畝地

上總產(chǎn)量、兒小時(shí)行總旅程等。

【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量x份數(shù)=總量

總量7份數(shù)量=份數(shù)

總量：另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思緒和措施】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求數(shù)量。

例1服裝廠本來(lái)做一套衣服用布3.2米，改善裁剪措施后，每套衣服用布2.8米。

本來(lái)做791套衣服布，E前可以做多少套？

解（1）這批布總共有多少米？3.2x791=2531.2（米）

（2）目前可以做多少套？2531.2:2.8=904（套）

列成綜合算式3.2x791-2.8=904（套）

答:目前可以做904套。

例2小華每天讀24頁(yè)書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁(yè)書，幾

天可以讀完《紅巖》？

解（1）《紅巖》這本書總共多少頁(yè)？24x12=288（頁(yè)）

（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288+36=8（天）

列成綜合算式24x12-36=8（天）

答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原籌劃每天吃50公斤，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。

后來(lái)根據(jù)人們意見(jiàn)，每天比原籌劃多吃10公斤，這批蔬菜可以吃多少天？

解（1）這批蔬菜共有多少公斤？50x30=1500（公斤）

（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500-（50+10）=25（天）

列成綜合算式50x30；（50+10）=1500-60=25（天）

答：這批蔬菜可以吃25天。

三、和差問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)量和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，此類應(yīng)用題叫和差問(wèn)

題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)=（和+差）：2

小數(shù)=（和一差）92

【解題思緒和措施】簡(jiǎn)樸題目可以直接套用公式；復(fù)雜題目變通后再用公式。

例1甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？

解甲班人數(shù)=（98+6）-2=52（人）

乙班人數(shù)=（98-6）-2=46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形面積。

解長(zhǎng)=(18+2)+2=10(厘米)

寬=(18-2);2=8(厘米)

長(zhǎng)方形面積=10x8=80（平方厘米）

答：長(zhǎng)方形面積為80平方厘米。

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32公斤，乙丙兩袋共重30公斤，甲丙

兩袋共重22公斤，求三袋化肥各重多少公斤。

解甲乙兩袋、乙丙兩袋都具有乙，從中可以看出甲比丙多（32—30）=2公斤,

且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥重量=（22+2）+2=12（公斤）

丙袋化肥重量=（22-2）-2=10（公斤）

乙袋化肥重量=32—12=20（公斤）

答：甲袋化肥重12公斤，乙袋化肥重2（）公斤，丙袋化肥重1（）公斤。

例4甲乙兩車本來(lái)共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，成果甲車比

乙車還多3筐，兩車本來(lái)各裝蘋果多少筐？

解“從甲車取下14筐放到乙車上，成果甲車比乙車還多3筐”，這闡明甲車是大

數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙差是（14x2+3）,甲與乙和是97,因而甲車筐數(shù)=（97

+14x2+3）-2=64（筐）

乙車筐數(shù)=97—64=33（筐）

答：甲車本來(lái)裝蘋果64筐，乙車本來(lái)裝蘋果33筐。

四、和倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)和及大數(shù)是小數(shù)幾倍（或小數(shù)是大數(shù)幾分之幾），規(guī)定這

兩個(gè)數(shù)各是多少，此類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總和-（幾倍+1）=較小數(shù)

總和一較小數(shù)=較大數(shù)

較小數(shù)X幾倍=較大數(shù)

【解題思緒和措施】簡(jiǎn)樸題目直接運(yùn)用公式，復(fù)雜題日變通后運(yùn)用公式。

例1果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共248棵，桃樹(shù)棵數(shù)是杏樹(shù)3倍，求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多

少棵？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？248+（3+1）=62（棵）

（2）桃樹(shù)有多少棵？62x3=186（棵）

答：杏樹(shù)有62棵，桃樹(shù)有186棵。

例2東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)1.4倍，求兩庫(kù)各

存糧多少噸？

解（1）西庫(kù)存糧數(shù)=480=（1.4+1）=200（噸）

（2）東庫(kù)存糧數(shù)=480—200=280（噸）

答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。

例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙

站開(kāi)往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站2倍？

解每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙站開(kāi)往甲站24輛，相稱于每天從甲站開(kāi)往

乙站（28—24）輛。把幾天后來(lái)甲站車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站車輛數(shù)就是2

倍量，兩站車輛總數(shù)（52+32）就相稱于（2+1）倍，

那么，幾天后來(lái)甲站車輛數(shù)減少為

(52+32):(2+1)=28(輛)

所求天數(shù)為(52—28);(28-24)=6(天)

答：6天后來(lái)乙站車輛數(shù)是甲站2倍。

例4甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲2倍少4,丙比甲3倍多6,求三數(shù)各是多

少？

解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因而把甲數(shù)作為1倍量。

由于乙比甲2倍少4,因此給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)2倍；

又由于丙比甲3倍多6,因此丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)3倍；

這時(shí)(170+4-6)就相稱于(1+2+3)倍。那么，

甲數(shù)=(170+4-6):(1+2+3)=28

乙數(shù)=28x2—4=52

丙數(shù)=28x3+6=90

答：甲數(shù)是28,乙數(shù)是52,丙數(shù)是90。

五、差倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)差及大數(shù)是小數(shù)幾倍(或小數(shù)是大數(shù)幾分之幾)，規(guī)定這

兩個(gè)數(shù)各是多少，此類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)差-(幾倍-1)=較小數(shù)

較小數(shù)x幾倍=較大數(shù)

【解題思緒和措施】簡(jiǎn)樸題目直接運(yùn)用公式，復(fù)雜題目變通后運(yùn)用公式。

例1果園里桃樹(shù)棵數(shù)是杏樹(shù)3倍，并且桃樹(shù)比杏樹(shù)多124棵。求杏樹(shù)、桃樹(shù)各

多少棵？

解(1)杏樹(shù)有多少棵？124：(3-1)=62(棵)

(2)桃樹(shù)有多少棵？62x3=186(棵)

答：果園里杏樹(shù)是62棵，桃樹(shù)是186棵。

例2父親比兒子大27歲，今年，父親年齡是兒子年齡4倍，求父子二人今年各

是多少歲？

解(1)兒子年齡=27+(4-1)=9(歲)

(2)父親年齡=9x4=36(歲)

答：父子二人今年年齡分別是36歲和9歲。

例3商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理措施后，本月盈利比上月盈利2倍還多12萬(wàn)元，又知本

月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？

解假如把上月盈利作為1倍量，則(30—12)萬(wàn)元就相稱于上月盈利(2—1)

倍，因而

上月盈利=(30—12):(2—1)=18(萬(wàn)元)

本月盈利=18+30=48(萬(wàn)元)

答：上月盈利是18萬(wàn)元，本月盈利是48萬(wàn)元。

例4糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，假如每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問(wèn)幾

天后剩余玉米是小麥3倍？

解由于每天運(yùn)出小麥和玉米數(shù)量相等，因此剩余數(shù)量差等于本來(lái)數(shù)量差(138

-94)O把幾天后剩余小麥看作1倍量，則幾天后剩余玉米就是3倍量，那么，

(138-94)就相稱于(3-1)倍，因而

剩余小麥數(shù)量=(138-94).(3-1)=22(噸)

運(yùn)出小麥數(shù)量=94—22=72(噸)

運(yùn)糧天數(shù)=72:9=8(天)

答：8天后來(lái)剩余玉米是小麥3倍。

六、倍比問(wèn)題

【含義】有兩個(gè)已知同類量，其中一種量是另一種量若干倍，解題時(shí)先求出這

個(gè)倍數(shù)，再用倍比措施算出規(guī)定數(shù)，此類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量：一種數(shù)量=倍數(shù)

另一種數(shù)量x倍數(shù)=另一總量

【解題思緒和措施】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出規(guī)定數(shù)。

例11()()公斤油菜籽可以榨油4()公斤，目前有油菜籽370()公斤，可以榨油多少？

解(1)37()()公斤是1()0公斤多少倍？37()(H1()()=37(倍)

(2)可以榨油多少公斤?40x37=1480(公斤)

列成綜合算式40x(3成0X00)=1480(公斤)

答：可以榨油1480公斤。

例2今年植樹(shù)節(jié)這天,某小學(xué)300名師生共植樹(shù)400棵,照這樣計(jì)算，全縣48000

名師生共植樹(shù)多少棵？

解(1)48000名是300名多少倍？48000:300=160(倍)

(2)共植樹(shù)多少棵？400x160=64000(棵)

列成綜合算式400x(48()00:300)=6400()(棵)

答：全縣48000名師生共植樹(shù)64000棵。

例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣

計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解（1）800畝是4畝幾倍？800-4=200（倍）

（2）800畝收入多少元?11111x200=2222200（元）

（3）16000畝是800畝幾倍?16000^800=20（倍）

（4）16000畝收入多少元？2222200x20=44444000（元）

答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，

全縣16000畝果園共收入44444000元。

七、相遇問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體同步由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。此類應(yīng)用題叫

做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間=總旅程：（甲速+乙速）

總旅程=（甲速+乙速）x相遇時(shí)間

【解題思緒和措施】簡(jiǎn)樸題目可直接運(yùn)用公式，復(fù)雜題目變通后再運(yùn)用公式。

例1南京到上海水路長(zhǎng)392千米，同步從兩港各開(kāi)出一艘輪船相對(duì)而行，從南

京開(kāi)出船每小時(shí)行28千米，從上海開(kāi)出船每小時(shí)行21千米，通過(guò)幾小時(shí)兩船

相遇？

解3924-（28+21）=8（小時(shí)）

答：通過(guò)8小時(shí)兩船相遇。

例2小李和小劉在周長(zhǎng)為400米環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每

秒鐘跑3米，她們從同一地點(diǎn)同步出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二

次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？

解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。

囚而總旅程為400x2

相遇時(shí)間=(400x2)(5+3)=100(秒)

答：二人從出發(fā)到第二次相遇需10()秒時(shí)間。

例3甲乙二人同步從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行

13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地距離。

解“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是對(duì)的理解本題題意關(guān)鍵。從題中可知甲騎得

快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走旅程

是(3x2)千米，因而，

相遇時(shí)間=(3x2)4.(15-13)=3(小時(shí))

兩地距離=(15+13)x3=84(千米)

答：兩地距離是84千米。

八、追及問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不一樣地點(diǎn)同步出發(fā)(或者在同一地點(diǎn)而不是同步出

發(fā)，或者在不一樣地點(diǎn)又不是同步出發(fā))作同向運(yùn)動(dòng)，在背面，行進(jìn)速度要快

些，在前面，行進(jìn)速度較慢些，在一定期間之內(nèi)，背面追上前面物體。此類應(yīng)

用題就叫做追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】追及時(shí)間=追及旅程：(迅速一慢速)

追及旅程=(迅速一慢速)X追及時(shí)間

【解題思緒和措施】簡(jiǎn)樸題目直接運(yùn)用公式，復(fù)雜題目變通后運(yùn)用公式。

例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能

追上劣馬？

解(1)劣馬先走12天能走多少千米？75x12=900(千米)

(2)好馬幾天追上劣馬？900+(120-75)=2()(天)

列成綜合算式75x12?(120-75)=900-45=20(天)

答：好馬20天能追上劣馬。

例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，她們從同一地

點(diǎn)同步出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮速度是每

秒多少米。

解小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了(500-

200)米，要知小亮速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用時(shí)間。又知小明

跑200米用40秒，則跑500米用[40x(500-200)1秒,因此小亮速度是

(500-200):[40x(500:200)]

=300700=3(米)

答：小亮速度是每秒3米。

例3我人民解放軍追擊一股逃竄敵人，敵人在下午16點(diǎn)開(kāi)始從甲地以每小時(shí)

10千米速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米速度開(kāi)始從

乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問(wèn)解放軍幾種小時(shí)可以追上敵人？

解敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間時(shí)差是（22—16）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑

旅程是[10x（22-6）:千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時(shí)間=[10x（22-6）+60]-（30-10）

=220^20=11（小時(shí)）

答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。

例4一輛客車從甲站開(kāi)往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同步從乙站開(kāi)往甲

站，每小時(shí)行4（）千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站距離。

解這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)處理。從題中可知客車落后于貨車

（16x2）千米，客車追上貨車時(shí)間就是前面所說(shuō)相遇時(shí)間，

這個(gè)時(shí)間為16x2+（48-40）=4（小時(shí)）

因此兩站間距離為（48+40）x4=352（千米）

列成綜合算式（48+40）x[16x2=（48-40）]

=88x4

=352（千米）

答：甲乙兩站距離是352千米。

例5兄妹二人同步由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥

到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘掉帶書本，及時(shí)沿原路回家去取，行至離校18（）米處和妹妹

相遇。問(wèn)她們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

解規(guī)定距離，速度已知，因此關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相似時(shí)間

（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180x2）米，這是由于哥哥比妹妹每分鐘

多走（90—60）米，

那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為

180x2-（90-60）=121分鐘）

家離學(xué)校距離為90x12-180=900（米）

答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。

例6孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，她以每小時(shí)4千米速度從家步行去學(xué)校，

當(dāng)她走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了1（）分鐘，因而及時(shí)跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)

時(shí)上課。后來(lái)算了一下，假如孫亮從家一開(kāi)始就跑步，可比本來(lái)步行早9分鐘

到學(xué)校。求孫亮跑步速度。

解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，假如按原速走下去，就要遲到（10

-5）分鐘，后段旅程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，闡明后段旅程跑比走少用了（10—5）

分鐘。假如從家一開(kāi)始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑

步比步行少用［9一（10-5）1分鐘。

因此

步行1千米所用時(shí)間為1-［9-（10-5）］

=0.25（小時(shí)）

=15（分鐘）

跑步1千米所用時(shí)間為15-［9-（10-5）］=11（分鐘）

跑步速度為每小時(shí)1^11/60=5.5（千米）

答：孫亮跑步速度為每小時(shí)5.5千米。

九、植樹(shù)問(wèn)題

【含義】按相等距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中兩個(gè)

量，規(guī)定第三個(gè)量，此類應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】線形植樹(shù)棵數(shù)=距離?棵距+1

環(huán)形植樹(shù)棵數(shù)=距離：棵距

方形植樹(shù)棵數(shù)=距離：棵距一4

三角形植樹(shù)棵數(shù)=距離+棵距-3

面積植樹(shù)棵數(shù)=面積：（棵距x行距）

【解題思緒和措施】先弄清晰植樹(shù)問(wèn)題類型，然后可以運(yùn)用公式。

例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解136-2+1=68+1=69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

例2一種圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹(shù)，一共能栽多

少棵白楊樹(shù)？

解400-4=100（棵）

答：一共能栽100棵白楊樹(shù)。

例3一種正方形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一種照明燈，一共可以

安裝多少個(gè)照明燈？

解220x4^8-4=110-4=106（個(gè)）

答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。

例4給一種面積為96平方米住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚長(zhǎng)和寬分別是60厘

米和40座米，問(wèn)至少需要多少塊地板磚？

解96：（0.6x04）=96-0.24=400（塊）

答：至少需要400塊地板磚。

例5一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊電桿，安裝路燈，若每隔50米有一種電桿，

每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

解（1）橋一邊有多少個(gè)電桿？500-50+1=11（個(gè)）

（2）橋兩邊有多少個(gè)電桿？11x2=22（個(gè)）

（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22x2=44（盞）

答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

十、年齡問(wèn)題

【含義】此類問(wèn)題是根據(jù)題目?jī)?nèi)容而得名，它重要特點(diǎn)是兩人年齡差不變，不

過(guò)，兩人年齡之間倍數(shù)關(guān)系伴隨年齡增長(zhǎng)在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著親密聯(lián)絡(luò)，尤其與差

倍問(wèn)題解題思緒是一致，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。

【解題思緒和措施】可以運(yùn)用“差倍問(wèn)題''解題思緒和措施。

例1父親今年35歲，亮亮今年5歲，今年父親年齡是亮亮幾倍？明年呢？

解35-5=7（倍）

（35+1）;（5+1）=6（倍）

答：今年父親年齡是亮亮7倍,

明年父親年齡是亮亮6倍。

例2媽媽今年37歲，女兒今年7歲，幾年后媽媽年齡是女兒4倍？

解（1）媽媽比女兒年齡大多少歲？37—7=30（歲）

（2）幾年后媽媽年齡是女兒4倍？30-（4-1）-7=3（年）

列成綜合算式（37—7）-（4-1）-7=3（年）

答：3年后媽媽年齡是女兒4倍。

例33年前父子年齡和是49歲，今年父親年齡是兒子年齡4倍，父子今年各多

少歲？

解今年父子年齡和應(yīng)當(dāng)比3年前增長(zhǎng)（3x2）歲，

今年二人年齡和為49+3x2=55（歲）

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相稱于（4+1）倍，因而，今

年兒子年齡為55-（4+1）=11（歲）

今年父親年齡為11x4=44（歲）

答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。

例4甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我歲數(shù)曾經(jīng)是你目前歲數(shù)時(shí).，你才4歲”。乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我

歲數(shù)未來(lái)是你目前歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求甲乙目前歲數(shù)各是多少？

解

這里波及到三個(gè)年份：過(guò)去某一年、今年、未來(lái)某一年。列表分析：

過(guò)去某一年今年未來(lái)某一年

甲□歲△歲61歲

乙4歲□歲△歲

表中兩個(gè)“□”體現(xiàn)同一種數(shù)，兩個(gè)“△”體現(xiàn)同一種數(shù)。

由于兩個(gè)人年齡差總相等：口一4=△一口=61—也就是4,□,△,61成等

差數(shù)列，因此，61應(yīng)當(dāng)比4大3個(gè)年齡差，

因而二人年齡差為（61—4）-3=19（歲）

甲今年歲數(shù)為4=61—19=42（歲）

乙今年歲數(shù)為口=42—19=23（歲）

答：甲今年歲數(shù)是42歲，乙今年歲數(shù)是23歲。

十一、行船問(wèn)題

【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)問(wèn)題。解答此類問(wèn)題要弄清船速與水速，

船速是船只自身航行速度，也就是船只在靜水中航行速度；水速是水流速度，

船只順?biāo)叫兴俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣?逆水速度）"=船速

（順?biāo)俣纫荒嫠俣龋?=水速

順?biāo)?船速x2一逆水速=逆水速+水速x2

逆水速=船速x2—順?biāo)?順?biāo)僖凰賦2

【解題思緒和措施】大多數(shù)狀況可以直接運(yùn)用數(shù)量關(guān)系公式。

例1一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆

水行這段旅程需用幾小時(shí)？

解由條件知，順?biāo)?船速+水速=32（H8,而水速為每小時(shí)15千米，因此，

船速為每小時(shí)32（）:8—15=25（千米）

船逆水速為25—15=10（千米）

船逆水行這段旅程時(shí)間為32010=32（小時(shí)）

答：這只船逆水行這段旅程需用32小時(shí)。

例2甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一

段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？

解由題意得甲船速十水速=36070=36

甲船速一水速=36078=20

可見(jiàn)（36—20）相稱于水速2倍，

因此，水速為每小時(shí)（36—20）+2=8（千米）

又由于，乙船速一水速=36075,

因此，乙船速為36075+8=32（千米）

乙船順?biāo)贋?2+8=40（千米）

因此，乙船順?biāo)叫?60千米需要

360=40=9（小時(shí)）

答：乙船返回原地需要9小時(shí)。

例3—架飛機(jī)飛行在兩個(gè)都市之間，飛機(jī)速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小

時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)抵達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？

解這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。

（1）兩城相距多少千米？

（576-24）x3=1656（千米）

（2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？

16564-(576+24)=2.76(小時(shí))

列成綜合算式

[（576-24）x3]?（576+24）

=2.76（小時(shí)）

答:飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。

十二、列車問(wèn)題

【含義】這是與列車行駛有關(guān)某些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身長(zhǎng)度。

【數(shù)量關(guān)系】火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間=（車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）：車速

火車追及：追及時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）

:（甲車速一乙車速）

火車相遇：相遇時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）

-（甲車速+乙車速）

【解題思緒和措施】大多數(shù)狀況可以直接運(yùn)用數(shù)量關(guān)系公式。

例1一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米速度通過(guò)大橋，從車頭開(kāi)上

橋到車尾離開(kāi)橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？

解火車3分鐘所行旅程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度和。

（1）火車3分鐘行多少米?900x3=2700（米）

（2）這列火車長(zhǎng)多少米？2700-2400=300（米）

列成綜合算式900x3-2400=300（米）

答：這列火車長(zhǎng)300米。

例2一列長(zhǎng)200米火車以每秒8米速度通過(guò)一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間,

求大橋長(zhǎng)度是多少米？

解火車過(guò)橋所用時(shí)間是2分5秒=125秒，所走旅程是（8x125）米，這段旅程

就是（200米+橋長(zhǎng)），因此，橋長(zhǎng)為

8x125-200=800（米）

答：大橋長(zhǎng)度是800米。

例3一列長(zhǎng)225米慢車以每秒17米速度行駛，一列長(zhǎng)140米快車以每秒22米

速度在背面追趕，求快車從追上到追過(guò)慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？

解從追上到追過(guò)，快車比慢車要多行（225+140）米，而快車比慢車每秒多行

（22-17）米，因而，所求時(shí)間為

（225+140）.（22-17）=73（秒）

答：需要73秒。

例4一列長(zhǎng)150米列車以每秒22米速度行駛，有一種扳道工人以每秒3米速度

迎面走來(lái)，那么，火車從工人身旁駛過(guò)需要多少時(shí)間？

解假如把人看作一列長(zhǎng)度為零火車，原題就相稱于火車相遇問(wèn)題。

150-（22+3）=6（秒）

答：火車從工人身旁駛過(guò)需要6秒鐘。

例5一列火車穿越一條長(zhǎng)米隧道用了88秒，以同樣速度通過(guò)一條長(zhǎng)1250米大

橋用了58秒。求這列火車車速和車身長(zhǎng)度各是多少？

解車速和車長(zhǎng)都沒(méi)有變，但通過(guò)隧道和大橋所用時(shí)間不一樣，是由于隧道比大

橋長(zhǎng)?？芍疖囋冢?8—58）秒時(shí)間內(nèi)行駛了（一1250）米旅程，因而，火車

車速為每秒

(-1250);(88-58)=25(米)

進(jìn)而可知,車長(zhǎng)和橋長(zhǎng)和為(25x58)米,

因而，車長(zhǎng)為25x58-1250=200(米)

答：這列火車車速是每秒25米，車身長(zhǎng)200米。

十三、時(shí)鐘問(wèn)題

【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系問(wèn)題，如兩針重疊、兩針垂直、兩針

成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類比。

【數(shù)量關(guān)系】分針?biāo)俣仁菚r(shí)針12倍，

兩者速度差為H/12o

一般按追及問(wèn)題來(lái)看待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。

【解題思緒和措施】變通為“追及問(wèn)題''后可以直接運(yùn)用公式。

例1從時(shí)針指向4點(diǎn)開(kāi)始，再通過(guò)多少分鐘時(shí)針恰好與分針重疊？

解鐘面一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5

格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)=11/12格。4

點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。因此

分針追上時(shí)針時(shí)間為20+(1-1/12)y22(分)

答：再通過(guò)22分鐘時(shí)針恰好與分針重疊。

例2四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？

解鐘面上有60格，它1/4是15格，因而兩針成直角時(shí)候相差15格(波及分針

在時(shí)針前或后15格兩種狀況)。四點(diǎn)整時(shí)候，分針在時(shí)針后(5x4)格，假如分

針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(5x4-15)格，假如分針

在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(5x4+15)格。再根據(jù)1分鐘

分針比時(shí)針多走(1-1/12)格就可以求出二針成直角時(shí)間。

(5x4-15).(1-1/12)=6(分)

(5x4+15):(1-1/12)~38(分)

答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。

例3六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重疊？

解六點(diǎn)整時(shí)候，分針在時(shí)針后(5x6)格，分針要與時(shí)針重疊，就得追上時(shí)針。

這實(shí)際上是一種追及問(wèn)題。

(5x6).(1-1/12)=33(分)

答：6點(diǎn)33分時(shí)候分針與時(shí)針重疊。

十四、盈虧問(wèn)題

【含義】根據(jù)一定人數(shù)，分派一定物品，在兩次分派中，一次有余(盈)，一

次局限性(虧)，或兩次均有余，或兩次都局限性，求人數(shù)或物品數(shù)，此類應(yīng)用

題叫做盈虧問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次分派中，假如一次盈，一次虧，則有：

參與分派總?cè)藬?shù)=(盈+虧)：分派差

假如兩次都盈或都虧，則有：

參與分派總?cè)藬?shù)=(大盈一小盈)?分派差

參與分派總?cè)藬?shù)=(大虧一小虧)：分派差

【解題思緒和措施】大多數(shù)狀況可以直接運(yùn)用數(shù)量關(guān)系公式。

例1給幼稚園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。

問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？

解按照“參與分派總?cè)藬?shù)=(盈+虧)：分派差”數(shù)量關(guān)系：

(1)有小朋友多少人？(11+1):(4-3)=12(人)

(2)有多少個(gè)蘋果？3x12+11=47(個(gè))

答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。

例2修一條公路，假如每天修260米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng)8天；假如每天修3()0

米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4天。這條路全長(zhǎng)多少米？

解題中原定完畢任務(wù)天數(shù)，就相稱于“參與分派總?cè)藬?shù)”，按照"參與分派總?cè)藬?shù)

=(大虧一小虧)?分派差''數(shù)量關(guān)系，可以得知

原定完畢任務(wù)天數(shù)為

(260x8-300x4):(300-260)=22(天)

這條路全長(zhǎng)為300x(22+4)=7800(米)

答：這條路全長(zhǎng)7800米。

例3學(xué)校組織春游，假如每輛車坐40人，就余下30人；假如每輛車坐45人，

就剛好坐完。問(wèn)有多少車？多少人？

解本題中車輛數(shù)就相稱于“參與分派總?cè)藬?shù)“，于是就有

(1)有多少車？(30—0)+(45-40)=6(輛)

(2)有多少人？40x6+30=27()(人)

答：有6輛車，有270人。

十五、工程問(wèn)題

【含義】工程問(wèn)題重要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間關(guān)系。此類

問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量詳細(xì)數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土

地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”體現(xiàn)工作總量。

【數(shù)量關(guān)系】解答工程問(wèn)題關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工

作時(shí)間倒數(shù)（它體現(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)完畢工作總量幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作

量、工作效率、工作時(shí)間三者之間關(guān)系列出算式。

工作量=工作效率X工作時(shí)間

工作時(shí)間=工作量:工作效率

工作時(shí)間=總工作量：（甲工作效率+乙工作效率）

【解題思緒和措施】變通后可以運(yùn)用上述數(shù)量關(guān)系公式。

例1一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完畢，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完畢，目前

兩隊(duì)合作，需要幾天完畢？

解題中“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒(méi)有給出這項(xiàng)工程詳細(xì)數(shù)量，因而，把此

項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完畢，那么每天完畢這項(xiàng)工程1/10;

乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完畢，每天完畢這項(xiàng)工程1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完畢這

項(xiàng)工程（1/10+1/15）。

由此可以列出算式:1+（1/10+1/15）=lX/6=6（天）

答：兩隊(duì)合做需要6天完畢。

例2一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完畢，乙獨(dú)做8小時(shí)完畢。目前兩人合做，完畢

任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？

解設(shè)總工作量為1,則甲每小時(shí)完畢1/6,乙每小時(shí)完畢1/8,甲比乙每小時(shí)多

完畢(1/6-1/8),二人合做時(shí)每小時(shí)完畢(1/6+1/8)。由于二人合做需要[1:

(1/6+1/8)]小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，因此

(1)每小時(shí)甲比乙多做多少零件？

24-[1-(1/6+1/8)]=7(個(gè))

(2)這批零件共有多少個(gè)？

7:(1/6-1/8)=168(個(gè))

答；這批零件共有168個(gè)。

解二上面這道題還可以用另一種措施計(jì)算：

兩人合做，完畢任務(wù)時(shí)甲乙工作量之比為1/6：1/8=4：3

由此可知，甲比乙多完畢總工作量4-3/4+3=1/7

因此，這批零件共有24^1/7=168(個(gè))

例3一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完畢，乙獨(dú)做10小時(shí)完畢，丙獨(dú)做15小時(shí)完畢。

目前甲先做2小時(shí)，余下由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完畢？

解必要先求出各人每小時(shí)工作效率。假如能把效率用整數(shù)體現(xiàn)，就會(huì)給計(jì)算帶

來(lái)以便，因而，咱們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)

60,則甲乙丙三人工作效率分別是

60^12=560+10=660:15=4

因而余下工作量由乙丙合做還需要

(60-5x2)((6+4)=5(小時(shí))

答：還需要5小時(shí)才能完畢。

例4一種水池，底部裝有一種常開(kāi)排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)進(jìn)水管。

當(dāng)打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要

15小時(shí)才能注滿水池；目前要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管？

解注（排）水問(wèn)題是一類特殊工程問(wèn)題。往水池注水或從水池排水相稱于一項(xiàng)

工程，水流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水流量就是工作效率。

要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。

為此需要懂得進(jìn)水管、排水管工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一種量

為單位1,別的兩個(gè)量便可由條件推出。

咱們?cè)O(shè)每個(gè)同樣進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1,則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為

（1x4x5）,2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1x2x15）,從而可知

每小時(shí)排水量為（1x2x15—1x4x5）:（15-5）=1

即一種排水管與每個(gè)進(jìn)水管工作效率相似。由舊可知

一池水總工作量為1x4x5—1x5=15

又由于在2小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管注水量為1x2,

因此，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水

至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？（15+1x2）-（1x2）

=8.5y9（個(gè)）

答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。

十六、正反比例問(wèn)題

【含義】?jī)煞N有關(guān)聯(lián)量，一種量變化，另一種量也伴隨變化，假如這兩種量中

相對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)比比值一定(即商一定)，那么這兩種量就叫做成正比例量，它們

關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)綜合運(yùn)用。

兩種有關(guān)聯(lián)量，一種量變化，另一種量也伴隨變化，假如這兩種量中相對(duì)應(yīng)兩

個(gè)數(shù)積一定，這兩種量就叫做成反比例量，它們關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例

應(yīng)用題是反比例意義和解比例等知識(shí)綜合運(yùn)用。

【數(shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解此類應(yīng)用題關(guān)鍵。許多經(jīng)典應(yīng)用題

都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去處理，并且比較簡(jiǎn)捷。

【解題思緒和措施】處理此類問(wèn)題重要措施是；把分率(倍數(shù))轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)

用比和比例性質(zhì)去解應(yīng)用題。

正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)倍比問(wèn)題基本類似。

例1修一條公路，已修是未修1/3,再修300米后，已修變成未修1/2,求這條

公路總長(zhǎng)是多少米？

解由條件知，公路總長(zhǎng)不變。

原已修長(zhǎng)度：總長(zhǎng)度=1：(1+3)=1：4=3：12

現(xiàn)已修長(zhǎng)度：總長(zhǎng)度=1:(1+2)=1:3=4：12

比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相稱于(4-3)份，從而知

公路總長(zhǎng)為公路(4-3)x12=3600(米)

答：這條公路總長(zhǎng)3600米。

例2張哈做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？

解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系

設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28:4=91:X

28X=91x4X=91x4；28X=13

答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。

例3孫亮看《十萬(wàn)個(gè)為何》這本書，每天看24頁(yè)，15天看完，假如每天看36

頁(yè)，幾天就可以看完？

解書頁(yè)數(shù)一定，每天看頁(yè)數(shù)與需要天數(shù)成反比例關(guān)系

設(shè)X天可以看完，就有24：36=X：15

36X=24xl5X=10

答；10天就可以看完。

例4一種大矩形被提成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形面積如圖所示，求大矩形

面積。

A2520

36B16

解由面積?寬=長(zhǎng)可知，當(dāng)長(zhǎng)一定期，面積與寬成正比，因此每一上下兩個(gè)小

矩形面積之比就等于它們寬正比。又由于第一行三個(gè)小矩形寬相等，第二行三

個(gè)小矩形寬也相等。因而，

A:36=20：1625：B=20：16

解這兩個(gè)比例，得A=45B=20

因此，大矩形面積為45+36+25+20+20+16=162

答:大矩形面積是162.

十七、按比例分派問(wèn)題

【含義】所謂按比例分派，就是把一種數(shù)按照一定比提成若干份。此類題已知

條件一般有兩種形式：一是用比或連比形式反應(yīng)各某些占總數(shù)量份數(shù)，另一種

是直接給出份數(shù)。

【數(shù)量關(guān)系】從條件看，己知總量和幾種某些量比；從問(wèn)題看，求幾種某些量

各是多少?？偡輸?shù)=比先后項(xiàng)之和

【解題思緒和措施】先把各某些量比轉(zhuǎn)化為各占總量幾分之幾，把比先后項(xiàng)相

加求出總份數(shù)，再求各某些占總量幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比先后項(xiàng)分別

作分子），再按照求一種數(shù)幾分之幾是多少計(jì)算措施，分別求出各某些量值。

例1學(xué)校把植樹(shù)56（）棵任務(wù)按人數(shù)分派給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二

班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹(shù)多少棵？

解總份數(shù)為47+48+45=140

一班植樹(shù)560x47/140=188（棵）

二班植樹(shù)560x48/140=192（棵）

三班植樹(shù)560x45/140=180（棵）

答：一、二、三班分別植樹(shù)188棵、192棵、180棵。

例2用60厘米長(zhǎng)鐵絲圍成一種三角形，三角形三條邊比是3：4：5。三條邊長(zhǎng)

各是多少厘米？

解3+4+5=1260x3/12=15（厘米）

60x4/12=2（）（厘米）

60x5/12=25（厘米）

答：三角形三條邊長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘米。

例3從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總

數(shù)1/2,二兒子分總數(shù)1/3,三兒子分總數(shù)1/9,并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)

兒子各分多少只羊。

解假如用總數(shù)乘以分率措施解答，顯然得不到符合題意整數(shù)解。假如用按比例

分派措施解，則很輕易得到

1/2：1/3：1/9=9：6：2

9+6+2=1717x9/17=9

17x6/17=617x2/17=2

答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。

例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8：12：21,第一車間比第二車間少

80人，三個(gè)車間共多少人？

人數(shù)80人一共多少人？

對(duì)應(yīng)份數(shù)12-88+12+21

解80-(12-8)x(8+12+21)=820(人)

答：三個(gè)車間一共820人。

十八、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題

【含義】百分?jǐn)?shù)是體現(xiàn)一種數(shù)是另一種數(shù)百分之幾數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以體現(xiàn)“率”，也可以體現(xiàn)

“量。而百分?jǐn)?shù)只能體現(xiàn)“率”；分?jǐn)?shù)分子、分母必要是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)分子可

以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一種專門記號(hào)“％”。

在實(shí)際中和常用至『百分點(diǎn)''這個(gè)概念，一種百分點(diǎn)就是1%,兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%o

【數(shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“原則量”“比較勁”三者之間數(shù)量關(guān)系：

百分?jǐn)?shù)=比較勁：原則量

原則量=比較勁?百分?jǐn)?shù)

【解題思緒和措施】一般有三種基本類型：

(1)求一種數(shù)是另一種數(shù)百分之幾；

(2)已知一種數(shù)，求它百分之幾是多少；

(3)已知一種數(shù)百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。

例1倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720公斤，剩余6480公斤，用去與剩余各占原重

量百分之幾？

解(1)用去占720：(720+6480)=10%

(2)剩余占6480二(720+6480)=90%

答：用去了10%,剩余90%。

例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分

之幾？解本題中女職工人數(shù)為原則量，男職工比女職工少人數(shù)是比較勁因此

(525-420):525=0.2=20%

或者1-420^525=0.2=20%

答：男職工人數(shù)比女職工少2()%。

例3紅旗化工廠有男職工42()人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分

之幾？解本題中以男職工人數(shù)為原則量，女職工比男職工多人數(shù)為比較勁,

因而

(525-420):420=0.25=25%

或者525-420-1=0.25=25%

答:女職工人數(shù)比男職工多25%。

例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工

總數(shù)百分之幾？

解(1)男職工占420+(420+525)=0.444=44.4%

(2)女職工占525+(420+525)=0.556=55.6%

答：男職工占全廠職工總數(shù)44.4%,女職工占55.6%。

例5百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常用百分率有：

增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)一本來(lái)基數(shù)X100%

合格率=合格產(chǎn)品數(shù):產(chǎn)品總數(shù)X100%

出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)：應(yīng)出勤人數(shù)X100%

出勤率=實(shí)際出勤天數(shù):應(yīng)出勤天數(shù)X100%

缺席率=缺席人數(shù)：實(shí)有總?cè)藬?shù)X100%

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)：試驗(yàn)種子總數(shù)X100%

成活率=成活棵數(shù)：種植總棵數(shù)xl0()%

出粉率=面粉重量?小麥重量xl()()%

出油率=油重量4■油料重量x1()()%

廢品率=廢品數(shù)量：所有產(chǎn)品數(shù)量x1()()%

命中率=命中次數(shù)：總次數(shù)x100%

烘十率=烘十后重量：烘前重量xlOO%

及格率=及格人數(shù).參與考試人數(shù)xlOO%

十九、“牛吃草”問(wèn)題

【含義】"牛吃草'’問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。此類問(wèn)題

特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)原因。

【數(shù)量關(guān)系】草總量=原有草量+草每天生長(zhǎng)量x天數(shù)

【解題思緒和措施】解此類題關(guān)鍵是求出草每天生長(zhǎng)量。

例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多

少頭牛5天可以把草吃完？

解草是均勻生長(zhǎng)，因此，草總量=原有草量+草每天生長(zhǎng)量x天數(shù)。求“多少頭

牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5天內(nèi)草總量要5天吃完話，得有多少頭牛？設(shè)

每頭牛每天吃草量為1,按如下環(huán)節(jié)解答：

(1)求草每天生長(zhǎng)量

由于，首先20天內(nèi)草總量就是10頭牛20天所吃草，即(1x10x20)；另首先，

20天內(nèi)草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)生長(zhǎng)量，因此

1x10x20=原有草量+20天內(nèi)生長(zhǎng)量

同理1x15x10=原有草量+10天內(nèi)生長(zhǎng)量

由此可知(20—10)天內(nèi)草生長(zhǎng)量為

1x10x20-1x15x10=50

因而，草每天生長(zhǎng)量為50-(20-10)=5

（2）求原有單量

原有草量=10天內(nèi)總草量一10內(nèi)生長(zhǎng)量=1x15x10—5x10=100

（3）求5天內(nèi)草總量

5天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長(zhǎng)量=100+5x5=125

（4）求多少頭牛5天吃完草

由于每頭牛每天吃草量為1,因此每頭牛5天吃草量為5。

因而5天吃完草需要牛頭數(shù)125:5=25（頭）

答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2一只船有一種漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了某些水。

假如有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；假如只有5人淘水，要1（）小時(shí)才能淘完。

求17人幾小時(shí)可以淘完？

解這是一道變相"牛吃草''問(wèn)題。與上題不一樣是，最終一問(wèn)給出了人數(shù)（相稱

于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1,按如下環(huán)節(jié)計(jì)算：

（1）求每小時(shí)進(jìn)水量

由于，3小時(shí)內(nèi)總水量=1乂12乂3=原有水量+3小時(shí)進(jìn)水量

10小時(shí)內(nèi)總水量=1x5x10=原有水量+10小時(shí)進(jìn)水量

因此，（10—3）小時(shí)內(nèi)進(jìn)水量為1x5x10—1x12x3=14

因而，每小時(shí)進(jìn)水量為14-（10-3）=2

（2）求淘水前原有水量

原有水量=1x12x3—3小時(shí)進(jìn)水量=36—2x3=30

（3）求17人幾小時(shí)淘完

17人每小時(shí)淘水量為17,由于每小時(shí)漏進(jìn)水為2,因此實(shí)際上船中每小時(shí)減少

水量為（17—2）,因此17人淘完水時(shí)間是

30K（17-2）=2（小時(shí)）

答：17人2小時(shí)可以淘完水。

二十、雞兔同籠問(wèn)題

【含義】這是古典算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、

兔各有多少只問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔總數(shù)和雞腳與兔腳差，

求雞、兔各是多少問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：

假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)一2x雞兔總數(shù)）-（4-2）

假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)=（4x雞兔總數(shù)一實(shí)際腳數(shù)）-（4-2）

第二雞兔同籠問(wèn)題：

假設(shè)全都是雞，則有

兔數(shù)=（2x雞兔總數(shù)一雞與兔腳之差）-（4+2）

假設(shè)全都是兔，則有

雞數(shù)=（4x雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差）-（4+2）

【解題思緒和措施】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可

以假設(shè)都是兔。假如先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；假如先假設(shè)都是兔，然后

以雞換兔。此類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。逋過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到處埋。

例1長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。

請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？

解假設(shè)35只全為兔，則

雞數(shù)=(4x35-94):(4-2)=23(只)

兔數(shù)=35—23=12(只)

也可以先假設(shè)35只全為雞，則

兔數(shù)=(94-2x35):(4-2)=12(只)

雞數(shù)=35—12=23(只)

答：有雞23只，有兔12只。

例22畝菠菜要施肥1公斤，5畝白菜要施肥3公斤，兩種菜共16畝，施肥9

公斤，求白菜有多少畝？

解此題實(shí)際上是改頭換面“雞兔同籠”問(wèn)題?！懊慨€菠菜施肥(1=2)公斤鳴“每

只雞有兩個(gè)腳”相對(duì)應(yīng)，“每畝白菜施肥(3：5)公斤”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng),

“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)，“9公斤”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都

是菠菜，則有

白菜畝數(shù)=(9—1:2x16):(3:5—1:2)=10(畝)

答：白菜地有10畝。

例3李教師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日志本共45本，作業(yè)本每本3.2()元，

日志本每本().7()元。問(wèn)作業(yè)本和日志本各買了多少本？

解此題可以變通為“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè)45本全都是日志本，則有

作業(yè)本數(shù)=（69-0.70x45）:（3.20-0.70）=15（本）

日志本數(shù)=45—15=30（本）

答：作業(yè)本有15本，日志本有30本。

例4（第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有100只，雞腳比兔腳多80只，問(wèn)雞與兔各

多少只？

解假設(shè)100只全都是雞，則有

兔數(shù)=（2x100-80）：14+2）=20（只）

雞數(shù)=100—20=80（只）

答；有雞80只，有兔20只。

例5有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，

問(wèn)大小和尚各多少人？

解假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3x100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3x100-100）個(gè)，

這是由于把小和尚也算成了大和尚，因而咱們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變狀況下,

以“小，，換”大，，，一種小和尚換掉一種大和尚可減少饃（3—1/3）個(gè)。因而，共有

小和尚

（3x100-100）-（3-1/3）=75（人）

共有大和尚100-75=25（人）

答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

二十一、方陣問(wèn)題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求

總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，此類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四面人數(shù)關(guān)系：

四面人數(shù)=（每邊人數(shù)-1）x4

每邊人數(shù)=四面人數(shù)：4+1

（2）方陣總?cè)藬?shù)求法：

實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)x每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)）一（內(nèi)邊人數(shù)）

內(nèi)邊人數(shù)=外