2024-2025學(xué)年東莞市粵華學(xué)校高三年級上冊開學(xué)考數(shù)學(xué)模擬試卷附答案解析

2024.2025學(xué)年東莞市粵華學(xué)校高三上開學(xué)考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題。（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求）

1.(5分)集合M={x|-2WxW3},N={x|/〃xWl},則MUN=()

A.(0,e]B.[-2,e]C.(?a,3]D.[-2,3]

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足(1+/)z=5i-z,則=()

A.3B.2C.V2D.1

3.(5分)已知平面向量a,b滿足Q=(1,2),|b-2a|=4且(匕-2a)_La,則聞=()

A.V5B.5C.V6D.6

4.（5分）某電視臺計劃在春節(jié)期間某段時間連續(xù)播放6個廣告，其中3個不同的商業(yè)廣告

和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，H商業(yè)廣告不

能3個連續(xù)播放，則不同的播放方式有（）

A.144種B.72種C.36種D.24種

5.（5分）學(xué)校某生物老師指導(dǎo)學(xué)生培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成

一個圓臺，圓臺的上、下底面半徑之比為5：3,母線長為8cm,其母線與底面所成的角

為60°,則這個圓臺的體積為()

7R4V33

A.---------ncmB.-------ncm

33

15686R3136V33

C.----------ncmD.---------ncm

33

2

6.（5分）過直線y=3x上的點尸作圓C：（聲2）+（＞'-4）?=4的兩條切線小/2,當直

線人/2關(guān)于直線y=3x對稱時，點P的坐標為（）

A.。$B.,,^）C.（1?3）D.（方，？）

7.（5分）已知S”是公比不為1的等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項和，則“S2,56,S3成等差數(shù)列”

是“存在不相等的正整數(shù)小，〃，使得雨,，?！?“，。〃成等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.（5分）若函數(shù)/?）=〃+"在（0,+8）上單調(diào)遞增，則。和。的口］能取值為（)

A.b=5B.(i~'1115?b=0.2

C.a=e02,b=0.8D.a=els,b=0.2

二、多選題。（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有

多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）

（多選）9.（6分）已知一組樣本數(shù)據(jù)劉（i=l,2,3,10）,其中劉（i=L2,3,…,

10）為正實數(shù).滿足川WXZWMWYXIO,下列說法正確的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為m

B.去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變

C.若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均

數(shù)大于中位數(shù)

D.若樣本數(shù)據(jù)的方差s2=存2fLH-4,則這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于2

（多選）10.（6分）將函數(shù)/（%）=sin（o）x—凱0VoV6）的圖象向右平移弓個單位長度后

得到函數(shù)g（A-）的圖象，若（0,勺是g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則（）

A.f（,r）的最小正周期為一

2

B./（x）在弓，給上單調(diào)遞增

C.函數(shù)F（X）=/（x）+g（x）的最大值為1

D.方程/1（%）=-;在口，71］上有5個實數(shù)根

（多選）11.（6分）已知直四棱柱48CD-AiBiGDi，AAi=V3,底面ABC。是邊長為1

的菱形，且NZMQ=120。，點￡,P,G分別為A/i,DDT,AC的中點，點〃是棱AIQI

上的動點.以4為球心作半徑為R的球，下列說法正確的是（）

A.直線A”與直線/把所成角的正切值的最小值為今

B.用過E,RG三點的平面截直四棱柱，得到的截面面積為粵

C.當R=1時，球4與直四楂柱的四個側(cè)面均有交線

D.在直四棱柱內(nèi)，球4外放置一個小球,當小球體積最大時，球4直徑的最大值為g-

73

~2

三、填空題。（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.（5分）若si"。=則cos（26+冬）=.

8Q/）2+Q]8

13.（5分）已知正實數(shù)a,b,。滿足Hc=l,則一:一+—的最小值為_________.

bea+1

14.（5分）已知雙曲線E；泊苴=l（a>0,6>0）,斜率為一顓直線與E的左右兩支分

別交于A，6兩點，點。的坐標為（-1,1）,直線AP交￡于另一點C,直線3。交七

于另一點。.若直線。的斜率為-4，則E的離心率為.

四、解答題.（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算

步驟.）

15.（13分）△ABC的內(nèi)用A,B,C的對邊分別為小h,c,且sin（A-B）cosC=cosfisin

（A-C）.

（1）判斷AABC的形狀；

（2）若△48C為銳知三角形，sinA=求彳+三+2的最大值.

0a22b2c

16.（15分）已知四棱錐人4嵐'。的底面43。。是直角梯形,4。||8。，AB1BC,AB=V3,

BC=2AD=2,E為。。的中點，PB±AE.

（1）證明：平面PZ2_L平面/WCQ：

（2）若PB=PD,PC與平面48CO所成的角為半過點8作平面PC。的垂線，垂足為

M求點N到平面AAC。的距離.

17.（15分）已知函數(shù)啟（x）=景-+a入）,nEN+.k>0.

（1）討論力（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若用G-）有三個極值點，求正數(shù)k的取值范圍.

18.（17分）為了驗證某款電池的安全性，小明在實驗室中進行試驗，假設(shè)小明每次試驗成

功的概率為〃（0<pVl），且每次試驗相互獨立.

2024-2025學(xué)年東莞市粵華學(xué)校高三上開學(xué)考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題。（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求）

1.(5分)集合M={x|-2WxW3},N={x\lnx^\},則MUN=()

A.(0,e]B.[-2,e]C.(-3]D.[-2,3]

【解答]解：M={x|-2&W3),N={x|6rWl}={4)Vx〈e),

貝ljMUN=[-2,3].

故選：D.

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足(1+/)z=5-z,則|W|=()

ZV

A.3B.2C.V2D.I

（解答］解：由題意，z+zi=5i-z,化簡得z=不=1+2i,

Z+l—I）

z

貝mil八l~月^1i=I124i1I=阿|2i=|質(zhì)=2迎?內(nèi)

故選：C.

3.（5分）已知平面向量1嬴足2=（1,2）,山一2；|=4且區(qū)一2辦1房則山=（)

A.V5B.5C.V6D.6

【解答】解：??G=（1,2）,

A|a|=V5,

V|d-2a|=4?即(b-2a)2=b2-4a*b+4a2=16,

又（b—2a）la,則（b—2a）*a=0,即=10,

???向2-40+20=16,解得值|=6.

故選：D.

4.（5分）某電視臺計劃在春節(jié)期間某段時間連續(xù)播放6個廣告，其中3個不同的商業(yè)廣告

和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不

能3個連續(xù)播放，則不同的播放方式有（）

A.144種B.72種C.36種D.24種

【解答】解：先考慮第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，有脛=6種,

另一公益廣告插入3個商業(yè)廣告之間，有用=2種，

再考慮3個商業(yè)廣告的順序，有掰=6種，

故共有6X2X6=72種.

故選：B.

5.（5分）學(xué)校某生物老師指導(dǎo)學(xué)生培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成

一個圓臺，圓臺的上、下底面半徑之比為5：3,母線長為8,〃，其母線與底面所成的角

為60°,則這個圓臺的體積為（）

392於3784vl

A.---------ncmB.---------ncm3

33

1568萬33136Vl3

C.-----------ncmD.----------ncm

33

【解答】解：根據(jù)題意可設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為5b33

又母線長為8,其母線與底面所成的角為60°,

??.5L3f=4,圓臺高為4g,:.t=2,

???圓臺的上、下底面半徑分別為10、6,

1__廠784x/3

???這個圓臺的體積為-x（兀x+yrx+兀x10x6）x4<3=---------n.

33

故選：B.

2

6.（5分）過直線y—3x上的點〃作圓C：（x+2）+（>--4）2—4的兩條切線/】，/2,當直

線％/2關(guān)于直線），=女對稱時，點P的坐標為（）

A.（高，卷）B.（5，,）C.（1?3）D.（方，？）

【解答】解：圓C3+2）2+（y-4）2=4的圓心為C（-2,4）,

直線人，/2關(guān)于直線y=3x對稱時，CP與直線y=3x垂直，

所以直線CP的方程為y-4=-i（x+2）,x+3y-10=0,

J

由｛江2一1°=°，解得憂1所以P（l，3）.

故選：C.

7.（5分）已知S”是公比不為1的等比數(shù)列｛“〃｝的前〃項和，則“S2,S6,S3成等差數(shù)列”

是“存在不相等的正整數(shù)〃2,〃，使得〃〃成等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解答】解：對于公比不為1的等比數(shù)列伍〃｝,

若S2,S6,S3成等差數(shù)列，則2s6=S2+S3，即2al（1—q6）=+%（l-q3）,

l—q1—q1—q

整理得/（2q4-q-i）=0,結(jié)合qWO得27?q-1=0,

若存在不相等的正整數(shù)〃?，〃，使得0”，?！ㄟ场！ǔ傻炔顢?shù)列，則2所尸即+“〃，

不妨設(shè)機＞〃，則2產(chǎn)”=〃”+1,即1=0,

所以寸向】＞?/「"?1=0,

當〃（-1）=4,〃L〃=1時，6=3,n=2,

所以S2,SG,S3成等差數(shù)列時，存在不相等的正整數(shù)〃?一3,;?-2,使得?！?，a〃"4"成

等差數(shù)列，

但碗，麗〃,加成等差數(shù)列時，1=0成立,但加4一夕-1=0不一定成

立，

故”S2,56,S3成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)〃?，〃，使得加,一〃，一成等差

數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

8.（5分）若函數(shù)/（外=/+〃.在（0,+8）上單調(diào)遞增，則。和力的可能取值為（）

A.a=ln\.2,b=5B.a=bi\5,。=0.2

C.以=?！?,2=o.8D.a=el,s,b=0.2

【解答】解：顯然當4＞1與。＞1時函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增；

當OVqVl與0V力VI時函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞減.觀察選項，都有。＞1,

當心1,0<人〈1時，/（x）=axlna+l7xlnb>0,即（鏟〉蕭=簫工］，即加21,

對于A：必=5加1.2V5X0.2=l（其中歷（1+x）4）,不符；

對于8：ab=^H15<1<^bie5=1?不符；

對于C：帥=0.8/2Vl（其中0.2+/〃0.8<0.2+0.8-1=0）,不符；

對于。：必=0.2,8>1（其中/-8>5）符合.

故選：。.

二、多選題。（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有

多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分,）

（多選）9.（6分）已知一組樣本數(shù)據(jù)制（i=l,2,3,10）,其中國（i=1,2,3,…,

10）為正實數(shù).滿足XIWX2WX3/YXIO,下列說法正確的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為茂

B.去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變

C.若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，旦在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均

數(shù)大于中位數(shù)

D.若樣本數(shù)據(jù)的方差s2=告型1xf-4,則這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于2

【解答】解：對于A,???80%><10=8,

?二樣本數(shù)據(jù)的第8U百分位數(shù)為血言，故A錯誤；

對于8,若去掉的是中間的數(shù)據(jù)，則極差不會受影響，故8正確；

對于C,由對稱性知若平均數(shù)等于中位數(shù)，則兩邊對稱；而圖不對稱，且右邊“拖尾”,

則平均數(shù)大于中位數(shù)，故C正確；

對于。,S?=與￡巴（須_于2=/￡：&xf-X2,

樣木數(shù)據(jù)的方差s2=金￡巴螃-4,

則工=2,

故這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于2,故D正確.

故選：BCD.

（多選）10.（6分）將函數(shù)/（x）=si〃?x—看）（0<4><6）的圖象向右平移七個單位長度后

12

得到函數(shù)g（X）的圖象，若（0,5是g（X）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則（）

A./(x)的最小正周期為§

乙

B./(x)在(今,爭)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(A)=f(x)+g(X)的最大值為1

D.方程/■(%)=-;在口，IT］上有5個實數(shù)根

【解答】解：將函數(shù)/(工)=sbi(3工-看)(0U3V6)的圖象向右平移合個單位長度后,

得到函數(shù)g(x)=sin［a)(x-金)一看］=sin(a)x-翳

所以g(x)的最小正周期為T=會，則(0,勺是g(x)的半個最小正周期，

又(0,勺是g(X)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，所以g(0)=-1,

即一罌一1=2"一泉依Z,解得3=-24k+4,kEZ,

1ZoZ

因為0V3V6,所以3=4,故/(%)=sin(4x—1)，

所以/(x)的最小正周期7=竿=方故A正確；

令2kli—<4x—<2kn+aAEZ,解得~竽+］，keZ,

/C7T7TklTIT

即/'(x)的遞增區(qū)間為「丁一二；,~+7^Aez,

21226

57T2n

取&=1時，/(X)的一個遞增區(qū)間為［石，—］,

JL土O

又擊多彳居?］：所以/(x)在［居，上單調(diào)遞增，故3正確；

OJL/*J

g(x)=sin(4x一招一看)=sin(4x一.)=-cos4x,

所以尸(x)=sin(4x一看)一cos4x=sin4xcos-cos4xsin-cos4x

=^-sin4x—cos4x=y/3sin(4x—號)，

所以函數(shù)F(x)的最大值為機，故。錯誤；

當xW［0,n］時,4%一/W［—看，-^―］>

令/(x)=sin(4x一看)=一：，

,i.nn.TT7n.nlln.n197r.n237r

WmI|4X-6=-6,4X-6=T,4X~6=~94X-6=_F4x-6=_,

即方程f(x)=一/在［0,TT］上有5個實數(shù)根，故。正確.

故選：ABD.

（多選）11.（6分）已知直四棱柱48C0A4=百，底面48a）是邊長為1

的菱形，且/84。=120°,點￡：,F,G分別為4方1,DDi,AC的中點，點”是棱4。1

上的動點.以Ai為球心作半徑為R的球，下列說法正確的是（）

A.直線AH與直線8E所成角的正切值的最小值為?

3、國

B,用過E,F,G三點的平面截直四棱柱，得到的截面面積為一尸

C.當R=1時，球4與直四棱柱的四個側(cè)面均有交線

D.在直四棱柱內(nèi)，球Ai外放置一個小球，當小球體積最大時，球Ai直徑的最大值為反-

V3

~2

【解答】解：對于A,連接4G,???底面A3c。是邊長為1的菱形，且乙射。=120°,

???△ABC星等功三角形,

是8C的中點，A.AGl?C,：,AG±AD,

以4為坐標原點，AG,AD,A4所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標

V31V31「

：.A（0,0,0）,B0）,E（―,一本V3）,

〃4,

設(shè)H（0,〃?，V3）,0W〃Wl,則4,=（0,〃?，V3）,BE=（—孚，—,V3）＞

設(shè)直線A”與直線所成角的大小為。40,方，

TT[[

則8sg均粵=#==

\AH\-\BE\孚.1瓶2+3^/T3jm24-3

A113

令一m+6=/€[6,一],

22

________t________=]=________1_________

則COS0=

/nJ4t2-4%+147/13.愕一竽+4月?舊雪-島）2+得

V/€[6,—],???當/=玉"時，cosO=-------/取得最大值,

2月小47g-疑+白

最大值為cos6=^-=,此時sin0=V1—cos2G=^7=,

*.'y=cosxffixe(0,-)上單調(diào)遞減,y=tanx在xW(0,—)上單調(diào)遞增，

22

???直線AH與直線所成角的正切值的最小值為聚，故4正確：

對于4,取4/力，CD,8B1的中點Q,M,W,連接EQ,WE,GW,MG,FM,QF,

由平行關(guān)系可知.過EF，G三點的平面截直四棱柱，得到的截面六邊形為EQFMGW,

其中，EW=MF=FQ=WG=VDM2+DF2=檸+2=1，

1百

一

M=止-8O=

22,

由"

1

Z

E<--G(z2

K44?V3),xO)

AEG=J（T-T）2+I-0）2+（V3-0）2=同理，QM=孚,

.-V3V31「

VEG=（—.0.0）（—,一,—\/3）.

2號.J6）=44

Q（0,I，V3）,???花=（0,I，V3）-呼,V3）=（一字3

一，0）,

4

--V31「733

:?EG,EQ=（7,一6）?（一芋0）=0,:?EQ1EG,

???矩形EQMG的面積為EG*GM=孝X字二孚，

取EG的中點J,連接W,'：EW=WG,???WJ_LEG,

由勾股定理得WJ=yjWE2-EJ2==空,

：-SAE\VG=^WJ=嚼，

同理得S“QM=

V39儷3739

???用過E,F,G三點的平面截直四棱柱,得到的截面面積為三x2+-----=--------

48

故B正確;

z

對于C,連接4Ci,則用=4O|=1,力力1=遮>1,

當R=1時，直四棱柱截球體下半部分的|,

O

球小與百四棱柱四個側(cè)面都有一段圓弧狀交線,故CF確：

對于D,球Ai外放置一個小球。，當小球。與四個側(cè)面均相切時，

小球0體積最大，此時小球O在底面ABCD上的投影剛好與菱形相切,

?,?小球。的半徑為工/G=且，：.O(―,工，—

24444

*?A\(0>0>V3),A10=J:+余+(A/^-半,=')，

???球4直徑的最大值為230—空)二繆一字，故。錯誤.

故選：ABC.

三、填空題。(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.(5分)若si"(6—5)=[,貝i」cos(26+冬)=_R_.

【解答】解:Vsin(0-5)=-sin(—―9)=

66$

nu4

sin(—―0)=cos(―+0)=-E，

635

Acos(28+爭)=2cos2(^+0)-l=2x(-1)2-1=^-

7

故答案為：

8CLb2+ci]8

13.(5分)已知正實數(shù)小。，c滿足/?+c=l,則---+----的最小值為16.

bea+1

【解答】解：任意的正實數(shù)a,b,c,滿足。+c=l,

_,8ab2+a188Z72+1188Z?2+(Z?+C)218

所以-------+--=a?——+--=a?-----------+--=a?

bea+1bea+1bea+1

9b2+2bc+c2189bc18

------------4-----=a?(—+-+2)+----,

bea+1cba+1

由于仇c為正實數(shù)，

^

故由基本不等式得下+/2卜工=6,當且僅當丁=即b=4,c.等號

4w,

成立，

所以。,趣+/2)+提？8Q+提=8(a+l)+提-8>2^8(a+l)-^-

8=16,當且僅當8(Q+1)=搖，即時，等號成立，

8ab2+a18

綜上，---+—7的最小值為16.

bea+1

故答案為：16.

14.(5分)已知雙曲線E：攝T=l(a>0,b>0),斜率為一導(dǎo)的直線與七的左右兩支分

別交于A,8兩點，點戶的坐標為(?1,1),直線4P交E于另一點C,直線8。交E

于另一點Q.若直線CO的斜率為一g,則上的離心率為_詈_.

【解答】解：設(shè)A(AI.yi),B(x2>y2),C(x3>y3)>D(x%>,4),

“勺一與xx+x2Q[

??卜3一八。3+乃二廣

2

{x3-x4x3+x4a

^yi-7273-y41

又------=------=-->

%L%2X3-X49

...左士及_=空？1,設(shè)A8的中點為M,CD的中點、為N,

%1+%2X3+X4

kOM=kON,

??.M,O,N三點共線，又ACCBD=P,且P為(7,1),

:,M,0,MP四點共線，

koM=koN=kop=-1?

故答案為：-.

四、解答題.(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算

步驟.)

15.(13分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sin(A-B)cosC=cosBsin

(4-C).

(I)判斷△ABC的形狀；

1211

(2)若△/IBC為銳角三角形，sinA=-r,求方+—+丁的最大值.

°az2b2c

【解答】解:(I)由題意：(siniAcosB-cosAsinS)cosC=cosi?*(sinAcosC-cosAsinC),

整理得cosAVcosBsinC-sin8cosC)=cosA*sin(C-B)=0,

故cosA=0或sin(C-B)=0,

當cos4=0時.，4=%,a/lBC為直角三角形，

當sin(C-B)=00寸，B=C,ZXABC為等腰三角形.

故AABC為直角三角形或等腰三角形.

ab

(2)由正弦定理一;—=——,得asin4=8sinA=1,

sinAstnB

12112

.'?a=-7—+—+—=2sinB+sinA,

smBa22b2c

乂B=C,A+B+C=TT,

.\2sin2B+sinA=1-cos2B+sin2B=1+V2sin（2B—左），

因為△ABC為銳角三角形，所以2丈解得

（0<A=n-2B<242

???當28—左=獅，即B=等時取最大值，最大值為&+1.

綜上，最大值為尤+1.

16.（15分）已知四棱錐。-4^。的底面月8。。是直角梯形,4。||BC,AB1BC,AB=y[3,

BC=2AD=2,E為C。的中點，PBA.AE,

（1）證明：平面。Z2_L平面A8CQ；

（2）若PB=PD,PC與平面A3CO所成的角為三，過點8作平面PCO的垂線，垂足為

N,求點N到平面人8CQ的距離.

【解答】解：（1）證明：由四邊形A8CD是直角梯形,/B=g,BC=2AD=2,ABIRC,

可得0C=2,Z-BCD=I，從而△BCO是等邊三角形，BD=2,BD平分NADC,

???￡為CO的中點，

.\DE=AD=1,

：.BDA.AE,

又PBQBD=B,

???4E_L平面尸8。，

又「AEu平面A8CQ,

；?平面平面ABCD.

（2）在平面P8力內(nèi)作PO_LB。于O,連接OC,

乂???平面PBOJ_平面ABCD,平面PBZ）n平面ABCD=BD,

：,PO1^ABCD,

/.ZPCO為PC與平面A8CD所成的角，則"C。=亨

???易得OP=3,XOC=V3,PB=PD,PO1BD,

所以。為8。的中點，OC上BD,

以O(shè)B,OC,。尸所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系:

則8(1,0,0),6(0,60),。(-1,0,0),P(0,0,3),

設(shè)俞=入訪+〃命，N(x,y,z),

所以(x,戶z-3)=入(-1,0,-3)+R(0,W，-3),

(x=-A

所以=，

(z-3=-3A-3H

(x=-A

所以=，

(z=-3(AI〃-1)

所以N(一九—3(4+〃—1)),

所以嬴=(-入-1,代4-3(A+n-D),PC=(0,V3,-3),PD=(-1,0,-3),

ABN?PC=3〃+9。+〃-1）=0

I加而=A+1+9（/1+〃-1）=0

得入=/，|i=衾，滿足題意，

所以N點到平面ABCD的距離為-3（入+u-1）=備.

17.（15分）已知函數(shù)啟Q）=1—憶/+a％），nEN+.k>0.

（1）討論力（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若力（A）有三個極值點，求正數(shù)上的取值范圍.

【解答】解：（1）當〃=1時，/1。）=g-k（<+仇工），

則/i'（x）二絲滬一A（3+》=妥?（e'i），

當Q>O時，由/r=o可得工=/〃匕

①若&=e,則/心=1,f\'（x）>0恒成立，fi（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

②若％>e,則X2=。法>l=xi,則力（x）在（0,I）上單調(diào)遞增，在（1,Ink）上單調(diào)

遞減，在（/欣，+°°）上單調(diào)遞增；

③若0<kVe,則X2=〃枚VI=xi,則力（x）在（0,Ink）上單調(diào)遞增，在（1冰,1）上

單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增.

綜上，當&=e時，無單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為（0,+8）；

當Z>eH寸，單調(diào)減區(qū)間為（1,Ink）,單調(diào)增區(qū)間為（0,1）和（M,+~）；

當0V&<e時，單調(diào)減區(qū)間為（/欣，1）,單調(diào)增區(qū)間為（0,Ink）和（1,+8）.

（2）根據(jù)題意可知，當〃=3時，函數(shù)/（4）的定義域為（0,+8）,

eA-x3-ex-3x21,3,1、,.、ex-kx2

則/(%)=—------心")=(一)?^^，

*%丫2

由函數(shù)/（X）有三個極值點川，X2,刈可知，f[x}=（X-3）----^4~=0在（。，+8）

上至少有三個實數(shù)根；

-k、2

顯然/（3）=0,則需方程上二°，即云2=0有兩個不等于3的不相等的實

數(shù)根；

由，-小=0可得，k=^2,x>0,

令g（x）=x>0,則g'（x）='（3?）,xe（0/+8）,

當xe（0,2）時，g'（x）<0,即g（x）在（0,2）上單調(diào)遞減；

當xW（2,+8）時，/G）>0,即g（x）在（2,+8）上單調(diào)遞增；

所以g（x）Ng（2）=號，

可得k>號且上福時，”曇在（0,+8）上有兩個不等于3的相異的實數(shù)根，

經(jīng)檢驗可知當備，M）U（5，+8）時,導(dǎo)函數(shù)尸（%）=（%—3）?匕盧=0在川,

北，X3左右符號不同，即XI,X2,X3均是/（X）=0的變號零點，函數(shù)存在3個極值點，

滿足題意；

因此實數(shù)女的取值范圍是《，易u（*,+00）.

18.(17分)為了驗證某款電池的安全性，小明在實驗室中進行試驗，假設(shè)小明每次試驗成

功的概率為“(OVpVl)，且每次試驗相互獨立.

(1)若進行5次試驗，且p=］求試驗成功次數(shù)X的分布列以及期望；

(2)若恰好成功2次后停止試驗，p=〈，記事件A：停止試驗時試驗次數(shù)不超過〃(〃

22)次，事件停止試驗時試驗次數(shù)為偶數(shù)，求尸(AB).(結(jié)果用含有〃的式子表示)

【解答】解：(1)依題意,X?8(5,1),

則P(X=0)=(1)5=專，P(X=1)=廢分(》=

P(X=2)=Cs(1)3(1)2=另=金，P(X=3)=^5(1)2(1)3=/，

P(X=4)=嗎分=&P(X=5)=(1)5=+

故X的分布列為：

X012345

P155551

323216163232

故￡(X)=5x1=1.

(2)事件“丫=〃”表示前〃-1次試驗只成功了1次，且第〃次試驗成功，

故p(丫=71)=盤Tx|x(|)W-2X/*X(各吁2,

當〃為偶數(shù)時，

所以PG4B)=P(2)+P(4)+……+P(n)=i[l(1)0+3-(1)2+…+(n-1).育尸,

令Sn=1?(各。+3.(|)2+…+(n—1).班-2,

422242n

則2=1*(-)+3-(-)4-+(n-1)-(-),

S2z242八一z2n

兩式相減得：-sn=1+2[(~)+(-)+???+(])]-(n-1)-(-),

則％=M-(加(談+1)?即PM)=曇一(,+9)奇■

當〃為奇數(shù)時，同理可得，

0(48)=P(2)+P(4)+……+P(n-l)=|[l-(1)°+3?(|)2+…+(九-2)?

《尸］=曇-(3+曲《產(chǎn)

吳一（。+關(guān)）（馬”一1,n為奇數(shù)

綜上，P（AB）=\^3

展-*+曇）（扔為偶數(shù)

22

19.（17分）已知拋物線G：y2=4%-4與雙曲線。2：5一占2=相交于兩點4

B,戶是C2的右焦點，宜線Ar分別交Ci,C2于C,拉兩點（不同于4,B點、）,直線BC,

8。分別交x軸于P,。兩點.

（1）求。的取值范圍；

（2）記aAQ/的面積為Si,ZXCQ尸的面積為S2,當SI=3S2時，求a的值.

【解答】解：⑴由雙曲線方X七2一y七2八則［（a…2＞。2〉。，得到底°2），

42y2

聯(lián)立拋物線與雙曲線方程以一工二次二1得至lj(4-a2)』-4a2x+a4=0,

y2=4x—4

記f(x)—(4-a2)A2-4tz2x+a4=[(2+G)X-cr}[12-a)x-a2],

222

可知/(x)