2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專題15 有理數(shù)的加法【八大題型】（舉一反三）（華東師大版2024）（解析版）

專題1.5有理數(shù)的加法【八大題型】

【華東師大版2024]

＞題型梳理

【題型1有理數(shù)的加法概念理解】.................................................................1

【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】.....................................................................3

【題型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】..................................................................5

【題型4巧用拆項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】......................................................6

【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】..............................................................9

【題型6有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用】................................................................11

【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】........................................................13

【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】...........................................................17

“舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1:有理數(shù)的加法

L定義：把兩個(gè)（或多個(gè)）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個(gè)有理數(shù)相加，和是一個(gè)有理數(shù)）。

2.法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，和取相同的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)的絕對(duì)值的和；（2）絕對(duì)值不相等

的異號(hào)兩數(shù)相加，和取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加數(shù)中絕對(duì)值較大者與較小者的差；

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（3）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

注意：1）有理數(shù)的運(yùn)算分兩步走，第一步，確定符號(hào)，第二步，確定絕對(duì)值；2）計(jì)算的時(shí)候要看清符號(hào),

同時(shí)要熟練掌握計(jì)算法則.

【題型1有理數(shù)的加法概念理解】

【例1】（23-24七年級(jí)?河南周口?階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.兩數(shù)之和可能小于其中的一個(gè)加數(shù)B.兩數(shù)相加就是它們的絕對(duì)值相加

C.兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，和取負(fù)號(hào)，絕對(duì)值相加D.兩個(gè)數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，相反數(shù)的定義，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、兩數(shù)之和可能小于其中的一個(gè)加數(shù)，異號(hào)相加，和小于原來的正數(shù)，選項(xiàng)正確，不符合題

意；

B、兩數(shù)相加就是它們的絕對(duì)值相加，異號(hào)相加，取絕對(duì)值大的符號(hào)，再用大絕對(duì)值減去小絕對(duì)值，選項(xiàng)錯(cuò)

誤，符合題意：

C、兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，和取負(fù)號(hào)，絕對(duì)值相加，選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0,所以兩個(gè)數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零，選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加法法則.熟練掌握有理數(shù)的加法法則：“同號(hào)相加，取相同符號(hào)，再把絕對(duì)值

相加；異號(hào)相加，取絕對(duì)值大的符號(hào)，再用大絕對(duì)值減去小絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（23-24七年級(jí)?全國?課后作業(yè)）下列說法正確的是（）

A.兩數(shù)之和必大于任何一個(gè)加數(shù)

B.同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)不變，并把絕對(duì)值相加

C.兩負(fù)數(shù)相加和為負(fù)數(shù)，并把絕對(duì)值相減

D.異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算法則，有理數(shù)的加法運(yùn)算法則對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】A.兩數(shù)之和必大于任何一個(gè)加數(shù)，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.同號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)不變，并把絕對(duì)值相加，正確，故本選項(xiàng)正確；

C.應(yīng)為兩負(fù)數(shù)相加和為負(fù)數(shù)，并把絕對(duì)值相加，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.應(yīng)為異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并把用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的減法、有理數(shù)的加法以及絕對(duì)值的概念，掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算法則是解題

關(guān)鍵.

【變式1-2］（23-24七年級(jí).山東德州.階段練習(xí)）若有理數(shù)Q+b+c<0,則（）

A.三個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)負(fù)數(shù)B.三個(gè)數(shù)中有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)

C.三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)D.三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)是正數(shù)或兩個(gè)是負(fù)數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，即可求解.

【詳解】解：?；Q+b+c<0,

GV—（b+c）,

b+c則有大于等于0和小于0兩種情況：

當(dāng)匕+c20時(shí)，則a<0,且》和c當(dāng)中至少有一個(gè)正數(shù)，

當(dāng)A+cVO時(shí)，則bV-c,此時(shí)b和c至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，

綜上所述，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)負(fù)數(shù).

故答案為：C

【點(diǎn)睛】此題考查的是有理數(shù)的加法問題.有理數(shù)的加法法則：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把

絕對(duì)值相加；（2）絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕

對(duì)值；（3）互為相反的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

【變式1-3]（23-24七年級(jí)?湖北宜昌?期中）如果a+b+c=O,且|c|>網(wǎng)>|a|.則下列說法中可能成立

的是（）

A.a、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)B.a、c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)C.b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù)D.a、

c為正數(shù)，b為0

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法，一對(duì)相反數(shù)的和為0,可得a、b、c中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，

又|c|>|b|>|a|,那么|c|=|b|+|Q|,進(jìn)而得出可能存在的情況.

【詳解】解：a+b+c=0,

???。、氏C中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，

|c|>\b\>lab

kl=\b\+|a|,

???可能a、8為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)；也可能a、b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對(duì)值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵.

【題型2有理數(shù)的加法運(yùn)算】

【例2】（23-24七年級(jí)?河北廊坊?階段練習(xí)）要使等式3。（+5）=-2成立，“?！敝袘?yīng)填的運(yùn)算符號(hào)為（）

A.+B.-C.xD.+

【答案】B

【分析】本題考杳了有理數(shù)減法運(yùn)算，能根據(jù)結(jié)果判斷出是減法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：3-（+5）=-2,

故選:B.

【變式2-1]（23-24七年級(jí)?吉林?期末）比-5大8的數(shù)是.

【答案】3

1)加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即

2)加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變；即3+b)+c=a+(〃+c)。

注意：1)利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運(yùn)算簡化，認(rèn)識(shí)運(yùn)算律對(duì)于理解運(yùn)算有很重要的意義。

2)注意兩種運(yùn)算律的正用和反用，以及混合運(yùn)用。

【題型3有理數(shù)的加法運(yùn)算律】

【例3】(23-24七年級(jí)?廣東中山?期中)卜列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律正確的是()

A.3+(-2)=2+3B.4+(—6)+3=(-6)+4+3

C.[54-(-2)]+4=[5+(-4)]+2D.16+(-1)4-(+56)=(16+56)+(+1)

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】解：A.3+(-2)=(-2)+3,則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.4+(-6)+3=(-6)+4+3,則此項(xiàng)正確，符合題意；

C.[5+(-2)]+4=(5+4)+(-2),則此項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;

D.16+(-1)+(+56)=(16+56)+(-1),則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵.

【變式3-1](23-24七年級(jí).江西南昌?期中)計(jì)算2-4+6-8+10=(2+6+10)+(-4-8)時(shí)，運(yùn)用了

加法()

A.交換律B.結(jié)合律C.分配律D.交換律與結(jié)合律

【答案】D

[分析]計(jì)算2-4+6-8+10=(2+6+10)+(-4—8),先運(yùn)用加法交換律把6和10的位置-4和-8與

交換，然后根據(jù)加法結(jié)合律把正數(shù)和負(fù)數(shù)分別結(jié)合在一起.

【詳解】解：2-4+6-8+10

=2+6+10-4-8(加法交換律)

=(2+6+10)+(-4-8)(加法結(jié)合律)

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題是考查加法交換律與結(jié)合律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，要掌握.

【變式3-2](23-24七年級(jí).全國.課堂例題)計(jì)算：1+2+3+―?+2023+(-1)+(-2)+(-3)+--+

(2024).

【答案】-2024

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可得.

【詳解】解：原式=[1+(―1)]+[2+(—2)]+[3+(—3)]+…+[2023+(—2023)]+(—2024)

=0+0+0+…+0+(—2024)

=-2024.

【點(diǎn)睛】本題考杳了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](23-24七年級(jí).全國.課堂例題)計(jì)算(一5.13)-(-4.62)+(-8.47)-(一2.38)時(shí)，先把減法轉(zhuǎn)化

為加法可得,觀察算式我們可以利用"湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為=

+=.

【答案】(-5.13)+(+4.62)+(-8.47)+(+2.38)[(-5.13)+(-8.47)]+[(+4.62)+(+2.38)]

(-13.6)7—6.6

【分析】先把有理數(shù)加減混合運(yùn)算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成加怙運(yùn)算，再利用有理數(shù)加法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：計(jì)算(-5.13)-(-4.62)+(-8.47)-(一2?38)時(shí),

先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得(-5.13)+(+4.62)+(-8.47)+(+2.38),

觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運(yùn)算律將算式轉(zhuǎn)化為[(-5.13)+(-8.47)1+1(+4.62)+

(+2.38)]=(-13.6)4-7=-6.6.

故答案為:①(一5.13)+(+4.62)+(-8.47)+(+2.38),②[(-5.13)+(-8.47)]4-[(+4.62)+(+2.38)],

@(-13.6),④7,⑤-6.6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運(yùn)算以及加法運(yùn)算律的知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題關(guān)

鍵.

【題型4巧用拆項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算】

【例4】(23-24七年級(jí)?河南鄭州?期中)閱讀下面文字：

對(duì)于(一34)+(-吟)+2/可以如下計(jì)算:：

原式=[-3+(-^)]+[-1+(心)]+&+§+(2+3

=[(-3)+(-1)+2+2]+

=0+_____

上面這種方法叫拆項(xiàng)法.

(1)清補(bǔ)全以上計(jì)算過程；

(2)類比上面的方法計(jì)算：(一2024g+2023：+(-2022,+2021點(diǎn)

【答案】⑴卜沙㈠)+1+升T+I)；V

(2)-2當(dāng)過程見詳解。

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運(yùn)算法則.

(I)根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算；

(2)參照(1)的解題思路解題即可.

【詳解】(1)解：(―34)+(-19+212；可以如下計(jì)算：

原式=[-3+(_￡)]+卜1+(_前+(2+|)+(2+》

二[(-3)+(-1)+2+2]+卜磊+(-5+|+月

3

=W,

故答案為：L+em+N,；總

(2)解：(-20249+2023：+(—2022,+2021：

=-2024+(-§)]+儂23+：)+-2022+(-/]+2021+2

/、r23/5\1

=r[-2024+2023+(-2022)4-2021]+-7

34\6/7.

【變式4-1】計(jì)算：

(,20191)+(-2018|)+4036|+(-11)

【答案】-3g計(jì)算過程見解析

【分析】將各帶分?jǐn)?shù)依據(jù)已知題的柝分方法分別拆分，再將整數(shù)部分、分?jǐn)?shù)部分分別相加，根據(jù)有理數(shù)的加

法法則進(jìn)行計(jì)算叩可得到答案.

【詳解】解：原式=[(-2019)+(一3]+[(-2018)+(一利+(4036+1+[(-1)+(一｝]

=[(-2019)+(—2018)+4036+[—1)]+[(-》+(-令+|+(一外

=(_2)+(一§

=-3J-3,

【點(diǎn)睛】此題考壹了自理數(shù)的加法法則，利用拆分法進(jìn)行計(jì)算，正確埋解已知中的解題方法并正確解題是關(guān)

鍵.

【變式4-2](23-24七年級(jí).四川成都.階段練習(xí))⑴計(jì)算：(一17習(xí)+16：+(-153-2a

⑵計(jì)算(一2000g+(-1999|)+4000|+(-11).

【答案】⑴-1吟

⑵V

【分析】(1)先將各帶分?jǐn)?shù)拆分成一個(gè)整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算

即可得；

(2：先將各帶分?jǐn)?shù)拆分成一個(gè)整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可得；

本題考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：(一17|)+16,+(-153-2：

=[(-17)+16+(-15)+(-2)]+

=T8+㈢，

=-I87：

4

(2)解：(一2000：)+(-1999：)+4000：+(—1

[(-2000)+(-1999)+4000+(-1)]+

=°+(一3

4

【變式4-3](23-24七年級(jí)?全國?假期作業(yè))計(jì)算：(一2022另)+(-202嗎)+(-13+4044.

【答案】一*

【分析】此題考查了有理數(shù)的加法計(jì)算，先將帶分?jǐn)?shù)拆分，利用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可，熟練學(xué)

握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(—2022苗)+(—2021：)+(一1[)+4044

=(-2022)+(一劫]+[(-2021)+(-1]]+[(-1)++4044

-[(-2022)4-(-2021)+(-1)+4044]+[(一五)+(一3+(一d)]

=。+卜笥

=-1—.

12

【題型5有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】

【例5】(23-24七年級(jí)?江西上饒.期中)把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：

(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),(10,11,12,13,14,15,16),...?現(xiàn)用等式AM=(Lj)表

示正整數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3,4),則A2O2O=()

A.(44,81)B.(44,82)C.(45,83)D.(45,84)

【答案】D

【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這?組的第幾個(gè)數(shù)即可求解.；

【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個(gè)數(shù)規(guī)律可以表示為：2n-l

則I+3+5+7+---+(2n-l)=^x2nxn=n2,

當(dāng)n=44時(shí)，n2=1936,

當(dāng)n=45時(shí)，n2=2025,

:.2020在第45組,且2020-1936=84,即2020為第45組的第84個(gè)數(shù)；

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運(yùn)算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問題的常用方

法.

【變式5-1](23-24七年級(jí)?全國?專題練習(xí))小明同學(xué)在上樓梯時(shí)發(fā)現(xiàn)，若只有一個(gè)臺(tái)階時(shí)，有一種走法；

若有兩個(gè)臺(tái)階時(shí)，可以一階一階地上，或者一步上兩個(gè)臺(tái)階，共有2種走法；如果他一步只能上一個(gè)或者

兩個(gè)臺(tái)階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個(gè)臺(tái)階時(shí)，他有3種走法，那么有四個(gè)臺(tái)階時(shí)，共有走法()

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知：當(dāng)有四個(gè)臺(tái)階時(shí)，可分情況討論：①逐級(jí)上，那么有一種走法；②上一個(gè)臺(tái)階和上

二個(gè)臺(tái)階合用，那么有共三種走法；③一步走兩個(gè)臺(tái)階，只有一種走法；所以可求得有五種走法.注意分

類討論思想的應(yīng)用.

【詳解】當(dāng)有四個(gè)臺(tái)階時(shí)，可分情況討論：

①逐級(jí)上，那么有一種走法；

②上一個(gè)臺(tái)階和上二個(gè)臺(tái)階合用，那么有：

1、1、2；1、2、1；2、1、1；

共三種走法；

③一步走兩個(gè)臺(tái)階，只有一種走法：2、2；

綜上可知：共5種走法.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件，列舉出可能走的方法解答.

【變式5-2](23-24七年級(jí).山東日照.階段練習(xí))一跳蚤在一宜線上從。點(diǎn)開始，第1次向右跳I個(gè)單位，

緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位…，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)

它跳第2000次落下時(shí)，落點(diǎn)處位于。點(diǎn)的()

A.右側(cè)500個(gè)單位B.左側(cè)500個(gè)單位

C.右側(cè)1000個(gè)單位D.左側(cè)1000個(gè)單位

【答案】D

【分析】設(shè)從點(diǎn)。向右為正，向左為負(fù).根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義列出式子計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)從點(diǎn)。向右為正，向左為負(fù)，

由題意得最后的位置標(biāo)示的數(shù)即為：1+(―2)+3+(—4)+…+(―2000)>

觀察可以發(fā)現(xiàn)，1+(-2)=-1,3+(-4)=-1,5+(-6)=-1,

A1+(-2)+3+(-4)+…+(-2000)=(-1)X—=-1000,

2

???此時(shí)跳蚤在原點(diǎn)左側(cè)1000個(gè)單位，

故選D.

【點(diǎn)睛】此題上要考查有理數(shù)加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)用正負(fù)數(shù)來表示一對(duì)具有相反

意義的量.同時(shí)在計(jì)算的過程中，能正確找到規(guī)律.

【變式5-3］（23-24七年級(jí).浙江臺(tái)州.階段練習(xí)）觀察下面的幾個(gè)算式:

14-2+1=4=2x2：14-2+3+2+1=9=3x3；

1+2+3+44-3+2+1=16=4x4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5x5.

根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計(jì)算下面的題：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1的值為

【答案】81

【分析】先找題上幾個(gè)算式的規(guī)律，1+24-1=4=2x2,前面加數(shù)最中間是2,則答案是2x2；

1+2+3+2+1=9=3x3,前面加數(shù)最中間是3,則答案是3x3；1+2+3+4+3+2+1=16=4x4,前面加

數(shù)最中間是4,則答案是4x4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5x5,前面加數(shù)最中間是5,則答

案是5x5；由此推出規(guī)律計(jì)算即可.

【詳解】先找題上幾個(gè)算式的規(guī)律，1I2Il=4=2x2,前面加數(shù)最中間是2,則答案是2x2；

1+2+3+2+1=9=3x3,前面加數(shù)最中間是3,則答案是3x3；1+2+3+4+3+2+1=16=4x4,前面加

數(shù)量中間是4,則答案是4x4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5乂5,前面加數(shù)最中間是5,則答

案是5x5；貝【J1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1,最中間加數(shù)是9,則答案是9x9=81,

故答案為81.

【點(diǎn)睛】本題主要是對(duì)有理數(shù)規(guī)律問題的考查，準(zhǔn)確找到規(guī)律并計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

【題型6有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用】

【例6】（23-24七年級(jí)?北京?期中）德勝中學(xué)在勞動(dòng)節(jié)中組織學(xué)生進(jìn)行農(nóng)作物種植實(shí)踐活動(dòng).已知某種農(nóng)作

物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個(gè)步驟，種植要求如下：

①步驟C、D須在步驟4完成后在行，步驟E須在步驟8、。都完成后進(jìn)行，步驟尸須在步驟C、D都完成

后進(jìn)行;

②一個(gè)步驟只能由一名學(xué)生完成，此步驟完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他步驟；

③各個(gè)步驟所需時(shí)間如下表所示：

步驟ABCDEFG

所需時(shí)間/分鐘10108108114

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生

合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘.

【答案】6131

【分析】本題考查了邏輯推理與時(shí)間統(tǒng)籌，根據(jù)種植要求得出種植步驟是解題的關(guān)鍵.

將所有步驟需要的時(shí)間相加即可得出由一名學(xué)生單獨(dú)完成需要的時(shí)間：假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加

工要求可知甲學(xué)生做步驟A，乙學(xué)生同時(shí)做步驟&然后甲學(xué)生做步驟。，乙學(xué)牛.同時(shí)做步驟C,乙學(xué)生步

驟C完成后接著做步驟G；最后曰學(xué)生做步驟凡乙學(xué)生同時(shí)做步驟E,然后可得答案.

【詳解】解：由題意，得：10+10+8+10+8+11+4=61（分鐘），

即：一名學(xué)生單獨(dú)完成需要61分鐘，

假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，

???步驟C,。須在步驟A完成后進(jìn)行，步驟E須在步驟8,。都完成后進(jìn)行，且步驟4,4都需要1（）分鐘完

成，

???甲學(xué)生做步驟A,乙學(xué)生同時(shí)做步驟8,需要10分鐘，然后日學(xué)生做步驟乙學(xué)生同時(shí)做步驟C,乙

學(xué)生步臊C完成后接著做步驟G,需要12分鐘，但此時(shí)甲同學(xué)后面多兩分鐘剩余，最后甲學(xué)生做步驟八

乙學(xué)生同時(shí)做步驟E,還需要9分鐘（減去前面剩余2分鐘），

如下圖所示：

k-----------A------+-----D-------+-----F--------"

*0I234567K91011121314151617IK1920212223242526272X29卻313233

乙一.■士c—十

OI234567K910II121314151617IR1920212225242526272R29W3I3233

...若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要10+12+9=31（分鐘），

故答案為：61,31.

【變式6-1］（23-24七年級(jí)?貴州貴陽?期末）張煒同學(xué)每天從家到學(xué)校要走1.5km,他的家與學(xué)校、超市在一

條東西走向的大街上，且張煒家在學(xué)校和超市的正中間.若把張悻家、學(xué)校、超市分別看成一個(gè)點(diǎn)，大街

看成一條直線.一天早上，張怦從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學(xué)校，他一共走的路程為（）

A.1.5kmB.3kmC.4.5kmD.6km

【答案】C

【分析】此題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式求解即可.

【詳解】根據(jù)題意得，1.5+1.5+1.5=4.5（km）.

Aft一共走的路程為4.5km.

故選:C.

【變式6-2］（23-24七年級(jí).全國.假期作業(yè)）一個(gè)實(shí)驗(yàn)室里有10個(gè)柜子.分別用10把不同的鎖鎖著，但10

把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號(hào)(1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用).從最壞的情況考慮，至多要

試開幾次才能把10把鎖都打開？

【答案】55

【分析】本題考查有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用，最多試幾次，就是要從最壞的情況來考慮，開第一把鎖，從最壞

的情況考慮，試了9次還沒成功，第10次一定能打開這把鎖，要開10把不同的鎖的嘗試的次數(shù)相加即可.

【詳解】解：第1把鎖最多試開10次一定能打開，第2把鎖最多試開9次一定能打開……第1()把鎖只要試

開I次就能打開.所以只需試開1+2+3+-+9+10=55(次).

答：至多要試開55次才能把1()把鎖都打開.

【變式6-3](23-24七年級(jí).全國?競賽)希希、望望、貝貝三個(gè)人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸

一局積負(fù)2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負(fù)1分.1。局之后希希?、望望、貝貝三人得分的總和為.(提

示：地主贏則兩個(gè)農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個(gè)農(nóng)民都贏，地主輸.)

【答案】0/0分

【分析】本題考查數(shù)的運(yùn)算，計(jì)算出每一局的積分和，從而求得10局積分總和.

【詳解】解：由題意，

每一局地主贏則兩個(gè)農(nóng)民都輸，此時(shí)三人得分總和為2+(-1)+(-1)=0分；

每一局農(nóng)民贏則兩個(gè)農(nóng)民都贏，地主輸，此時(shí)三人得分總和為2+(-1)+(-1)=0分；

???10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為0分，

故答案為：0.

【題型7利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】

【例7】(23-24七年級(jí)?遼寧阜新?期末)把夏禹時(shí)代的“洛書”用數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來就是一個(gè)三階幻方，它的

每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和均相等，則幻方中Q的值是.

【分析】

本題主要考查了有理數(shù)的加法，解決此題的關(guān)鍵利用中心數(shù)求幻和，再由幻和與已知數(shù)求得a、b,最后是

有理數(shù)的加法.

根據(jù)三階幻方的特點(diǎn)，三階幻方的中心數(shù)，可得三階幻方的和，根據(jù)三階幻方的和，可得a、b的值，根據(jù)

有理數(shù)的減法，可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)幻方的性質(zhì)，

則。+9=8+5,

所以a=4,

而a+8=5+b,

則1=7,

故a-b=4-7=—3,

故答案為：一3.

【變式7?1](23?24七年級(jí)?山東青島?期中)如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲,將一3,2,-1,0,1,-2,3,

-4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等.已如圖中a,b,c,d分

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù)題意利用有理數(shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可.掌握有理數(shù)的加法法則是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：-3+2-1+0+1-2+3-4=-4,

所以內(nèi)外兩圈上以及橫、豎上的4個(gè)數(shù)字之和都為-2,

所以a=-2-(3-2-4)=1,

所以d=-2—(—2+0+1)=—1,

故七=-3或2,

所以a+b=-2或3.

故選：c.

【變式7-2］（23-24七年級(jí)?全國.課后作業(yè)）【閱讀材料?】“九宮圖”源于我國古代夏禹時(shí)期的“洛書”（圖1

所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，“洛書”就是一個(gè)三階“幻方”（圖

2所示）.

【規(guī)律總結(jié)】觀察圖I、圖2,根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出吆J方''需要滿足的條件

是

若圖3是一個(gè)“幻方”，貝柏二

圖1圖2圖3

【答案】每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等0

【分析】計(jì)算每橫行、每豎行、每條對(duì)角線上的三數(shù)和，便可回答結(jié)果；根據(jù)題意確定出“幻方”需要的條件,

即可確定出b的值.

【詳解】解：觀察圖1、圖2,根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是:

每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等；

因?yàn)椋?1）+1+3=3.所以人+5+（—2）=3,所以6=0.

故答案為：每一行、每一列和每條對(duì)角線上各個(gè)數(shù)之和都相等，0

【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的加法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（23-24七年級(jí)?江蘇無錫?期中）中國古代數(shù)學(xué)書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關(guān)幻方的文字.如

圖是一個(gè)簡單的幻方模型，將-1，-2,-3,1,2,3,4,5分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得每個(gè)三角形的

三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等，若已經(jīng)把-1、-3這兩個(gè)數(shù)填入了圓圈，則

ab+cd的值為.

Q

O二

Q“?:■0

?。二,

、'、

@

【分析】先設(shè)d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e,另一個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)字為7,根據(jù)每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都

與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，可先求出從再根據(jù)e+d-l=c+d+2=e+/-3=a-l,

求;Hd和e,最后求和c,即可求Hlab+cd的值.

【詳解】解—：設(shè)d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e,另一個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)字為了,

根據(jù)題意可知，b+d+e—3=d+e—1,

工6-6=-1,

:?b=2,

*.*e+d—1=c+d+2,e+d—l=e+f—3,e+d-1=Q—1,

3(e+d—l)=c+d+2+e+f—3+Q—1=(-1)+(—2)+(—3)4-1+2+34-4+5=9?

/.(e+d-1)=3,e=c+3.d=f—2,

.,.e+d=4,e=c4-3,d=f-2,

;已填—1、-3,而且b=2,

:.e、d只能從一2,1,3,4,5中選，

/.e=1?d—3或e=3,d=1,

當(dāng)e=1,d=3時(shí)，a=4,c=-2符合題意；

當(dāng)e=3,d=l時(shí)，c=。不符合題怠，舍去；

Ac=4,c=—2,

:.ab+cd=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)加法的運(yùn)算方法，以及幻方的特征和應(yīng)用，要熟練掌握.

【題型8有理數(shù)加法中的新定義問題】

【例8】(23-24七年級(jí)?上海?假期作.'也)定義一種新運(yùn)算滿足：8A3=8+9+10=27,7△4=7+8+

9+10=34,645=6+7+8+9+10=40,求1△10.

【答案】55

【分析】根據(jù)新的運(yùn)算，從“△”前面的數(shù)開始進(jìn)行連續(xù)自然相加，“△”后面的數(shù)連續(xù)相加的個(gè)數(shù)，利用規(guī)律即

可求解.

【詳解】由843=8+9+10=27,744=7+8+9+10=34,6A5=6+7+8+9+10=40,可得:

10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.

【點(diǎn)睛】此題考查定義新運(yùn)算，解此題的關(guān)鍵是觀察規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算.

【變式8-1](23-24七年級(jí).山東青島?期中)定義一種運(yùn)算，設(shè)田表示不超過大的最大整數(shù)，例如[2.2