7.3復(fù)數(shù)的三角形式 原卷版

7.3復(fù)數(shù)的三角形式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的三角表示 考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的輻角考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算的三角表示及及其幾何意義 考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)三角表示綜合問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的三角形式的概念1.復(fù)數(shù)的輻角(1)定義：以x軸的非負(fù)半軸為始邊、向量所在的射線(起點(diǎn)是原點(diǎn)O)為終邊的角θ叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。(2)輻角主值[0，2)內(nèi)的輻角θ的值叫作復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角主值，記作argz，即0≤argz<2。非零復(fù)數(shù)與它的模和輻角主值一一對(duì)應(yīng)。(3)常用的有關(guān)輻角主值的結(jié)論當(dāng)aR+時(shí)arga=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。2.復(fù)數(shù)相等兩個(gè)非零的復(fù)數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角主值分別相等。3.復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)z=a+bi可以用復(fù)數(shù)的模r和輻角θ來表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作復(fù)數(shù)z的三角形式，而a+bi叫作復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式。知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的三角形式的乘除法1.復(fù)數(shù)的乘法與乘方把復(fù)數(shù)，分別寫成三角形式(cosθ2+isin。則。這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，其積的模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模的積，其積的輻角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的和.上面的結(jié)果可以推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)相乘：=。因此，如果就有[。這就是說，復(fù)數(shù)的次冪的模等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的n次冪，它的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的n倍。復(fù)數(shù)的除法設(shè)則z?除以z?的商：)]。這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差?！绢}型歸納】題型一：復(fù)數(shù)的三角表示1．（24-25高一下·上?！て谀?fù)數(shù)的三角形式是（

）A．； B．；C．； D．.2．（2024高一下·全國(guó)·專題）復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．3．（2023高一下·上?！ｎ}）的三角形式是（

）A． B．C． D．題型二：復(fù)數(shù)的輻角4．（23-24高一下·福建泉州·階段）復(fù)數(shù)的輻角主值為（

）A． B． C． D．5．（22-23高一·全國(guó)）的輻角主值為（

）．A． B． C． D．6．（21-22高一·全國(guó)）設(shè)，則復(fù)數(shù)的輻角主值為（

）A． B． C． D．題型三：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算的三角表示及及其幾何意義7．（22-23高一·全國(guó)）計(jì)算的值是（

）A． B．C． D．8．（24-25高一下·全國(guó)）計(jì)算：(1)；(2)．9．（24-25高一下·全國(guó)）計(jì)算：(1)；(2)．題型四：復(fù)數(shù)三角表示綜合問題10．（2024高一下·上海）已知，且，若．(1)求復(fù)數(shù)的三角形式，并且復(fù)數(shù)的輻角主值；(2)求．11．（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）已知：①任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角形式.②方程（為正整數(shù)）有個(gè)不同的復(fù)數(shù)根；(1)求證：；(2)設(shè)，求；(3)試求出所有滿足方程的復(fù)數(shù)的值所組成的集合.12．（23-24高一下·重慶）任意一個(gè)復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式都可寫成復(fù)數(shù)三角形式，即，其中i為虛數(shù)單位，，.棣莫弗定理由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667～1754）創(chuàng)立.設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：，，則：.如果令，則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：.請(qǐng)用以上知識(shí)解決以下問題.(1)試將寫成三角形式；(2)試應(yīng)用復(fù)數(shù)乘方公式推導(dǎo)三倍角公式：；；(3)計(jì)算：的值.【高分達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（24-25高一下·全國(guó)）復(fù)數(shù)經(jīng)過n次乘方后，所得的復(fù)數(shù)等于它的共軛復(fù)數(shù)，則n的值等于（

）A．3 B．12 C． D．14．（23-24高二下·江蘇南京·期中）在復(fù)平面內(nèi)，常把復(fù)數(shù)和向量進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)．現(xiàn)把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．15．（2024高一下·全國(guó)）設(shè)復(fù)數(shù)的輻角的主值是，則的輻角的主值為（

）A． B．C． D．16．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）（

）A． B．C． D．17．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角的主值為（

）A． B． C． D．18．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式為（

）A．i B．C． D．19．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限20．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．0二、多選題21．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，3＋2i，則頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可能是（

）A．＋i B．＋iC．＋i D．＋i22．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的輻角的主值是，則的輻角的主值是B．復(fù)數(shù)的輻角的主值是，則的輻角的主值是C．復(fù)數(shù)，的輻角的主值分別是，，則的輻角的主值是D．復(fù)數(shù)，的輻角的主值分別是，，且，則的輻角的主值是23．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．24．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的輻角的主值為B．復(fù)數(shù)的輻角的主值為C．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為D．復(fù)數(shù)的三角形式為25．（23-24高三下·貴州）已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，則（

）A． B．C．若，則 D．26．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）把復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的向量分別按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)和后，重合于向量且模相等，已知，則復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和它的輻角分別是（

）A． B．C． D．三、填空題27．（23-24高一下·甘肅臨夏·期末）計(jì)算：．28．（23-24高一下·福建寧德·階段練習(xí)）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，若表示復(fù)數(shù)z，則.29．（23-24高一下·江蘇淮安·期末）歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)完美聯(lián)系起來的一個(gè)公式，e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，i是虛數(shù)單位，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．利用歐拉公式解決問題，；關(guān)于x的方程，的解為．30．（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·期末）已知：①任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式．其中是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角形式．②被稱為歐拉公式，是復(fù)數(shù)的指數(shù)形式．③方程（n為正整數(shù)）有個(gè)不同的復(fù)數(shù)根．（1）設(shè)，則；（2）滿足方程的復(fù)數(shù)的值所組成的集合為．四、解答題31．（24-25高一下·全國(guó)）計(jì)算：(1)；(2)．32．（24-25高二上·江西宜春·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.(1)設(shè)復(fù)數(shù)，求；(2)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.33．（23-24高一下·福建福州·期末）在復(fù)數(shù)集中有這樣一類復(fù)數(shù)：與，我們把它們互稱為共軛復(fù)數(shù)，時(shí)它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，這是共軛復(fù)數(shù)的特點(diǎn)．它們還有如下性質(zhì)：(1)設(shè)，，求證：是實(shí)數(shù)；(2)已知，，，求的值；(3)設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．34．（23-24高