2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第8講：正弦定理余弦定理（附答案解析）

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第8講：正弦定理余弦定理

學(xué)生版

【考試要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2理解三角形的面積公式并能應(yīng)用3能利用

止弦定理、余弦定理解決一些筒單的三角形度量問題.

■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在△A8C中，若角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,R為△人8c外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

f=、+-2〃ccosA；

__e_______廬=?+〃；

內(nèi)容sinACinB-sinC~1K42—2ccosB

c2=a2+b?-2abcosC

(l)?=2/?sin4,

Z>=2/?sinB,

護(hù)+C2一〃

c=2/?sinC；cosA-2bc；

(2)sin4-2*“/十序一序

變形COS8-2比；

.b.c

sinB-2R，sinC—?R；“2+〃一/

cosC-2ab

(3)t/bc

=sin,4:sin8：sinC

2.三角形解的判斷

A為銳角力為鈍角或直角

c

/^\0

圖形

AzLBA'......A，B

關(guān)系式a=bsinAbainA<a<ba》ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

第I頁共37頁

(1)S=2(fha(htl表示邊a上的高)；

⑵S=%〃sinC=%csinB=^bcs\nA；

(3)S=；?+〃+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

【常用結(jié)論】

在△ABC中，常有以下結(jié)論：

(1)NA+N8+NC=TL

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)〃>方0A>8QsinA>sinB,cosA<cosB.

(4)sin(A+B)=sinC：cos(A+B)=—cosC：tan(A+8)=—tanC：sin~^~=cosA±B_

1-=

sinf.

(5)三角形中的射影定理

在△AHC中，a=/x:osC+ccosB；b=acosC+ccosA：c=/?cosA+acos及

⑹三角形中的面積S=#p(p_?)(〃-b)(p-cjp=[a+%+

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.(X)

(2)在△ABC中，若sin4>sinB,則A>B.(J)

(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.[X)

(4)當(dāng)分+°2—〃>0時(shí)，△AHC為銳角三角形.(X)

【教材改編題】

I.在△A8C中，48=5,AC=3,BC=1,則N8AC等于()

B號C至D.普

A6

答案C

解析在△48C中,

設(shè)八8=c=5,AC=b=3,BC=a=lt

〃+/一/_9+25—49

由余弦定理得cos/BAC1

~lbc——30~V

因?yàn)?ZMC為△A8C的內(nèi)角，

所以N84C=專.

2.記△A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為4,。=2,8=30°,

第2頁共37頁

則C等于()

A.8B.4

J33

答案A

解析由S&A8C=］acsin8=：X2cX尹4,得c=8.

3.在△ABC中，角A,B,C的時(shí)邊分別為“，b,c,已知8=30。，c=2,則C=.

答案45?；?35。

刖at分二施汨?廠csin82sin30°啦

解析由正弦定理得smC=—^―==-y>

因?yàn)閏>b,8=30。，

所以C=45?；駽=135。.

■探究核心題型

題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

reqA

例I(12分)(2022?新高考全國I)記448。的內(nèi)角4&C的對邊分別為小兒c,已知之一?

1Isinr\

sin2B

=I+cos2￡

⑴若。若，求&［切入點(diǎn)：二倍角公式化簡］

>)119

(2)求氣工的最小值.［關(guān)鍵點(diǎn)：找到角8與角C,A的關(guān)系］

思路分析

(1)二倍角公式化簡一去分

母、兩角和與差公式化簡一

求出sinB.

(2)由角8,C正余弦關(guān)系一

角8與角C,A的關(guān)系一絲手

化成正弦一用角3表示角A,

。化簡一角8的關(guān)系式一基

本不等式.

第3頁共37頁

答題模板規(guī)范答題不丟分

.、e<cosAsin2B2sinBcosBsinS?八■,：

解(1)因?yàn)閊-r-：--—--——u-------------?*口r分，…①處二倍角公式化簡

1+sinA1+cos2B2cos2ficosB

即sin8=cosAcosB-sinAsin8=ccs(A+8)=-cosC=x,2［3分］<②處兩角和與差公式化簡

而0<8〈號,所以B=*.［4分］

(2)由(I)知，sin8=_cosC>0,

所以*<C<F,

幣［分］■*--

sin5=_cosC=sin(c-*6③處找角乩C的正弦關(guān)系

所以。=￡+用即有A=￡-28@[7分]，④處用角5表示角C.A

屋+〃_sin?4+sin?8隼［8分］?

所以⑤處正弦定理化邊為角正弦

c2sin2C

22

cos2fi+l-cosZJ1?

—-----------------------------⑥處將角C.人代人化角

cos2B

=(2cos28-l)2+l-cos28

COSsB

2

2⑦處基本不等式求最值

=4cosZ?+coszg-5^472-5.：：10分卜一

當(dāng)且僅當(dāng)cos28=1|■時(shí)取等號，

所以產(chǎn)-的最小值為44-5.[12分]

思維升華解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩

個(gè)定理都有可能用到.

跟蹤訓(xùn)練1（2022?全國乙卷）記△A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin（4

—B)=sinBsin(C—A).

(I)證明：2a2=從+~

(2)若a=5,cosA=^,求△ABC的周氏.

⑴證明方法一

由sinCsin(A—B)=sin8sin(C—A),

可得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB

=sin/?sinCeos-4—sinAcosCsinA,

b

結(jié)合正弦定理

sinAsinBsinC,

可得ciccosB—bccosA=bccosA—abcosC,

第4頁共37頁

即ocxosB-habeasC=2bccos4*).

由余弦定理可得

八4+c2—從

?ccosB=-----2------，

八『+從一/

a/KosC=-----2------，

2bccosA=/r+c2—a2,

將上述三式代入(*)式整理，

得2/=〃+/.

方法二因?yàn)锳+8+C=M

所以sinCsin(4—B)=sin(A+￡<)sin(A—B)

=sin2Acos22?-cos2Asin2fi

=siirA(l—sin27?)—(1—sin2A)sin2^

=sin?A-sin%,

同理有sinZJsin(C_4)=sin(C+4)sin(C—A)=sin2C_siirA.

又sinCsin(A-8)=sin5sin(C—A),

所以sinM-sin2S=sin2C-sin2A,

即2sin2A=sin2B+sin2C,

故由正弦定理可得2〃2=從+。2.

(2)解由(1)及/n//+c2-2〃ccosA得，a2=2bccosA,所以26c=31.

因?yàn)閺?。2=21=50,

所以(〃+C)2=〃+C2+2A=81,

得b+c=9,

所以△ABC的周長/=a+/)+c=l4.

題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

命題點(diǎn)I三角形的形狀判斷

例2(1)在△ABC中，角A,8,。所對的邊分別是a,b,c,若c—“cos8=(2〃-b)cosA,

則4ABC的形狀為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角二角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因?yàn)閏-acosB=(2a—Z?)cosA,

。=兀一(4+8),

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所以由止弦定理得sin。一sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinsinAcosB

=2sin八cosA—sin8cosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cos4=0或sin8=sinA,

所以A=]或B=A或8=7i—A(舍去)，

所以△A4C為等腰三角形或直角三角形.

⑵在△ABC中，a,4c分別為角A,B,。的對邊，守=$而孝，則△48C的形狀為()

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由CQSB=1—2sin號，

.1-cosB6/1-cosB

wsin?一，所以,(.一)?

即cosB=*.

方法一由余弦定理得上族宜=%

即4+c2—力2=2/,

所以a2-]-b2=c2.

所以△ABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等.

方法二由正弦定理得cos3=鬻，

ol11V*

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3W0,

所以cosC=0,又角。為ZLAEC的內(nèi)角，

所以。=看所以AABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等.

延伸探究將本例(2)中的條件“愛=sii?f"改為“%=崇S+c+4)S+La)=3A",

試判斷△ABC的形狀.

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解因?yàn)楹?*所以由正弦定理得田=*所以8=c

o1II**VIJv

又S+c+4)3+c—a)=3/)c,

所以尻+/-/=*,

?o?o_2?

所以由余弦定理得cos八='，：一一筆二)

AvCZVXrt/C-J

因?yàn)锳￡(0,7i),所以A=W，

J

所以△ABC是等邊三角形.

思維升華判斷三角形形狀的兩種思路

(I)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角肪的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用人

+4+C=TC這個(gè)結(jié)論.

命題點(diǎn)2三角形的面積

例3(2022?浙江)在△ABC中,角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.

3

-

已知4a=yl5c,5

(1)求sinA的值：

(2)若。=11,求△ABC的面積.

解⑴由正弦定理卷=康，

ZB.."SinC

件sinA——~.

34

因?yàn)閏osC=。所以sinC=w，

-7a亞心”..VBsinC小

又1=：',所以sinA=J——=彳~.

(2)由(1)知sinA=乎，

因?yàn)椤?華々，所以0<4§,

所以COSA=￥，

在

5

￡

v

-

5

所以c=4小,

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所以S.ABc=^bcsinA=^X11X4小X坐=22.

思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則

(1)對于面積公式S=；“〃sinC=T?csinB=^bcs\nA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.

乙乙L

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

命題點(diǎn)3與平面幾何有關(guān)的問題

例4(2023?廈門模擬)如圖，已知△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,仇1+cos

0=45csinNA8C且△ABC的外接圓面積為號.

(1)求邊c的長:

(2)若a=5,延長C3至M,使得cosNAMC=X^-,求

解(I)設(shè)△A3C的外接圓半徑為R,由題意兀華，解得R=歲.

由題意及正弦定理可得sinNABC(1+cosC)

=yf3sinCsin/ABC,

因?yàn)閟in/A8CW0,所以I+cosC=^/5sinC,

即2sin(c—5)=1,

因?yàn)镺VCVTC,所以0一色(一志引，故—尹率即C=§.

故c=2RsinC=2X^^X坐=7.

25+〃一49

(2)因?yàn)椤?5,c=7,,得后一5。-24=0,

2X5X方

解得6=8(。=一3舍去).

52+72―o2I

在△ABC中，由余弦定理可得COSNABC=\Y<YT=5,

ZA3A//

4、八

所以sin/A〃

由cosNAMC=^^得sinZAMC=^^.

故sinZBAM=sin(ZABC-ZAMC)

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=sin/ABCcosNAMC—cos/AHCsinNAMC=-4

在△ABM中，由正弦定理可得.%片.則8W=Wx喈=5.

sinZB/LWsinNAMB2V749

7

思維升華在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問

題時(shí)，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具

體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出

來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方穢即可.若研究最值，常使用函數(shù)思想.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（多選）（2023?合肥模擬）已知△A8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，Ac,

下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若“cosA=Aos8,則△ABC一定是等腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,則aABC是等腰三角形

C?若會=熹=?京，則△ABC一定是等邊三角形

D.若8=60。廬=訛，則△A8C是直角三角形

答案BC

解析對于A,若“cosA=Aos3,則由正弦定理得sinAcosA=sin8cos3,

，sin24=sin28,則2A=28或24+28=180°,即A=B或A+8=90°,則△A8C為等腰三

角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；

對于B,若bcosC+ccosB=b,則由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=sin（B+O=sinA=

sinfi,即A=&則△ABC是等腰三角形，故B正確；

對于C，若87=出而=京亍則由正弦正理何示7=示而=正］，則tanA=tan3=tanC,

即A=8=C,即△ABC是等邊三角形，故C正確；

對于D,由于8=60。，b2=ac,由余弦定理可得力2=ae=/+/—ac,可得（a—c）2=0,解得

a=c,可得A=C=A,故△ABC是等邊三角形，故D錯(cuò)誤.

（2）在①廬+啦4（'=。2+°2；②8s3=Zxx）sA；③sin8+cos8=啦這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在

卜面的橫線中，并解決該問題.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,,人=W，〃=啦，求△A8C的

面積.

解若選①，則由序+啦

得也%:=/+/一尻

）十02—Wy[iacy[2

由余弦定理得B—

coslac2ac2'

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因?yàn)?W（0,it）,

所以8寸

由正弦定理得總=磊，

即啖=弓，解得。=小.

sin?sin1

因?yàn)椤?兀一4_8=九一/一今=卷

所以sinC=sin!?=S皿（專+今）

.it7t.njt#十小

=sin[cos工十cos彳sin4=4

所以S.M8c=3。戾inC=3X4X巾X#：巾

若選②，因?yàn)閏os8=Z>cosA,A=三，b=y[i,

aA/2

所以cosB=bcosA=A/2COS京=半.

因?yàn)?￡（0,兀），

所以8=今

由正弦定理得;13=磊，

即號=當(dāng)，解得。=小.

因?yàn)镃=7i—A—B=n—

5it.n

所以sinC=sini2=s,<6+<

,64.

.itit,n.7t#十市

=sm^coscos^sin4=4

所以5乙次=5戾inC=3義小X巾義乖:=蘭產(chǎn)

若選③，則由sin8+cosH=dL

得正sin（8+空）=小,

所以sin（B—§=1.

第10頁共37頁

因?yàn)锽W（O,兀），

所以B+和你引，

所以3+；=看所以8=全

由正弦定理得*■=&,

sinAsinB

即告=坐？解得〃=木?

sinmsin

因?yàn)?/p>

5”.僅if

所以sinC=sinT2=s,nl6+4.

.itn.兀.兀#+啦

=sm^cosj4-cos^sin4=4

所以S&A8C=%入sinC=2乂小X?X

（3）（2022?重慶八中模擬）已知△.”（?的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為小b,c,在①cfsinA-

sinC）=（?—Z?）（sinA+sinB）：②2反os八+a=2c：③^^acsin8=『+<?］三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

①若，求角8的大小;

②求sinA+sinC的取值范圍；

③如圖所示，當(dāng)sinA+sinC我得最大值時(shí)，若在△A8C所在平面內(nèi)取一點(diǎn)D（。與8在4c

兩側(cè)），使得線段OC=2,DA=\,求△8CZ）面積的最大值.

解①若選①，

因?yàn)閏<sinA—sinQ=(?—Z>)(sinA+sinB),

由正弦定理得c)=(a—〃)[〃+〃)，

整理得a2+cr-b2=ac,

*以c?Rcr-\-r-lrac

所以cos8-2ac-2訛

又0<5<7t,所以fi=5.

J

第11頁共37頁

若選②,

因?yàn)?反os/l+a=2c,

"十^一42

由余弦定理得2b.2^+rt=2c,

化筒得，『+/一/=?c,

并卜j二一+4—ac1

所以c°sB=―詬—=赤=5,

又0<3<兀，所以

若選③,

因?yàn)槎纺X"sinB=a2-1-c2—b2,

2A

由余弦定理得得zcsinB=2accosB,

化簡得tanB=小,

又0<8<幾，所以

②由①得，4+C=y,

則0<A<y,

34

sinA+sinC=sinA+sin(年-A-2

2

所以3<sin（A+5）Wl,

則sinA+sinC的取值范圍是（坐，小.

③當(dāng)sinA+sinC取得最大值時(shí)，A+5=壬

解得A=1,

又，所以△"（：為等邊三角形,

令NACO=9.NA￡)C=a.AB=AC=BC=a.

則由正弦定理可得總=1

511J（Asin^'

所以sin?=t?sin0.

又由余弦定理得，4=22+12-2X2X1Xcosa,

第12頁共37頁

所以a2cos20=a2-a2shrO=cos2a_4cosa十4,

所以“cos6=2—cosa.

SLBCD=5XaX2sin（q+e

2

LeosO+gosin6

—cosa）+gsina

—小十sin（。一節(jié)W小十1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=NAOC=需時(shí)等號成立,

所以△BCO面積的最大值為小+1.

課時(shí)精練

0基礎(chǔ)保分練

1.在△ABC中，C=60。，a+2b=8,sinA=6sinB,則c等于（）

A.A/35B.小lC.6D.5

2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若（a+b）（sinA-sinB）=（b+c）sinC,

a=7,則△4AC外接圓的直徑為（）

A.14B.7C邛D.-^

JJ

3.（2022?北京模擬）在△ABC中,a,b,c分別是角4,B,。的對邊，若小asin8=〃cosA,

且力=25，c=2,則a的值為（）

A.2sB.2

C.25一2D.1

4.（2023?棗莊模擬）在△A3C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為如h,c,A=60。，b=\,SAABC

a+b+c

=小，則:sinA+sin8+sin。等」（

A.零B.挈C呼D.2小

5.（2023?馬較山模擬）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,設(shè)（sin8+sin

=sin2A+（2—也）sinBsinC,\EsinA—2sinB=0,則sin。等于（）

A.gB近

D,2

第13頁共37頁

V6-V2A/6+V2

4“4

6.(2023?衡陽模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,已知2cos8(“cosC

+ccosA)=b,lgsinC=|lg3-lg2,則的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

7.(2022?全國甲卷)已知△ABC中，點(diǎn)。在邊8C上，/A。8=120。，AD=2,CO=2BD當(dāng)能

取得最小值時(shí)，BD=.

8.(2023?宜春模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,△c,已知〃sinC+csin8=4asin

fisinC,)2+，一/=&,則△HBC的面積為.

9.己知△48C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且儀:osC=(2a-c)cos仇

⑴求B：

(2)若力=3,sinC=2sinA,求AABC的面積.

10.(2023?湖州模擬)在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知所sin住+A)=

?sinB.

(1)求角A的大??；

(2)若。，a,c成等比數(shù)列，判斷△ABC的形狀.

第14頁共37頁

D綜合提升練

11.（多選）對于△48C,有如下判斷，其中正確的是（）

A.若cosA=cosB,則△ABC為等腰三角形

B.若A>R,則sin4>sinH

C.若。=8,c=10,8=60。，則符合條件的△ABC有兩個(gè)

D.若:siMA+sMbvsin2G則△ABC是鈍角三角形

第15頁共37頁

在中，內(nèi)角。所對的邊分別為的面

12.AABCA,B,a,b,c,sinAsinBsinC=Qo,4ABC

積為2,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.abc=16^/2

B.若a=4L則

C.△A3。外接圓的半徑R=入尼

D?.+磊）峰32sinC

13.（2023?嘉興模擬）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知csinA=4§"cosC,

c=2小，"=8,則a+〃的值是.

14.在△ABC中，已知AB=4,AC=7,3C邊的中線AO=￡,那么8C=.

D拓展沖刺練

15.（多選）（2023?珠海模擬）已知aABC滿足sinA:sinB：sinC=2：3：巾，且△ABC的面枳

、—=乎.則下列命題正確的是（）

A.△ABC的周長為5+巾

B./XABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C1滿足關(guān)系A(chǔ)+8=2C

C.△ABC的外接同半徑為挈

D.ZXABC的中線CO的長為華

16.如圖,zMBC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別是a,b,c.已知序+/二從+叱，則”,

若線段AC的垂直平分線交AC.于點(diǎn)"，交于點(diǎn)&且8C'=4,則AAC七的面積

為?

2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第8講：正弦定理余弦定理

教師版

【考試要求】I.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用3能利用

正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.

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■落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.正弦定理、余弦定理

在△A8C中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=2》ccosA；

q=-^-=q=2R

內(nèi)容sinAjinBsinC"加=。2+/-2C〃CQSB：

2欣osC

(l)fl=2/Csin4,

1=2-sinB,

c=2/?sinC：coM-2bc:

(2)sinA—2R，(r+(r—tr

變形cosB—2ac:

.?b.c

sinB—,R,s】nC-2犬：cr+lr—c2-

cosC-2ah

(3)a:b：c

=sinA:sin8：sinC

2.三角形解的判斷

A為銳角A為鈍角或直角

C

圖形

rK一》

ABAg^^B必

zLA，li

關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba?ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解…解一解

3.三角形中常用的面積公式

(l)S=gah￡%表示邊a上的高)；

(2)S=；absinC=|?csin8=g》csin4：

(3)S=Ya+〃+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

<w

【常用結(jié)論】

在△AHC中，常有以下結(jié)論：

⑴NA+NB+NC=TL

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(2)任意兩邊之和大于第三邊，化總兩邊之差小于第三邊.

(3)a>b^>A>B<=>sinA>sinB,cos/l<cosB.

A+BCA+B

(4)sin(A+B)=sinC：cos(A+Bi=_cosC；tan(A+B)=_tanC：sin-5-=cos

2'cos-2~

C

sm

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosb=acosC+ccosA：c=〃cosA+acos8.

(6)三角形中的面積S=7p(p—a)(p—b)(p-c)(p=1(a+-+e)).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.(X)

(2)在aABC中，若sin4>sinB,則A>B.(J)

(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.[X)

(4)當(dāng)〃+,2—/>()時(shí)，△ABC為銳角三角形.(X)

【教材改編題】

I.在△A8C中，48=5,AC=3,8c=7,則/8AC等于()

A71n兀c2兀八5兀

A6B3CT人不

答案C

解析在△A8C中，

設(shè)A8=c=5,AC=b=3,BC=a=7,

,人八Ae/e)/9+25-49I

由余弦定理得cosZBAC=赤=--------=-5，

因?yàn)?8AC為△A8C的內(nèi)角，

所以N84C=專.

2.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小b,c,若△ABC的面積為4,a=2,8=30。,

則c等于()

A.8B.4

「驅(qū)D過

L?3?3

答案A

解析由S&A8c=〃sin8=gx2cx/=4,得c=8.

3.在△A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知8=30。，〃=巾，c=2,則C=.

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答案45°或135°

而出.「csin82sin30°更

斛析由正弦穴.理得sinC=-%=—于=2

因?yàn)閏>b,3=30。,

所以C=45°或C=135°.

■探究核心題型

題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1(12分)(2022?新高考全國I)記4/18。的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a",c,已知

sin2B

I+cosIB'

(1)若。=尊求8：［切入點(diǎn)：二倍角公式化簡］

/+P

(2)求一-的最小值.［關(guān)鍵點(diǎn)：找到角8與角C,4的關(guān)系］

思路分析

(1)二倍角公式化簡一去分

母、兩角和與差公式化簡一

求出sinB.

(2)由角8,C正余弦關(guān)系一

a2s

角8與角C,A的關(guān)系一

化成正弦一用角3表示角A,

?；喴唤?的關(guān)系式一?基

本不等式.

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答題模板規(guī)范答題不丟分

.、e<cosAsin2B2sinBcosBsinS?八■,：

解(1)因?yàn)閊-r-：--—--——u-------------?*口r分，…①處二倍角公式化簡

1+sinA1+cos2B2cos2ficosB

即sin8=cosAcosB-sinAsin8=ccs(A+8)=-cosC=x,2［3分］<②處兩角和與差公式化簡

而0<8〈號,所以B=*.［4分］

(2)由(I)知，sin8=_cosC>0,

所以*<C<F,

幣［分］■*--

sin5=_cosC=sin(c-*6③處找角乩C的正弦關(guān)系

所以。=￡+用即有A=￡-28@[7分]，④處用角5表示角C.A

屋+〃_sin?4+sin?8隼［8分］?

所以⑤處正弦定理化邊為角正弦

c2sin2C

22

cos2fi+l-cosZJ1?

—-----------------------------⑥處將角C.人代人化角

cos2B

=(2cos28-l)2+l-cos28

COSsB

2

2⑦處基本不等式求最值

=4cosZ?+coszg-5^472-5.：：10分卜一

當(dāng)且僅當(dāng)cos28=1|■時(shí)取等號，

所以產(chǎn)-的最小值為44-5.[12分]

思維升華解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果

式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩

個(gè)定理都有可能用到.

跟蹤訓(xùn)練1（2022?全國乙卷）記△A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin（4

—B)=sinBsin(C—A).

(I)證明：2a2=從+~

(2)若a=5,cosA=^,求△ABC的周氏.

⑴證明方法一

由sinCsin(A—B)=sin8sin(C—A),

可得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB

=sin/?sinCeos-4—sinAcosCsinA,

b

結(jié)合正弦定理

sinAsinBsinC,

可得ciccosB—bccosA=bccosA—abcosC,

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即ocxosB-habeasC=2bccos4*).

由余弦定理可得

八4+c2—從

?ccosB=-----2------，

八『+從一/

a/KosC=-----2------，

2bccosA=/r+c2—a2,

將上述三式代入(*)式整理，

得2/=〃+/.

方法二因?yàn)锳+8+C=M

所以sinCsin(4—B)=sin(A+￡<)sin(A—B)

=sin2Acos22?-cos2Asin2fi

=siirA(l—sin27?)—(1—sin2A)sin2^

=sin?A-sin%,

同理有sinZJsin(C_4)=sin(C+4)sin(C—A)=sin2C_siirA.

又sinCsin(A-8)=sin5sin(C—A),

所以sinM-sin2S=sin2C-sin2A,

即2sin2A=sin2B+sin2C,

故由正弦定理可得2〃2=從+。2.

(2)解由(1)及/n//+c2-2〃ccosA得，a2=2bccosA,所以26c=31.

因?yàn)閺?。2=21=50,

所以(〃+C)2=〃+C2+2A=81,

得b+c=9,

所以△ABC的周長/=a+/)+c=l4.

題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

命題點(diǎn)I三角形的形狀判斷

例2(1)在△ABC中，角A,8,。所對的邊分別是a,b,c,若c—“cos8=(2〃-b)cosA,

則4ABC的形狀為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角二角形

D.等腰三角形或直角三角形

答案D

解析因?yàn)閏-acosB=(2a—Z?)cosA,

。=兀一(4+8),

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所以由止弦定理得sin。一sinAcosB

=2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinsinAcosB

=2sin八cosA—sin8cosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cos4=0或sin8=sinA,

所以A=]或B=A或8=7i—A(舍去)，

所以△A4C為等腰三角形或直角三角形.

⑵在△ABC中，a,4c分別為角A,B,。的對邊，守=$而孝，則△48C的形狀為()

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由CQSB=1—2sin號，

.1-cosB6/1-cosB

wsin?一，所以,(.一)?

即cosB=*.

方法一由余弦定理得上族宜=%

即4+c2—力2=2/,

所以a2-]-b2=c2.

所以△ABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等.

方法二由正弦定理得cos3=鬻，

ol11V*

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3W0,

所以cosC=0,又角。為ZLAEC的內(nèi)角，

所以。=看所以AABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等.

延伸探究將本例(2)中的條件“愛=sii?f"改為“%=崇S+c+4)S+La)=3A",

試判斷△ABC的形狀.

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解因?yàn)楹?*所以由正弦定理得田=*所以8=c

o1II**VIJv

又S+c+4)3+c—a)=3/)c,

所以尻+