2024年高考真題-數(shù)學(xué) 含解析

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷分為第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第

I卷1至3頁，第n卷4至6頁.

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置

粘貼考試用條形碼.答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)

束后，將本試卷和答題卡一并交回.

祝各位考生考試順利！

第I卷（選擇題）

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?如果事件AB互斥,那么P（AJ5）=P（A）+P（3）.

?如果事件A，3相互獨(dú)立，那么夕（冽=尸（巾（3）.

4

V=-itRy

?球的體積公式3,其中A表示球的半徑.

V=-Sh

?圓錐的體枳公式3,其中S表示圓錐的底面面積，〃表示圓錐的高.

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

L集合A={1,2,3.4},八{(lán)2,3,4,5},則Ar也（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.

【詳解】因?yàn)榧螦={1,2,3,4},8={2,3,因5},

所以A08={2,3,4},

故選：B

2.設(shè)以〃eR,則“°3=廣，是"3。=3'”的（）

A.充分不必耍條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.

【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，/=。3和3“=3人都當(dāng)且僅當(dāng)。=〃，所以二者互為充要條件.

故選：C.

3.下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

A.

0

斗

Ox

【答案】A

【解析】

【分析】由點(diǎn)的分布特征可直接判斷

【詳解】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好,

呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，卜|值相比于其他3圖更接近1.

故選：A

4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

ev-x2nCOSX+X2e'-xsinx+4x

A.v=-：---B產(chǎn)FTC.y=D-)'=-□—

<+1x+1

【答案】B

【解析】

［分析］根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對A,設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，但/（_］）=匕1,〃1）=與1,則⑴,

A1+122

故A錯誤：

cosx+x'

對B,設(shè)g(x)=,函數(shù)定義域?yàn)镽,

/、cos(-x)+(-.r)"cosx+x2,、

且g(—x)=—2-=—「一=g(xx),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確;

(-X)4-1X+1

對C,設(shè)〃（"=?于，函數(shù)定義域?yàn)閧x|xw-l},不關(guān)于原點(diǎn)對稱,則〃（X）不是偶函數(shù)，故C錯誤;

、sinx+4.r_、“，-、…，/八sin1+4/八—sin1-4

對D,設(shè)e（x）=------——,函數(shù)定乂域?yàn)镽,因?yàn)?（1）=------------Q(T)=---

ee

則9（1）。0（-1）,則夕（工）不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

5.若。=4.23，8=4.2°3,c=logs0.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>h>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【詳解】因?yàn)閥=4.2"在R上遞增，且-0.3v0<0.3,

所以0<4.2{3<4.2°<4.2°?3,

所以0<4.2-03<1<4.2°3,即()<a<1<〃,

因?yàn)閥=logqx在（0,+8）上遞增，且0<0.2<1,

所以logs0-2<logs1=0,即cvO,

所以。>a>c,

故選：B

6.若加，〃為兩條不同的直線，。為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（〉

A.若mlfa,〃ua,則〃?//〃B.若〃piijm//n

C.若mlla.nLat則tn±nD.若m!faynLa,則，〃與〃相交

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,若〃〃/a,〃ua,貝平行或異面，故A錯誤.

對丁書，若m//a,川la,則〃平行或異面或相交，故B錯誤.

對于C,mHa,n±a,過加作平面夕，使得J3pa=s,

因?yàn)椤?u/，故m/ls,而sua,故〃_L5,故〃?_L〃，故C正確.

對于D,若則機(jī)與〃相交或異面，故D錯誤.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=sin3fg+乎(g0)的最小正周期為兀.則函數(shù)在一二二的最小值是()

k3；L126_

A.—B.——C.0D.—

222

【答案】A

【解析】

【分析】先由誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合周期公式求出得/(x)=-sin2x,再整體求出工￡一二，3時，2x

126

的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.

/2冗2

【詳解】/(x)=sin3(t)x+—=sin(36yx+7t)=-sin3(yx,由7=—=兀得/=—,

I3J3。3

TtItn兀

即/(x)=-sin2x,當(dāng)工€時,2XG

-12*663

畫出/(x)=-sin2x圖象，如下圖,

7t兀

由圖可知，/(x)=-sin2工在一萬，z上遞減,

所以，當(dāng)x=5■時，f(x)=-sin—=-—

6、/nnn32

故選:A

8.雙曲線二一工=1（。〉0,/?〉（））的左、右焦點(diǎn)分別為￡、g/是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線尸工的斜

a~b~

率為2.△尸斗鳥是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）

V?V2X2V2X2V2X2V2

A.—-2_=1B.—-2_=1c.—-^-=1D.—-^-=1

82842848

【答案】C

【解析】

【分析】可利用△尸片入三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，^\PF2\=m,由面枳公式求出加，

由勾股定理得出c,結(jié)合第一定義再求出〃.

【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)。必落在第四象限，NFF*=90。,設(shè)|P周二相，

2

/2片月=4,/尸打鳥=",由Mg=tanq=2,求得$訪4=方=,

1

sin%=由正弦定理可得：|『川：|/＞周：|《勾—sin巧：sin3：sin9O。—2:1:的,

則由|帆|="得歸用=2利耳瑪|=2c=45m,

由S哨萬=；|P""P周=g/〃2〃=8得〃]=2及.

則仍用=2夜,|他|=4上，忻引=2c=2屈,c=W，

由雙曲線第一定義可得：|產(chǎn)用一|尸閭=2。=2上，〃=&力=小定-/=應(yīng),

所以雙曲線的方程為工-二=1.

28

故選：C

9.一個五面體ABC-DEF.已知ADUBE"CF,且兩兩之間距離為I.并已知

AD=UBE=2,C尸=3.則該五面體的體積為（）

3>/3（1n3Gl

42242

【答案】C

【解析】

【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.

【詳解】用一個完全相同的五面體〃〃一LMN（頂點(diǎn)與五面體八笈。-/）所一一對應(yīng)）與該五面體相嵌,

使得D,N；E,M；EL重合,

因?yàn)锳O〃BE〃CF,且兩兩之間距離為1.AD=LBE=2,CF=3,

則形成的新組合體為一個三棱柱,

該三楂柱的直截面（與側(cè)楂垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為1+3=2+2=3+1=4,

17_1.,_11-6)_75

匕BC-DEF=^ABC-HU=2X2X1X1XTX4=T

B

第II卷

注意事項：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分.

10.己知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（石+i）?（逐一2i）=.

【答案】7-5/5i

【解析】

【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計算即可得.

【詳解］（6+i）-（6_2i）=5+/_2石i+2=7—占.

故答案為：7-豆.

的展開式中，常數(shù)項為

【答案】20

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.

【詳解】因?yàn)闅?二的展開式的通項為=36-2("審7),/.=0,],…,6,

x33

令6(-3)=0,可得r=3.

所以常數(shù)項為3°C：=20.

故答案為：20.

12.（X—1）2+），2=25的圓心與拋物線），2=2/>（〃>0）的焦點(diǎn)/重合，A為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線

AF的距離為.

4

【答案】-##0.8

【解析】

【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求A及Ab的方程，從而可求原點(diǎn)

到直線AF的距離.

【詳解】圓?！猯）2+y2=25的圓心為尸（1,0）,故5=1即〃=2,

由+丁=25可得/+2工-24=0,故x=4或x=-6（舍），

y=4x

故A（4,±4）,故直線A尸：y=±2（x-l）即4工_3），-4=0或4x+3y—4=0,

故原點(diǎn)到直線AF的距離為1=9=［，

4

故答案為：-

13.A,反CD,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.（1）甲選到A的概率為：已知乙選了A

活動，他再選擇8活動的概率為.

【答案】?-7?.I

【解析】

【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到A的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選

了A活動，他再選擇6活動的概率.

【詳解】解法一：列舉法

從五個活動中選三個的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，

其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

Ao

則甲選到A得概率為：P=—=-;

105

乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE、ACD、ACE,ADE,

其中再選則4有3種可能性：ABC.ABD,ABE,

故乙選了A活動，他再選擇8活動的概率為3二

62

解法二：

設(shè)甲、乙選到A為事件M.乙選到A為事件N.

則甲選到A的概率為P（M）=§=i;

c

C

乙選了A活動,他再選擇B活動的概率為P（/V|M）=個/）=一

ccl

故答案為：I：1

Iuuruiruun

14.左邊長為1的正方形48co中，點(diǎn)￡為線段CO的三等分點(diǎn)，CE=QDE,BE=尢BA+〃BC,則

義+“=：若尸為線段班:上的動點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則A尸.OG的最小值為

【解析】

（fuiaium

【分析】解法一：以｛&VBC）為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求鴕，即可得％+〃，設(shè)BF=kBE，

Ulftl11101

求4￡DG，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求AE-OG的最小值：解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求8E，

.、JLILUUUU

即可得力+〃，設(shè)“（a,-3a）,ae--,0,求Af￡）G，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求AE.OG的最小值.

1uur2"mn-iiunuwiuirULU

【詳解】解法一：因?yàn)镃E=-OE,即?！?一班，則BE=BC+CE=-BA+BC,

233

14

可得；所以義+〃=§；

由題意可知：z?c|=|BA|=1,-BC=0,

因?yàn)槭瑸榫€段的上的動點(diǎn)，設(shè)8尸=〃BE=gaZM+〃8C,〃w［0』］,

則A/=48+3萬=+'%-1］朋+&8。，

13/

又因?yàn)?為4尸中點(diǎn)，則。6=DA-hAG=-BC+-AF=-\-k-\]BA+

22（3）

可得A/OGu

I5T)-奈

2、32

又因?yàn)殡丁闧0』],可知：當(dāng)A=1時，AA,.OG取到最小值一白：

18

解法二：以8為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直甭坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(T0),8(0,0),C(01),O(Tl),4-；,l),

一...f1A

可得3A=(-l,O),8C=(O/),BE=|一一,1,

、3，

I

-4=--4

因?yàn)?+〃8c=(—4〃)，則，3,所以2+〃=—；

〃=13

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段8E:y=—3x,xe-1,0上,設(shè)產(chǎn)(a,-3a),ae--,0

f?-13

且G為4尸中點(diǎn)，則G-----,——a

22

可得4尸=(。+1,—3a),QG=(等,一|〃—1),

則AQOG=(a+D+(_3〃)(_3〃_]]=51+2]?

2v\2)k5)1()

且aw-：,0,所以當(dāng)“=-：時，4/.OG取到最小值為一白：

.331o

45

故答案為：—：—-.

318

15.若函數(shù)/(耳=2JY一〃一2|+1有唯一零點(diǎn),則。的取值范圍為

【答案】(―6一12(1.6)

【解析】

2

______奴-3,工之

【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2\!JC-cue與力(1)=?則

2

\-(IX,x<7

兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分。=0、a>0與。<0進(jìn)行討論，當(dāng)。>0時,計算函數(shù)定義域可得人之。或％40,

計算可得〃w(0,2]時，兩函數(shù)在V軸左側(cè)有一交點(diǎn)，則只需找到當(dāng)。€(0,4時，在V軸右側(cè)無交點(diǎn)的情況

即可得；當(dāng)。<0時，按同一方式討詒即可得.

【詳解】令/(x)=0,即2&一依二|辦一2卜1,

由題可得x2-ar>0?

當(dāng)a=()時，xeR,有2j7=|—2卜1=1,則工=±4，不符合要求，舍去;

2

ar-3,x>

當(dāng)a>0時,P.iJ2\Jx2-ax=|ar-2|-1=?

2

\-ax,x<%

.2

ar-3,x>—

即函數(shù)g(x)=2，？一方與函數(shù)/?('二.:有唯一交點(diǎn),

i-cix,x<—

由e-ax20，可得xNa或xWO,

當(dāng)xSO時，則依一2<0,則2>/。-ax=|ax-2|。=1-公，

即4/-4?=(1一以f,整理得(4—/卜2_2奴―1=[(2+〃)工+1][(2—a)x—1]=0,

當(dāng)〃=2時，即4x+l=0,即x=',

當(dāng)々￡(0,2),x=或x=——>0(正值舍去)，

當(dāng)。三(2,”)時，x=一一!一<0或:=—!—<(),有兩解，舍去，

2+a2-a

即當(dāng)ac(O,2]時，二^一|翻一2|+1=()在%?0時有唯一解，

則當(dāng)”(0,2]時，+1=0在x2a時需無解,

當(dāng)ae(O,2],且xNa時，

2

ax-3,x>

由函數(shù)力（力=，:關(guān)于尸：對稱，令人（力=0,可得工=5或A：],

\-ax,x<

上單調(diào)遞減，在（|一2,二3]上單調(diào)遞增,

令g(x)=y=2\]x2-(ix,即>'=1，

）廣

故時，g（.t）圖象為雙曲線萬"一不二1右支的X軸上方部分向右平移￡所得,

4

a)?y2..a

由a2a2的慚近線方程為a

T2

即g（“部分的漸近線方程為y=2,其斜率為2,

.2

av-3,x>-

又々￡（0,2],即=?;在時的斜率々￡(0,2],

[2

1-ar,x<—a

a

令心）=2&-以=0,可得x=?；騒=0（舍去）,

且函數(shù)g（x）在（a,+oc）上單調(diào)遞增,

\

—<a

故有?；,解得l<a<G，故l<a<G符合要求:

—>a

a

ax-3,x<-

當(dāng)“vO時，則ax=\ax2|1

2

1-ar,x>—

2

ax

即函數(shù)g（x）=2j7二^與函數(shù)=J；有唯一交點(diǎn),

\-ax,x>—

由太一arNO，可得xNO或xWa,

當(dāng)xNO時，則以一2<0,則2飛x2-ax=麻-2卜1=1-a/,

即4/-4個=（1一分）2,整理得（4—/卜2_25_]=[（2+4卜+1][（2-〃卜一1]=0,

當(dāng)〃=一2時，即4x—l=0,即x=L

4

當(dāng)ae（—2,0）,x=一——<0（負(fù)值舍去）或x=—^0,

2+a2-a

當(dāng)ae（YQ,2）時，x=-一一>0或工==一>0,有兩解，舍去，

2+a2-a

即當(dāng)?！闧-2,0）時，2ylx?-紐-2|+1=0在x20時有唯一解，

則當(dāng)ae[-2,0）時，2x1X2-ar-|ar-2|+1=0在xWa時需無解，

當(dāng)ac[-2,0）,且xWa時，

G-3,X?一

由函數(shù)力（刈=（，關(guān)于工=一對稱，令力（工）=0,可得x=一或工=一,

.2aaa

\-ax,x>—

（2\\f321

且函數(shù)〃（x）在[7/J上單調(diào)遞減，在（,"J上單調(diào)遞增,

[X）A1

同理可得：xWa時，g（x）圖象為雙曲線才一/二1左支的x軸上方部分向左平移￡所得,

/\

g。）部分漸近線方程為>'=-2x+g,其斜率為-2,

\乙）

ar-3,x>—

又aw[-2,0）,即/?（.，）=，在x<2時的斜率a《-2,0),

12a

\-ax,x<—

令g(x)=2=0,可得x="或x=°(舍去),

且函數(shù)g(X)在S，a)上單調(diào)遞減,

1

—>a

故有〈；,解得一6<。<一1,故一6<〃<一1符合要求:

—<a

綜上所述，［￡(——

故答案：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)犍點(diǎn)在于將函數(shù)/("的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(力=2/?二3與函數(shù)

、2

ax-3,.r>—

?的交點(diǎn)問題，從而可將其分成兩個函數(shù)研究.

力(6=<

1-61V,X<—

a

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

9a2

16.在《^45。中，cosB=—,b=5?—=—.

16。3

(1)求。；

(2)求sinA：

(3)求cos(3-2A).

【答案】(1)4

⑵且

4

64

【解析】

【分析】(1)a=2t,c=3t,利用余弦定理即可得到方程，解出即可：

(2)法一：求出sinB,再利用正弦定理即可:法二:利用余弦定理求出cosA,則得到sinA：

(3)法一：根據(jù)大邊對大角確定A為銳角，則得到cosA,再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可;

法二：直接利用二倍角公式和兩角差府余弦公式即可.

【小問1詳解】

設(shè)。=2r,c=3f,/>0,則根據(jù)余弦定理得。②=/+c2-24/ccosB，

,->9

即25=4/+9--2x2fx3/x—,解得/=2(負(fù)舍):

16

則。=4,c=6.

【小問2詳解】

法一：因?yàn)?為三角形內(nèi)角，所以sin8=Jl-cos?B=

16

45

再根據(jù)正弦定理得工一=二一，即而彳一不萬

解得sinA=—?

sinAsinB----4-

16

法二：由余弦定理得cosA=b~+「a~=5"+6~-4?=3

2bc2x5x64

3?_V7

因?yàn)锳?0,7r),則sinA=Jl—

4J4

小問3詳解】

法一：因?yàn)閏osk=2>0,且8戶（0,冗）.所以B

16

由(2)法一知sin5=%B

16

3

因?yàn)閯tAv8,所以cosA=

4

3\2

則sin24=2sinAcosA=2x—x-=—,cos2A=2cos2A-l=2x|--1

4乙84J8

cos(B-2A)=cosBcos2/\+sin^sin2A=-x—+—x—=—.

781616864

法二：sin2A=2sinAcosA=2x—x-=—,

448

⑶

則cos2A=2cos2A-\=2x-1=l

5手

因?yàn)?為三角形內(nèi)角，所以sin8=Jl-cos'月=7F

所以cos(2-2A)=cos8cos2A+sin^sin2A=—=—

'/16816864

17.已知四極柱ABCO-A4cA中，底面ABC。為梯形，AB//CD,AA_L平而ABC。，ADJ.AB，

其中A4=AA=2,AO=OC=1.N是8c的中點(diǎn)，M是。。的中點(diǎn).

（1）求證"N〃平面CB/W；

（2）求平面C"M與平面B4CG的夾角余弦值:

（3）求點(diǎn)A到平面C81M的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵嚕

⑶獨(dú)I

11

【解析】

【分析】（1）取。瓦中點(diǎn)尸，連接N尸，MP,借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得AN〃MP,

結(jié)合線面平行判定定理即可得證：

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；

（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計算即可得解.

【小問I詳解】

取C4中點(diǎn)尸，連接NP，MP，

由N是4G的中點(diǎn)，故NP//CC1，且NP=；C0,

由M是。R的中點(diǎn)，故D、M=；DD\=*C\,且〃M〃CG，

則有〃NP、D、M=NP,

故四邊形。MPN是平行四邊形，故D\NHMP,

又MPu平面C4M,。戶（2：平面。用用，

故。N〃平面C/歷：

【小問2詳解】

以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

有4(0,0,0)、8(2,0,0)、4(2,0,2)、M(0,1,1),C(l,l,0),C,(1,1,2),

則有C與二(1,-1,2)、CM=(-1,0,1),二(0,0,2),

設(shè)平面CM"與平面BBCG的法向是分別為而二（x，y,zj、"=（七,%*2）,

mCB,-x-y,+2z.=0nCB\=x-y+2z-0

則有L222

mCM=一司+4=0n-=2Z2=0

分別取x=w=i，則有y=3、Z]=1、1y2=1，z2=0,

即團(tuán)=(1,3,1)、n=(l,l,0),

mn_1+3_2\/22

貝ijcosm,n

|w|-|/?|Jl+9+1-Jl+111

故平面C4M與平而〃8CG的夾角余弦值為名區(qū):

11

【小問3詳解】

由g=（0,0,2）,平面MM的法向量為，〃=（1,3,1）,

則有結(jié)人

|/?|V1+9+111

即點(diǎn)8到平面的距離為宜口.

11

XV21

18.已知橢圓會+方=1（。>力>0）幃圓的離心率6=5.左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為8,C是線段08的中點(diǎn)，

其中%雨=￥?

（I）求橢圓方程.

（2）過點(diǎn)（。，-5）的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)尸，Q-在）'軸上是否存在點(diǎn)T使得7P-TQ40恒成立.若

存在求出這個7點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由.

【答案】（1）工+匯=1

129

（2）存在7使得7P.7Q40恒成立.

【解析】

【分析】（I）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3

（2）設(shè)該直線方程為：y=kx--，P（±，X）,Q"2,%），7（0l）,朕立直線方程和橢圓方程并消元.結(jié)

合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用攵"表示TQ，再根據(jù)TP?7Q<0可求，的范圍.

【小問1詳解】

因?yàn)闄E圓的離心率為6=/,故。=2c,〃=J5c，其中。為半焦距，

所以A（—2c,0）,B（0,—>/5c）,C0,-^^-j,故S,..A8c=gx2cxc=~弋,

故c=J5，所以。=26，b=3,故橢圓方程為：—+—=1.

129

【小問2詳解】

設(shè)尸（不,y），Q（孫％），?。?。工），

3/+49=36

由<3可得(3+4左—12人一27=0,

y=kx-—

[-2

12k_27

故△=144k*2+108(3+4攵2)=324+576Z?>0且玉+&=

而rp=(N，y-/),&=(占,必一),

3)

故TPTQ-x/?+(x-f)(5'2-I)一玉士+——t

2)

二（1+公居占一?|+“（西+9）

27、12k

x--------

3+4攵2,3+4k2

222

-Uk-27-\Sk-\2kt+3(1+/+(3+2爐公

3+讓—

(3+2/『-⑵-451k2+3(。+。-27

」12,

3+4公

(3+2r|2-12/-45<0

MV，解得一3</<"

因?yàn)?PIQWO恒成立，故，

+-27<02

若過點(diǎn)（。,一|）的動直線的斜率不存在，則P（0,3）,Q（0,—3）或P（0,—3）,Q（0,3）,

3

此時需一3?/<3,兩者結(jié)合可得

2

綜上，存在7（0#1使得TP1QW0恒成立?

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過程中需要借

助韋達(dá)定理，此時注意直線方程的合理假設(shè).

19.已知數(shù)列｛q｝是公比大于0的等比數(shù)列.其前〃項和為S”.若％=1,02=4-1.

（I）求數(shù)列｛與｝前〃項和s.：

"=&，匕=],

（2）設(shè)其中攵是大于1的正整數(shù).

十2幺《<〃<%+/

（i）當(dāng)〃=&+i時，求證：。_1之4也:

（ii）求立.

1=1

【答案】（1）5.=2”-1

（3〃-1）4"+1

（2）①證明見詳解；②

r=l9

【解析】

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4>0,根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項公式求4,再結(jié)合等比數(shù)列求

和公式分析求解:

（2）①根據(jù)題意分析可知%=2?T,"=%+1,27=女（2'-1），利用作差法分析證明：②根據(jù)題意結(jié)合

“T1「-1

等差數(shù)列求和公式可得￡bj=G]（3t-l）邛一（34—4）4"],再結(jié)合裂項相消法分析求解.

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛/｝的公比為q>0,

因?yàn)?=1,S2=6-1，即q+%=%-1，

可得1+4二4？—1,整理得d—q—2=0,解得夕=2或“=-1（舍去）,

n

所以S”=\L-2^=2"—1.

【小問2詳解】

（i）由（1）可知q=2"，且keN*#N2,

.a.=2*-1<2^-1=/z-l

當(dāng)〃=%+i=2人之4時，貝叫，即4t

[n-1=at+l-\<ak+l

可知a?=2i也=k+1,

加=%+—必…2MA-1）=乂2一）,

可得27_%「2=A（2，1）_（攵+1）21=（攵_1）21_女22（女—1）必=4_220,

當(dāng)且僅當(dāng)女=2時，等號成立,

所以4也:

n

(ii)由⑴可知：S?=2-1=^+1-1,

若〃=1,則5=1/=1；

若〃22,則4句-4=21,

當(dāng)2。〈注2人一1時，bf、=2k,可知｛4｝為等差數(shù)列,

2*-i2*-1(2*-1-1)1

可得Z〃=h2i+2k—-----L=k?4^=?。?3攵-1)4,-(32-4)41］，

i=2**'29

所以之々=1+,［5X42-2x4+8x43-5x4?+...+(3〃-1)4”-(3〃-4)4?。?^^~^,

1=199

綜上所述：5=。咱MR

且〃=1符合上式,

j=i9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：I.分析可知當(dāng)21時，4一81=2攵，可知他}為等差數(shù)列;

2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得￡4=：[(3"-1)4，(34一4)41].

u

1=2*-19

20.沒函數(shù)/(x)=xlru.

(1)求/(x)圖象上點(diǎn)處切線方程：

(2)若—在xe(O,+e)時恒成立，求。的取值范圍;

⑶若不看￡(0，1)，證明/(%)—/(七)歸上一百；?

【答案】(1)y=x-\

⑵{2}

(3)證明過程見解析

【解析】

【分析】(1)直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

(2)先由題設(shè)條件得到。=2,再證明。=2時條件滿足；

(3)先確定/(X)的單調(diào)性，再時為，與分類討論.

【小問1詳解】

由于/(x)=xlnx,故r(x)=lnx+l.

所以/(1)=0,/(1)=!,所以所求的切線經(jīng)過(1,0),且斜率為1,故其方程為y=x-L

【小問2詳解】

設(shè)/")=/一1一In/,則=l-從而當(dāng)()vf<l時”(/)<0,當(dāng)，>1時

所以〃(1)在(0川上遞減，在口,一)上遞增，這就說明〃(。之〃(1),即"INhw,且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

r=l.

設(shè)g(f)=a(f_l)_21nz,則

當(dāng)xe(0,+8)時，七的取值范圍是(0,+8),所以命題等價于對任意f￡(0,+8),都有g(shù)(f)20.

?方面，若對任意，￡(0,+紇)，都有g(shù)(/)20,則對，￡(0,+紇)有

1/1A2

0<g(/)=f/(z-l)-2lnr=tz(/-l)4-21n-<6/(z-1)+2--1=a/+——a-2,

取Z=2,得04。一1,故〃21>0.

再取/=J［，得0?-67-2=2y/2a-a-2=-^\[a-\/2^,所以a=2.

另一方面，若a=2,則對任意re(0,+8)都有g(shù)(/)=2?！?)-21nf=2〃(r)Z0,滿足條件.

綜合以上兩個方面，知。的取值范圍是{2}.

【小問3詳解】

先證明一個結(jié)論：對Ovav匕,有hici+lvclnHl.

b-a

1/

證明：前面已經(jīng)證明不等式一拒加3心嗎――嗎iln一皿二二也

b-ab-a

a

.a(aA

—In————II

b\nb-a\nab\nb-b\na.〃，{bJ,,,

旦n------------=-------------+Ina=-----—+\na>—--------+In。=1+In。，

b-ab-aj_￡?

~b~b

1b\nb-a\na..,/(b)-f(a)

所以lna+1<-----------<lnZ?+l,即llnlna+1<八'----—<lnZ?+l.

b-ab-a

由/'(x)=lnx+l,可知當(dāng)0<x<」時/'(x)v(),當(dāng)時/'(x1>0.