2025年河北唐山市3月高三押題測(cè)試卷(1)數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)試題含解析_第1頁(yè)
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2025年河北唐山市3月高三押題測(cè)試卷(1)數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如果實(shí)數(shù)滿足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.2.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),連接與y軸交于點(diǎn)M,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.4.的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.405.已知等差數(shù)列中,,,則數(shù)列的前10項(xiàng)和()A.100 B.210 C.380 D.4006.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.7.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.09.已知,其中是虛數(shù)單位,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.10.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn),若為線段的中點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.設(shè),是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,記().下列兩個(gè)命題()①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù);②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A.①正確,②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤,②正確C.①②都正確 D.①②都錯(cuò)誤12.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則可以為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為銳角,若,則的值為____________.14.已知復(fù)數(shù),且滿足(其中為虛數(shù)單位),則____.15.在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線和曲線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).16.雙曲線的左右頂點(diǎn)為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,若,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造.如圖,將兩條平行觀光道l1和l2通過(guò)一段拋物線形狀的棧道AB連通(道路不計(jì)寬度),l1和l2所在直線的距離為0.5(百米),對(duì)岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5(百米)(其中A為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸垂直于l3,且交l3于M

),在堤岸線l3上的E,F(xiàn)兩處建造建筑物,其中E,F(xiàn)到M的距離為1

(百米),且F恰在B的正對(duì)岸(即BF⊥l3).(1)在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求棧道AB的方程;(2)游客(視為點(diǎn)P)在棧道AB的何處時(shí),觀測(cè)EF的視角(∠EPF)最大?請(qǐng)?jiān)冢?)的坐標(biāo)系中,寫出觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo).18.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,側(cè)棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.19.(12分)已知函數(shù)(),且只有一個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若,且,證明:.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.(i)求;(ii)若,求整數(shù)的最大值.21.(12分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),,且,證明.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

解:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),最大,故選B2.D【解析】

根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.3.C【解析】

利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O(shè),,由,與相似,所以,即,又因?yàn)?,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。4.A【解析】

化簡(jiǎn)得到,再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項(xiàng)為.故選:本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5.B【解析】

設(shè)公差為,由已知可得,進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式,即可求解.【詳解】設(shè)公差為,,,,.故選:B.本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前項(xiàng)和,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生運(yùn)算能力,是一道容易題.7.C【解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.8.B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.9.C【解析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.故選:.本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.10.C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點(diǎn),∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點(diǎn)睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用,對(duì)于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).11.A【解析】

利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.12.A【解析】

根據(jù)圖象可知,函數(shù)為奇函數(shù),以及函數(shù)在上單調(diào)遞增,且有一個(gè)零點(diǎn),即可對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可得出.【詳解】首先對(duì)4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷,可知,為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個(gè)選項(xiàng),對(duì)其在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷,在上無(wú)零點(diǎn),不符合題意,排除D;然后,對(duì)剩下的2個(gè)選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷,在上單調(diào)遞減,不符合題意,排除C.故選:A.本題主要考查圖象的識(shí)別和函數(shù)性質(zhì)的判斷,意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力,屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

∵為銳角,,∴,∴,,故.14.【解析】

計(jì)算出,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【詳解】,所以,所以.故答案為:-8此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析,需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.15.(1),;(2),.【解析】

(1)利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;(2)利用參數(shù)方程,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問(wèn)題,即可求得.【詳解】(1)直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中,,所以曲線的普通方程為.(2)設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及利用參數(shù)方程求距離的最值問(wèn)題,屬中檔題.16.【解析】

根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得,交圓于點(diǎn),所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設(shè),交圓于點(diǎn),所以易知:即.故答案為:此題考查根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見(jiàn)二級(jí)結(jié)論,此題可以簡(jiǎn)化計(jì)算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)見(jiàn)解析,,x[0,1];(2)P(,)時(shí),視角∠EPF最大.【解析】

(1)以A為原點(diǎn),l1為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系,設(shè)出方程,通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可求方程;(2)設(shè)出的坐標(biāo),表示出,利用基本不等式求解的最大值,從而可得觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】(1)以A為原點(diǎn),l1為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系由題意知:B(1,0.5),設(shè)拋物線方程為代入點(diǎn)B得:p=1,故方程為,x[0,1];(2)設(shè)P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,記∠EPQ=,∠FPQ=,,令,,則:,當(dāng)且僅當(dāng)即,即,即時(shí)取等號(hào);故P(,)時(shí)視角∠EPF最大,答:P(,)時(shí),視角∠EPF最大.本題主要考查圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用,理解題意,構(gòu)建合適的模型是求解的關(guān)鍵,涉及最值問(wèn)題一般利用基本不等式或者導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18.(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,因?yàn)?,所?又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因?yàn)?,所以,,,平面,又平面,平面平面;?)由于是底面直角三角形的斜邊的中點(diǎn),所以點(diǎn)是的外心,由(1)知平面,所以三棱錐的外接球的球心在上.在中,的垂直平分線與的交點(diǎn)即為球心,記的中點(diǎn)為點(diǎn),則.由與相似可得,所以.所以三棱錐外接球的體積為.本題考查面面垂直的證明,同時(shí)也考查了三棱錐外接球體積的計(jì)算,找出外接球球心的位置是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)求導(dǎo)可得在上,在上,所以函數(shù)在時(shí),取最小值,由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),觀察可知?jiǎng)t有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得,由,可知,因?yàn)闀r(shí),為增函數(shù),即可得證得結(jié)論.【詳解】(1)().因?yàn)?,所以,令得,,且,,在上;在上;所以函?shù)在時(shí),取最小值,當(dāng)最小值為0時(shí),函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),易得,所以,解得.(2)由(1)得,函數(shù),設(shè)(),則,設(shè)(),則,,所以為減函數(shù),所以,即,所以,即,又,所以,又當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以,即.本題考查借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.20.(1)在上增;在上減;(2)(i);(ii)2【解析】

(1)求導(dǎo)求出,對(duì)分類討論,求出的解,即可得出結(jié)論;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,恒成立,設(shè),,只需,根據(jù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,即在上增;當(dāng)時(shí),,,,,即在上增;在上減;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增,所以滿足題意;當(dāng)時(shí),,,,所以在上減,在上增,令,..在單調(diào)遞減,所以所以在上單調(diào)遞減,,綜上可知,整數(shù)的最大值為.本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立,考查分類討論思想,屬于中檔題.21.(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)分類討論求解絕對(duì)值不等式即可;(2)由(1)中所得函數(shù),求得最小值,再利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于,該不等式恒成立,當(dāng)時(shí),等價(jià)于,該不等式解集為,當(dāng)時(shí),等價(jià)于,解得,綜上,或,所以不等式的解集為.(2),易得的最小值為1,即因?yàn)椋?,,所以,,,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.本題考查利用分類討論求解絕對(duì)值不等式,涉及利用均值

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