導學案數學第八章81第2課時圓柱圓錐圓臺球簡單組合體

第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體【學習目標】1.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及其結構特征,能夠識別和區(qū)分這些幾何體.2.了解簡單組合體的概念和基本形式.3.會根據旋轉體的幾何特征進行相關運算.【素養(yǎng)達成】直觀想象直觀想象直觀想象、數學運算一、圓柱、圓錐、圓臺、球的幾何特征1.圓柱類別定義圖形及記法圓柱以__矩形的一邊__所在直線為旋轉軸,其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱

記作:圓柱O'O2.圓錐類別定義圖形及記法圓錐以直角三角形的__一條直角邊__所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐

記作:圓錐SO3.圓臺類別定義圖形及記法圓臺用__平行__于圓錐底面的平面去截圓錐,__底面與截面__之間的部分叫做圓臺

記作:圓臺O'O【教材挖掘】(P102探究)圓柱可以由矩形旋轉得到,圓錐可以由直角三角形旋轉得到,圓臺是否也可以由平面圖形旋轉得到?如果可以,由什么平面圖形旋轉得到?如何旋轉?提示:可以,由直角梯形繞著垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周得到.【教材挖掘】(P103探究)當底面發(fā)生變化時,圓柱、圓錐與圓臺是否可以互相轉化?提示:可以,轉化如圖:【版本交融】(蘇教版P157)充滿氣的車輪內胎可以通過什么圖形旋轉生成?提示:圓環(huán)繞與其相離的直線旋轉一周.4.球類別定義圖形及記法球半圓以它的__直徑__所在直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉體叫做球體,簡稱球

記作:球O【教材挖掘】(P102)球和球面是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別?提示:球面和球是兩個完全不同的概念,球是球面圍成的空間,球面是球的表面部分;球可以看作“實心”的,球面應看作“空心”的.【版本交融】(北師大版P209)用任何一個平面去截球面,得到的截面都是圓嗎?怎樣截球面得到的圓的半徑最大?提示:是的,過球心的平面截球面得到的圓的半徑最大.二、柱體、錐體、臺體、球及簡單幾何體1.棱柱和圓柱統稱為柱體,棱錐和圓錐統稱為錐體,棱臺和圓臺統稱為臺體.2.由柱體、錐體、臺體和球等簡單幾何體組合成的幾何體稱作簡單組合體.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是圓柱.(×)提示:當兩個平行截面與底面不平行時,夾在它們間的幾何體不是圓柱.(2)以直角三角形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面圍成的幾何體就是圓錐.(×)提示:必須以直角邊所在直線為軸,若以斜邊所在直線為軸,形成的幾何體是同底面的兩個圓錐組成的.(3)用一個平面截圓錐,截得的兩部分分別是圓錐和圓臺.(×)提示:只有用平行于圓錐底面的平面截圓錐,截得的兩部分分別是圓錐和圓臺.類型一旋轉體的概念(直觀想象)角度1圓柱、圓錐、圓臺【典例1】(1)下列說法正確的是()A.矩形繞一條直線旋轉一周所得的旋轉體是圓柱B.矩形繞一邊所在直線旋轉一周所得的旋轉體是圓柱C.以等邊三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐D.以直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺【解析】選B.矩形繞其一邊所在直線旋轉一周得到的旋轉體是圓柱,繞其對角線所在直線旋轉一周得到的旋轉體不是圓柱,A錯誤,B正確;以等邊三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體不是圓錐,是兩個圓錐的組合體,C錯誤;以直角梯形垂直于底邊的一腰為軸旋轉一周才可以得到圓臺,D錯誤.(2)(多選)下列說法中,正確的是()A.在圓柱上、下底面圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線B.圓錐頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線C.在圓臺上、下底面圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線D.圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的【解析】選BD.根據圓柱、圓錐、圓臺的定義和結構特征可知,只有B,D兩個說法是正確的.【總結升華】判斷旋轉體形狀的步驟(1)明確旋轉軸l.(2)確定平面圖形中各邊(通常是線段)與l的位置關系.(3)依據圓柱、圓錐、圓臺、球的定義和一些結論來確定形狀.【即學即練】下列說法不正確的是()A.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面B.圓柱、圓錐、圓臺的側面都是曲面C.圓錐的所有母線都交于一點D.圓臺的任意兩條母線的延長線不一定相交【解析】選D.根據定義,圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面,側面都是曲面,A,B正確;圓錐的所有母線都交于一點,即圓錐的頂點,由圓臺與圓錐的關系,圓臺的母線的延長線也交于該點,C正確,D不正確.角度2球【典例2】(多選)下列說法正確的是()A.球的半徑是球面上任意一點與球心的連線B.球面上任意兩點的連線是球的直徑C.用一個平面截一個球,得到的截面是一個圓面D.以半圓的直徑所在直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面叫做球【解析】選AC.A是正確的;B是錯誤的,只有兩點的連線經過球心時才為直徑;C是正確的;球面和球是兩個不同的概念,以半圓的直徑所在直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面叫做球面,球面圍成的幾何體叫做球,D是錯誤的.【總結升華】關于球的幾何特征(1)正確理解相關的概念:如球面、球的區(qū)別,直徑、半徑的定義等.(2)利用實物、模具想象:如果涉及截面等問題,可以利用實物、模具觀察結合直觀想象解題.【即學即練】寫出下列圖形按要求旋轉形成的封閉曲面所圍成的幾何體:(1)等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉180°;(2)圓繞其一條直徑所在的直線旋轉180°.【解析】(1)等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉180°形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺,如圖(1).(2)是一個球,如圖(2).類型二簡單組合體的結構特征(直觀想象)【典例3】如圖,分別寫出虛線一面的平面圖形繞虛線旋轉一周形成的封閉曲面所圍成的幾何體的結構特征.【解析】(1)如圖,幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成.(2)如圖,幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓柱組合而成.(3)如圖,幾何體是一個大圓臺挖去一個以大圓臺上底面為下底面的小圓臺形成的組合體.【總結升華】1.“旋轉”組合體問題中的“兩個明確”(1)明確由哪個平面圖形旋轉而成;(2)明確旋轉軸是哪條直線.2.解“拼接、截去、挖空”組合體問題的常用思路(1)觀察組合體的組成;(2)恰當地作出輔助線(或面),對原組合體進行分割.【即學即練】1.如圖,將陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉一周所得的幾何體是()A.圓錐B.圓錐和圓柱C.球D.一個圓錐內部挖去一個球【解析】選D.將題圖中陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉一周所得的幾何體是一個圓錐內部挖去一個球后形成的簡單組合體.2.(多選)對如圖中的組合體的結構特征有以下幾種說法,其中說法正確的是()A.由一個長方體割去一個四棱柱所構成的B.由一個長方體與兩個四棱柱組合而成的C.由一個長方體割去一個四棱臺所構成的D.由一個長方體與兩個四棱臺組合而成的【解析】選AB.如圖,該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構成,也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合而成,故A,B正確.【補償訓練】如圖所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,當梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周時,其他各邊旋轉圍成了一個幾何體,試描述該幾何體的結構特征.【解析】如圖所示,旋轉所得的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分構成的組合體.類型三旋轉體中的計算問題(數學運算)【典例4】(1)一個半徑為5cm的球,被一平面所截,球心到截面圓心的距離為4cm,則截面圓面積為________cm2.

【解析】設截面圓半徑為rcm,則r2+42=52,所以r=3.所以截面圓面積為9πcm2.答案:9π(2)已知一個圓柱的軸截面是一個正方形,且其面積是Q,則此圓柱的底面半徑為__________.(用Q表示)

【解析】設圓柱的底面半徑為r,則高為2r.所以4r2=Q,解得r=Q2,所以此圓柱的底面半徑為Q答案:Q【總結升華】旋轉體中有關計算問題的關注點(1)方法:利用軸截面,將立體問題平面化.(2)常見問題及解題策略:①圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形.②圓臺的軸截面,可將兩腰延長相交后在三角形中求解.③球中的計算一般化為解直角三角形,設球的半徑為R,截面圓的半徑為r,球心到截面的距離為d,則R2=d2+r2.【即學即練】1.一個圓錐的母線長為20cm,母線與軸的夾角為30°,則圓錐的高h為