阿基米德三角形

答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁專題3阿基米德三角形微點(diǎn)1阿基米德三角形專題3阿基米德三角形微點(diǎn)1阿基米德三角形【微點(diǎn)綜述】在近幾年全國各地高考的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到與一個(gè)特殊的三角形——由拋物線的弦及過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形有關(guān)的問題，這個(gè)三角形常被稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關(guān)系，聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長、面積等解析幾何的核心問題，“坐標(biāo)法”的解題思想和數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致，能很好的提升學(xué)生解決圓錐曲線問題的能力，落實(shí)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).鑒于此，微點(diǎn)研究阿基米德三角形。一、預(yù)備知識——拋物線上一點(diǎn)的切線方程（1）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；（2）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；（3）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；（4）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：．下面僅以情形（3）為例給出證明，同理可證其余三種情形。證法1：設(shè)拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：，代入，整理得，由，得拋物線上一點(diǎn)處的切線唯一，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：。證法2：，甴導(dǎo)數(shù)的幾何意義得所求切線的斜率為所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：。二、阿基米德三角形概念拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形（如圖1，即為阿基米德三角形）．重要結(jié)論：拋物線與弦之間所圍成區(qū)域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二．阿基米德運(yùn)用逼近的方法證明了這個(gè)結(jié)論．證明：如圖3，是中邊上的中線，則平行于軸（下面的性質(zhì)1證明會(huì)證到），過作拋物線的切線，分別交、于，則、也是阿基米德三角形，可知是中邊上的中線，且平行于軸，可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，同理是的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，則是的，由此可知：是的，是的，以此類推，圖2中藍(lán)色部分的面積是紅色部分而知的，累加至無窮盡處，便證得重要結(jié)論．三、阿基米德三角形的性質(zhì)【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．證明：設(shè)為弦AB的中點(diǎn)，則過A的切線方程為，過B的切線方程為，聯(lián)立方程，，，解得兩切線交點(diǎn)，又，//軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)，則另一頂點(diǎn)的軌跡為一條直線．證明：設(shè)，，為拋物線內(nèi)的定點(diǎn)，弦的過定點(diǎn)，則過的切線方程為，過的切線方程為，則設(shè)另一頂點(diǎn)，滿足且，故弦所在的直線方程為，又由于弦過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)，故，即點(diǎn)的軌跡方程為直線．【性質(zhì)3】拋物線以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于點(diǎn)的軌跡．證明：由性質(zhì)2的證明可知：點(diǎn)的軌跡方程為直線．∵點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，故的軌跡方程為，斜率；而弦所在的直線方程為，由性質(zhì)1的證明可知：，，故弦所在的直線方程為，斜率，又∵直線與的軌跡方程不重合，故可知兩者平行．【性質(zhì)4】若直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，以上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)（若直線方程為：，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為．證明：任取直線：上的一點(diǎn)，則有，即┅①，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則又由性質(zhì)2的證明可知：弦所在的直線方程為，把①式代入可得：，即，令且，可得：弦所在的直線過定點(diǎn)．【性質(zhì)5】底邊為的阿基米德三角形的面積最大值為．證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知：（直角邊與斜邊），設(shè)直線的方程為，則，∴．【性質(zhì)6】若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為．證明：由性質(zhì)2，若底邊過焦點(diǎn)，則，點(diǎn)的軌跡方程是，即為準(zhǔn)線；易驗(yàn)證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點(diǎn)，阿基米德三角形的面積最小值為．【性質(zhì)7】在阿基米德三角形中，．證明：作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，連接，則，顯然，∴，又∵，由三角形全等可得，∴，同理可得，∴．【性質(zhì)8】拋物線上任取一點(diǎn)（不與重合），過作拋物線切線交，于，則的垂心在準(zhǔn)線上．證明：設(shè)，，，可求得過的切線交點(diǎn)，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理可知：，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即交點(diǎn)坐標(biāo)相同，即可得的垂心在準(zhǔn)線上．【性質(zhì)9】．證明：，而．【性質(zhì)10】的中點(diǎn)在拋物線上，且處的切線與平行．證明：由性質(zhì)1知，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，此點(diǎn)顯然在拋物線上；過點(diǎn)的切線斜率為，結(jié)論得證．【性質(zhì)11】拋物線上任取一點(diǎn)（不與重合），過作拋物線切線交，于，連接，則的面積是面積的2倍．證明：如圖所示：由阿基米德重