2025屆山東省青島市平度市高考模擬檢測(cè)試題（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)平度市2025年高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題2025.02本試卷共4頁(yè)，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集運(yùn)算，即可得結(jié)果.【詳解】由，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由已知，則，即復(fù)數(shù)的虛部為，故選：C.3.設(shè)一個(gè)球的表面積為，它的內(nèi)接正方體的表面積為，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，然后求出正方體的表面積，根據(jù)正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而求出球的表面積，即可得到二者的比值．【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的表面積為，正方體的體對(duì)角線即為正方體外接球的直徑，設(shè)外接球半徑為，則，即，所以球的表面積，所以．故選：B．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式，誘導(dǎo)公式求解．【詳解】，故選：A．5.已知向量，，，若點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的坐標(biāo)，再根據(jù)三點(diǎn)共線求出的值，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得,，若點(diǎn)三點(diǎn)共線，則點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,即，解得：，所以的值為.故選：B.6.已知數(shù)列，，且，將與的公共項(xiàng)按從大到小的順序排列組成一個(gè)新數(shù)列，則的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)n分奇數(shù)與偶數(shù)討論，求出數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，為奇數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，為偶數(shù)，所以，由數(shù)列的函數(shù)特性知為遞減數(shù)列，又，所以，故選：C．7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)邊長(zhǎng)相等得到角相等，證明三角形相似，利用線段比例關(guān)系得到的關(guān)系式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，由橢圓定義得，故，∵，，∴，∴與相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即橢圓的離心率為.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，，則（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】A【解析】【分析】由已知條件推導(dǎo)出函數(shù)周期為4，，可求.【詳解】由為偶函數(shù)，得，即，則，因此，即，則，于是，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由，得，因此，所以．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知等式，探討函數(shù)的周期性是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為了研究與的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表），假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）123450.50.811.21.5A.B.當(dāng)時(shí)的殘差為C.樣本數(shù)據(jù)的％分位數(shù)為0.8D.去掉樣本點(diǎn)后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不變【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)樣本中心點(diǎn)、殘差、百分位數(shù)、相關(guān)系數(shù)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題，所以，故A選項(xiàng)正確；由A，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)的殘差為，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以樣本?shù)據(jù)的％分位數(shù)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；去掉樣本點(diǎn)后，而，由于，所以去掉樣本點(diǎn)后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不變，故D正確.故選：ABD10.拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，則（）A.過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條B.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，C.為直角三角形D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】由可得拋物線方程，對(duì)于A，注意到與拋物線線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩類，一類是拋物線切線，另一類是與y軸垂直的直線，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B，設(shè)，由的面積為，可得，由韋達(dá)定理可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于C，由B，驗(yàn)證是否等于0可判斷選項(xiàng)正誤；【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為因點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，由拋物線定義可得，則拋物線方程為：.對(duì)于A，注意到，則點(diǎn)M在拋物線外，如圖所示，則過(guò)M點(diǎn)可做拋物線的兩條切線，此外直線過(guò)點(diǎn)M，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故過(guò)點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)直線AB方程為：，將直線AB方程與拋物線聯(lián)立，可得：，設(shè)，由韋達(dá)定理：，由圖可得，則.又由拋物線定義可得，故B正確；對(duì)于C，可得注意到，則，故為鈍角，則為鈍角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B，，則由拋物線定義：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，記一次完整的圖形變換為“T變換”，“T變換”的規(guī)則為：將函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向上平移1個(gè)單位，的圖象經(jīng)歷一次“T變換”得到的圖象，依此類推，經(jīng)歷次“T變換”后，得到的圖象，則（）A.B.若，則C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)極大值之和小于D.【答案】ACD【解析】【分析】由條件給出的變換求出的解析式可判斷A；作出的圖象，可知若，只需成立即可，參變分離可求出的范圍可判斷B；設(shè)的極大值為，則有，求出的通項(xiàng)，可判斷D，對(duì)求和可判斷C.【詳解】，其中，即，故A正確；作出的圖象，可得．若，只需，對(duì)即可，故，故B錯(cuò)誤；記的極大值為（也是最大值），則，且，則，即，即，故D正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值之和，故C正確；故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榍?，所以，解得故答案為?3.在中，角的對(duì)邊成公差為的等差數(shù)列.若，則的面積為___________.【答案】##【解析】【分析】首先根據(jù)等差數(shù)列的概念結(jié)合正弦定理可得，，，通過(guò)余弦定理求出，最后由面積公式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槌晒顬榈牡炔顢?shù)列，所以；因?yàn)?，由正弦定理可得；解得，，，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以的面積為，故答案為：.14.有個(gè)編號(hào)分別為的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球1個(gè)白球，其余盒子中為1個(gè)紅球1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，再?gòu)牡?個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，以此類推，則從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率是________，從第個(gè)盒子中取到紅球的概率是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)事件表示“從第i個(gè)盒子中取到紅球”（），利用全概率公式可得，當(dāng)時(shí)，由全概率公式得，通過(guò)構(gòu)造得數(shù)列是等比數(shù)列，利用數(shù)列通項(xiàng)求.【詳解】設(shè)事件表示“從第i個(gè)盒子中取到紅球”（），則，，所以，則當(dāng)時(shí)，，所以，又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是設(shè)事件表示“從第i個(gè)盒子中取到紅球”（），當(dāng)時(shí)，結(jié)合全概率公式得到的遞推關(guān)系：，再構(gòu)造等比數(shù)列.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角所對(duì)的邊分別為，其面積.（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合正弦定理即可求解，（2）根據(jù)正弦定理邊化角可求解，進(jìn)而利用同角關(guān)系求解的正余弦，即可根據(jù)余弦的和差角公式求解，進(jìn)而利用余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由已知得，由正弦定理可得：，.【小問(wèn)2詳解】由可得，由（1）可得，解得，，，，，由余弦定理得：.16.如圖，在多面體中，，的中點(diǎn)為.（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用垂直關(guān)系可證明線面垂直，根據(jù)過(guò)一個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直，可以證明四點(diǎn)共面；（2）引入二面角作為參數(shù)，來(lái)表達(dá)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用空間向量法求線面角正弦值，即可得到方程求角，從而可得到答案.【小問(wèn)1詳解】連接，由為中點(diǎn)，得，由，得，而平面，則平面，同理平面，又平面與平面有公共直線，所以四點(diǎn)共面；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，是二面角的平面角，設(shè)，由，得，則，，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，依題意，，即，平方化簡(jiǎn)整理得，而,則，即，又，則，所以平面與平面夾角的大小為.17.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為.點(diǎn)在的右支上，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求的方程;（2）若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求面積的最小值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，代入方程即可求解；（2）設(shè)直線方程為，與雙曲線聯(lián)立得，由韋達(dá)定理有，代入即得，令，得，設(shè)，利用單調(diào)性即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題知，又軸時(shí)，有代入方程解得，，則雙曲線的方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線方程為，，消去得，則，所以，，因?yàn)?，令，則，得設(shè)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故，，即面積的最小值為12.18.《周易》反映了中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法，可以解釋為：把陽(yáng)爻“”當(dāng)做數(shù)字“”，把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“”，例如，成語(yǔ)“否極泰來(lái)”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二進(jìn)制數(shù)為，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是，“泰”卦所表示的二進(jìn)制數(shù)為，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是（1）若某卦的符號(hào)由五個(gè)陽(yáng)爻和一個(gè)陰爻構(gòu)成，求所有這些卦表示的十進(jìn)制數(shù)的和；（2）在由三個(gè)陽(yáng)爻和三個(gè)陰爻構(gòu)成的卦中任取一卦，若三個(gè)陽(yáng)爻均相鄰，則記分；若只有兩個(gè)陽(yáng)爻相鄰，則記分；若三個(gè)陽(yáng)爻互不相鄰，則記分，設(shè)任取一卦后的得分為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）315（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）由題意，由五個(gè)陽(yáng)爻和一個(gè)陰爻構(gòu)成的卦所表示的二進(jìn)制數(shù)有6個(gè)，列舉后按照二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化公式計(jì)算求和即得；（2）先判斷的所有可能取值，再運(yùn)用古典概型概率公式和插空計(jì)數(shù)法求對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵撠缘姆?hào)由五個(gè)陽(yáng)爻和一個(gè)陰爻構(gòu)成，所以該卦所表示的二進(jìn)制數(shù)共有個(gè)，分別為、、、、、，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)中，每個(gè)數(shù)位都是次和次，所以這些卦表示的十進(jìn)制數(shù)的和為：；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的所有可能取值有、、，則，，，則隨機(jī)變量的分布列如下表所示：故.19.懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過(guò)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數(shù)的圖象.現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)，回答以下問(wèn)題：（1）類比三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：，，寫出與的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，并證明；（2）對(duì)任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求的最小值．【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）0.【解析】【分析】（1）類比，寫出導(dǎo)數(shù)關(guān)系，再證明；（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，隱零點(diǎn)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到答案；（3）多次求導(dǎo)，結(jié)合（2）中結(jié)論，先得到在上單調(diào)遞增，再求出為偶函數(shù)，從而得到在內(nèi)單調(diào)遞減，求出.小問(wèn)1詳解】導(dǎo)數(shù)：，，；依題意，，所以.【小問(wèn)2詳解】構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，由，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，對(duì)，，即恒成立，因此；當(dāng)時(shí)，令，，求導(dǎo)得，而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，對(duì)任意，，即，不符合題意，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【小