2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點突破10 與四邊形有關(guān)7種模型垂美四邊形、中點四邊形、梯子模型、正方形半角模型、四邊形折疊模型、十字架模

重難點10與四邊形有關(guān)7種模型

（垂美四邊形、中點四邊形、梯子模型、正方形半角模型、四邊形折疊模型.十

字架模型.對角互補(bǔ)模型）

目錄

重難點題型突破

題型01垂美模型

題型02中點四邊形

題型03梯子模型

題型04正方形半角模型

題型05四邊形翻折模型

題型06十字架模型

題型07對角互補(bǔ)模型

重難點題型突破

平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)

四邊形邊角對角線對稱性

平行四邊形對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分中心對稱

矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等軸對稱、中心對稱

菱形對邊平行且四條對角相等兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對稱

邊都相等一條對角線平分一組對角

正方形對邊平行且四條四個角都是直角兩條對角線互相垂直平分，且每軸對稱、中心對稱

邊都相等一條對角線平分一組對角

平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定

四邊形邊角對角線

平行四邊形1）兩組對邊分別平行兩組對角分別相等兩組對角線互相平分

2）兩組對邊分別相等

3）一組對邊平行且相等

矩形1）平行四邊形+一直角平行四邊形+兩條對角線相等

2）四邊形+三直角

菱形1）平行四邊形+一組鄰邊相等平行四邊形+兩條對角線互相垂

直

2）四邊形十四條邊都相等

正方形矩形+一組鄰邊相等菱形+一直角兩條對角線互相垂直平分且相等

的四邊形

題型01垂美模型

【模型介紹】對角線互相垂直的囚邊形為垂美四邊形.

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明過程

四邊形中AC1BDD

?S垂美四邊形AITD=|AC?BD

@AB2+DC2=AD2+BC2

R

如圖，在矩形ABCDPvDP2+BP2=DP2+BC2+PC2

DCDP2+BP2=AP2+PC2

日

中，P為CD邊上有一

PC2+AP2=PC2+DP2+AD2

點，連接AP、BP

WAD=BC

AB???DP2+BP2=AP-+PC2

如圖，在矩形ABCDDAC

1）___________________CAP2+PC2=DP2+BP2

中，P為矩形內(nèi)部任意

一點，連接AP、BP,

CP,DPE3

AliAER

分別

作PEJLAB、PF_LBC、PG_LCD、PH±

AD垂足分別為點E、點卜,、點G、點

H

由已知條件可得HF_LEG

...HG.EF2=E1F+FG2（證明過程略）

而AP=EH,BP=EF,CP=FG,DP=GU

.??AP2+PC2=DP2+BP2

1.（2020?四川雅安?中考真題）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

ABCD,對角線力C、8。交于點0.若AD=2,BC=4,^AB2+CD2=.

B

【答案】20

【分析】由垂美四邊形的定義可得ACJLBD,再利用勾股定理得到AD?+BC2=AB2+CD2,從而求解.

【詳解】???四邊形ABCD是垂美四邊形，

AAC1BD,

/.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

/.AD2+BC2=AB2+CD2,

VAD=2,BCM,

：.AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20,

故答案為：20.

【點睛】本題主要考查四邊形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運(yùn)用勾股定理.

2.（2022?安徽安慶?統(tǒng)考二模）我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（如圖1）.下面就讓小聰同

學(xué)帶領(lǐng)你們來探索垂美四邊形的奧秘吧！請看下面題目：

（1）如圖2,在四邊形A8CO中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABC。是垂美四邊形嗎？請說明理由.

圖1圖2

（2）試探索垂美四邊形A4CO兩組對邊A8,CO與AC,之間的數(shù)量關(guān)系.猜想結(jié)論：（要求用文字語

言敘述）_寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證、證明）.

（3）如圖3,分別以AC8的直角邊AC和斜邊A8為邊向外作正方形ACFG和正方形A3QE,連接CE,

BG,GE,已知AC=2cm,AB=3cm,則GE長為（直接寫出結(jié)果,不需要寫出求解過程）

BD

圖3

【答案】（1）四邊形AHC/J是垂美四邊形，證明見解析；（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和

相等，證明過程見解析；（3）VHcm

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理即可解答；

（3）連接CG、〃E,BG與CE交于N點,A&CE交于M點，先證明^ZMGgZ\E4C,繼而得到乙4BG二NAEC,

根據(jù)NA￡C+NAM￡=90。，NAME=/BMN,即有/A8G+/N8MN=90。，則NBNM=90。，即CE_L8G,可知

四邊形CGE8是垂美四邊形，根據(jù)（2）結(jié)論即可求解.

【詳解】（1）四邊形48C。是垂美四邊形.

證明：連接4C、BD,

*：AB=AD,

???點A在線段BD的垂直平分線上,

???CB=C。,

???點C在線段BD的垂直平分線上,

???直線4c是線段BD的垂直平分線,

即四邊形ABC。是垂美四邊形;

（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.

如圖，已知四邊形A4C。中，ACLBD,垂足為￡,

D

求證：ACP+BC^AB^CD2

證明：'：ACLBD,

：.NAED=NAEB=NBEC=NCED=9()。,

由勾股定理得，AI^+BC^AE^DE^BE^CE2,

ABOCD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

/.AE^+BC^AB^CD2；

(3)V2Tcni；

理由：

連接CG、BE,BG與CE交于NA，AB、CE交于M點，如圖,

*：ZCAG=ZBAE=90°t

/.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NBAG=NCA￡,

,：AC=AG,AB=AE,

??.△BAG絲△E4C,

???NABG=/AEC,

?；ZAEC+ZAME=90°,ZAME=ZBMN,

：.NA5G+ZNBMN=9Q°,

：,2BNM=9Q。,即C￡_L4G,

???四邊形CGE8是垂美四邊形，

.?.由(2)的結(jié)論可知BC2+GE2=GC2+8￡2,

;正方形的性質(zhì)有8E=@8,GC=\[2AC,

:,BE=3y[3GC=2V2,

:在心△A8C中，AB=3,AC=2,

，理由勾股定理有BC=yjAB2-AC2=V32-22=6

2222

：.CE=GC+BE-BC=（2魚）2+（3魚）2,（遮）2=21,

,*.CE=V2T（cm）.

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直的定義、勾股定

理等知識，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2021?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形力BCD中，AB=AD,C5=CD,向四邊形力8co是垂美四邊形嗎？請說

明理由：

（2）性質(zhì)探究：如圖1,垂美四邊形力3C。的對角線HC,0。交于點0.猜想：AD2+CD2^jAD2+

么關(guān)系？并證明你的猜想.

（3）解決問題：如圖3,分另I」以Rt△4CB的直角邊力。和斜邊48為邊向外作正方形4CFG和正方形718DE,

連結(jié)CE,BG,GE.已知力C=4,AB=5,求GE的長.

【答案】（1）四邊形48co是垂美四邊形，理由見解析；（2）452+0/52=力。2+8。2,證明見解析；（3）

GE-V73.

【分析】（1）連接4。,80,先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證宜線力。是線段80的垂直平分線，再根據(jù)

垂美四邊形的定義即可得證；

（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得再利用勾股定理解答即可；

（3）設(shè)CE分別交48于點M,交BG于點、N,連接8E,CG,先證明△GABC4E,得至U乙48G=乙4￡。，再

根據(jù)角的和差可證=90°,即CE1BG,從而可得四邊形CGEB是垂美四邊形，然后結(jié)合（2）的結(jié)論、

利用勾股定理進(jìn)行計算即可得.

【詳解】證明：(1)四邊形48co是垂美四邊形，理由如下:

如圖，連接力C,8D,

*：AB=AD,

???點4在線段80的垂直平分線上，

?:CB=CD,

???點C在線段8。的垂直平分線上，

，直線AC是線段BD的垂直平分線，即力C_L8D,

???四邊形/BCD是垂美四邊形；

(2)猜想4B2+CZJ2=力。2+8。2,證明如下：

???四邊形/8C0是垂美四邊形，

：,AC1BD,

：.2.AOD=Z.A0B=ABOC=2-COD=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=0Az+0D24-OB2+0C2,

AB2+CD2=0A2+OB2+0C2+0D2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2X

(3)如圖，設(shè)CE分別交力8于點M,交BG于點N,連接BE,CG,

???四邊形ACFG和四邊形48DE都是正方形,

：.LCAG=Z.BAE=90。,4G=AC,AB=AE,

：.LCAG+LBAC=乙BAE+￡BAC,即4GAB=Z-CAE,

(AG=AC

在△G4B和△C4E中，1/.GAB=Z.CAE,

(AB=AE

J.LGABCAE(SAS),

：.^ABG=Z-AEC,

XVz/lEC+Z-AME=90°,Z-AME=乙BMN,

：.LABG+Z.BMN=90°,

=90°,即CE_LBG,

???四邊形CGE3是垂美四邊形，

由(2)得：CG2+BE2=CB2+GE2,

???43是Rt△ACS的斜邊，RAC=4,AB=5,

：.BC2=AB2-AC2=9,AG=AC=4,AE=AB=5,

在RtUCG中，CG2=AC2+AG2=32,

在RtA/lBE中，BE2=AB2+AE2=50,

???9+GE2=32+50,

解得GE=V75或GE=-N/73（不符題意，舍去），

故的長為g.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、勾股定理等

知識點，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

4.（2019?甘肅天水?統(tǒng)考中考真題）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

圖1圖2圖3

（1）概念理解：如圖2,在四邊形力BCD中，AB=AD,C8=C。，問四邊形A8C0是垂美四邊形嗎？請說明

理由;

（2）性質(zhì)探究：如圖1,四邊形力8CZ）的對角線AC、BD交于點、O,AC1BD.試證明：48?+CD2=AD2+BC2；

（3）解決問題：如圖3,分另IJ以Rt△4的直角邊力。和斜邊48為邊向夕卜作正方形力CTG和正方形連結(jié)

CE、BG、GE.已知AC=4,力B=5,求GE的長.

【答案】（1）四邊形A8CD是垂美四邊形，理由見解析；（2）證明見解析：（3）GE=^73.

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理，可證直線力C是線段BD的垂直平分線，結(jié)合“垂美四邊形”的定義

證明即可；

（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）連接CG、BE,先證明△GAB三4CAE,得到N4BG=Z.AEC,可證乙4BG+4AME=90°,即CE1BG,

從而四邊形CGE8是垂美四邊形，根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計算即可.

【詳解】（1）四邊形4BC0是垂美四邊形.

證明：連接AC,BD,

?：AB=ADt

???點4在線段3。的垂直平分線上，

'：CB=CD,

???點C在線段BD的垂直平分線上，

???直線AC是線段8。的垂直平分線，

：,AC1BD,即四邊形ABC。是垂美四邊形；

圖2

(2)猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.

如圖2,已知四邊形力BCD中，ACLBD,垂足為E,

求證：AD2+BC2=AB2-}-CD2

證明：'：AC1BD,

：.LAED=4AEB=乙BEC=乙CED=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE?,

：,AD2+BC2=AB2+CD2：

故答案為心+BC2=AB2+CD2.

(3)連接CG、BE,

'：LCAG=/.BAE=90°,

：.LCAG+Z-BAC=Z.BAE+Z.BAC,^/.GAB=Z.CAE,

AG=AC

在AGAB^AC4E中，/.GAB=Z.CAE,

AB=AE

：,LGAB=^CAE(SAS},

：,LABG=Z.AEC,Xz/IEC+Z.AME=90°,

：.z.ABG+Z.AME=90°,即CEJ.BG,

???四邊形CGE8是垂美四邊形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,

'：AC=4,AB=5,

：.BC=3,CG=4V2,BE=5V2,

：,GE2=CG2+BE2-CB2=73,

：.GE=V73.

圖3

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理

解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2018?寧夏銀川?銀川唐徐回民中學(xué)校考二模）閱讀理解：如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做

垂美四邊形.垂美四邊形有如下性質(zhì)：

垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.

已知：如圖1,四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E.

求證：AD2+BC2=AB2+CD2

證明：???四邊形ABCD是垂美四邊形

?\AC_LBD,

???ZAED=ZAEB=ZBEC=ZCED=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

/.AD2+BC2=AB2+CD2.

拓展探究：

（1）如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由.

（2）如圖3,在RSABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB,AC為底邊，在RsABC外部作等腰

三角形ABD和等腰三角形ACE,連接FD,FE,分別交AB,AC于點M,N.試猜想四邊形FMAN的形

狀，并說明理由；

問翹解決：

如圖4,分別以RSACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,ii接CE,BG,

GE,已知AC=4,AB=5.求GE長.

【答案】拓展探究：（I）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由詳見解析：（2）四邊形FMAN是矩形，理由詳

見解析；問題解決：V73.

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理可得直線AC是線段BD的垂直平分線，進(jìn)而得證；

（2）首先猜想出結(jié)論，根據(jù)垂直的定義可得NAOD=NAOB=NBOC=NCOD=90。，由勾股定理得

AI^+BC^AO^DO^BO^CO2,進(jìn)而證得猜想，將已知代入即可求得CD：

（3）根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計算即可.

【詳解】拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，

理由如下:

VAB=AD,

???點A在線段BD的垂直平分線上，

VCB=CD,

???點C在線段BD的垂直平分線上，

???直線AC是線段BD的垂直平分線，

.\AC1BD,即四邊形ABCD是垂美四邊形.

(2)四邊形FMAN是矩形，

理由：如圖3,連接AF,

?「RSABC中，點F為斜邊BC的中點，

.*.AF=CF=BF,

又?等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,

???AD=DB、AE=CE,

，由(1)可得，DFJ_AB,EF1AC,

又「NBAC=90。，

JZAMF=ZMAN=ZANF=90°,

???四邊形AMFN是矩形；

問題解決：

連接CG、BE,

G

VZCAG=ZBAE=90",

AZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGAB=NCAE,

???在AGAB和ACAE中，AG=AC,ZGAB=ZCAE,AB=AE,

.,.△GAB^ACAE,

AZABG=ZAEC,

又NAEC+NAME=90°,

???ZABG+ZAME=90°,即CE_LBG,

???四邊形CGEB是垂美四邊形，

.\CG2+BE2=CB2+GE2,

VAC=4,AB=5,

，BC=3,CG=4&,BE=5口,

AGE2=CG2+BE2-CB2=73,

AGE=V73.

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理

解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵：

題型02中點四邊形

【模型介紹】依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.

中點四邊形的性質(zhì)：

已知點E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點,則

1

①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③SEFGH=TSAIJCD

乙

證明：

模型證明過程

至AEB〈EH是AABD的中位線???EH〃BD,EI1=-BD

7???FG是4BCD的中位線AFG/7BD,FG』BD

2

。GC???EH〃FGEH=FG四邊形EFGH是平行四邊形

A

A???EF是AABC的中位線，EF〃AC,EF=iAC

戔???GH是△ACD的中位線??.GH〃AC,G嗎AC

???EF〃GHEF=GH四邊形EFGH是平行四邊形

結(jié)論一：順次連接任意四邊形各邊中點所組成的四邊形是平行四邊形.

模型證明過程

A____E衣TEH是AABD的中位線AEH=iBD

2

???FG是4BCD的中位線.\FG=iBD

"GCAEH=FG=BD則EH+FG=BD

同理EF=GH=TAC則EF+GH=AC

證明：CEFGU=AC-BD

四邊形El-Gil的周長=EH+FG+EF+GH=BD+AC

過點A作AN_LBD,垂足為點N,AN與EH交于點

M

S°PHEQ=P2?MN=^AN*1BD=^*(|AN，BD):1sAABD

DGC

同理S°PGFQ=|SABCD

11

證明：SEFGII=-S.\BCD

2:「SEFGIISABCD

結(jié)論二：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和.

結(jié)論三：中點四邊形的面枳等于原四邊形面積的一半.

己知條件模型證明過程特例

點、、、

EFGH根據(jù)已知條件可知四邊形EFG1I為平行四邊形

是任意四邊形L

ABCD的中點，VAC±DBZD0C=90°

H/KGHXIKG

AC_LI)B,垂足分別是的中點,1

VE,F,G,HAB,BC,CD,DA()0c

為點0,則四邊X

LLE77

形EPG11是矩/???HE〃BD〃GF,HG〃AC〃EF

E-rFB

形.山芟脖的中點四邊形是矩影

RAZEHG=ZHGF=ZGFE=￡FEH=9O°

J四邊形EFGH是矩形.

點E、F、G、H

VEF是AABC的中位線：,EF=^AC

是任意四邊形

AAD

ABCD的中點，

THG是AADC的中位線J.W^AC

AC=DB,垂足為

點0,則四邊形

???EF=HG=UC同理EH=FG=1BC

22蘇。

EFGH是菱形.*HFC

VAC=DB/.EF=HG=EH=FG,四邊形EFGH是菱矩形的中點四邊形是菱形

形

點E、F、G、H

是任意四邊形

ABCD的中點,

AC1DB,AC=DB

垂足為點0,則

四邊形EFGH是

正方形.正方形的中點四邊形是正方形

結(jié)論四：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.

結(jié)論五：順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是菱形.

結(jié)論六：順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是正方形.

速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.

6.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形4BCD中，AB=4,乙4=120。，順次連接菱形ABCZ）各邊中

點E、F、G、H,則四邊形的周長為（）

C.4+4V3D.6+4V3

【答案】C

【分析】首先利用三角形的中位線定理證得四邊形E/PH為平行四邊形，再求對角線長度，然后利用三角形

中位線定理求出此平行四邊形邊長即可求出周長.

相交于點。，

CD、04的中點,

AEF=-AC,GH=-AC,

22

AEF=GH,同理EH=FG,

???四邊形ErG”是平行四邊形,

???四邊形力BCD是菱形，AB=4,4力=120。,

二對角線力。、80互相垂直，

.'.ADWBC,

LA+乙ABC=180°,

A/.ABC=60°,AB=BC=4,

???△4BC是等邊三角形，

:.AC=4,

在中，AB=4,OA=1.4C=2,

:.OB=V42-22=2V3,

BD=4百，

.??EF=-AC=2,EH=+BD=2V3,

22

???四邊形EH；，的周長為（2+2x/3）x2=4+473.

故選：C.

【點睛】本題考查了中點四邊形的知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的中位線定理，菱形的性質(zhì)及平行

四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算.

7.（2018?湖南湘潭?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點從F、G.，分別是菱形ABC。各邊的中點，則四邊形

EFGH是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形

【答案】B

【分析】根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明;

【詳解】解：連接AC、BD.4c交尸G于，

???四邊形ABC。是菱形，

?：DH=HA,DG=GC,

:.GH/1AC,HG=-2AC,

同法可得：EF=^AC,EF//AC,

：,GH=EF,GH//EF,

???四邊形ENG"是平行四邊形，

同法可證：GF//BD,

，NOL辰NAOB=90。，

,:AC〃GH,

：.NHGL=/OLF=90。，

???四邊形EPG”是矩形.

故選B.

【點睛】題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定等、三角形的中位線定理知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

8.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形/BCD中，點E,F,G,〃分別是邊0/的中點，順次迂接E,F,G,H,

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

圖1

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFG”被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pierrel654—1722)是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切.

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結(jié)論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接AC,分別交EH,FG于點P,Q,過點。作0Mli4c于點：,交HG于點N.

,??/6分別為/1。,(；。的中點，：,HG||AC,HG=\AC.(依據(jù)1〉

圖2

.'：DG=GC,:.DN=NM'DM.

NMGC2

???四邊形EFG"是瓦里尼鉆平行四邊形，JHEIIGF,即，P||GQ.

,：HG||AC,即HGIIPQ,

???西邊形HPQG是平行四邊形.(依據(jù)2).??SE3HPQG=HG-MN=：，G-OM.

,?*^hADC===同理，…

任務(wù)：

(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：.

依據(jù)2是指：.

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFGH為

矩形；(要求同時畫出四邊形力BCD的對角線)

(3)在圖1中，分別連接得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線4C,BD長度的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

圖3

【答案】（1）三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定

義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

（2）答案不唯一，見解析

（3）平行四邊形EFG”的周長等于對角線/C與長度的和，見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；

（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；

（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形?組對邊和等于四邊形的?條對角線，即可得她結(jié)論.

【詳解】（1）解：二角形中位線定理（或二角形的中位線平行于第二邊，且等于第二邊的一半）

平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）

（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可.例如：

如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形￡7訪”的周長等于四邊形A8CD的兩條對角線與8D長度的和，

證明如下：???點E,F,G,”分別是邊A8,BC,CD,DA的中點，

：.EF=^AC,GH=^AC.

：,EF+GH=AC.

同理EH+FG=BO.

:.四邊形EFGH的周長=EF+GH+EH+FG=AC+BD.

即瓦里尼翁平行四邊形"GH的周長等于對角線AC與8D長度的和.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線.熟練掌握三角形中位線定理是解題的

關(guān)鍵.

9.（2017?吉林長春?中考真題）【再現(xiàn)】如圖①，在8c中，點D,E分別是44,4C的中點，可以得至於

DE//BC,KDE=^BC.（不需要記明）

【探究】如圖②，在四邊形A8CQ中，點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,OA的中點，判斷四邊形EFGH

的形狀，并加以證明.

【應(yīng)用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABC。中，滿足什么條件時，四邊形EFG”是菱形？你添加的

條件是：（只添加一個條件）

（2）如圖③，在四邊形4BCO中，點E,F,G,”分別是AB,BC,CD,D4的中點，對角線AC,BO相

交T點、（）.若人O=OC,四邊形/1BCO面積為5,則陰影部分圖形的面積和為

【答案】［探究］平行四邊形；［應(yīng)加（）添力口；（）；

1AC=BO24

【分析】［探究］利用三角形的中位線定理可得出，G=石尺EFWGH,繼而可判斷出四邊形石FG，的形狀；

［應(yīng)用］⑴添加條件AC=B/）,同［探究］的方法判斷出產(chǎn)6=扣￡>,即可判斷出E/』G,即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出SABCD=45AC/G,同理：5AABD=4SAAEH,進(jìn)而得出S砌脛EFGH=|,再判斷出OM=OM進(jìn)

而得出S陰與wEFGH即可.

【洋解】解：［探究］平行四邊形.

理由：如圖1,連接4C,

TE是A3的中點，尸是6c?的中點，

：.EF\\AC,EF=^AC,

同理“GII4C,HG=^AC,

綜上可得：EF\\HG,EF=HG,

故四邊形EPG”是平行四邊形.

［應(yīng)用］

(1)添力0心3。.

理由：連接AC,BD,

由(1)知，EF=^AC,

???G是CO的中點，尸是8c的中點，

：,FG=-BD,

2

'：AC=BD,

:?EF=FG,

???四邊形EFG〃是平行四邊形，

，四邊形EPGH是菱形；

故答案為

(2)如圖2,由［探究］得，四邊形EFG”是平行四邊形，

???/，G是8C,CO的中點，

：.FG\\BD,FG=：BD,

:.叢CFGs叢CBD,

???"一，

SABCD4

:?S&BCD=4S&CFG,

同理：SBABD=4SAAEH,

「四邊形"CO面枳為5,

:?S&BCD0ABD=5,

:.S&CFG+SAAEH/,

4

同理：S^DHG+S?BEF=-

4f

???S兇邊形EFGH二S四邊度ABCD-(S^CFG+S^AEH+ShDHG+S^BEF)=5-|=|,

設(shè)AC與產(chǎn)G,￡”相交于M,N,EF與BD相交于P,

VFGIIBD,FG=/。,

Z.CM=()M=^OC,

同理：AN=ON=-OA,

*：OA=OC,

：.OM=ON,

易知，四邊形ENOP,FMOP是平行四邊形,

**?5屐々J四邊箱EFGH《.

24

【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考杳了二角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，相似

三角形的判定和性質(zhì)，解［探究］的關(guān)鍵是判斷出HGWAC,HG=^AC,解［應(yīng)用的關(guān)鍵是判斷出S網(wǎng)電超EFGH3,

是一道基礎(chǔ)題目.

10.（2016?甘肅蘭州?中考真題）閱讀下面材料:

在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)思考如下問題：如圖1,我們把一個四力形的四邊中點EF,G,”依次連

接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？

小敏在思考問題時，有如卜.思路：連接4c.

結(jié)合小敏的思路作答：

（1）若只改變圖I中四邊形ABCD的形狀（如圖2）,則四邊形EFG”還是平行四邊形嗎？說明理由，參考

小敏思考問題的方法解決一下問題；

（2）如圖2,在（1）的條件下，若連接AC,BD.

①當(dāng)AC與8。滿足什么條件時，四邊形￡FG”是菱形，寫出結(jié)論并證明：

②當(dāng)AC與3。滿足什么條件時，四邊形￡打汨是矩形，直接寫出結(jié)論.

【答案】（1）是平行四邊形，理由見解析；（2）①4c=8。；證明見解析；②ACJ_8O.

【分析】（1）如圖2,連接AC,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)及平行四邊形判定定理即可得到結(jié)論；

（2）①由（1）知，四邊形是平行四邊形，且FG=；BD,HG=^AC,于是得到當(dāng)AC=B。時，F(xiàn)G=HG,

即可得到結(jié)論；

②若四邊形EFG”是矩形，則/HGF=90。，BPGH±GF,XGH//AC,GF//BD,則ACJ_8D

【詳解】解：（1）是平行四邊形.理由如下：

如圖2,連接AC,

圖2

???￡是A3的中點，”是的中點，

:.EF"A3EF=^AC,

同理”G〃AC,HG=^AC,

：.EF//HG,EF=HG,

???西邊形EFG〃是平行四邊形；

（2）①AC=BD.

理由如下：

由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=.,"G=/C,

,當(dāng)AC=8。時，F(xiàn)G=HG,

???平行四邊形功G”是菱形;

②當(dāng)ACJ_4。時，四邊形EFG〃為矩形.

理由如下：

同（1）得：四邊形EFG”是平行四邊形，

VXC1BD,GH//AC,

:?GHtBD,

VGF//BD,

：.GH1GF,

：.NHGF=90°,

???四邊形EFG”為矩形.

【點睛】此題主要考查了中點四邊形，熟練掌握三角形中位線定理及平行四邊形、菱形及矩形的判定是解

題的關(guān)鍵.

11.（2016?山東德州?中考真題）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中

點四邊形.

（1）如圖1,四邊形ABCO中，點E,F,G,”分別為邊48,BC,CD,D4的中點.求證：中點四邊形

EFG”是平行四邊形；

（2）如圖2,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足%=PB,PC=PD,NAPB=NCPD,點E,F,G,H分

別為邊A8,BC,CDDA的中點，猜想中點四邊形七FGH的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使乙4P4=NCPQ=9（）。，其他條件不變，直接寫出中點四邊形的形狀.（不

必證明）

【答案】（1）證明見解析；（2）囚邊形ER7H是菱形，證明見解析；（3）四邊形EFG〃是正方形

【分析】（1）如圖1中，連接B。，根據(jù)三角形中位線定理只要證明E”〃/G,即可.

（2）四邊形EFGH是菱形.先證明△得到AC=BQ,再證明￡F/G即可.

（3）四邊形EFGH是正方形，只要證明NE”G=90。，利用△APCgaAPO,得即可證明

ZCOD=ZCPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】（1）證明：如圖1中，連接80.

???點E,H分別為邊AB,OA的中點，

:.EH〃BD,EH《BD,

???點尸，G分別為邊BC,CD的中點,

：.FG//BD,FG=-BD,

2

:,EH〃FG,EH=GF,

???中點四邊形EFGH是平行四邊形.

(2)四邊形EFG”是菱形.

證明：如圖2中，連接AC,40.

*//APB=/CPD,

/.ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD.

BPNAPC=/BPD,

在A42。和4BPD中,

'：AP=PB,NAPC=NBPD,PC=PD,

:.'APCQXBPD(SAS),

：.AC=BD.

?.?點￡F,G分別為邊人從BC,CQ的中點，

：.EF=^AC,FG上BD,

22

???四邊形EFG”是平行四邊形，

???四邊形EFG”是菱形.

(3)四邊形EFG”是正方形.

證明：如圖2中，設(shè)4c與8D交于點。.4c與尸。交于點M,AC與EH交于點N.

,/AAPC義ABPD,

：.tACP=4BDP,

*：NDM0=NCMP,

???ZCOD=ZCPD=90°,

?：EH〃BD,AC//HG,

...ZEHG=ZEN0=ZBOC=ZDOC=90°,

???四邊形律G”是菱形,

???四邊形EPG〃是正方形.

圖1

【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)和中點四邊形，綜合性較強(qiáng)，作出適當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵.

12.（2023?陜西寶雞??？家荒＃﹩栴}提出

問題探究

如圖2,在四邊形48CD中，對角線4C、BD相交于點。，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、4D的中點，連

接E/JFG、GH.HE.若力。=14,80=16,乙4。8=60。，求四邊形EFGH的面積.

問題解決

如圖3,某市有一塊五邊形空地A8CDE,其中/84￡=/48。=乙改:。=90。,48=600米，8C=800米，

AE=650米，DC=400米，現(xiàn)計劃在五邊形空地內(nèi)部修建一個四邊形花園MNGH,使點M、N、G、H分別

在邊力8、BC、CD、AE上，要求=CN,AM=CG,tanz8NM=?,請問，是否存在符合設(shè)計要求的面積最

4

大的四邊形花園MNGH?若存在，求四邊形MNGH面積的最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】問題提出：3;問題探究：28舊；問題解決：存在四邊形MNGH面積的最大值，四邊形M/VG"的最

大面積為240000平方米.

【分析】問題提出：由0EII8C,得蕓=%得出”=白進(jìn)一步得出結(jié)果；

ACAB912

問題探究：根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得出EH=FG=1=8,EF=GH=^；AC=7,EH||FG||BD,

EF||GH||AC,從而得出四邊形E7OR是平行四邊形，四邊形EFGH是平行四邊形，從而匕FEQ=LAOB=60°,

進(jìn)一步得出結(jié)果；

問題解決：延長力E,CD,交于Q,可得出四邊形/WCQ是矩形，設(shè)6M=6a,BN=8a,表示出△BMN^AAHM

的面積，進(jìn)而表示出四邊形MNGH的面積，配方后求出結(jié)

【詳解】解：問題提出

VDFIIBC,

.AEAD

??--------

ACAB

?AE4

??一，

912

??AE=