2024年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷(文科)(解析版)

2024年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

是符合題目要求的）

I.已知集合A={-1,0,1},B={x|y=x2,xGR},則Ar>B=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{1}D.0

2-i

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）

l+i

A.VTcB-VsD.當

3.同時擲兩個勻稱的正方體骰子，則向上的點數(shù)之和為5的概率為（）

2

4.焦點為（6,0）且與雙曲線孑-y2有相同漸近線的雙曲線的方程為（）

24121224

2222

C.工_?-=1D.二?工_=1

12242412

5.執(zhí)行如圖的程序框圖，假如輸出結(jié)果為2,則輸入的乂=（）

35

A.1B.4C.4D.5

22

7.命題p：直線h：ax+2y-1=0與直線h：x+（a+1）y+4=0互為平行的充要條件是a=-2；

命題q：若平面a內(nèi)存在不共線的三點到平面B的距離相等，則?！ㄎ閷σ陨蟽蓚€命題，

下列結(jié)論正確的是（）

A.命題“p且q〃為真B.命題"p或「q〃為假

C.命題'p且q"為真D.命題"p或q"為假

8.設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為。的函數(shù)，對隨意實數(shù)x,y￡R,都有f(x-y)=*-,

+

已知f(1)=2,an=f(n),neN,則數(shù)列｛aj的前n項和Sn為()

A.2n-1B.2nC.2n+,-1D.2n+,-2

9.某幾何體的三視圖如圖所示，此幾何體的體積為()

10.函數(shù)y=sinx(cosx-J^sinx)(OWxW干)的值域為()

A.［加，1+坐］I-率1.率］C［°,I〕D,［?立，1■申］

11.已知點M(-1,-2)是拋物線y2=2px(p>0)的準線上一點，A,B在拋物線上，點

F為拋物線的焦點，且有|AF|+|BF|=8,則線段AB的垂直平分線必過點()

A.(3,0)B.(5,0)C.(3,2)D.(5,4)

12.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+l,函數(shù)y=f(x+l)-1為奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的零點個

數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

第口卷。包括必考題和選考題兩部分。第13題?21題為必考題，每個考生都必需作答。第

22題.第24題為選考題，考生依據(jù)要求作答。二、填空題：(共4小題，每小題5分，滿分

20分)

13.已知向帛:小b滿意a=1，b=a+b~("V&1)，則cos<印b>=-

f2x-5y+6>0

14.設(shè)x,y滿意約束條件<4x+9y-7〉0,則目標函數(shù)z=*|的取值范圍是.

3x+2y-1040

15.已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為矩形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,該四校錐

外接球的體積為8倔，則4PBC的面積為.

16.已知a,b,c分別是銳角AABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=Lb=2cosC,sinCcosA

71

-sin--B)sin(--田)=0,則AABC的內(nèi)角B的大小為

4

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(共5小題)

17.已知等差數(shù)列佰口的前n項和為Sn，n7N*,J§La5+a6=24,S3=15.

(1)求EJ的通項公式；

]

(2)設(shè)bn=2_1，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

a八一工

18.某中學(xué)從高三甲、乙兩個班中各選出7名學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某晒缦拢?/p>

甲班：92,80,79,78,85,96,85

乙班：81,91,91,76,81,92,83

(I)若競賽成果在90分以上的視為“優(yōu)秀生”，則從“優(yōu)秀生〃中隨意選出2名，乙班恰好

只有I名的概率是多少？

(口)依據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩班數(shù)學(xué)競賽成果的莖葉圖，指出甲班學(xué)生成果的眾數(shù)，乙班學(xué)生

成果中位數(shù)，并請你利用所學(xué)的平均數(shù)、方差的學(xué)問分析一下兩個班學(xué)生的競賽成果狀況.

19.在二棱ABC中，側(cè)棱AA」底面ABC,AC±AB,AB=2,AC=AAZ=3,

(I)若F為線段B，C上一點，且得CF一二[9■,求證：BC_L平面AA，F(xiàn)；

FB4

(II)若E,F分別是線段B，C的中點，設(shè)平面AEF將三棱柱分割成左右兩部分，記

它們的體積分別為V|和V2，求V|.

20.如圖，已知P是以Fi(I,0),以4為半徑的圓上的動點，P與F2(I,0)所連線段的

垂直平分線與線段PFi交于點M.

(I)求點M的軌跡C的方程；

(2)已知點E坐標為(4,0),直線I經(jīng)過點F2(I,0)并且與曲線C相交于A,B兩點,

求AABE面積的最大值.

21.已知函數(shù)f(x)=x--*alnx(aGR).

x

(l)若函數(shù)f(x)在[I,4-00)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)已知g(x)=-^-x2+(m-I)x+—,mW-h(x)=f(x)+g(x),當時a=l,h

2x2

(x)有兩個極值點X],X2,且X]VX2，求h(X|)-h1x2)的最小值.

選做題：請在22,23,24題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分(共1小題,

滿分10分)【選修幾何證明選講】

22.如圖，在AABC中，NBAC的平分線交BC于點D,交AABC的外接圓于點E,延長

AC交4DCE的外接圓于點F,DF=V14

(I)求BD；

(II)若NAEF=90°,AD=3,求DE的長.

【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】(共1小題，滿分0分)

23.在平向直角坐標系中.直線1：《二.廠(t為參數(shù)，OWaVii),在以。為極點,

(y=l+tsina

x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：p=4cos6

(I)求曲線C的直角坐標方程；

(n)已知點P(2,1),若直線I與曲線C交于A,B兩點，且^^2強，求tana

【選修4-5：不等式選講】

24.已知函數(shù)f(x)=|x2-l|

(1)解不等式f(x)W2+2x；

(2)設(shè)a>0,若關(guān)于x的不等式f(x)+5Wax解集非空，求a的取值范圍.

2024年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個

是符合題目要求的）

I.已知集合慶={-1,0,1},B={x|y=x2,x￡R},則AcB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{1}D.0

【考點】交集及其運算.

【分析】求出B中x的范圍確定出B,找出A與B的交集即可.

【解答】解：：A={-1,0,1},B={x|y=x2,xGR）=R,

AAnB=A={-1,0,1},

故選:A.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=21-一i（i為虛數(shù)單位），則|z|二（）

1+1

A.VIOB.叵C.加D.返

22

【考點】復(fù)數(shù)求模.

【分析】干脆利用復(fù)數(shù)的模的運算法則化簡求解即可.

【解答】解：復(fù)數(shù)=（i為虛數(shù)單位），則|z二監(jiān)工:艱=卑

1+i|l+i|V22

故選:B.

3.同時擲兩個勻稱的正方體骰子，則向上的點數(shù)之和為5的概率為（）

【考點】古典概型及其概率計算公式.

【分析】運用排列數(shù)公式計算基本領(lǐng)件個數(shù)和符合條件的基本領(lǐng)件個數(shù)，利用古典概型的概

率計算公式計算概率.

【解答】解：同時擲兩個勻稱的正方體骰子，共有。上。卜36個基本領(lǐng)件，

其中向上的點數(shù)之和為5的基本領(lǐng)件共有4個，分別是（1,4）,（2,3）,（3,2）（4,1）.

，向上的點數(shù)之和為5的概率為

369

故選:A.

2

4.焦點為（6,（））且與雙曲線3--y?有相同漸近線的雙曲線的方程為（）

24121224

2222

C.-2__=iD.

12242412

【考點】雙曲線的簡潔性質(zhì).

2

【分析】設(shè)所求的雙曲線方程是Z-y2=K,由焦點（6,0）在x軸上，知k>0,截距列

2

出方程，求出k值，即得所求的雙曲線方程.

2

【解答】解：由題意知，可設(shè)所求的雙曲線方程是--yJK,???焦點（6,0）在x軸上,

2

Ak>0,

由2k+k=c2=36,Ak=12,

22

故所求的雙曲線方程是：工-工=1.

2412

故選：A.

5.執(zhí)行如圖的程序框圖，假如輸出結(jié)果為2,則輸入的*=（）

A.0B.2C.4D.0或4

【考點】程序框圖.

x+2x<C0

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出x=<「、的值，分

Ix-2x>0

類探討求出對應(yīng)的x的范圍，綜合探討結(jié)果可得答案.

（x+2x<0

【解答】解?：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出X=°、的值，

|X-2x>o

???輸出結(jié)果為2,

x<0x）0

[x+2=2（x-2=2

工解得x=4.

故選：C.

x2-3x+l,x〉l

6.若函數(shù)f(x)=ii，，則f(f⑵)=()

名)仁x<l

A.1B.4C.4D.5

22

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】干脆利用分段函數(shù)的表達式，逐步求解函數(shù)值即可.

x2-3x+l,

【解答】解：函數(shù)f(x)(i)x+rX<1

=()-1

則f(f(2))=f(22-3X2+1)=f(-1)i44

故選：C.

7.命題p：直線h：ax+2y-1=0與直線12：x+(a+1)y+4=0互為平行的充要條件是a=-2；

命題q：若平面a內(nèi)存在不共線的二點到平面。的距離相等，則?！ū葘σ陨蟽蓚€命題，

下列結(jié)論正確的是()

A.命題"p且q"為真B.命題"p或-'q"為假

C.命題”「p且q〃為真D.命題"p或q"為假

【考點】復(fù)合命題的真假.

【分析】對于命題P：對a分類探討，利用兩條直線相互平行的充要條件即可得出.對于命

題q：若平面a內(nèi)存在不共線的三點到平面0的距離相等，可得a〃。或相交，即可推斷出

真假.

【解答】解?：命題p：a=-1時，兩條直線不平行；aW7時，兩條直線方程分別化為：y=

-泰+2，y=--7TX--4r，由于兩條直線相互平行，

Z2a+1a+1

a__1

-yr，解得a=?2或1.

2a+1La+1

，直線h：ax+2y-1=0與直線12：x+(a+1)y+4=0互為平行的充要條件是a=-2或1,因

此p是假命題.

命題q：若平面a內(nèi)存在不共線的三點到平面B的距離相等，則a〃。或相交，因此是假命

題.

對以上兩個命題，下列結(jié)論正確的是命題"p或q〃為假.

故選：D.

fI'X)

8.設(shè)f⑺是定義在R上的恒不為0的函數(shù)，對隨意實數(shù)X‘都有f(x-y)二

已知f(1)=2,an=f(n),n￡N+,則數(shù)列｛an｝的前n項和511為()

A.2n-1B.2nC.2n+,-1D.2n+,-2

【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合.

【分析】令x=n,y=l,由條件可得f(n)=f(n-I)f(1)=2f(n-1),進而發(fā)覺數(shù)列｛aQ

是以2為首項，以2的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的求和公式可以求得Sn.

f(x)

【解答】解:對隨意實數(shù)X,y￡R,都有f(x-y)

f(y)'

且f(1)=2,an=f(n),

可得f(x)=f(x-y)f(y),

令x=n,y=l,可得=2f(n-I).

即有數(shù)列｛aj是2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

n

則an=2,

n

s-2(l-2)_2n+I_2

n__-

故選：D.

9.某兒何體的三視圖如圖所示，此兒何體的體積為()

—

A.4B.6C.8D.9

【考點】由三視圖求面積、體積.

【分析】由三視圖可知該幾何體為底面邊長分別為3,4的長方形，側(cè)立的一個四棱錐，其

中一個長方形的側(cè)面垂直于底面，高為2.

【解答】解：由三視圖可知該幾何體為底面邊長分別為3,4的長方形，

側(cè)立的一個四棱錐，其中一個長方形的側(cè)面垂直于底面，高為2.

故其體積v[x3X4X2=8.

故選：C.

10.函數(shù)y=sinx(cosx-^sinx)(0《xW?)的值域為()

A.[加.1+號]R.[-零,1-喙]C.[0,I]D.[.爪.1-喙]

【考點】三角函數(shù)的最值；兩角和與差的正弦函數(shù).

【分析】由三角函數(shù)公式化簡可得y=sin(2x+?)-左，由OWxW?和三角函數(shù)的值域

可得.

【解答】解：由三角函數(shù)公式化簡可得y=sinx(cosx-J^inx)

=sinxcosx-V3sin2x=-isin2x-(I-cos2x)

22

1./o正?“*兀、V3

=-sin20x+----coszx------=sin(2x+—-)-----,

22232

???OWxW3，

2

故選：D

11.已知點M(-1,-2)是拋物線y2=2px(p>0)的準線上一點，A,B在拋物線上，點

F為拋物線的焦點，且有|AF|+|BF|=8,則線段AB的垂直平分線必過點()

A.(3,0)B.(5,0)C.(3,2)D.(5,4)

【考點】拋物線的簡潔性質(zhì).

【分析】確定拋物線的方程，由|AF|+|BF|=8,利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為XI+X2+2=8,從而

求出A,B兩點橫坐標的和，設(shè)出C的坐標，利用C在AB的垂直平分線上得|AC|=|BC|,

代入兩點間的距離公式后移向整理，代入兩橫坐標的和后可求m的值.

【解答】解：設(shè)A(xi，yi),B(X2?y2)(X1WX2),

???點M(-1,-2)是拋物線y2=2px(p>0)的準線上一點，

???拋物線方程為y2=4x,其準線x=l.

V|AF|+|BF|=8,

?,?由定義得x]+x2+2=8,則x?+X2=6.

設(shè)直線AB的垂直平分線1與x軸的交點C(m,0).

由C在AB的垂直平分線上，從而|AC=|BC|,

即(xi-m)2+yi2=(X2-m)2+y22>

即(xi+x2-2m)(X|-X2'1=4x2-4x)=-4(xj-x2),

Vxi^X2>?*.xi+x2_2m=-4.

又,；X|+X2=6,/.m=5,

???點C的坐標為(5,0).

即直線AB的垂直平分線I與x軸的交點為定點(5,0).

故選：B.

12.已知函數(shù)f(x)=x3+a\2+bx+l,函數(shù)y=f(x+l)-1為奇函數(shù),則函數(shù)f(x)的零點個

數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【考點】根的存在性及根的個數(shù)推斷.

【分析】化簡y=f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x-1)+1-l=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)

x+l+b+a,從而可得<"a°,從而化簡出f(x)=x3?3x?+2x+l,求導(dǎo)F(x)=3x?-6x+2=3

l+a+b=O

(x?1)2?1=3(x?I?堂)(x-1+左)以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的零點的

33

個數(shù).

【解答】解：Vf(x)=x3+ax2+bx+l,

/.y=f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1

=X3+3X2+3X+I+ax2+2ax+a+bx+b

=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+l+b+a,

?函數(shù)y=f(x+1)-1為奇函數(shù),

./3+a=0

“il+a+b=0’

解得，a=-3,b=2：

故f(x)=x3-3X2+2X+1,

f（x）=3x2-6x+2=3（x-1）2-1=3（x-1-先）（x7+先）,

33

故f（x）在（?8,I■理）上是增函數(shù)，在（1?當，|+當）上是減函數(shù),

在（1+哼，+OO）上是增函數(shù)；

且f（1-哼）=1+1-%-哼-4+2有2-

f（1+魚）=1+1+V3+—~4-2V3i2+-^^+l>0,

393

???函數(shù)f（X）的零點個數(shù)為1,

故選B.

第n卷。包括必考題和選考題兩部分。第13題?21題為必考題，每個考生都必需作答。第

22題-第24題為選考題，考生依據(jù)要求作答。二、填空題：（共4小題，每小題5分，滿分

20分）

13.已知向量￡E滿意扇=1，bl=V3?+b=（J5，I），則cosvgk>=0.

【考點】平面對量數(shù)量積的運算.

【分析】利用已知條件求出W，石,然后求解cosV』fe>.

【解答】解：向量』E滿意』=1，%，W+百（第，1），

可知W=（O,1）,b=（M，0）,

>=

貝ijcos<a,bix^~0-

故答案為：0.

r2x-5y+6>0

14.設(shè)x,y滿意約束條件，4x+9y-7>0,則目標函數(shù)z=要的取值范圍是」

3x+2y-10<0X

【考點】簡潔線性規(guī)劃的應(yīng)用.

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

z=^的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的點到定點D（-2,-3）的斜率，

x+2

由圖象知CD的斜率最小，AD的斜率最大，

其中C(0,2),

X=4,即A

2x-5y+6=04x+9y-7=0x=4

由，得4i),由,…N解得如C

4x+9y-7=03x+2y-10=0y=-1

尸1

(4,-1)

-1+3i_1+.3_gio

則CD的斜率z=—AD的斜率z=_1_哆即為

4十/J2>ZJJJ

15.已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為矩形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,該四梭錐

外接球的體積為8何，則ZXPBC的面積為2?Tq源-2.

【考點】球內(nèi)接多面體.

【分析】利用四棱錐外接球的體枳為8由，求出四棱隹外接球的半徑，利用勾股定理求出

BC,即可求出APBC的面積.

【解答】解：設(shè)四棱錐外接球的半徑為R，則

???四棱錐外接球的體積為8%n,

二-1冗R3=8J5,

/.R=3^2，

設(shè)BC=x,則4R2=4+4+X2,：.x=d36,-&

???△PBC的面積為今PB?BC='X2V2義正如-32日7q羽-2,

乙乙

故答案為：2亞?正鏟1

16.已知a,b,c分別是銳角aABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=l,b=2cosC,sinCcosA

-sin(二-B)sin(%B)=0,則4ABC的內(nèi)角B的大小為

44-6

【考點】余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理.

【分析】a=l,b=2cosC,利用正弦定理可得:sinB=2sinAcosC.E&sinCcosA-sin(-B)

4

JT1JT

cos(--B)=0,利用誘導(dǎo)公式可得：sinCcosA-4sin(2X--2B)=0,

424

利用倍角公式可得：2sinCcosA=l-2sin2B,聯(lián)立化簡即可得出.

1

【解答】解：,銳角4ABC中，a=l,b=2cosC,....=—；—―,可得sinB=2sinAcosC.

sinAsine

TTJTTTJT

VsinCcosA-sin(——-B)sin(——+B)=0,sin(——*B)=cos(一^~~"B),

4444

71711JI

/.sinCcosA-sin(----B)cos(-----B)=0,/.sinCcosA----sin(2X----2B)=0,

4424

/.sinCcosA-工os2B=0,

2

2sinCcosA=1-2sin2B,

Z.2sin(A+C)=sinB+l-2sin2B,

/.2sin2B+sinB-1=0,

1TT

解得sinB=gB￡(0,—

故答案為：

6

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（共5小題）

17.已知等差數(shù)列EJ的前n項和為Sn，n￡N*,且as+a6=24,S3=15.

（I）求｛aj的通項公式；

1

（2）設(shè)bn=2_1，求數(shù)列｛bj的前n項和T.

an-1n

【考點】數(shù)列的求和.

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；

（2）利用“裂項求和〃方法即可得出.

【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,Va5+a6=24,S3=15.

/.2ai+9d=24,3ai+3d=15,

解得a1=3,d=2.

/.an=3+2（n-1）=2n+l.

⑵'W、=（2n+；）2一廣寺4一小5

-

???數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn=i[(l-v)+(VT)+???+(L-士)]

4223nn+1

二41,)

4n+1'

n

-4(n+l),

18.某中學(xué)從高三甲、乙兩個班中各選出7名學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某晒缦拢?/p>

甲班：92,80,79,78,85,96,85

乙班:81,91,91,76,81,92,83

(I)若競賽成果在90分以上的視為“優(yōu)秀生〃，則從“優(yōu)秀生〃中隨意選出2名，乙班恰好

只有1名的概率是多少？

(口)依據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩班數(shù)學(xué)競賽成果的莖葉圖，指出甲班學(xué)生成果的眾數(shù)，乙班學(xué)生

成果中位數(shù)，并請你利用所學(xué)的平均數(shù)、方差的學(xué)問分析一下兩個班學(xué)生的競賽成果狀況.

甲乙

【考點】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標準差.

【分析】(I)先列舉出全部的基本領(lǐng)件，再找到滿意條件的基本領(lǐng)件，依據(jù)概率公式計算

即可.

(口)畫出莖葉圖，依據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求出甲班學(xué)生成果的眾數(shù)，乙班學(xué)生成果中位

數(shù)，再求出平均數(shù)、方差，分析即可.

【解答】解：(I)乙班有四名學(xué)生成果為優(yōu)秀，設(shè)為a”a2,a3，甲班有兩名學(xué)生成果為

優(yōu)秀，設(shè)為b],b2,

則選取兩名成果為優(yōu)秀的學(xué)生的全部可能為：(aHa2),(aHa3),(aH"),(aHb2),(a2,

aj),(aa，b]),(a2>ba)?(33,bj),(33,ba)>(bpb：)共10種可能,

其中乙班恰好只有1名的有6種可能，

故乙班恰好只有1名的概率是概率P二之尚■:

105

(n)莖葉圖如圖.

甲班學(xué)生成果的眾數(shù)85,乙班學(xué)生成果中位數(shù)83,

而=,(78+79+80+85+85+92+96)=85,瓦=y(76+81+81+83+91+91+92)=85,

S^=y[(78-85)2+(79-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(92-85)2+

(96-85)2]=40

[(76-85)2+(81-85)2+(81-85)2+(83-85)2+(91-85)2+(91-85)2+

(92-85)2]=34

統(tǒng)計結(jié)論甲班的平均成果等于乙班的平均成果；

②乙班的成果比甲班的成果更穩(wěn)定.

甲乙

8976

5508113

629112

19.在三棱ABC?ABC'中,側(cè)棱AA」底面ABC,AC1AB,AB=2,AC=AAZ=3,

q

(I)若F為線段B，C上一點，且若CF一弓，求證：BC_L平面AA，F(xiàn)；

rDq

(口)若E,F分別是線段BBTB9的中點，設(shè)平面A￡F將三棱柱分割成左右兩部分，記

它們的體積分別為V]和V2,求V1.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定.

CMC

【分析】(I)過A作AM1_BC,垂足為M,連結(jié)MF,通過計算CM,BM可得瞿二，于

BM4

是MF〃BB，〃AA-于是AMu平面AAT,再利用側(cè)棱AA，_L底面ABC得出BC_LAA'即可

得出結(jié)論；

(II)作出截面AEF左右兩側(cè)的幾何體，則右側(cè)為四棱錐，且底面為矩形，高與AM相等,

利用三棱柱的體積減去V?即為V1.

【解答】解：(D過A作AM_LBC,垂足為M,連結(jié)MF,

???AA'_L平面ABC,BCc平面ABC,

AAAUBC,

VAB1AC,AB=2,AC=3,

ABC=7AB2+AC2=V13?AM喂絳備

[QA

ACM=VAC2-AM^/，BM=BC?CM=^-.

,CMCF

,,麗守力

???MF〃BB'〃AA',

AAMc平面AAT.

又AA，u平面AARAMnAAf=A,

???BC_L平面AAT.

(ID取CC中點N,連結(jié)EN,AN,AE,

TAA」平面ABC,AA/BB，，

，BB」平面ABC,

YBCu平面ABC,AMu平面ABC,

，BB」AM,BB」BC,

又AM_LBC,BCu平面BBCC,BB，u平面BBCC,BCnBB^B,

AM_L平面BBZCC,

??.丫2=\\*6￡二]可5矩形8/I1xy3xVI—i3x

又VABC-ABC=SAABC?AA'二■1"X2X3X3=9,

乙

???VI=VABC-AEC-V2=6?

20.如圖，已知P是以Fi（1,0）,以4為半徑的圓上的動點，P與F?（1,0）所連線段的

垂直平分線與線段PR交于點M.

（1）求點M的軌跡C的方程；

（2）己如點E坐標為（4,0）,直線I經(jīng)過點七（1，0）并且與曲線C相交于A,B兩點,

求4ABE面積的最大值.

【考點】軌跡方程.

【分析】（1）依據(jù)題意，|MP|=|MF2|,貝IJ|MFI|+|MF?|=|MF[|+|MP|=4）|F|F2|,故M

的軌跡C是以B，F(xiàn)2為焦點，長軸長為4的橢圓，從而可求動點M的軌跡C的方程.

（2）設(shè)直線1的方程為*=111丫+1,設(shè)A（xi，yi）,B（X2,y2），與橢圓方程聯(lián)立化為（3m2+4）

y2+6my-9=0,再利用弦長公式與點到直線的距離公式即可得出.

【解答】解：（1）依據(jù)題意，|MP|=|MF21，

則|MFI|+|MF21=MF1I+MP|=4>|FIF2|,

故M的軌跡C是以F1,F2為焦點，長軸長為4的橢圓，a=2,c=l,

所以b二立，

所以點M的軌跡方程為

22

(2)設(shè)直線1的方程為乂=0^+1,代入q_+=_=l,

可得3(my+1)2+4y2=12,

(3nr+4)y2+6my-9=0,

6m9

設(shè)A(xi，yi),B(X2，〉,2)，貝I」yi+y2=-2，yiY2=-2-

3m+43m+4

3

，E到更線1的距離為dp.2,ABTl+n121yl72

K+l

/.△ABE面枳S=yyi-y2=18.

(3ID2+4)2

nAl

設(shè)3m2+4=t(t24),則S=18.

(3m，4)

??T24,

q

.,.t=4,m=0時，Z\ABE面積的最大值為

21.已知函數(shù)f(x)=x-i-alnx(a￡R).

x

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，求實數(shù)af勺取值范圍；

(2)已知g(x)=4-X2+(m-1)x+工，mW?且2,h(x)=f(x)+g(x),當時a=l,h

2x2

(x)有兩個極值點X],X2,且X]VX2,求h(X])-h(X2)的最小值.

【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值.

【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可.

(2)求出函數(shù)h(x)的表達式，求出函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間

的關(guān)系進行求解.

【解答】解：(1)Vf(x)=x--+alnx,

x

1分

AT(x)=1+-y+—,

XX

Vf(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

1a

Af(x)=1+-7+q》0在[1,十8)上恒成立，

XX

■(x」~)在[1,+°°)上恒成立，

x

二'y=-x■]■在[1,+8)上單調(diào)遞減，

x

-2,

-2；

(2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+--x2+mx,其定義域為(0,+°°),

求導(dǎo)得，h，(x)d+mx+l,

x

若h'(x)=0兩根分別為X],X2，則有X|”2=l,X|+X2=-m,

，X2=3，從而有m=-X|-

X1X1

〈mW-當竺

2

11n]11

+

則h（X1）-h（x2）=h（X1）-h（-）=21nxi+-^-（xj-/2）（-X|--）（X|--）,

2

令巾（x）=2hix--i-（x-x￡U.

2x

則[h（X|）-h（x2）]min=4）（X）min，

（x2-1）2

0（X）=----------5---，

X

當XE（坐，1］時，巾，（X）＜0,

2

.??。（X）在［返，1］上單調(diào)遞減，

2

6（x）min=4＞（1）=0，

h（XI）-h（X2）的最小值為（）.

選做題：請在22,23,24題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分（共1小題,

滿分10分）【選修4-1：幾何證明選講】

22.如圖，在AABC中，NBAC的平分線交BC于點D,交aABC的外接圓于點E,延長

AC交4DCE的外接圓于點F,DF=V14

（I）求BD；

（H）若NAEF=90。，AD=3,求DE的長.

【考點】與圓有關(guān)的比例線段.

【分析】（1）由同弧或等弧所對的圓周角相等，運用全等三角形的判定，可得△AB