黑龍江省青岡縣一中2024屆高三第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題試卷

黑龍江省青岡縣一中2023屆高三第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為，連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．給出下列四個(gè)命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設(shè)集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．5．定義在R上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．6．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A．E B．F C．G D．H7．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為（）A． B． C． D．9．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．10．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說(shuō)，他自己覺(jué)得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為（）A． B． C． D．11．已知x,y滿足不等式組,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是()A．1 B．2 C． D．12．過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）交的右支于點(diǎn)，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．，，則_________．14．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則的值等于__________.15．已知，且，則__________．16．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則的值為_(kāi)_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．19．（12分）有甲、乙兩家外賣(mài)公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無(wú)底薪，單以內(nèi)（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天，求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率；（2）假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說(shuō)明你的理由.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.21．（12分）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，，求的面積.22．（10分）已知是圓：的直徑，動(dòng)圓過(guò)，兩點(diǎn)，且與直線相切.（1）若直線的方程為，求的方程；（2）在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恰好與軸相切？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．D【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形，求出菱形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時(shí)有，，離心率，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡(jiǎn)單題目.3．B【解析】

或，從而明確充分性與必要性.【詳解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性，簡(jiǎn)單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

①利用真假表來(lái)判斷，②考慮內(nèi)角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關(guān)系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個(gè)是假命題，故①錯(cuò)誤；當(dāng)內(nèi)角為時(shí)，不是象限角，故②錯(cuò)誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的問(wèn)題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識(shí)，是一道基礎(chǔ)題.5．D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；在，上單調(diào)遞增，且在時(shí)使得；又，，所以選項(xiàng)成立；，比離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，可得，選項(xiàng)成立；，，可知比離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，選項(xiàng)成立；，符號(hào)不定，，無(wú)法比較大小，不一定成立．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6．C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，然后將代入化簡(jiǎn)后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等，求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8．D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．9．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.此時(shí),，，的最小值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.10．C【解析】

設(shè)球的半徑為R，根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】

畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，計(jì)算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖：直線的斜率為，直線的斜率為，所以兩直線垂直，故為直角三角形，易得，，，，所以陰影部分面積.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.12．D【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，連接并延長(zhǎng)交右支于.因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，?又雙曲線為中心對(duì)稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因?yàn)闉橹苯侨切?，故，解?在中，有，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對(duì)稱性（中心對(duì)稱、軸對(duì)稱）以及雙曲線的定義來(lái)構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點(diǎn)的切線與過(guò)某點(diǎn)的切線的區(qū)別，本題屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】試題分析：因,故,所以，,應(yīng)填.考點(diǎn)：三角變換及運(yùn)用．16．1【解析】

根據(jù)弦長(zhǎng)為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2，

所以直線經(jīng)過(guò)圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1），，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，．（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題，屬于中檔題.18．（1）2；（2）【解析】分析：（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值（2）分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為．點(diǎn)睛：本題主要考查含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問(wèn)恒成立問(wèn)題分離參數(shù)，利用基本不等式求解很關(guān)鍵，屬于中檔題．19．（1）；（2）①分布列見(jiàn)解析，；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

（1）記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，可得當(dāng)時(shí)，，以此類推可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值．當(dāng)時(shí)，的值，同理可得：當(dāng)時(shí)，．的所有可能取值．可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出．【詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，則．（2）①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為，日工資為元，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的分布列為228234240247254．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元，因?yàn)?，所以小張?yīng)選擇甲公司應(yīng)聘．【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（Ⅰ）（為參數(shù)）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，則，代入化簡(jiǎn)得到答案.（Ⅱ）分別計(jì)算，的極坐標(biāo)方程為，，取代入計(jì)算得到答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，，故，故的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（Ⅱ），故，極坐標(biāo)方程為：；，故，極坐標(biāo)方程為：.，故，，故.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，弦長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21．（1）（2）【解析】

（1）先根據(jù)平方關(guān)系求出,再根據(jù)正弦定理即可求出；（2）分別在和中，根據(jù)正弦定理列出兩個(gè)等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再根據(jù)余弦定理求出，即可根據(jù)求出的面積．【詳解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．22．（1）或.（2）存在，；【解析】

（1）